高中物理讲义：探究弹性势能的表达式

探究弹性势能的表达式[学习目标]1.知道探究弹性势能表达式的思路．2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素．(重点)3.理解探究过程中猜想、分析和转化的方法．(重点)4.掌握求弹力做功时化变力为恒力的思想方法．(重点、难点)【知识梳理】一、弹性势能1．弹性势能的概念发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．2．决定弹性势能大小相关因素的猜想(1)猜想依据弹性势能和重力势能同属势能，重力势能大小与物体的质量和高度有关，弹簧弹力与其形变量和劲度系数有关．(2)猜想结论弹性势能与弹簧的形变量l和劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大．在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能越大．二、探究弹性势能的表达式1．弹力功特点：随弹簧形变量的变化而变化，还因劲度系数的不同而不同．2．弹力功与拉力功的关系：拉力功等于克服弹力做的功．3．“化变为恒”求拉力功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…＋F nΔl n.4．“F-l”图象面积意义：表示力F做功的值．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只要弹簧的形变量相同，弹性势能就相同．(×)(2)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同．(×)(3)同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同．(√)(4)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加．(×) 2．(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是()A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关ABC[由弹性势能的表达式E p＝12kl2可知，弹性势能E p与弹簧拉伸(或压缩)的长度有关，在弹性限度内，l越大，E p越大，A、C选项正确．E p的大小还与k有关，B选项正确．弹簧的弹性势能是由弹簧的劲度系数k和形变量l决定的，与使弹簧发生形变的物体无关，D选项错误．]3．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大D．弹性势能是弹簧和使它发生形变的物体所共有的C[弹簧的弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关，如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B错误；形变量相同时，k越大的弹簧，弹性势能越大，C正确；弹性势能属于弹簧，D错误．]4.如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()A．弹力变大，弹性势能变小B．弹力变小，弹性势能变大C．弹力和弹性势能都变小D．弹力和弹性势能都变大D [将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大．故A 、B 、C 错误，D 正确．]【考点突破】弹性势能的理解1．弹性势能的产生原因⎩⎨⎧ (1)物体发生了弹性形变(2)各部分间的弹力作用2．弹性势能的影响因素⎩⎨⎧(1)弹簧的形变量x (2)弹簧的劲度系数k3．弹性势能与弹力做功的关系如图所示，O 为弹簧的原长处．(1)弹力做负功时：如物体由O 向A 运动(压缩)或者由O 向A ′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能.(2)弹力做正功时：如物体由A 向O 运动，或者由A ′向O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W 弹＝－ΔE p .4．弹性势能表达式(1)弹簧弹力随形变量x 的变化图线及围成面积的意义类比v -t 图象的面积表示位移，F -x 图象与x 轴所围的面积表示弹力的功，如图所示．所以当弹簧的形变量为x 时，弹力做功W 弹＝－12kx ·x ＝－12kx 2.(2)弹性势能的大小：E p ＝－W 弹＝12kx 2.【例1】 如图所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连．若在木块上再作用一个竖直向下的变力F，使木块缓慢向下移动0.1 m，力F做功2.5 J时，木块再次处于平衡状态，此时力F的大小为50 N．(取g＝10 m/s2)求：(1)弹簧的劲度系数；(2)在木块下移0.1 m的过程中弹性势能的增加量．思路点拨：①根据平衡条件可以求出木块初始平衡状态和加力F后平衡状态时弹簧的压缩量．②木块缓慢下移的距离为弹簧压缩量的变化量．③弹簧弹性势能的增加量等于木块下移时克服弹力所做的功．[解析](1)设木块开始静止时，弹簧的压缩量为l1.后来静止时，弹簧的压缩量为l2，由胡克定律及平衡条件得，未施加力F时，弹力F1＝mg＝kl1＝20 N，施加力F后，弹力F2＝F＋mg＝kl2＝70 N且l2－l1＝0.1 m联立以上各式得k＝500 N/m.(2)由以上方程得l1＝0.04 m，l2＝0.14 m，根据以上数据作出F-l图象如图所示．在木块下移0.1 m的过程中，弹力做负功，且W＝－S阴影＝－12×(20＋70)×0.1 J＝－4.5 J，所以弹性势能的增加量ΔE p＝－W＝4.5 J.[答案](1)500 N/m(2)4.5 J弹力做功与弹性势能的变化关系(1)弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少．克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少．(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值．(3)弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度．1．两只不同的弹簧测力计A 、B ，劲度系数分别是k 1、k 2，(k 1>k 2)．现用相同的力F 拉弹簧，若弹簧的弹性势能为kx 2/2，则下列说法正确的是( )A ．A 的弹性势能大B ．B 的弹性势能大C ．A 、B 弹性势能相等D ．无法判断B [克服弹簧的弹力做的功等于弹簧增加的弹性势能，两个弹簧的拉力相等的条件下，劲度系数越大，形变量越小，故根据E p ＝12kx 2可知，弹性势能与弹簧的劲度系数成反比，故B 的弹性势能大，B 正确．]重力势能和弹性势能的对比弹性势能重力势能 定义 发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能物体由于被举高及地球的吸引作用而具有的势能 表达式E p ＝12kx 2 E p ＝mgh 相对性 弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面零，表达式最为简洁的选取无关系统性发生弹性形变的物体上所有质点共同具有的能量地球附近的物体与地球所共有的能量联系两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定．同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化【例2】如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功W F，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是()A．重力做功－mgh，重力势能减少mghB．弹力做功－W F，弹性势能增加WFC．重力势能增加mgh，弹性势能增加FHD．重力势能增加mgh，弹性势能增加W F－mghD[可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功W F1＝－W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功W F2＝－W G＝mgh，等于重力势能的增加，又由W F＝W F1＋W F2可知A、B、C错，D对．]理解弹性势能应注意的三个问题(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大．(2)一般弹簧处于原长时，弹性势能为零，弹簧拉长或压缩弹性势能均为正值．(3)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置．2．如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中()A．重力做正功，弹力不做功B．重力做正功，弹力做正功C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功C[重力做正功，弹簧弹力做负功，选项A、B错误；若用等长细绳代替弹簧，重力做功，弹力不做功，但重力做的功不同，选项C正确，D错误．]课堂小结1.弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加．弹力做了多少功，弹性势能就变化多少．2．弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关，其表达式为E p＝12kl2，其中l表示弹簧的形变量而不是长度．3．弹簧的弹性势能也具有相对性，一般取弹簧处于原长的弹性势能为零.知识脉络【课后作业】1．如图所示，撑竿跳是运动会上常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起的过程说法中正确的是()A．运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大B．运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大C．运动员撑竿触地后上升到达最高点之前某时刻，竿弹性势能最大D．以上说法均有可能C[竿形变量最大时，弹性势能最大，只有C项正确．]2．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()A．弹簧的弹性势能逐渐减小B．弹簧的弹性势能逐渐增大C．弹簧的弹性势能先增大后减小D．弹簧的弹性势能先减小后增大D[由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F后物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大．]3．(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x.关于拉力F、弹性势能E p随伸长量x的变化图象正确的是()AD[因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律F ＝kx，F-x图象为倾斜直线，A对，B错；因为E p∝x2，所以D对，C错．]。