21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取
0()1u t =,
01000(,)()()(,)
t u u t t u t u u =-
1111
1111t dt t t dt
--⋅=-
=⋅⎰⎰
;
2
2
2
102101100(,)(,)()()()(,)
(,)
t u t u u t t u t u t u u u u =-
-
112
2
2
111
1
1
1
1111t tdt
t dt t t t tdt
dt
----⋅⋅=-
-⋅⋅⎰
⎰
⎰
⎰
2
13
t =-
;
L L
再单位化可得
000()()||||
u t e t u =
=
=
;
111()()||||
2
u t e t u =
=
=
;
2
22221()1()||||
43t u t e t t u -
⎫
=
=
=
-⎪⎝⎭
; L L .
解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式:
2
1,0,
()(1),1,2,.
k k k
k
k u t d t k dt
=⎧⎪
=⎨-=⎪⎩L
我们断言{}0()k k u t ∞
=是2
([1,1])L -中由2
3
1,,,,t t t L 直交
化所得到的直交函数列。
首先我们断言{}0()k k u t ∞
=是直交的. 事实上, 不失一
般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有
1
001((),())2u t u t dt -=
=⎰;
而对于1,2,l =L
1
201
((),())(1)l l
l l
d
u t u t t dt dt
-=
-⎰
1
12
1
1
(1)
0l l
l d t dt
---=
-=.
(ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到
1
221
((),())(1)(1)k l k
l
k l k
l
d
d u t u t t t dt dt
dt
-=
-⋅
-⎰
1
12
21
1
(1)(1)k l k
l
k
l d
d
t d
t dt
dt
---=
-⋅-⎰
1
1221
1
(1)
(1)
l k l
k l k
d d t t dt
dt
---=--
1
1221
1
(1)(1)l k l
k
l k
d
d t d
t dt
dt -----⋅-⎰
1
222
222
2
1
(1)
(1)(1)l k l
k
l k d
d
t t dt dt
dt
-+-+-=--⋅
-⎰
=L
1
221
(1)
(1)(1)k l l
l
k
k l
d t t dt dt
++-=--⋅
-⎰
， (*)
当l k =时，
2222(1)(1)(2)!k l k k
k
k l
k
d d t t k dt
dt
++-=
-=，
因此
((),())((),())k l k k u t u t u t u t =
12
1
(1)
(1)(2)!k
k
t
k dt -=--⋅⎰
1
20
(1)2(2)!(1)k k
k t dt =--⎰
/2
20
2(2)!
(1sin )sin k
k s d s π=-⎰
/2
21
2(2)!
cos
k k sds π+=⎰
2
(2)!![(2)!!]2(2)!
2
(21)!!
21
k k k k k ==++;
而对于1,2,l k k =++L , 由(*)式容易得到
1
2
21
((),())(1)
(1)(1)0k l l
l
k
k l k l
d u t u t t
t dt dt
++-=--⋅
-=⎰.
由此得到{}0()k k u t ∞
=的直交性. 既然每一个()k u t 都是t 的多项式，当然可以视为由23
1,,,,t t t L 直交化所得到的直交函数列。
再将{}0()k k u t ∞
=单位化, 可以得到正交函数列
: 2
0,
2
()1),
1,2,.
k k
k e t t k ⎧=⎪⎪
=-=L
容易验证
1
1
1,
,(,)()()0,.
k l k
l k l e e e t e t dt k l -=⎧=
⋅=⎨≠⎩⎰
注. Legendre 正交多项式{}0()k k u t ∞
=是一类特殊函数,满足下列的常微分方程:
2
(1)2(1)0t u tu k k u '''--++=.
