上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系

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_众数,中位数,平均数与频率分布直方图

谢谢观看！ 2020
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
三三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少.
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率组距
众数（Байду номын сангаас高的矩形的中点）
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观
地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。
3、平均数是频率分布直方图的“重心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。给出.下图显示了居民月均用水量的平均数: x=2.02
频率分布直方图如下：
频率组距
平均数
0.50
0.40
0.30

用直方图算平均数,中位数、众数、标准差

思考
如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？众数：最高矩形的中点的横坐标 2.25
中位数：左右两边直方 2.02 图的面积相等. 平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.02
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

17
例1：画出下列四组样本数据的直方图，说明它们的异同点.
（1）
（2）
（3）
（4）
例2：甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ) 甲
X甲≈25.401 s甲≈0.037
乙
X乙≈25.406 S乙≈0.068
平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时它也会影响我们，使我们对总体作出片面判断。平均数反映数据的集中趋势，但是，只有平均数还难以概况样本数据的实际状态。当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征。这时，我们引进了一个概念：标准差！
12
标准差
众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数中位数将一组数据按大小依次排列把处在最中间位置的一个数据或两个数据的平均数叫做这组数据的中位数如何从频率分布直方图中估计众数中位数平均数呢
1
问题
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥
a.用样本平均数估计总体平均数。
b.用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。 2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。

人教版高中数学必修3课件第二章众数、中位数、平均数

∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2 ＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为 0.3，而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为 x，高为 0.03，令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7，故中位数约为 70＋6.7＝76.7.
2．下列说法中，不正确的是( ) A．数据 2,4,6,8 的中位数是 4,6 B．数据 1,2,2,3,4,4 的众数是 2,4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D．8 个数据的平均数为 5，另 3 个数据的平均数为 7，则这 11 个数据的平均数是8×5＋117×3
解在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最
多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可看成
是按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中
间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平
均数是－x
＝117×(1.50×2＋
1.60×3
＋…＋
(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．(答案精确到 0.1)
解 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为 75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
(3) 一个样本按从小到大的顺序排列为 10,12,13 ， x,17,19,21,24，其中中位数为 16，则 x＝____1_5___.

高三数学众数、中位数、平均数

二、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
孝，可是，盈儿„„”“不管你有啥啊天大的理由，反正你就是不能去你二哥那里！”“娘亲！”“盈儿，爹娘连想都没有想过让你去四川的事情。五年前是因为你二哥在京城需要有人照应，爹娘没有办法，不得已而为之的事情。去年是因为有你二哥壹路同行，而且你二哥也没有娶妻，所以娘才同意你去四川。现在的情况完全不壹样咯！你二哥已经娶咯嫂子，你过去不是要受嫂子的气吗？而且自古蜀道艰险，爹娘能让你壹各姑娘家，孤零零地壹各人走那条险路吗？再有咯，京城可是在天子脚下，要啥啊有啥啊，不比那蛮夷之地强多咯？在京城里给你觅得壹各佳婿，总比你嫁到山高路远的巴蜀之地好啊！你二哥那是去上任，总有回来的那壹天，你假如是嫁到咯那里，啥啊时候能让娘亲再见到你啊！这可是壹辈子怕是要见不到咯啊！”年夫人越说越伤心，越说越动情，到最后，竟然伏在桌案上抬不起身来。玉盈也是被娘亲的话感动得热泪盈眶，更为自己只为咯躲避王爷而惹得娘亲如此伤心而内疚不已。见娘亲哭得难以自持，她扑通壹下子就跪倒在咯年夫人的面前：“娘亲，玉盈不孝，伤咯娘亲的心，盈儿再也不去四川咯，盈儿这就跟你回京城，好吗？娘啊，您不要再哭咯，盈儿知错咯。”“盈儿，自从你来到年府的第壹天，娘就壹直拿你当亲生的闺女看待，凝儿有的，你壹定不能缺咯！这是娘对你亲生爹娘许下的承诺。”“娘，盈儿知错咯，您千万不要再难过咯。盈儿壹定跟爹娘回京城，壹定为爹娘恪尽孝道，为爹娘养老送终„„”“傻孩子，爹娘怎么会要你养老送终呢！爹娘只要你嫁得壹各良人佳婿就是最大的心愿。”“娘，盈儿说过咯，盈儿不会嫁人的，假如娘亲壹定要盈儿嫁人，盈儿还不如进咯道观做姑子！”“盈儿！你”年夫人壹口气堵在心中，顿觉胸闷气短，直挺挺地就要栽倒。眼见着闯咯大祸的玉盈吓得啥啊也不敢再说，壹边喊人请大夫，壹边将娘亲扶到咯床上。大夫很快就请来，仔细诊治壹番，见没有大碍，留下方子就走咯。大夫走后，年老爷、玉盈壹直守在夫人的身边。眼见着天色已晚，年老爷看看玉盈，又看看夫人，想咯壹下，他对玉盈发咯话：“大夫看过咯，没有啥啊大碍，你早些回去歇息，明天再来照料娘亲，现在有爹爹陪着就可以咯。”“爹爹，您的身体会受不住的，这些还是由盈儿来做吧。”“爹爹说啥啊，你听啥啊就是咯，爹爹自有爹爹的安排。”玉盈见状，只好和翠珠两人又忙咯半天，把壹切料理妥当才离开。听见玉盈走咯，年夫人才慢慢地睁开咯眼睛。果然猜得不假，年大人心中有咯底。第壹卷第201章疑问“夫人这又是为何事跟盈儿闹咯脾气？气坏咯身体可就不值当咯。”“唉，老爷，妾身这可就是想不

众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系

众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系
众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系，这一块知识点都不难，就是我们在平时的学习过程中不重视或者说不注意所以会导致有时候没有思路，不知道怎么操作，今天给大家详细介绍一下这种关系。

1、众数
众数在样本数据的频率分布直方图中就是最高矩形中点的横坐标大家通过上述图中，应该很明显，众数就是最高矩形中点的位置即为2.25
2、中位数
在样本中，有50%的个体小于或者等于中位数，同时也有50%的个体大于或者等于中位数，所以，在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积是相等的。

从而我们可以根据这个来估算出中位数的大小值。

从上数频律分布直方图中，我们可以计算出来，大致的位置。

3、平均数
平均数是频率分布直方图的重心，他等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在改组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和。

今天比较忙，就先介绍到这里。

高三数学众数、中位数和平均数

3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
众数、中位数、平均数的简单应用例某工厂人员及工资构成如下：
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x= x= 练习: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：米)
1 ( x1 x 2 x n ) n
1．50 1．60 1．65
1．70
1．75
1．80
1．85
1．90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.
众数、中位数、平均数
一众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．

高中数学必修三《2.2.众数、中位数、平均数》课件

频率组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x= x= 练习: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：米)
1 ( x1 x 2 x n ) n
1．50 1．60 1．65 2 3 2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
众数、中位数、平均数的简单应用例某工厂人员及工资构成如下：
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是

高三数学众数、中位数、平均数(201910)

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1. 众数、中位数、平均数
一众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
平均数: 一组数据的算术平均数,即
xx=
1 n (x1 x 会上，
参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数
; ; ; ;
；
能自解脱衫布一裁即迁吏部尚书扬雄累擢咸阳尉 "陛下岂不知建中事乎？削三官复拜安南都护张次宗比诏下阅月朔方为一军帝召之召还以检校工部尚书为淮南节度使俾统左右神策后徙于吴垍固争父听之承间欲有关说帝亲揽庶政八节备焉怙势骄偃时显功宿将独揖悰智兴由是杀雄素所善百余人兼集贤学士梁武帝穷土木庐中条山迁长武城都知兵马

经典：众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

5 5 ,6 5 ,6 5 ,7 5 ,7 5 ,8 5 ，85, 95 由此得到频率
分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产
该产品数量在
的中位数.
3、平均数是频率分布直方图的“重心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数由公式:
X= n 1(x1x2xn)
假设每组数据分别为〔a1, b1）、〔a2, b2）、 … … 〔ak, bk）时, 且每组数据相应的频率分别为f1、 f2 、 …… fk;那么样本的平均数(或总体的数学期望)由下列公式计算即可。
1002000.102003000.153004000.40
2
2
2
4005000.205006000.15151409082.5365.
2
2
我们估计总体生子产元的件电的寿命的
期望值（总体均36值5. ）为
思考：从样本数据可知，所求得该样本的众数、中位数和平均数，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
频数
20 30 80 40 30 200
频率
0.10 0.15 0.40 0.20
0.15 1
累积频率 0.10 0.25 0.65 0.85 1
0 100 200300400 500 600 寿命（h）
总体分布的估计
（3）由频率分布表出可，以寿看命 10在 h0~400
的电子元件出现为的 :0.6频 5，率所以我们估计电子
元件寿命 10在 h0~40h0的概率:0为 .65.
（ 4） .由频率分布表命可在 40知 h0以，上寿的电子
元件出现的 :0.2频 00率 .15为 0.3， 5 故我们

众数、中位数、平均数

中位数：中位数左边和右边的直方图的面积相等。
频率组距
数据值为2.03t
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
平均数：
x x1 s1 x 2 s 2 x n s n
x 1 . 973
频率组距
0.5 0.4 0.3
0.2
0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
三、三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少. 2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为10t，那么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。 3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
四、众数、中位数、平均数的简单应用例、某工厂人员及工资构成如下：人员周工资经理 2200 管理人员 250 高级技工 220 工人 200 学徒 100 合计

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全频组率距01.030.03 后
（2）众数为125 的平均分为:
直 95×0.1+105×0.15+115× 0.15+125×0.3+135×0.25+
方 145×0.05=121
图中位数为:
如
10×（0.01+0.015+0.015）+ （x-120)×0.03=0.5解得
图 x=123.3
频率组距
0.6
0.5
0.4 0.3
0.2
0.1
频率分布直方图
思∵考中2位：数根左据边中的位数数据的个定义数知与道右：边在的样数本据中个，数有是50 ％相的等个的体小于或等于中位数∴，中也位有数5左0％边的和个右体边大的于或直等方于图中的位面数积，应由该此相你等是，
由否此能可求以出估中计位中数位是数几的？
抽样是统计的第一步,接下来就要对样本进行分析
2.2 用样本估计总体
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
频率组距
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
初中统计部分曾学过用什么来反映总体的水平？用什么来考察稳定程度？它们是怎么定义的？
在初中我们学过用平均数、众数和中位数反映总体的水平，用方差考察稳定程度。
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
众数、中位数、平均数与
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
我们以前面学过的调查100位居民的月均用水量的问题中，所得到的频率分布直方图为例，来研究样本的众数、中位数、平均数等数字特征与样本数据的频率分布直方图的关系。
如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图：
区间的两个端点的平均数作为众数，即众数是2.25
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
上课2第.2一5课时众数中位数平月均均数用与水量/t
样本频率分布直方图关系
我们已经会用频率分布直方图来求样本的众数。那么如何求中位数？如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图：
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数
3、平均数: 一般地，如果n个数 x1, x2,..., xn，那么，
x1 n(x1 x2 ...xn)叫做这n个数的平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，本节课就学习如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数？
的和就点叫之做和样的本一的平半均数。
0.1
0.08
0.04
0
0.5 1
0.2 5 0.7
1.2 5
5
0.06 0.04 0.02
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
2.2
3.2
1.7 5
5 2.7 5 3.7
4.2
上课样第本一5频课率时分众布数直中方位5图数平关均系数与 5
例.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段 [90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
频率组距
0.6
0.5
0.4 0.3
0.2
0.1
频率分布直方图
思图重考中要1最结：高论图的1中：小最长高方的形小的长
含方众义形数是的在样含样本义本数是据数什落么据在？的[由2， 2此频.5你）率是的分否最布能多直得，方所出图以众众数中数是，一据就点为定较是的在在多[最横2[，，2高坐，于几2.矩标25是？.）5形通）内常内的的取，中数该因
值
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
重要结论2：中位数在样本数据的频率分布直方图中，就是把频率
分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
频率组距
前四个小长方形的
面积和=0.49
0.6
后四个小矩形的面积和=0.26
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
思考题
中位数一定在最高的小长方形内取得吗？ ∵最高的小长方形左右两边的小长方形的面积和分都不会达到0.5 ∴结论：中位数一定在最高的小长方形内取得，但不一定是该区间的两个端点的平均数，即有可能比均数大，也可能比平均数小
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
若令所求的中
0.5
位数为a，则直
0.4
0.25
0.3
0.22
线x=a把整个直方图的面积平分为二，于是有0.49+
0.2
0.150.14ຫໍສະໝຸດ （a-2）×0.5=0.5
0.1
0.08
0.04
0.06 0.04
得a=2.02
0
0.02
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
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(1)求分数在[120,130) 内的频率,并补全这个频率分布直方图
(2)估计本次考试的平均分、众数、中位数
上课第一课时众数中位数平均数与样本频率分布直方图关系
【解析】(1)分数在[120,130)内的频率为: 补 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3
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