初二数学 菱形专项训练(附答案)资料

八年级数学（下）第十八章《菱形》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．菱形的两条对角线的分别为60 cm和80 cm，那么边长是A．60 cm B．50 cm C．40 cm D．80 cm【答案】B【解析】如图，∵菱形的两条对角线的长是60 cm和80 cm，∴OA=12×80=40 cm，OB=12×60=30 cm，又∵菱形的对角线AC⊥BD，∴AB=223040=50 cm，∴这个菱形的边长是50 cm．故选B．2．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是A．AB=CD B．AB=BC C．AD=BC D．AC=BD【答案】B3．菱形具有而矩形不具有的性质是A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线平分且相等【答案】C【解析】A．菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；B．菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；C．菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；D．菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH 的长等于A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A5．如图，四边形ABCD加上以下条件中的哪个，我们可认为它是菱形A．AC⊥BD B．∠1=∠2，∠3=∠4C．AO=CO，BO=DO D．AB=BC=CD=DA【答案】D【解析】若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是菱形．故选D．6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是A．13B．36 C．13D．60【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD，∴OB=222276AB OA-=-=13，∴BD=213，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×12×213=1213．故选A．7．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°【答案】A【解析】如图，连接AC，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC．又∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°，∠FAC=12∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°．故选A．8．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF ≌△EFA．其中正确结论的序号是A．②④B．①③C．②③④D．①③④【答案】D【解析】∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为__________．（只写出符合要求的一个即可）【答案】AB=BC10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是__________．【答案】（-5，4）【解析】由题知A（3，0），B（-2，0），D在y轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，由菱形邻边相等可得AD=AB=5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=2222-=-=4，53AD OA 由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．故答案为：（-5，4）．11．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=__________．【答案】20°12．如图，ABCD 是菱形，AC 是对角线，点E 是AB 的中点，过点E 作对角线AC 的垂线，垂足为点M ，交AD 边于点F ，连接DM ．若∠BAD =120°，AE =2，则DM =__________．【答案】13【解析】如图，过M 作MN ⊥AD 于N ，∵四边形ABCD 是菱形，∴111206022DAC BAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∵EF ⊥AC ，∴AE =AF =2，∠AFM =30°，∴AM =1，Rt △AMN 中，∠AMN =30°，∴132AN MN ==，， ∵AD =AB =2AE =4，∴17422DN =-=，由勾股定理得： 222273()()1322DM DN MN =+=+=13三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，AC 平分∠DAB ，作CE 垂直AC 交AB 的延长线于点E ，若AB =BE ，求证：四边形ABCD 是菱形．∴∠DAC=∠CAB=∠ACB，∴AD∥BC．∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．14．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE∥BC，且CE=CD．（1）求证：∠B=∠DEC；（2）求证：四边形ADCE是菱形．【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=DB，∴∠B=∠DCB，∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∴∠B=∠CED．（2）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠DEC，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥EC，∵EC=CD=AD，∴四边形ADCE是菱形．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF．（1）判断四边形ABEF的形状并证明；（2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积．∴BE=AB，又∵AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF=AB，∴四边形ABEF是菱形．（2）∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=12FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，22534AO=-=，∴AE=2AO=8．∴四边形ABEF的面积为：116824 22BF AE⋅=⨯⨯=．综上所述，AE=8，四边形ABEF的面积是24．16．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=23时，求EA的长．（2）∵Rt△AOD中，∠ADO=60°，∴∠OAD=30°，∴OD=12AD3∴AO22AD OD-，∴AC=6，∵四边形ODEC是矩形，∴EC=OD3ACE=90°，∴AE22AC CE+39。

八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！数学人教版8年级下册期末复习真题汇编卷菱形一、单选题1．（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边BC AD 、上，将边AB 沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠、点D 恰好落在AC 上的点N 处，若四边形AECF 是菱形，则BAE Ð的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ^于H ，则DH 等于（）A ．125B ．65C ．5D ．2453．（2023春·江苏·八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线BD 长度为4，边长AB =M 为菱形外一个动点，满足BM DM ^，N 为MD 中点，连接CN ．则当M 运动的过程中，CN 长度的最大值为（）A．1B．12+C．1D．2 4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（）A．1B．20C．3D．4 5．（2023秋·重庆·九年级校考期末）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE BC^，交BC于点E，若4AC=，6BD=，则BE的长度是（）A B C．1310D．756．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角7．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE AC∥，DF AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD BC^，则四边形AEDF是矩形B ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形C ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形D ．若AD 平分BAC Ð，则四边形AEDF 是菱形8．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 的交点与原点重合，顶点,A C 在x 轴上，,B D 在y 轴上，且()3,0C ，()0,4D ，若一只瓢虫从点A 出发以5个单位长度/秒的速度沿着A B C D A ®®®®循环爬行，则第2023秒瓢虫的位置在（）A ．()0,4B ．()3,0-C ．()0,4-D ．()3,09．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm ，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A ．12cm ，16cmB ．6cm ，8cmC ．3cm ，4cmD ．24cm ，32cm10．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若添加一个条件，使得ABCD Y 一定为菱形，该条件是（）A ．90ABC Ð=°B ．AC BD =C ．AC BD ^D ．ABD CDBÐ=Ð11．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．若6AC =，8BD =，AE BC ^，垂足为E ，则AE 的长为（）A ．12B ．14C ．245D ．48512．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且68AC DB ==，，AE BC ^于点E ，则AE =（）A ．6B ．8C ．245D ．48513．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +则PE 的最小值为（）A ．2BC ．1D ．0.514．（2023秋·四川巴中·九年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的周长为两条对角线AC 、BD 的和为8，则菱形ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．D ．15．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC Ð=°，2BC AB =．下列结论：①·ABCD S AB AC =；②4AD OE =；③EF AC ^；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若2EF =，3BD =，则菱形ABCD 的面积为________.17．（2019春·山东德州·八年级校联考期末）菱形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，则菱形的边长为____________．18．（2021春·北京东城·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC Ð=°，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为___________．19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，60A Ð=°，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB AD 、交于点E 、F ．当点M 在BC 上时，DF 长的最大值为__________．20．（2021春·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD BD 、的中点，若2EF =，则BC 长为________．21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知，菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在菱形ABCD 的边上，且与顶点不重合，若OE OB =，则EOA Ð的度数为__________．22．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）菱形ABCD 的周长为32cm ，一条对角线长为12cm ，则另一条对角线的长为________cm ．23．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，2410AC BD ==，，则菱形ABCD 的周长为___________．24．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），PE OA ^于点E ，PF OB^于点F ，若2,60AB BAD =Ð=°，则EF 的最小值为_______．25．（2023秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）面积为224cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的周长是_________cm ．26．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）点E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若要使四边形EFGH 是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①90A Ð=°，②AB BC ^，③AC BD =，④AC BD ^．（请填写正确的序号）27．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，分别以点C 、E 为圆心，大于12CE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AD 的延长线于点F ，60CBE Ð=°，4BC =，则BF 的长为______．28．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，AOB 与COD △关于公共顶点O 成中心对称，连接AD ，BC ，添加一个条件____，使四边形ABCD 为菱形．29．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，菱形的边长ABCD 为10cm ，其中对角线AC 的长为16cm ，则菱形ABCD 的面积为_________2cm ．30．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，^于点E，则AE的长为___________．BD的长分别为6，8，过点A作AE CD三、解答题31．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD ，．上一点，连接AE CE(1)求证：AE CE=；(2)若AE DE AE AB，，求ABD=^Ð的度数．32．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、∥交BE的延长线于H，连接CH与BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH BCDH．(1)求证：BCE HOE△≌△；(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．33．（2018·浙江金华·八年级校联考期末）我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．(1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．(2)如图1，B，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，已知四边形EFGH是菱形，求证：四边形ABCD是和美四边形；(3)如图2，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于O，60Ð=°，AOBE、F分别是AD、BC的中点，求EF与AC之间的数量关系．34．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，在Rt ABCÐ=°，过△中，90ACB点C的直线∥MN AB，D为AB边上一点、过点D作DE BC^，交直线MN于E，垂足为F，连接CD BE、．(1)求证：CE AD=；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；S的面积．(3)在（2）的条件下，已知304ECB AC，，求三角形BECÐ=°=35．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE AB^于点F．^于点E，交AC于点P，BF DC(1)四边形DEBF 是；(2)若2,4BE BF ==，求DP 的长．36．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB Ð=°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作CE ∥AB ，过点B 作BE ∥CD ，CE ，BE 交于点E ．(1)判断四边形CDBE 是什么特殊的四边形，并证明；(2)直接写出当ABC 再满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．37．（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE CD ^于点E ，点F 在边AB 上，AF CE =，求证：四边形BFDE 是矩形．38．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD 中，AO 平分BAC Ð，OB OC =，延长DC 与AO 交于点P ，连接BP ．(1)求证：CD CP =；(2)判断四边形ABPC的形状，并证明你的结论．39．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在ABCDY中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE BF=，连接AE，AF，CF，CE．(1)求证：四边形AFCE为平行四边形；(2)若AC平分EAFOA=，求四边形AFCE的周长．Ð，60AECÐ=°，4参考答案1．A2．D3．A4．C5．B6．A7．D8．A9．A10．C11．C12．C13．D14．A15．A16．617．518．19．6-/-620．421．30°或150°22．23．522425．2026．①②③27．28．AD AB =（答案不唯一）29．9630．24531．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ABD CBD =Ð=Ð，，在ABE 和CBE △中，AB BCABD CBD BE BE=ìïÐ=Ðíï=î，∴()@△△SAS ABE CBE ，∴AE CE =．（2）解：∵AB AD =，∴ABD ADB Ð=Ð，∵AE DE =，∴EAD ADB ABD Ð=Ð=Ð，∵AE AB ^，∴90BAE Ð=°，∵180ABD ADB DAE BAE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴390ABD Ð=°，∴30ABD Ð=°．32．（1）证明：∵OH BC ∥，∴BCE HOE Ð=Ð，∵E 是OC 的中点，∴CE OE =，在BCE 和HOE 中，BCE HOECE OE BEC HEOÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BCE HOE △≌△；（2）解：当四边形ABCD 是矩形时，四边形OCHD 为菱形，理由如下：由（1）可知，BCE HOE △≌△，∴BE HE =，∵CE OE =，∴四边形BCHO 是平行四边形，∴CH OB =，CH OB ∥，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD =，∴CH OD =，OC OD =，∴四边形OCHD 是平行四边形，又∵OC OD =，∴平行四边形OCHD 是菱形．33．（1）解： 矩形的对角线相等，\矩形是和美四边形；（2）如图1，连接AC 、BD ，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH BD FG \==，12EF AC HG ==， 四边形EFGH 是菱形，EH EF FG GH \===，AC BD \=，\四边形ABCD 是和美四边形；（3）12EF AC =，证明：如图2，连接BE 并延长至M ，使BE EM =，连接DM 、AM 、CM ，AE ED = ，\四边形MABD 是平行四边形，BD AM \=，BD AM ∥，60MAC AOB \Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是和美四边形，∴AC BD =，∴AM AC =，AMC \是等边三角形，CM AC \=，BMC △中，BE EM = ，BF FC =，1122EF CM AC \==．34．（1）证明：由题意知90DFB ACB Ð=Ð=°，∴∥DE AC ，∵AD CE ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE AD =；（2）解：四边形BECD 是菱形；理由如下：∵在Rt ABC △中，D 在AB 中点，∴CD AD DB ==，∴BCD △是等腰三角形，∵DF BC ^，∴BF CF =，∴F 为BC 中点，∴DF 是ABC 的中位线，∴12DF AC =，∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴12DF DE =，∴DF EF =，∵BF CF =，DF EF =，DE BC ^，∴四边形BECD 是菱形；（3）解：∵30ECB Ð=°，∴30CBA Ð=°，∵4AC =，∴8AB =，4BD =，2EF DF ==，在Rt BDF △中，由勾股定理得BF ==，∴2BC BF ==，∴12BEC SBC EF =´´=∴BEC S 为35．（1）∵,DE AB BF DC ^^，∴90DEB BFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ，∴180DEB EDF Ð+Ð=°，∴90EDF DEB BFD Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DEBF 是矩形，故答案为：矩形；（2）如图，连接PB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由（1）知，四边形DEBF 是矩形，∴4DE FB ==，设PD BP x ==，则4PE x =-，在Rt PEB △中，由勾股定理得：222(4)2x x -+=，解得：52x =，∴52DP =．36．（1）解：四边形CDBE 是菱形，证明：BE ∥CD ，CE ∥AB ，\四边形BDCE 是平行四边形．90ACB Ð=° ，CD 是AB 边上的中线，CD BD \=，\平行四边形BDCE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形；理由如下：90ACB Ð=° ，当ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，CD AB \^，90CDB \Ð=°，\四边形BECD 是正方形．37．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AB CD =．∵AF CE =，∴AB AF CD CE -=-，∴FB ED =．∴四边形BFDE 是平行四边形．∵BE CD ^，∴90BED Ð=°．∴四边形BFDE 是矩形．38．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB DC ，∴BAO CPO Ð=Ð，在ABO 和PCO △中，BAO CPO BOA COP OB OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ABO PCO ≌△△，∴AB CP =，又∵AB CD =，∴CD CP =；（2）由（1）知()AAS ABO PCO ≌△△∴BAO CPO Ð=Ð，∴AB CP ∥，∵AO 平分BAC Ð，∴BAO CAO Ð=Ð，∴CAO CPO Ð=Ð，∴CA CP =，∵AB CP ∥，AB CP =，∴四边形ABPC 是平行四边形，∵AC CP =，∴四边形ABPC 是菱形．39．（1）证明： 四边形ABCD 为平行四边形，OA OC \=，OB OD =，又DE BF = ，OB BF OD DE \+=+，即：OF OE =，\四边形AFCE 为平行四边形；（2）解： 四边形AFCE 是平行四边形，AF CE \∥，AF CE =，AE CF =，FAC ACE \Ð=Ð，AC 平分EAF Ð，FAC CAE \Ð=Ð，ACE CAE \Ð=Ð，AE CE \=，\四边形AFCE 是菱形，AC EF \^，AF CF EC AE ===，又60AEC Ð=° ，30AEO \Ð=°，28AF CF EC AE OA \=====，\四边形AFCE 的周长为：4832´=．。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是　120　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为　52cm　，面积为　120cm2　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为　20°　．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为　6.5　．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。

菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。

菱形班级：________ 姓名：________一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cmD．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠EAF等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°图1 图2 4．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．25．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm，则另一条对角线的长是（）A．4cm B．3cm C．2cmD．23cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”）1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（）2．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（）3．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（）4．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（）三、填空题1AD，则四1．如图3，菱形ABCD中，AC、BD相交于O，若OD=2个内角为________．图3 图4 2．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图4，其他三边长为________；周长为________．1∠BAC，则菱3．菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=2形的四个内角的度数为____________．4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，则它的一组对边的距离等于__________cm，它的面积等于________cm2．5．菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm，BD=________ cm．图5 图6四、已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．五、已知ABCD中，如图7，BE平分∠ABC交AD于E，若CE平分∠DCB，且AB=2，求：ABCD的其余边长．图7参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．C二、1．×2．×3．×4．√三、1．60°，120°，60°，120°2．分别为a4a2424 5．10 103 3．60°，120°，60°，120°4．5四、证明：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF为平行四边形∠2=∠3又∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴DE=EC∴DECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）五、解：过E作EF∥AB交BC于F∵ABCD，∴AD∥BC∴ABFE是平行四边形∴EF=AB，∠1=∠3又∵∠2=∠1，∴∠2=∠3∴BF=FE，同理：EF=FC∴F为BC的中点．又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90°1BC=AB∴∠BEC=90°，∴EF=2∴AB=CD=2，AD=BC=2AB=4答题方法：试卷检查五法重视答案,要对结果负责不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。

八年级数学《菱形》练习题随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为 ， ， ， .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4．已知在菱形ABCD 中，E ，F 是BC ，CD 上的点，且AE ＝EF ＝AF ＝AB ，则∠B= .5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .7．已知菱形ABCD 中AE ⊥BC ，垂足E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为 .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为 形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且对角相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ）A ．相等B ．互相垂直且不平分C ．互相平分且不垂直D ．垂直且平分3．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2 B ．94cm 2 C ．92cm 2 D ．90cm 24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等6．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。

学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°， 过A 作AE ⊥BC 于E ， ∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ． （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形． 答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】 一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a +，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线， 有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高． 又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ，∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米． 由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10； 7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°， 又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形． 证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形． 证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ， ∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ， 又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．。

§18.2.2.1菱形的性质一、知识导航1.菱形的定义：有一组邻边相等的四边形叫做菱形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可；（2）菱形的定义既是它的性质，也是它的判定方法；（3）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.2.菱形的性质类别性质符号语言图形边菱形的四条边都相等 四边形ABCD是菱形AB BC CD DA ∴===对角线菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角四边形ABCD是菱形,,,AC BD OA OC OB OD∴⊥==,ABD CBD ADB CDB∠=∠=∠=∠BAC DAC BCA DCA∠=∠=∠=∠对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（即对角线所在的直线）3.菱形面积计算（1）平行四边形的面积公式：底×高（2）两条对角线长的积的一半二、重难点突破重点1利用菱形的性质求线段长度例1.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24【答案】C【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.【详解】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，，∴菱形的周长为：4×5=20，故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．变式1-1如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE 的长等于（）A ．2B ．3.5C ．7D ．14【答案】B 【分析】由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 14=⨯28=7，且O 为BD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 12=AB =3.5．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键．变式1-2如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A ．125B ．185C ．4D ．245【答案】D【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高DE 即可．【详解】记AC 与BD 的交点为O ，菱形ABCD ,6,AC =,3,,AC BD OA OC OB OD ∴⊥===5,AB = 22534,8,OB BD ∴=-==∴菱形的面积16824,2=⨯⨯=,DE AB ⊥ ∴菱形的面积,AB DE =∙524,DE ∴=24.5DE ∴=故选D ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．变式1-3如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485【答案】B 【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC 的面积，然后利用面积法，SABP +SCBP =SABC ，即可求出PE PF +的值．【详解】连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB =BC =20÷4=5，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴SABC =24÷2=12，又SABC =SABP +SCBP∴SABP +SCBP =12，∴111222AB PF BC PE += ，重点点拨：当菱形的一个内角为120°或60°时，菱形被其对角线分为4个含30°角的直角三角形；菱形较短的一条对角线将其分成两个等边三角形，因此可利用其性质进行计算.∵AB =BC ，∴()1122AB PE PF += ∵AB =5，∴PE +PF =12×25=245．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．重点2利用菱形的性质求角度例2.如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒【答案】A 【分析】由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．变式2-1如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°【答案】C 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得1652DBE ABC ∠︒=∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB -∠︒∠=即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD =50°，∴O 为BD 中点，∠DBE =12∠ABC =65°．∵DE ⊥BC ，∴在Rt △BDE 中，OE =OB =OD ，∴∠OEB =∠OBE =65°．∴∠OED =90°-65°=25°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．变式2-2如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF∠的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可得出△ABC 、△ACD 是等边三角形，从而先求得∠B =60°，∠C =120°，在四边形AECF 中，利用四边形的内角和为360°可求出∠EAF 的度数．【详解】解：连接AC ，∵AE垂直平分边BC，∴AB=AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-120°=60°．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及菱形四边形等的性质．变式2-3如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，则CDF∠=（）A．15︒B．30°C．40︒D．50︒【答案】B【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后求出∠CBF，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF．【详解】如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=12×100°=50°，∵EF是AB的垂直平分线，∴∠FBA=∠FAB=50°，∵菱形ABCD的对边AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．重点3利用菱形的性质计算面积及其应用例3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x 的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=12×8×6=24cm2，重点点拨：在菱形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．变式3-1已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A．B．8C．D．【答案】D【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．【详解】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝∴菱形的面积＝12 AC•BD＝12故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．变式3-2如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96B．48C．24D．6【答案】C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．重点4利用菱形的性质证明线段相等例4.如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ．DF ⊥BC 于点F ．求证：BF ＝DE；【分析】根据菱形的性质得到CB =CD ，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB =CD ，∵BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠BEC =∠DFC =90°，∵∠C =∠C ，∴△BEC ≌△DFC （AAS ），∴EC =FC ，∴CD －CE ＝CB －CF∴BF =DE ；【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．变式4如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．求证：AF EF =；重点点拨：菱形的对角线容易作为一个直角三角形的斜边，这样两条对角线的交点也是斜边的中点；菱形的面积等于对角线乘积的一半重点点拨：利用菱形的性质证明边的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合【分析】连接CF ，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF 和CF=AF 即可得证；【详解】连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF=EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF=AF ，∴AF=EF；【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系．重点5利用菱形的性质证明角相等例5.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD ＝∠CBE．【分析】根据菱形的性质得出∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，推出∠AFD ＝∠CDE ，证△BCE ≌△DCE ，推出∠CBE ＝∠CDE 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠CDE ，在△BCE 和△DCE 中BC CD BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CBE ＝∠CDE ，∵∠AFD ＝∠CDE ，∴∠AFD ＝∠CBE ．【点睛】考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△BCE ≌△DCE 是解题关键．变式5如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO =∠DCO．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD =OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB =∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH =∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，∠COD =90°，∵DH ⊥AB ，∴OH =12BD =OB ，∴∠OHB =∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH =∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO =90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB =90°，∴∠DHO =∠DCO ．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．难点6菱形中的图形变换问题例6.如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A 3B ．2C ．23D ．4【答案】B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====重点点拨：利用菱形的性质证明角的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线，∴122EF BD ==故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．变式6-1如图，在菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 长分别为16、12，折叠纸片使点A 落在DB 上，折痕交AC 于点P ，则DP 的长为（）A ．BC ．D ．【答案】A 【分析】首先设O 点的对应点为E ，连接PE ，由菱形的性质，可求得OD ，OA 与AD 的长，由折叠的性质，根据勾股定理可得方程：即（8-x ）2=42+x 2，可求x 的值，由勾股定理可求DP 的长．【详解】解：设O 点的对应点为E ，连接PE ，由折叠的性质可得：PE=OP ，DE=OD ，∵四边形ABCD 是菱形，1111,168,1262222AC BD OA AC OB BD ∴⊥==⨯===⨯=10AD ∴==设OP=x，则PE=x，AE=AD-DE=10-6=4，AP=OA-OP=8-x，在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即OP=3，DP∴===故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．变式6-2如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】C【分析】连接BD，首先根据∠A=60°，AB=AD，得到△ABD是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一的性质得到DP⊥AB，然后根据平行线的性质得到∠CDP=∠APD=90°，最后根据折叠的性质求解即可．【详解】如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∠ADC=120°，∵点P是AB的中点，∴DP⊥AB，∵CD AB，∴∠CDP=∠APD=90°，∴由折叠的性质可得：∠CDE=12∠CDP=45°．故选：C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质以及折叠的性质等知识，解题的关键是在含有60°内角的菱形中，连接较短的对角线，把菱形分成的两个三角形是等边三角形．难点7菱形中的最值问题例7.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）A ．12B ．1C 2D ．2【答案】B 【分析】先作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP +NP 有最小值．然后证明四边形ABNM ′为平行四边形，即可求出MP +NP =M ′N =AB =1．【详解】如图难点点拨：解决菱形问题的思考方向：①边；②对角线.有60°的特殊角，就可以由菱形的性质构造等边三角形解决问题；有等边三角形，有中点，会出现“三线合一”作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及最小值问题，解题关键在于熟练掌握菱形性质以及求最值的作图方式.变式7如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．【详解】∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质；轴对称-最短路线问题三、提升训练1.下列结论中，不正确的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形D ．菱形的面积等于对角线乘积的一半难点点拨：解决线段之和最小问题，一般转化为解决“两点之间，线段最短”问题.“两点一线”型：()minPA PB +“一点两线”型：()min ''''''ABC C AB AC BC A B A C BC A A ∆=++=++=【答案】C【分析】由菱形和矩形的判定得出A 、B 正确，由等腰梯形的判定得出C 不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D 正确，即可得出结论．【详解】解：A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A 正确；B.∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴B 正确；C.∵一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，∴C 不正确；D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，∴D 正确；故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积；熟记菱形，矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键．2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得1203AC AE cm ==，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD 是菱形20,//AB BC cm AD BC∴== 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =1203AC AE cm ∴==AB BC AC∴==ABC ∴ 是等边三角形60B ∴∠=︒//AD BC180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．3.如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AC ∥交AB 于点E ，DF AB ∥交AC 于点F ，若8AF =，则四边形AEDF 的周长是（）A ．24B ．28C ．32D ．36【答案】C 【分析】由题意知四边形AEDF 是平行四边形，有BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE ==，，AD 平分BAC ∠，可得BAD CAD ADF ∠=∠=∠，AF DF =，平行四边形AEDF 是菱形，进而计算周长即可．【详解】∵DE AC DF AB∥，∥∴四边形AEDF 是平行四边形∴BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE==，∵AD 平分BAC∠∴BAD CAD ADF∠=∠=∠∴AF DF=∴平行四边形AEDF 是菱形∴432AE DE DF AF AF +++==故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用．4.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A ．20B ．24C ．40D ．48【答案】A 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【详解】由菱形对角线性质知，AO =12AC =3，BO =12BD =4，且AO ⊥BO ，则AB =5，故这个菱形的周长L=4AB =20．故选A ．【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键，难度一般．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝20°，则∠DHO 的度数是（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选A．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245B．125C．5D．4【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB5，∵S菱形ABCD＝12AC BD AB DE ⨯⨯=⨯，∴18652DH ⨯⨯=⨯，∴DH＝24 5，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝12×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD 于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A．B C．2D．2【答案】A【分析】根据题意利用菱形的性质，可得AH＝DH，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出DE EF，再求出DH＝DE+EH AB＝2.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，且EH⊥AB，EF⊥AD∴EF ＝EH ，∠ADH ＝∠DAB ＝45°∴AH ＝DH∵∠DAB ＝45°，DH ⊥AB∴∠ADH ＝45°，且EF ⊥AD∴∠ADH ＝∠DEF ＝45°∴DF ＝EF ，∴DE EF∵△DEF 的周长为2，∴DE +EF +DF ＝2∴2EF ＝2∴EF ＝2∴EH ＝2，DE ＝2，∴DH ＝DE +EH ∵∠DAB ＝∠ADH ＝45°∴AH ＝DH ，∴AD AH ＝2∴AB ＝2∴菱形ABCD 的面积＝AB ×DH ＝故选A ．【点睛】此题考查菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.8.如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠= ,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．132【答案】B【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则2CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠= ，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==，4AH BH ==，3PB = ，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．9.如图，平行四边形ABCD 中，2AB BC =．AE 平分BAD ∠，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与BFN ∆全等的三角形有5个；③7FMN BCEN S S ∆=四边形；④当FM FN =时，60BAD ∠=︒．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】①根据四边形ABCD 是平行四边形，可得：AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，再由AE 平分∠BAD ，可得出∠AED =∠DAE ，进而推出AF =DE ，即可运用菱形的判定方法证得结论；②根据题目条件可证明△BFN ≌DEN ，其它三角形均不能证明；③根据题目条件可得出12FMN DMN BFNS S S ==，S 菱形BCEF =4S △BFN ，S 四边形BCEN =3S △BFN ，即可判断结论③错误；④由FM =FN 可得出DF =AF =AD ，即△ADF 是等边三角形，可判定结论④正确．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，∵点F 为AB 边的中点，∴AF =12AB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∵AB ∥CD ，∴∠AED =∠BAE ，∴∠AED =∠DAE ，∴AD =DE ，∴BC =DE ，∵AB =2BC .∴BC =12AB ，∴AF =DE ，∵AF ∥DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∵AD =DE ，∴四边形ADEF 是菱形，故①正确；∵AB ∥CD ，∴∠FBN =∠EDN ，DE =AF =BF ，∠BNF =∠DNE ，∴△BFN ≌DEN （AAS ），能够确定与△BFN 全等的三角形只有1个，故②错误；③∵△BFN ≌DEN ，∴FN =EN ，BN =DN ，∵四边形ADEF 是菱形，∴DM =FM ，∴12FMN DMN BFNS S S == ，同理可证：四边形BCEF 是菱形，∴S 菱形BCEF =4S △BFN ，∴S 四边形BCEN =3S △BFN ，·S △BFN =2S △FMN ，∴S 四边形BCEN =4S △FMN ，故③错误；④当FM =FN 时，∵FN =EN ，EF =AF ，∴AF =2FM ，∵DF =2FM ，∴DF =AF =AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠BAD =60°，故④正确；故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，菱形的判定，全等三角形判定和性质，三角形面积和四边形面积，等边三角形判定等，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．10.已知某菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形的面积为A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底⨯高即可【详解】解：菱形的边长：842÷=．菱形的面积：212⨯=．【点睛】本题主要是考题菱形的性质与面积，易出现求面积时不懂的把菱形当作平行四边的面积来求．11.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，DB =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为【分析】由菱形对角线和边长组成一个直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长，再利用面积相等建立等式，进而可求解高DH 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4cm ，OB =12BD =3cm ，在Rt △AOB 中，OA =4cm ，OB =3cm ，∴AB ，菱形的面积S =12AC •BD =AB •DH ，即12×8×6=5×DH ，解得DH =245cm ，【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解题的关键.12.如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数为________．【答案】75°【分析】连接BD ，先证明ABD △为等边三角形，然后根据三线合一定理得到30ADP BDP ∠=∠=o 即可得到90PDC ∠= ，则45CDE PDE ∠=∠=o ，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD =AB ，60C A ∠==o ∠，AB ∥CD ，∴180A ADC ∠+∠= ，∴120ADC ∠=∵60A ∠= ，∴ABD △为等边三角形，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=o ，∴90PDC ∠= ，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=o ，在DEC 中，()18075DEC CDE C ∠=-∠+∠=o o ．故答案为：75°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13.如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF．【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A C AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．14.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证.（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB//CD.又∵BE=AB，∴BE=CD，BE//CD.∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=EC.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD.∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.【点睛】本题主要考查了，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)一、单选题1．下列属于菱形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：13．已知某菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形的面积为（）A．28cm2cm B．26cm D．24cm C．24．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分5．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm7．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，∠ABC=70°，Ev 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（ ）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒8．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120ADC ∠=︒，过点O 的直线与AD ，BC 分别交于点E ，F ，若四边形BEDF 是矩形，则∠DOE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°10．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．A ．48B ．24C ．12D ．6二、填空题11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为_____．12．菱形一条对角线长为12cm ，周长为40cm ，则菱形的面积为_________平方厘米13．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点，O 经过点A ，B ，C ，若O 的半径为2，OD=4，则BC 的长为______．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，DE AB ⊥于点E ，连接OE ，若2BAD α∠=，则DEO ∠为______(用含α的代数式表示)．15．如图，点,,,E F G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点，下列结论：①EH EF =；②当AB=CD ，EG 平分HGF ∠；③当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形；其中正确的结论序号是_____________．三、解答题16．如图，在ABC 中，B D ∠=∠．请用尺规作图法，在ABC 外求作一点C ，使得四边形ABCD 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成6×6的网格，每个小菱形的顶点称为格点．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图①中，画出一个矩形ABCD，使C、D两点在格点上；（2）在图②中，若∠P＝60°，画一个矩形EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两边长分别为3和2．DE=2．19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)求四边形OCED的面积．20．如图，将一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与AD边上的点B′重合．过点B′作B′F//EB交CE于点F，连接EB′与BF．(1)求证：BE＝BF；(2)若DC＝3，AB′＝1，求四边形EBFB′的周长．参考答案1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．B8．C9．A10．C11．5212．9613．314．α15．②③16．解：如图所示∵分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C=∴BC BA=DC DA∵B D∠=∠∴AB AD=∴CB CD AD AB===∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点．17．解：添加AB=BC∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求；（2）如图②，矩形EFGH即为所求．19．(1)证明：∵CE BD∥∥DE AC∴四边形OCED是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴OD=OC∴平行四边形OCED是菱形．(2)连接OE，如图∵DE=2∴AC=2OC=2DE=4∵AD=23∴DC2222--=4(23)2AC AD∵DE AC∥，AO=OC=DE∴四边形AOED是平行四边形．∴OE=AD=23∴菱形OCED 的面积为232DC OE ⨯= 20． (1)证明：由翻折可知：∠B ′EF ＝∠BEF ，BE ＝B ′E ∵B ′F //EB∴∠B ′FE ＝∠BEF∴∠B ′FE ＝∠B ′EF∴B ′F ＝B ′E∴BE ＝B ′F∴四边形BE B ′F 是平行四边形∵B ′F ＝B ′E∴四边形BE B ′F 是菱形∴BE ＝BF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°∵AB ＝DC ＝3，AB ′＝1∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣B ′E在Rt △AEB ′中，根据勾股定理得：AE 2+AB ′2＝B ′E 2∴（3﹣B ′E ）2+12＝B ′E 2解得B ′E ＝53∵四边形EBFB ′是菱形∴四边形EBFB ′的周长＝4B ′E ＝4×53＝203．。