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置信域和T2置信区间的关系
PaX
T
(aSa)
1 2
n
a
aX
T
(aSa)
1 2
n
, a
0 1
ห้องสมุดไป่ตู้ P
(X
)
S n
1
( X
)
T2
1
置信域和T2置信区间的关系（续）
2
1
2
2
1
1
p 2 时的情形
的k 个线性组合 a1，a2 ，，ak 的10（0 1）%
Bonferroni 联合置信区间为：
1 0.95
n
K=p
2
4 10
15
0.88 0.69 0.29
25
0.90 0.75 0.48
50
0.91 0.78 0.58
100
0.91 0.80 0.62
0.91 0.81 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
的单一置信区间： i
X
t
S1 2
(n 1) ii
X
t
S1 2
(n 1) ii
i
2
n
i
i
2
n
i 的T 2 联合置信区间为：
S n
1
(X
0
)
给定显著性水平 ，当T 2 T2时，
拒绝原假设H . 0
其中：X
1 n
n i 1
Xi
（样本均值）
S
1 n1
n i 1
(Xi
X )( X i
X )（样本协方差）
或检验统计量
F n p T 2 p(n 1)
当F
F ( p, n
p )时，拒绝 H 0
注：
T2
p(n 1) n p F ( p, n
检验统计量 :
t
x
0
sn
给定显著性水平 ，当 | t | t (n 1)时，
2
拒绝原假设H0 .
或检验统计量为
F
t2
x s
0
n
2
(x
0
)
s2 n
1
(x
) 0
给定显著性水平 ，当F F (1, n 1)时，
拒绝原假设H . 0
注：F
(1,
n
1)
t2
(n
1)
2
单个多元正态总体均值的检验
的随机样本，检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2已知
检验统计量 : U x 0 n
给定显著性水平，当 | U | u 时，
2
拒绝原假设H0 .
(2) 2 未知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
的随机样本，检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2未知
(1) 已知时
设X1
,
X
2
,,
X
为取自于
n
p维正态总体
N p ( , )的随机样本，检验假设 :
H0 : 0 , H1 : 0 已知
1
其中：
2
,
p
10
0
20
p0
马氏距离 的n倍
检验统计量
T0 2
(X
0
)
1
n
(X
0 )
给定显著性水平，当T02 2 (p)时，
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
,i 1,2,, p 1
的 p 个分量 1，2，， p 的100（1 ）%
T 2 联合置信区间为：
1
1
Xi
T
S2 ii n
i
Xi
T
S2 ii n
i 1,2,, p
其中，X 是均值向量X的第i个分量， i
S 是协方差矩阵S第i个对角线上的元素。 ii
a aX
T
(aSa)
1 2
n
P aX
T
1
(aSa)2 n
a
aX
T
1
(aSa)2 n
, a 0
1
的 p 个线性组合 a1，a2 ，，ap 的10（0 1）%
T 2 联合置信区间为：
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
i 1,2,, p
PaiX
p)
例题：
设一个容量为n 3的随机样本取自二维正 态总体， 其样本数据为
n
123
x1
6 10 8
x2
963
试对0 (9,5)计算T2的值。
多元正态总体均值的置信域
设X
1
,
X
2
,,
X
为取自于正态总体
n
N
p
(
,
)的随机样本，
则
F n p T2 p(n 1)
n p
(X
)
S
1
( X
)
~
F(
p, n
xx tt2((nn11))
2
ss nn
xx
tt 2
((nn
11))
2
ss nn
多元正态总体均值的T2置信区间
设X1, X 2 ,, X n为取自于正态总体N p (, ) 的随机样本， 未知，则的所有线性组合
a(a为任一非零常数向量)的10（ 0 1 ）%
置信区间为：
aX
(
aSa
)
1 2
T n
拒绝原假设H0 .
其中：X
1 n
n i 1
Xi
（样本均值）
(2) 未知时
设X1, X 2 ,, X n为取自于p维正态总体
N p (, )的随机样本，检验假设 : H0 : 0 , H1 : 0 未知
1
其中：
2
,
p
10
0
20
p0
检验统计量
T
2
(X
0
)
i 1,2,, p
如果仅考虑 的k 个线性组合，
且k较小时一般选择Bonferroni
联合置信区间作为 的区间估
计，为什么？
因为，当k较小时，t (n 1) T于是，在置信度相同 2k
的情况下，Bonferroni置信区间比T 2置信区间更短。
表2.1 Bonferroni区间宽度 T 2区间宽度
第二章 多元正态分布参数的检验
§2.1 单个正态总体均值的检验及置信区间 §2.2 两个正态总体均值的成组比较 §2.3 两个正态总体均值的成对比较
§2.1 单个正态总体均值的检 验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾
(1) 2 已知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
T2
置信域和T2置信区间的关系（续）
2
1
p 2 时的情形
一元正态总体均值的置信区间
设 x ,设x ,x1, x, x2 ,为,取xn自为于取正自态于总正体态总体
12
n
NN((,, 22))的的随随机机样样本本，，2未2未知知, 则, 则
的的1100（0（ 011））%%置置信信区区间间为为：：
p)
p(n 1)
n
PF F ( p, n p) 1 即
P( X
) S 1 ( X
n
)
p(n 1) n p
F
(
p,
n
p) 1
或：P
(
X
)
S n
1
( X
)
T2
1
于是， 的100（1 ）%置信域是一椭球，它由 满足
下式的的集合所构成：
(X
)
S n
1
( X
)
aiX
t
(n
1)
(aiSai
1
)2
2k
n
ai
aiX
t
(n
1)
(aiSai
)
1 2
2k
n
i 1,2,, k
特别地， 的 p 个分量 1，2，， p 的10（0 1）%Bonferroni 联合置信区间为：
1
1
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
i
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
