求反比例函数的解析式

例1 已知一次函数2y x k =-的图象与反比例函数5k y x+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式． 解： 依题意，由两个函数解析式得所以一次函数和反比例函数的解析式分别为例注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y 1与x+1成正比例，y 2与x 2成反比例，即把x+1与x 2看成两个新的变量．典型例题四例 （上海试题，2002）如图，直线221+=x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，x PB ⊥轴，B 为垂足，9=ABP S ∆（1）求点P 的坐标；（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧．作x RT ⊥轴，T 为垂足，当BRT ∆与AOC ∆相似时，求点R 的坐标．那么2-=b BT ，b RT 6=. ①当RTB ∆∽AOC ∆时，CO BT AO RT =，即2==COAOBT RT ， ∴226=-b b ，解得3=b 或1-=b （舍去）. ∴ 点R 的坐标为()2,3.②RTB ∆∽ COA ∆时，AO BT CO RT =，即21==AO CO BT RT ， ∴2126=-b b ，解得131+=b 或131-=b （舍去）. ∴点R 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2113,131. 综上所述，点R 的坐标为()2,3或⎪⎫⎛-+113,131.y例 B.（（解 ：（1）设点A 的坐标为(m,n)，那么n AB m OB =-=,.∵ AB OB S ABO ⋅=∆21，∴.4,2)(21-==⋅-mn n m 又mk n =，∴4-==mn k .∴ 双曲线：x y 4-=，直线：4+-=x y .（2）解由xy 4-=，4+-=x y 组成的方程组，得2221+=x ，2221-=y ；例 A 、B 求B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由. 解：（1）过点B 作x BH ⊥轴于点H . 在OHB ∆Rt 中，.3,31tan BH HO HO BH HOB =∴==∠由勾股定理，得222OB HO BH =+. 又10=OB ，.3,1,0.)10()3(222==∴>=+∴HO BH BH BH BH ∴ 点B （－3，－1）.∵ ∴ ∴ （∵ ∴ ∴ 令 ).31(321)(2122m m GA BH DO GA DO BH DO S +-=+=⋅+⋅=由已知，直线经过第一、二、三象限， ∴ 0>b ，即03>-mm..03,0>-∴>m m由此得 .30<<m ∴ ).31)(3(21mm S +-=即 ).30(292<<-=m mm S (3）过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.证明如下：S ∆由得 ∵ ∴ ∴ ∴ 即 则 aa 2121令 .321=-x x 则 .9324)21(2=-⋅-+-aa a a 整理，得 01472=+-a a . ∵ ,012174)4(2<-=⨯⨯--=∆∴ 方程01472=+-a a 无实数根.因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.典型例题八例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 [ ]； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 [ ]； (3)圆面积与半径的关系 [ ]； (4)圆面积与半径平方的关系 [ ]；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 [ ]； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 [ ]；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 [ ]； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 [ ]；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 [ ]； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 [ ]．说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义。

专题17 反比例函数1. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号＞k 0＜k 所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。

在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。

对称性图像关于原点对称2. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。

②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。

这个三角形的面积等于2k 。

3. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。

4. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。

反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。

1．（2022•湘西州）如图，一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝xk的图象在第一象限交于点B （1，3），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△ABC 的面积．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用直线的解析式求得点A 坐标，利用坐标表示出线段CA ，BC 的长度，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象经过点B （1，3），∴a +1＝3，∴a ＝2．∴一次函数的解析式为y ＝2x +1，∵反比例函数y ＝的图象经过点B （1，3），∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝．（2）令y ＝0，则2x +1＝0，∴x ＝﹣．∴A （﹣，0）．∴OA ＝．∵BC ⊥x 轴于点C ，B （1，3），∴OC ＝1，BC ＝3．∴AC ＝1＝．∴△ABC 的面积＝×AC •BC ＝．2．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I （单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过（8，6），∴6＝，解得k＝6×8＝48，∴I＝；（2）蓄电池的电压是6×8＝48；（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．3．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3．（1）求密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）若3≤V ≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【分析】（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k 值，进而可得出密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）由k ＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V ＞0时ρ随V 的增大而减小，结合V 的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0）．∵当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3，∴1.98＝，∴k ＝9.9，∴密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（V ＞0）．（2）∵k ＝9.9＞0，∴当V ＞0时，ρ随V 的增大而减小，∴当3≤V ≤9时，≤ρ≤，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．4．（2022•淄博）如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝xm相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞xm的解集．【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，联立方程组，求出点B 的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题．【解答】解：（1）将A （1，2），C （4，0）代入y ＝kx +b ，得，解得：，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +，将A （1，2）代入y ＝（x ＞0），得m ＝2，∴双曲线的解析式为y ＝（x ＞0）；（2）∵直线AC 的解析式为y ＝﹣x +与y 轴交点D ，∴点D 的坐标为（0，），∵直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，∴，∴，，∴点B 的坐标为（3，），∴△AOB 的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；（3）观察图象，∵A （1，2），B （3，），∴当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集是1＜x ＜3．5．（2022•镇江）如图，一次函数y ＝2x +b 与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点A （1，4），与y 轴交于点B ．（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）连接并延长AO ，与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点C ，点D 在y 轴上，若以O 、C 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标．【分析】（1）将点A （1，4）分别代入反比例函数y ＝（k ≠0）和一次函数y ＝2x +b 的解析式中，求解即可；（2）根据题意，需要分类讨论：当点D 落在y 轴的正半轴上，当点D 落在y 轴的负半轴上，△COD ∽△AOB 或△COD ∽△BOA ，依次根据比例关系，求解即可．【解答】解：（1）将点A （1，4）代入反比例函数y ＝（k ≠0）的解析式中，∴k ＝1×4＝4；将A （1，4）代入一次函数y ＝2x +b ，∴2×1+b ＝4，解得b ＝2．故答案为：4；2．（2）当点D 落在y 轴的正半轴上，则∠COD ＞∠ABO ，∴△COD 与△ABO 不可能相似．当点D 落在y 轴的负半轴上，若△COD ∽△AOB ，∵CO ＝AO ，BO ＝DO ＝2，∴D （0，﹣2）．若△COD ∽△BOA ，则OD ：OA ＝OC ：OB ，∵OA ＝CO ＝，BO ＝2，∴DO ＝，∴D （0，﹣），综上所述：点D 的坐标为（0，﹣2），（0，﹣）．6．（2022•宁夏）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于C 、B 两点，与反比例函数y ＝xm（m ≠0，x ＞0）的图象相交于点A ，OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，BC ：CA ＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D 是线段AB 上任意一点，过点D 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点E ，连接BE ．当△BDE 面积最大时，求点D 的坐标．【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC 长，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则△ACF ∽△BCO ，由相似比可得出CF 和AF 的长，进而可得出点A 的坐标，代入反比例函数可得出m 的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB 的解析式．设点D 的横坐标为t ，由此可表达点D ，E 的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE 的面积，根据二次函数的性质可得结论．【解答】解：（1）如图，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，∴AF ∥y 轴，∴△ACF ∽△BCO ，∴BC ：AC ＝OB ：AF ＝OC ：CF ＝1：2．∵OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，∴OC ＝2，∴AF ＝2，CF ＝4，∴OF ＝OC +CF ＝6，∴A （6，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（m ≠0，x ＞0）的图象上，∴m ＝2×6＝12．∴反比例函数的表达式为：y ＝（x ＞0）．（2）由题意可知，B （0，﹣1），∴直线AB 的解析式为：y ＝x ﹣1．设点D 的横坐标为t ，则D （t ，t ﹣1），E （t ，）．∴ED ＝﹣t +1．∴△BDE 的面积为：（t ﹣0）（﹣t +1）＝﹣t 2+t +6＝﹣（t ﹣1）2+．∵﹣＜0，∴t ＝1时，△BDE 的面积的最大值为，此时D （1，﹣）．7．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +2的图象与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点C ．（1）求点A 的坐标和反比例函数的解析式；（2）点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB ，CB ，求△ACB 的面积．【分析】（1）由一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B 、D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝x +2的图象过点A （1，m ），∴m ＝1+2＝3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，∴B （3，1），作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入y ＝x +2得，1＝x +2，解得x ＝﹣1，∴D （﹣1，1），∴BD ＝3+1＝4，∴S △ABC ＝×4×3＝6．8．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象都经过A （2，﹣4）、B （﹣4，m ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．【分析】（1）把A ，B 两点的坐标代入y ＝中可计算k 和m 的值，确定点B 的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，证明CD ⊥x 轴于D ，根据S △ABC ＝S △ACD +S △BCD 即可求得．【解答】解：（1）将A （2，﹣4），B （﹣4，m ）两点代入y ＝中，得k ＝2×（﹣4）＝﹣4m ，解得，k ＝﹣8，m ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；将A （2，﹣4）和B （﹣4，2）代入y ＝ax +b 中得，解得，∴一次函数的表达式为：y ＝﹣x ﹣2；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，连接CD ，由题意可知，点A 与点C 关于原点对称，∴C （﹣2，4）．在y ＝﹣x ﹣2中，当x ＝﹣2时，y ＝0，∴D （﹣2，0），∴CD 垂直x 轴于点D ，∴S △ABC ＝S △ADC +S △BCD ＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．9．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在y 轴上，A ，C 两点的坐标分别为（4，0），（4，m ），直线CD ：y ＝ax +b （a ≠0）与反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象交于C ，P （﹣8，﹣2）两点．（1）求该反比例函数的解析式及m 的值；（2）判断点B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝可得反比例函数的解析式为y ＝，即得m ＝＝4；（2）连接AC ，BD 交于H ，由C （4，4），P （﹣8，﹣2）得直线CD 的解析式是y ＝x +2，即得D （0，2），根据四边形ABCD 是菱形，知H 是AC 中点，也是BD 中点，由A （4，0），C （4，4）可得H（4，2），设B （p ，q ），有，可解得B （8，2），从而可知B 在反比例函数y ＝的图象上．【解答】解：（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝得：﹣2＝，解得k ＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，∵C （4，m ）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝＝4；∴反比例函数的解析式为y＝，m＝4；（2）B在反比例函数y＝的图象上，理由如下：连接AC，BD交于H，如图：把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：，解得，∴直线CD的解析式是y＝x+2，在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，∴D（0，2），∵四边形ABCD是菱形，∴H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），∵D（0，2），∴，解得，∴B（8，2），在y＝中，令x＝8得y＝2，∴B在反比例函数y＝的图象上．10．（2022•绵阳）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝xk 2在第一象限交于M （2，8）、N 两点，NA垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和△PMN面积的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出（8+）•（m ﹣2）＝30，解方程即可求得N 的坐标，然后把M 、N 的坐标代入y ＝k 1x +b ，进一步求得一次函数的解析式；（2）求出与直线MN 平行且在第三象限内与反比例函数y ＝有唯一公共点的坐标即为点P 的坐标，此时△PMN 面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y ＝过点M （2，8），∴k 2＝2×8＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，设N （m ，），∵M （2，8），∴S △OMB ＝＝8，∵四边形OANM 的面积为38，∴四边形ABMN 的面积为30，∴（8+）•（m ﹣2）＝30，解得m 1＝8，m 2＝﹣（舍去），∴N （8，2），∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象经过点M 、N ，∴，解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +10；（2）与直线MN 平行，且在第三象限与反比例函数y ＝有唯一公共点P 时，△PMN 的面积最小，设与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x +n ，当与y ＝在第三象限有唯一公共点时，有方程﹣x +n ＝（x ＜0）唯一解，即x 2﹣nx +16＝0有两个相等的实数根，∴n 2﹣4×1×16＝0，解得n ＝﹣8或x ＝8（舍去），∴与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x ﹣8，∴方程﹣x ﹣8＝的解为x ＝﹣4，经检验，x ＝﹣4是原方程的解，当x ＝﹣4时，y ＝＝﹣4，∴点P （﹣4，﹣4），如图，过点P 作AN 的垂线，交NA 的延长线于点Q ，交y 轴于点D ，延长MB 交PQ 于点C ，由题意得，PD ＝4，DQ ＝8，CD ＝2，MC ＝8+4＝12，NQ ＝2+4＝6，∴S △PMN ＝S △MPC +S 梯形MCQN ﹣△＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6＝36+54﹣36＝54，答：点P （﹣4，﹣4），△PMN 面积的最小值为54．11．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝21x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A （﹣4，0）、B 两点，与双曲线y ＝xk （k ＞0）交于点C 、D 两点，AB ：BC ＝2：1．（1）求b ，k 的值；（2）求D 点坐标并直接写出不等式21x +b ﹣x k ≥0的解集；（3）连接CO 并延长交双曲线于点E ，连接OD 、DE ，求△ODE 的面积．【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b的值；过C作CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；（3）根据同底同高，得S△ODE ＝S△COD，S△COD＝S△COA+S△ADO即可．【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），∴，解得b＝2，过C作CF⊥x轴于点F，∴△AOB∽△AFC，∵AB：BC＝2：1，∴，∴AF＝6，∴OF＝2，在中，令x＝2，得y＝3，∴C（2，3），∴，∴k＝6．（2）∵D点是和交点，∴，解得或，∵D点在第三象限，∴D（﹣6，﹣1），由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，∴不等式的解集为﹣6≤x ＜0或x ≥2．（3）∵△ODE 和△OCD 同底同高，∴S △ODE ＝S △OCD ，∵S △COD ＝S △COA +S △ADO ，∴．12．（2022•资阳）如图，一次函数y 1＝kx +b 的图象与反比例函数y 2＝x6的图象交于点A （1，m ）和点B （n ，﹣2）．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．【分析】（1）将A 、B 两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当x ＞0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x 的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数k ，进而得到反比例函数的解析式．【解答】解：（1）由题意得：，，∴m ＝6，n ＝﹣3，∴A （1，6），B （﹣3，﹣2），由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y ＝2x +4；（2）由图象可知，当x ＞0时，一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x 的值为x ＞1，当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围为x ＞1；（3）一次函数y ＝2x +4的图象平移后为y ＝2x ，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y ＝2x 与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k ＜0，∴当k ＝﹣1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为（答案不唯一）．13．（2022•徐州）如图，一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝x8（x ＞0）的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，CB ＝CD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．（1）点E 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当|PE ﹣PB |最大时，求点P 的坐标．【分析】（1）设点A 的坐标为（m ，），根据轴对称的性质得到AD ⊥CE ，AD 平分CE ，如图，连接CE交AD 于H ，得到CH ＝EH ，求得E （2m ，），于是得到点E 在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD ＝CE ，AD 垂直平分CE ，求得CH ＝AD ，设点A 的坐标为（m ，），得到m ＝2（负值舍去），求得A （2，4），C （0，2），把A （2，4），C （0，2）代入y ＝kx +b 得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得|PE ﹣PD |＝|PE ﹣PB |，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E 在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A ，∴设点A 的坐标为（m ，），∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，由①知，A （2，4），C （0，2），∴D （2，0），E （4，2），设直线DE 的解析式为y ＝ax +n ，∴，∴，∴直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴P （0，﹣2）．故当|PE ﹣PB |最大时，点P 的坐标为（0，﹣2）．14．（2022•济南）如图，一次函数y ＝21x +1的图象与反比例函数y ＝xk （x ＞0）的图象交于点A （a ，3），与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）将点A 的坐标代入y ＝求得a ，再把点A 坐标代入y ＝求出k ；（2）先求出A ，B ，C 三点坐标，作CD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，求出点E 坐标，从而求得CE 的长，进而求得三角形ABC的面积；（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝求得点P的横坐标．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CD⊥x轴于D，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴x A＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，∴y P＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），由y Q′﹣y B＝y P′﹣y A得，0﹣1＝y P′﹣3，∴y P′＝2，当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．15．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）3569……硫化物的浓度y（mg/L）4.5 2.7 2.25 1.5……（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴线段AC的函数表达式为：y 2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函数，∴y＝（x≥3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x＝15时，y＝＝0.9，∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．。

反比例函数解析式的三种表达形式反比例函数解析式的三种表达形式。

反比例函数的定义：在x=-b，y=-y， x-y=0上，当-b=0，即图像与y轴有交点时，该函数是一条抛物线，以原点为中心，开口向下。

y=-3/2，开口向下，实际已超出了y=-3/2的图像范围，不符合反比例函数的要求。

这个图像应怎样变换成y=-1，才能使得其与y轴有交点呢？在x=-b， y=-y， x-y=0上，当-b=0，即图像与y轴有交点时，该函数是一条抛物线。

由于在图像与y轴有交点时，图像是反比例函数的交点，因此，对于反比例函数图像与y轴交点的函数值而言，只有两种情况：一是它的一次函数值等于二次函数值，即y=kx+b，若图像是正比例函数，则为1;-b>0时，就是y=kx+b。

二是它的一次函数值大于二次函数值，即y=kx+b，若图像是负比例函数，则为-1;所以，在图像与y轴交点处的一次函数值为k，可令k=b，此时一次函数的图像与y轴交于(0， b);这时反比例函数的解析式为y=-kx+b。

1。

对于y=kx+b，当a>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

2。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

3。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

当-b>0时，则是： 4。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

当-b>0时，则是： y=-kx+b5。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求解析式6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的解析式为y ＝6x. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0. 解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x.3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x，可得m ＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x. ∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6， ∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a＝9， 解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k 2x(k 2≠0)． 由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x. 又∵y ＝k 1x ＋k 2x的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x. 5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x. (第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v(v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )， 150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。

反比例函数解析式的几种常用求法一、利用反比例函数图象上的点的坐标来确定 例1 已知反比例函数的图象经过点（－3，1），则此函数的解析式为________．二、借助定义来确定 例2． 已知函数43m y mx +=是反比例函数，试求出m 的值，并写出函数关系式．三、利用反比例函数的性质确定例3 如下图，已知一次函数y =kx+b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数xmy =（m ≠0）的图象在第一象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OA =OB=OD =1，求一次函数和反比例函数的解析式。

（6分）四、根据图形的面积确定例4 如图1，过反比例函数图象上一点A 分别向两坐标轴作垂线，则垂线与坐标轴围成的矩形ABOC 的面积是8，则该反比例函数的解析式为________．五、根据反比例函数和一次函数图象的交点坐标确定例5 直线y =k 1x +b 与双曲线2k y x=只有一个交点A （1，2），且与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线、双曲线的解析式．跟踪练习：1．如图（1）所示的函数图象的关系式可能是 （ ）．A ． y =x B ． y x 1= C ． y =x 2D ． y =||1x 2.写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的解析式是________． 3．如图3，Rt △ABD 的顶点A 在双曲线ky x=上，DB =OB ，S △ABO =1，则此双曲线的解析式为________．4 .一个反比例函数在第三象限的图象如图（2），若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是5，求这个反比例函数的解析式．5. 正比例函数y =x 的图象与反比例函数xky =的图象有一个交点的纵坐标是2， 求反比例函数的解析式．课堂反馈1．若关于x 、y 的函数y =5x 25k -是反比例函数，则k =________． 2．若反比例函数的图象过点（-2，1），则此函数的解析式为________． 3、反比例函数ky x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知关于x 的一次函数y =mx +3n 和反比例函数y=25m nx+的图象都过点（1，-2），求一次函数和反比例函数的解析式。

反比例函数三种解析式
反比例函数是一种特殊的函数，其自变量和因变量之间的关系是反比例关系，即当自变量增大时，因变量减小，反之亦然。

反比例函数的解析式可以表示为y=k/x，其中k为比例常数。

根据不同的条件，我们可以得到反比例函数的三种不同的解析式，分别为正比例函数、倒数函数和指数函数。

正比例函数的解析式为y=kx，其中k为比例常数。

该函数的图像为一条经过原点的直线，斜率为k。

当x=0时，y=0；当x增大时，y也随之增大。

倒数函数的解析式为y=1/x。

该函数的图像为一个经过第一象限和第三象限的双曲线。

随着x的增大，y的值趋近于0，但不会等于0；随着x的减小，y的值趋近于无穷大或负无穷大。

指数函数的解析式为y=k^x，其中k为常数。

该函数的图像为一个经过点(0,1)的递增曲线。

随着x的增大，y的值也逐渐增大；随着x的减小，y的值逐渐趋近于0，但不会等于0。

这三种反比例函数的解析式在实际问题中都有应用，例如正比例函数可以用于描述质量和重力之间的关系，倒数函数可以用于描述电阻和电流之间的关系，指数函数可以用于描述物种数量和时间之间的关系。

- 1 -。

中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。

②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。

这个三角形的面积等于2k 。

2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。

3. 反比例函数与一次函数的不等式问题： 若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。

反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。

练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3， 故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可． 【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5， 故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2， 故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可． 【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ． 又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15， 即k ＝11，∴k ＝﹣22． 故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为 ．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式． 【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣． 故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为 ． 【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可． 【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0， 解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为 ．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式． 【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣， 故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得． 【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ）， 由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（ ）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2， 故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（ ） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞， 故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。

初二数学函数及其图像试题答案及解析1.如图，小手盖住的点的坐标可能为A B C D【答案】A【解析】解：小手盖住的点在第三象限，故选A。

2.已知正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，一2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围；（3）若双曲线上点c（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=；（2）-1＜x＜0或x＞1；（3）四边形OABC是菱形．证明见解析．【解析】（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．试题解析：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），∵A（m，-2）在y=2x上，∴-2=2m，∴m=-1，∴A（-1，-2），又∵点A在y=上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；（3）四边形OABC是菱形．证明：∵A（-1，-2），∴OA=，由题意知：CB∥OA且CB=，∴CB=OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵C（2，n）在y=上，∴n=1，∴C（2，1），OC=，∴OC=OA，∴四边形OABC是菱形．【考点】反比例函数综合题．3.在平面直角坐标系中，把直线沿y轴向上平移两个单位后，得到的直线的函数关系式为____________________．【答案】y="2x-1"【解析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．由题意得：平移后的解析式为：y=2x-3+2=-2x-1．【考点】函数图像的平移4.如图，一次函数y1=x＋1的图象与反比例函数y2=（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1与y2的大小．【答案】（1）（1,2）；y=；（2）当0＜x＜1时，；当x=1时，；当x>1时，；【解析】首先将点A的坐标代入一次函数解析式得出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式得出反比例函数的解析式；根据函数图象进行比较大小．试题解析：（1）将点A（m，2）代入一次函数可得：2=m+1 解得：m=1 ∴A（1，2），将A（1,2）代入反比例函数解析式可得：k=2 则反比例函数的解析式为：（2）根据函数图象可得：当0＜x＜1时，；当x=1时，；当x＞1时，．【考点】反比例函数与一次函数．5.一次函数y=2x﹣4的图象与两坐标轴交点的距离是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令y=2x﹣4=0，则x=2，令x=0，则y=-4，∴一次函数y=2x﹣4的图象与坐标轴交于A、B两点的坐标是A（0，﹣4），B（2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB=，故选：B【考点】一次函数图象上点的坐标特征．6.正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（）【答案】A【解析】∵当k＞0时，正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，∴一次函数y=x+k中，x的系数1＞0,b=k＞0，∴一次函数y=x+k的图象经过一、二、三象限，故选:A．【考点】1．一次函数的图象；2．正比例函数的性质．7.（10分）如图，直线y＝kx＋b经过A（2,1），B（－1，－2）两点，（1）求直线y＝kx＋b的表达式；（2）求不等式＞kx＋b＞－2的解集．【答案】（1）y=x-1；（2）－1＜x＜2【解析】（1）由于直线y=kx+b经过点A（2，1），和B（-1，-2）两点，利用待定系数法求出函数解析式；（2）再组成不等式方程组解答．试题解析：（1）直线y=kx+b经过a（2,1），B（-1，-2）得方程组：解得：k=1，b=-1，∴y=x-1，（2）不等式x＞kx+b＞-2可化为不等式组：解得：-1＜x＜2．【考点】一次函数，不等式组8.对于一次函数y= -2x-1来说，下列结论中错误的是（）A．函数值y随自变量x的减小而增大B．函数的图像不经过第一象限C．函数图像向上平移2个单位后得到函数y= -2x+1D．函数图像上到x轴距离为3的点的坐标为（2，-3）【答案】D．【解析】选项A，由一次函数y=﹣2x-1中k=﹣2＜0，可得函数值随x的增大而减小，故本选项正确；选项B，一次函数y=﹣2x-1中k=﹣2＜0，b=-1＜0，可得此函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，故本选项正确；选项C，由“上加下减”的原则可知，函数的图象向上平移2个单位长度得y=﹣2x+1的图象，故本选项正确；选项D，令y=3或-3，，则x=-2或2，函数图像上到x轴距离为3的点的坐标为（-2，3）或（2，-3），故本选项错误．故答案选D．【考点】一次函数的性质．9.请写出一个图像经过第一、三象限的正比例函数的解析式____________________．【答案】y=2x（答案不唯一，只要k＞0即可）．【解析】根据正比例函数的性质可得只要k＞0即可．【考点】正比例函数的性质．10.（10分）如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图像回答下列问题：（1）汽车行驶__________h后加油，中途加油__________L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？【答案】（1）2，190；（2）y=-20x+100；（3）该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．【解析】（1）观察图象可知，汽车行驶2h后加油，所加油量为250-（100-25×1．6）=190L；（2）根据题意可得大巴车每公里油耗为0．25L；大巴车以速度为80km/h行驶x小时的油耗为0．25×80xL，所以加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式为y=100-80×0．25▪x=-20x+100；（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，所以加油前和加油后的函数解析式的k值相同，加油后的解析式经过（2，250），可求得加油后y与x的函数关系式，把y=10代入求得大巴车油箱中剩余油量为10L时行驶的时间，再根据路程=速度×时间即可求得大巴车所跑的最远路程．试题解析：（1）2，190；（2）y=100-80×0．25▪x=-20x+100；（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，设此时油箱剩余油量y与行驶时间x的解析式为y=kx+b，把k=-20代入，得到y="-20x+b"再把（2，250）代入，得b=290所以y="-20x+290"当y=10时，x=14，所以14×80=1120因此该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．【考点】一次函数的应用．11.已知函数中自变量的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C．【解析】此式要满足x-1≥0，且≠0，解x≥1，且x≠1，所以x>1，故选C．【考点】1．二次根式意义；2．分母不能为0．12.（9分）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度．（1）请确定课桌高度与椅子高度的函数关系式；（2）现有一张高80cm的课桌和一张高为43cm的椅子，它们是否配套？为什么？【答案】y=x+32；不配套．【解析】本题利用待定系数法求出一次函数的解析式；求x=43代入函数解析式求出y的值，看求出的y值是否等于80，若相等则说明配套，否则不配套．试题解析：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（42，74）（38，70）代入，得到，解得：，∴函数解析式为：y=x+32，（2）当x=43时，y=43+32=75≠80，∴它们不能配套．【考点】一次函数的应用13.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积v时，气体的密度也随之改变．与v在一定范围内满足，图象如图所示，该气体的质量m为 kg．【答案】7．【解析】由图象可知，的图象经过（5，1．4），代入即可得m=7．【考点】反比例函数的应用．14.（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．（l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．【答案】（1）；（2）当α、β满足关系式时，函数关系式成立，理由见解析．【解析】（1）根据已知条件证明△ADB∽△EAC即可得，代入x、y得值即可得y与x之间的函数关系式；（2）要使，即成立，须且只须△ADB∽△EAC．由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC．又因∠ADB+∠BAD=∠ABC=，∠EAC+∠BAD=β-α，所以只=β-α，须即．试题解析：（l）在△ABC中，AB="AC" =1，∠BAC=300，∴∠ABC＝∠ACB=750，∴∠ABD＝∠ACE=1050，1分∵∠DAE=1050．∴∠DAB+∠CAE=750，又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750，∴∠CAE＝∠ADB∴△ADB∽△EAC∴即；（2）当α、β满足关系式时，函数关系式成立理由如下：要使，即成立，须且只须△ADB∽△EAC．由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC．又∠ADB+∠BAD=∠ABC=，∠EAC+∠BAD=β-α，所以只=β-α，须即．【考点】相似三角形的综合题．15.在函数（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2【答案】B．【解析】∵﹣k2﹣2＜0，∴函数图象位于二、四象限，∵（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，﹣2＜﹣1，∴y2＞y1＞0；又∵（，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故选B．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．16.（8分）如图，直线AC是一次函数y=2x+3的图象，直线BC是一次函数y=﹣2x﹣1的图象．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】(1)A（0，3），B（0，﹣1），C（﹣1，1）；(2)2.【解析】（1）在两个一次函数解析式中，令x=0，求得y的值，即可得到A和B的坐标，把两个一次函数的解析式组成的方程组，解方程组，方程组的解即为点C的坐标；（2）根据A和B的坐标求出AB的长，利用三角形面积公式即可求解．（3）试题解析：（1）在y=2x+3中，令x=0，解得：y=3，则A点的坐标为（0，3），同理，B点的坐标为（0，﹣1），∵解得．∴C点的坐标为（﹣1，1）；（2）∵AB=4，∴．【考点】一次函数与二元一次方程组.17.在平面直角坐标系中，直线y1=x+a和y2=﹣x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y1=x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y2=﹣x+b于点F．（1）若n=2，求△PEF的面积；（2）若PF=2，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）P（﹣，）或P（，）．【解析】(1)已知直线y1=+a和直线y2=﹣+b的交点为E（3，3），代入即可得a、b的值，点P（m，n）在直线y1=x+a上且n=2，即可求得m的值，所以可得点P的坐标，根据已知条件可得点F的坐标，根据三角形的面积公式即可得△PEF的面积；（2）已知点P在y1=x+2，点F在y2=，可设（m，），F（m，），根据PF=|（）﹣（）|=2即可得m的值，再求点P的坐标即可．试题解析：（1）解：∵直线y1=+a和直线y2=﹣+b的交点为E（3，3）∴3=×3+a，3=﹣×3+b，∴a=2，b=，得直线y1=和直线y2=，如图所示，又∵n=2，∴2=，m=0，∴P（0，2），过点P（0，2）作x轴的垂线，交y2=直线于点F，F（0，），∴PF=，∴，（2）解：由（1）知，点P在y1=x+2，点F在y2=，∵PF⊥x轴，可设P（m，），F（m，），∴PF=|（）﹣（）|=2，∴m=﹣或m=，∴P（﹣，）或P（，）．【考点】一次函数的综合题.18.如图，一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积．【答案】m=5，n=3；5.【解析】先把P（2，n）代入y=x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y=﹣x+m可计算出m的值；先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．试题解析：（1）把P（2，n）代入y=x得n=3，所以P点坐标为（2，3），把P（2，3）代入y=﹣x+m得﹣2+m=3，解得m=5，即m和n的值分别为5，3；（2）把x=0代入y=﹣x+5得y=5，所以B点坐标为（0，5），所以△POB的面积=×5×2=5．【考点】两条直线相交或平行问题；二元一次方程组的解．19.如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则▱ABCD的面积为（）A．3B．5C．7D．9【答案】B【解析】连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△OAE=1，S△OBE =，则S△OAB=，然后根据平行四边形的面积公式求解．连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，∵AB∥x轴，∴S△OAE =×|2|=1，S△OBE=×|﹣3|=，∴S△OAB=，∵四边形ABCD为平行四边形，∴▱ABCD的面积=2S△OAB=5．【考点】反比例函数系数k的几何意义20.要使y=（m－2）是关于x的一次函数，则m= ．【解析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m 的值．根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，=1，由=1，解得：m=0或2，又m﹣2≠0，m≠2，∴m=0．【考点】一次函数的定义21.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是．【答案】﹣1．【解析】∵点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，∴2m+1=n，即2m﹣n=﹣1．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．22.直线y=﹣x+3与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（）A．3B．6C．D．【答案】A【解析】根据一次函数图象上点的坐标特点，直线y=﹣x+3与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，3），故可求出三角形的面积．当x=0时，y=3，即与y轴交点是（0，3），当y=0时，x=2，即与x轴的交点是（2，0），所以与x轴、y轴所围成的三角形的面积为×2×3=3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征23.如图，一次函数y1=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=（x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．若OB=2，CF=6，．（1）求点A的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的表达式．【答案】（1）（－2,0）；（2）y=－x－2、y=－．【解析】利用，OE=CF=6，可计算出OA=2，于是得到A点坐标为（﹣2，0）；由于B 点坐标为（0，﹣2），则可利用待定系数法求出一次函数解析式为y1=﹣x﹣2，再利用一次函数解析式确定C点坐标为（﹣6，4），根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=﹣24，所以反比例函数解析式为y2=﹣．试题解析：（1）∵，而OE=CF=6，∴OA=2，∴A点坐标为（﹣2，0）；（2）B点坐标为（0，﹣2），把A（﹣2，0）B（0，﹣2）代入y1=mx+n得，解得：，∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣2；把x=﹣6代入y1=﹣x﹣2得y=6﹣2=4，∴C点坐标为（﹣6，4），∴k=﹣6×4=﹣24，∴反比例函数解析式为y2=﹣．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题24.已知点（a，1）在函数y=3x+4的图象上，则a= ．【答案】-1．【解析】把（a，1）代入y=3x+4得3a+4=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．25.直线y=x+3与x轴，y轴所围成的三角形的面积为．【答案】3．【解析】当x=0时，y=x+3=3，则直线与y轴的交点坐标为（0，3），当y=0时，x+3=0，解得x=﹣2，则直线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），所以直线y=x+3与x轴，y轴所围成的三角形的面积=×3×2=3．故答案为：3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．26.如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值．【答案】（1）（6，0）；（2）4．【解析】（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=3，然后解方程即可．试题解析：解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．【考点】两条直线相交或平行问题．27.均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（）．A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据图象可得水面高度开始增加的慢，后来增加的快，从而可判断容器下面粗，上面细，即B图形满足题意．故选：B．【考点】函数的图象．28.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是 .【答案】（2，0），（0，4）.【解析】令y=0，得x=2，令x=0，得y=4；所以，图象与x轴交点坐标是（2，0），图象与y轴交点坐标是（0，4）.【考点】一次函数图象上点的坐标特征.29.在直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形的面积为 .【答案】【解析】先求出直线与x轴，y轴的交点为（，0）（0，-2），根据面积公式计算即可得出三角形的面积【考点】一次函数30.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图．则a= ．【答案】15．【解析】由图象可得出：进水速度为：20÷4=5（升/分钟），出水速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升/分钟），（a﹣4）×（5﹣3.75）+20=（24﹣a）×3.75，解得：a=15．故答案为：15．【考点】一次函数的应用．31.将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为．【答案】y=3x+2．【解析】将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x﹣1+3，即y=3x+2．故答案为：y=3x+2．【考点】一次函数图象与几何变换．32.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？【答案】（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）方案一【解析】（1）根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可；（2）分别把x=5880，代入（1）中的函数求得数值，比较得出答案即可．试题解析：（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）当x=5880时，方案一：y=0.95x=5586（元），方案二：y=0.9x+300=5592（元），5586＜5592所以选择方案一更省钱．【考点】一次函数的应用．33.已知反比例函数y=（k≠0），当x＞0时，y随着x的增大而增大，试写出一个符合条件的整数k= ．【答案】﹣1（答案不唯一）．【解析】∵反比例函数y=（k≠0），当x＞0时，y随着x的增大而增大，∴k＜0，∴k可以为﹣1．故答案为：﹣1（答案不唯一）．【考点】反比例函数的性质．34.已知一次函数中，随着的增大而减小，则这个函数的图像不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A．【解析】已知一次函数y=kx-3，y随x的增大而减小可得k＜0，b=-3＜0，即可得此函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．故答案选A．【考点】一次函数的性质；一次函数的图象与系数的关系．35.（本题满分8分）已知一次函数（1）为何值时，随的增大而减小？（2）为何值时，它的图象经过原点？【答案】k＞4；k=－4【解析】对于一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，则k＞0；当图象经过原点，则b=0且k≠0．试题解析：（1）∵一次函数y=（4﹣k）x﹣2k2+32，y随x的增大而减小，∴4﹣k＜0 ∴k＞4；（2）∵一次函数y=（4﹣k）x﹣2k2+32，它的图象经过原点∴﹣2k2+32=0 解得：k=±4∵4﹣k≠0∴k=﹣4．【考点】一次函数的性质36.已知函数y=k x+b和y=k x+b图像如图所示，直线y与直线 y交于A点（0，3）（1）求函数y和y的函数关系式（2）求三角形ABC的面积（3）已知点D在x轴上，且满足三角形ACD是等腰三角形，直接写出D点坐标【答案】（1）y=—3x+3，y=—x+3；（2）3；（3）（0，0）（—3，0）（3—3，0）（3+3，0）【解析】（1）根据图像可知B、C点的坐标，代入函数解析式分别求出解析式；（2）根据图像可知三角形的底为BC，高为AO，然后由三角形的面积公式可求解；（3）由图像可知，当AC=CD1，AC=CD2，AC=CD3，AD4=CD4时，分别写出点的坐标.试题解析：【考点】由图像，根据勾股定理AC=，当AC=CD1时，D1为（-3，0）；当AC=CD2时，D2为（3+2）；当AC=CD3时，D3为（3-2）；当AD4=CD4时，D4为（0，0）.【考点】勾股定理，等腰三角形，一次函数的图像与性质37.若直线经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A．B．m＞0C．D．m＜0【答案】D．【解析】试题分析∵直线经过第二，三，四象限；∴m＜0，2m﹣1＜0，即m＜0．故选D．【考点】一次函数图象与系数的关系．38.已知A、B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/时的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/时的速度由起点B前往终点A．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），则下图中正确反映s与t之间函数关系的是【答案】A【解析】∵A、B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/时的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/时的速度由起点B前往终点A，∴两人同时出发，2小时两人就会相遇，甲6小时到达B地，乙3小时到达A地，故两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），则正确反映s与t之间函数关系的是A．故选：A．【考点】函数的图像．39.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行．乙车出发2h休息．与甲车相遇．继续行驶．设甲、乙两车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）写出甲车与B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（2）乙车休息的时间为；（3）写出休息前，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式；休息后，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式；（4）求行驶多长时间两车相距100km．【答案】（1）y=-80x+400；（2）0．5小时；（3）y=100x，y乙=80x；（4）x=1或x=3．125．【解析】（1）设甲车与B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可；（2）先把y=200代入甲的函数关系式中，可得x的值，再由图象可知乙车休息的时间；（3）根据待定系数法，可得休息前，休息后，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式；（4）分类讨论，0≤x≤2．5，y甲减y乙等于100千米，2．5≤x≤5时，y乙减y甲等于100千米即可．试题解析：（1）设甲车与B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y=kx+b，可得：，解得：．所以函数解析式为：y=-80x+400；（2）把y=200代入y=-80x+400中，可得：200=-80x+400，解得：x=2．5，所以乙车休息的时间为：2．5-2=0．5小时；（3）设休息前，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式为：y=kx，∴200=2k，∴k=100，∴休息前，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式为：y=100x，设休息后，乙车与B地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系式为：y乙=kx+b，y乙=kx+b图象过点（2．5，200），（5，400），得，解得，乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式y乙=80x；（4）设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式y乙=kx，图象过点（2，200），解得k=100，∴乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式y乙=100x，0≤x≤2．5，y甲减y乙等于100千米，即400-80x-100x=100，解得 x=1；2．5≤x≤5时，y乙减y甲等于100千米，即2．5≤x≤5时，80x-（-80x+400）=100，解得x=3．125，综上所述：x=1或x=3．125．【考点】一次函数的应用．40.如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时点B的坐为（）A．（-1，-1）B．（-2，-2）C．（-，-）D．（0，0）【答案】A．【解析】试题解析：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（-1，-1）．故选A．【考点】1．一次函数图象上点的坐标特征；2．垂线段最短．41.已知过点（-2，4）的直线（）不经过第三象限．设，则s的取值范围是．【答案】-4≤s﹤4．【解析】由题意得m＜0且n≥0，把（﹣2，4）代入y=mx+n得﹣2m+n=4，则n=2m+4，所以2m+4≥0，解得m≥﹣2，所以m的取值范围为﹣2≤m＜0，因为s=2m+n=2m+2m+4=4m+4，所以﹣4≤s＜4．故答案为：﹣4≤s＜4．【考点】一次函数图象与系数的关系．42.已知y-3与4x-2成正比例，且当x=1时，y=5.（1）求与的函数关系式；（2）求当时的函数值．【答案】（1）y=4x+1；（2）函数值-7．【解析】（1）由正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x=1时，y=5代入求出k的值；（2）把x=﹣2代入（1）中的解析式进行计算即可．试题解析：（1）设y﹣3=k（4x﹣2）（k≠0），把x=1，y=5代入，得：5﹣3=k（4×1﹣2），解得k=1，则y与x之间的函数关系式是y=4x+1；（2）由（1）知，y=4x+1．当x=﹣2时，y=4×（﹣2）+1=﹣7．即当x=﹣2时的函数值是7．【考点】待定系数法求一次函数解析式．43.一棵新栽的树苗高1米，若平均每年都长高5厘米．请写出树苗的高度y（cm）与时间x （年）之间的函数关系式：．【答案】y=5x+100．【解析】由题意得，树苗x年后长高5xcm，1米=100cm，所以树苗的高度y（cm）与时间x （年）之间的函数关系式是y=5x+100．【考点】列一次函数关系式．44.表示函数的方法一般有、、．【答案】列表法；关系式法；图象法．【解析】根据函数的定义，可得答案．表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法．故答案为：列表法、关系式法、图象法．【考点】函数的表示方法．45.已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为，自变量x的取值范围是．【答案】y=20-2x；5＜x＜10．【解析】试题解析：∵2x+y=20∴y=20-2x，即x＜10，∵两边之和大于第三边∴x＞5，综上可得5＜x＜10．【考点】根据实际问题列一次函数关系式．46.杨佳明周日骑车从家里出发，去图书馆看书，（1）若杨佳明骑车行驶的路程y（km）与时间t（min）的图象如图1所示，请说出线段AB所表示的实际意义：；若杨佳明在第30分钟时以来时的速度原路返回，请在图上补出她返回时行驶的路程y（km）与时间t（min）的图象；（2）在整个骑行过程中，若杨佳明离家的距离y（km）与时间t（min）的图象如图2所示，请说出线段AB所表示的实际意义：；若杨佳明在第30分钟时以来时的速度原路返回，请在图上补出她返回时离家的距离y（km）与时间t（min）的图象；（3）在整个骑行过程中，若杨佳明骑车的速度y（km/min）与时间t（min）的图象如图3所示，那么当她离家最远时，时间是在第分钟，并求出她在骑行30分钟时的路程是．【答案】（1）杨佳明在图书馆看书的时间为20min；（2）杨佳明在图书馆看书的时间为20min；（3）20-30；2km．【解析】（1）根据图中提供的信息路程不变，时间为30-20=10分钟，即可得到答案；（2）根据图中提供的信息路程不变，时间为30-20=10分钟，即可得到答案；（3）根据图中提供的信息即可得到结论．试题解析：（1）如图1，线段AB所表示的实际意义：杨佳明在图书馆看书的时间为20min，（2）如图2，线段AB所表示的实际意义：杨佳明在图书馆看书的时间为20min，（3）当她离家最远时，时间是在第20-30分钟，并求出她在骑行30分钟时的路程是2km．【考点】一次函数的应用．47.直线y=－x＋1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【答案】B．【解析】试题解析：由于k=-1＜0，b=1＞0，故函数过一、二、四象限，故选B．【考点】一次函数图象与系数的关系．48.如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．【答案】（﹣，﹣）．【解析】试题解析：先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短，∵点B在直线y=x上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形，过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，∴△B′CO为等腰直角三角形，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OC=CB′=OA=×1=，∴B′坐标为（﹣，﹣），即当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【考点】一次函数综合题．49.（2015秋•常熟市校级月考）如图是某汽车行驶的路程s（km）与时间t（m/n）的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是 km/min；（2）汽车在中途停了 min；（3）当16≤t≤30时，s与t的函数关系式：．【答案】（1）km/min；（2）7min．（3），7，S=2t﹣20．【解析】（1）根据速度=路程÷时间，列式计算即可得解；（2）根据停车时路程没有变化列式计算即可；（3）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：（1）平均速度==km/min；（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t=16﹣9=7min．（3）设函数关系式为S=kt+b，将（16，12），C（30，40）代入得，，解得．所以，当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式为S=2t﹣20，故答案为：，7，S=2t﹣20．【考点】一次函数的应用．50.若有一条直线与直线y=2x平行，且过点A（-1,2），则该直线解析式为_____________．【答案】y=2x+4【解析】根据两直线平行，可知k=2，设该直线的解析式为y=2x+b，把A（-1,2）代入可得2×（-1）+b=2，解得b=4，因此可得该一次函数的解析式为y=2x+4．【考点】一次函数的解析式51.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（2，0），其中a、b满足DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO,直线AE交x轴于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AE的解析式；（3）若以AB为一边在第二象限内构造等腰直角三角形△ABF，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）A（0，3）,B（-1，0）；（2）AE:y=-x+3；（3）（-3,4）（-4,1）（-2,2）。