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排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
高中数学公式大全排列组合与二项式定理高中数学公式大全：排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式，它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
本文将为您详细介绍排列组合与二项式定理的相关内容。
一、排列组合排列和组合是排列组合问题中最基础的概念。
排列表示从一组元素中选取若干元素按照一定顺序排列的方式，而组合则表示从一组元素中选取若干元素，顺序不考虑。
下面是排列组合中常见的公式：1. 排列公式：排列公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列的数量表示为 P(n,m)，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n! 表示 n 的阶乘。
2. 组合公式：组合公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，顺序不考虑的方式。
组合的数量表示为 C(n,m)，计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是高中数学中另一个重要的公式，它表示了任意实数a、b 和正整数 n 的 n 次幂展开后，各项的系数。
二项式定理为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,m) 表示组合数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的方式数。
三、应用举例1. 排列组合的应用：在一群人中选出特定的几个人组成小组，或者在一串数字中找出满足某种条件的特定数字。
排列组合在组合数学、概率论等领域有广泛的应用。
2. 二项式定理的应用：在数学展开、概率计算、代数运算等方面常常用到二项式定理。
它在概率论中常用于计算二项分布的概率，也可以用于计算方程式的展开。
总结：排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式。
它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
高中数学排列组合及二项式定理知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：完成某事有多种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：完成某事必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而每个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。
2）排列数、组合数：排列数的公式：Ann(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=n。
注意：①全排列：Ann。
②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①AnnAn-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两步完成：第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）②AnmAn-1An-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，分两类完成：第一类：m个元素中含有a，分两步完成：第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。
第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上）即有mAn-1种不同的方法。
第二类：m个元素中不含有a，从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上，有An-1种方法。
组合数的公式：Cmnmm!(n-m)!/m!组合数的性质：CnCn从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说。
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：(a b)n展开式的二项式系数是C n0， C n1， C n2，,， C n n． C n r可以看成以r为自变量的函数 f ( r ) ，定义域是{0,1, 2, , n} ，（ 1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n m C n n m）．（ 2）增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项n n 1n1C n2取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n2， C n2取得最大值．（ 3）各二项式系数和：∵(1x)n 1 C n1 x C n r x r x n，令 x 1，则2n C n0C n1C n2C n r C n n【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（ 2）43（3）43二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（ 4）A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种（ 5） 3 位男生和3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B. 188C.216D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A 22A 24 A 22 =432 种高☆考♂资♀源 ?网☆其中男生甲站两端的有 A 12C32 A 22A 23 A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .（ 6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为A5种，再用甲乙去插 6 个空位有A2种，不同的排法种数是A5 A23600 种5656（ 7）书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A 18A 19 =504（8）马路上有编号为 1， 2，3, ， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯C53种方法 , 所以满足条件的关灯方案有10 种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
2007年高考数学试题分类详解排列组合二项式定理1、（全国1理10）21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6解．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
2、（全国1文5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 解．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496C C C ⋅⋅=种，选C 。
3、（全国2理10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种解．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360C A =种，选B 。
4、（全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种解．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D 。
5、（北京文5）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C个Ｄ．242610A 个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，选A 。
6、（北京理5）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 解析：5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B 。
7、（江苏7）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ）A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：33)]2(2[-+=x x 62232==C a 选B8、（福建理9）把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112lim--∞→nn n a a 等于A41 B 21C 1D 2 解析：令x=1得a n =1+2+22+ (2)=12212111-=--++n n ，222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n n n n a a ，选D9、(福建文12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C 10、（湖南文5）在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .11 【答案】C【解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=1011、（江西理4）已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6，选C12、（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．2解析：令2x +=1，右边为01211a a a a ++++ ；左边把1x =-代入299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴++++=- 选A.13、（湖北理1文3）如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10答案：选Ｂ解析：由展开式通项有()21323rn rr r nT Cx x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n rn C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒==- ，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ14、(浙江文6)91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84 【答案】：C【分析】：设常数项为第1r +项，则()9993922111rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令93022r-=，则3r =，故常数项是第四项且484T =-； 15、（重庆理4）若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A.10B.20C.30D.120【答案】：B【分析】：662166264 6..nr rr r rr n T C xx C x ---+=⇒=⇒=⋅=346620320.r r T C ⇒-=⇒=∴== 16、（重庆文4）（2x -1）6展开式中x 2的系数为（A ）15 （B ）60 （C ）120（D ）240【答案】：B【分析】：66242236(21)(12)(1)(2)60.x x T C x x -=-+⇒=-⋅=17、（辽宁文12）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．48解析：分两步：（1）先排531,,a a a ，1a =2，有2种；1a =3有2种；1a =4有1种，共有5种；（2）再排642,,a a a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B 18、（四川理10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 解析：选B ．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有341496A ⨯⨯=个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有3423144A ⨯⨯=个；故共有96144240+=个． 19、（四川文9）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）48个 （B ）36个 （C ）24个 （D ）18个 解析：选Ｂ．个位是2的有33318A =个，个位是4的有33318A =个，所以共有36个．二、填空题 1、（全国1理13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。
（用数字作答） 解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336C A ⋅=⨯⨯=种。
2、（广东理12）如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)____f =；f(n)=______(答案用数字或n 的解析式表示) 答案：(1)2n n +;8;n(n-2)。
解析：(1)2n n +;(4)428f =⨯=;()(2)f n n n =⋅- 3、（天津理11） 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答) 【答案】2【分析】()621123166()rrrr r r r T C x ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 4、（天津理16） 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答).【标准答案】390【分析】 用2色涂格子有26230C ⨯=种方法，用3色涂格子有()3263382360C C ⨯-⨯=种方法，故总共有390种方法.5（天津文12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．解.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：9293199r r r r r r T C x x C x ---+==,令930r -=得3r =,故有:3984C =6、（天津文16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．解.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为:226230C A = 种,第二类是用三种颜色则为:22116242240C A C C =种, 第三类是用四种颜色则为:4464360C A =种,故共计为630种.7、（全国2 理13）（1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为 。
（用数字作答）解．(1+2x 2)(x －1x)8的展开式中常数项为4338812(1)C C ⋅+⋅⋅-=－42。
8、（全国2文16）821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）解．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为281257C +⋅=． 9、(安徽文12)已知45235012345(1)xa ax a x a x a x a x-=+++++,则())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 . 解析：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,∴024135()16a a a a a a ++=-++= 则())(531420a a a a a a ++++=－256 10、(安徽理12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .解析：若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，31(2)n rn rrr n T C x --+=⋅为常数项，即732rn -=0，当n =7，r =6时成立，最小的正整数n 等于7. 11、（12江苏）某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。
