随机过程分析

随机过程分析

1 / 10 随机过程分析

摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。

关键字 通信系统 随机过程 噪声

通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。

一、随机过程的统计特性 随机过程分析

2 / 10 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，

即均值

11);()]([)(dxtxxptXEta

2、方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。

即均方值与均值平方之差。

112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dxtxptaxtatXEtXEtXEtXDt

3、自协方差函数和相关函数:

衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。

（1）自协方差函数定义

)]()()][()([);(221121tatXtatXEttCx2121212211),;,()]()][([dxdxttxxptaxtax

式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；

用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。

（2）自相关函数

2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxpxxtXtXEttRX

用途：a 用来判断广义平稳； 随机过程分析

3 / 10 b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。

二、平稳随机过程

1、定义（广义与狭义）：

则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。

广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。

2、平稳随机过程的数字特征

1、均值：ata)(；

2、方差：22)(t；

3、自相关函数：)(),(21RttR

4、各态历经性

概念：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均＝时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。 随机过程分析

4 / 10 即：

)()(22RRaa

一般来说,在一个随机过程中,不同样本函数的时间平均值是不一定相同的,而集平均则是一定的。因此,一般的随机过程的时间平均≠集平均,只有平稳随机过程才有可能是各态历经的。即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。

3、平稳随机过程的频谱特性

（1）、自相关函数

我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔τ有关，即))()(()(tXtXER

StXER)]([)0(2

R(0)为X(t)的均方值(平均功率)。

对偶性 R(τ)＝R(－τ)

即自相关函数是τ的偶函数。

（2）、功率谱密度

对于任意的功率信号f(t)的功率谱为：

而对于一个随机过程来说，ξ(t)有许许多多次实现(即许许多多个样本函数，其中某一次实现也是功率信号，其功率谱密度可以用上式表随机过程分析

5 / 10 示。 但它不能作为随机过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度可以看作是每一个样本函数的功率谱密度的统计平均（即数学期望）。

设ξ(t)一次实现的截断函数为ξT(t)，ξT(t)的付氏变换为FT(ω)，则该样本函数的功率谱为：])([lim)(2TwXwPTTX

这样，整个随机过程的平均功率谱为：

TwXETwXEwPEwPTTTTxX])([lim]])([lim[)]([)(22

该随机过程的平均功率为：dPPX)(21

且满足：)()(RPX

三、通信中如何应用随机过程

在通信系统中，编码过程分为信源编码和信道编码两种，信源编码是为了压缩信息之间的相关性，最大限度提高传信率，目的在于提高通信效率；而信道编码则相反，通过引入相关性，使信息具有一定的纠错和检错的能力从而提高传输信息的可靠性。

对于信道编码，由于信道中存在随机噪声，或者随机干扰，使得经过信道传输后所接收到的码元与发送码元之间存在差异，这种差异就是传输产生的差错。一般，信道噪声，干扰越大，码元产生差错的概率也就越大。

所以信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的码字组合。从信道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码字。这些码字随机过程分析

6 / 10 的引入时信息之间具有相关性，虽然降低了信息所能携带的信息量，但是通过相关性可以克服由于随机噪声引入的误码情况。

四、随机过程在通信中的具体应用

1、马尔可夫过程的应用

马尔可夫随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。下面简略介绍一下马尔可夫随机过程在通信方面的应用情况。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。

在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到马尔可夫随机过程。 随机过程分析

7 / 10 2、马尔科夫链在分析频谱占用情况时的应用

马尔可夫过程是一个具有无后效性的随机过程，无后效性是指随机过程在时刻t的状态已知的条件下，在时刻t+1所处状态仅与时刻t的状态有关，而与过程在时刻t以前的状态都无关。那些时间离散、状态离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简称马氏链。

频谱在无线通信中是稀缺的资源。传统的频谱分配方式静态地分配频谱，频谱利用率很低，很多时候频谱并没有被完全利用，而近年来对无线服务的需求不断增大，因此频谱资源日益紧张。而以马尔科夫链为原理的认知无线电技术可以有效地解决频谱资源紧张问题。认知无线电是一种智能通信系统。具有认知功能的无线通信设备可以感知周围的环境，再利用已经分配给授权用户，但在某一特定的时刻和环境下并没有被占用的频带，即动态再利用“频谱空穴”；并能够根据输入激励的变化实时地调整其参数，在有限信号空间中以最优的方式有效地传送信息，以实现无论何时何地都能保证通信的高可靠性和无线频谱利用的高效性。

频段状态实时预测模型一般情况下CR将待查的频段分为以下3种不同的情况：(1)黑空:被主用户的原始分配业务大部分占据，存在高功率的干扰，不能被感知用户使用。(2)灰空:被授权用户的原始分配业务部分占用，存在一定程度的功率干扰，基本不被感知用户使用。(3)白空:末被授权用户的原始分配业务占用，仅存在环境噪声，可以被感知用户非授权地使用。为了能更好地进行频谱共享，对待查频段随机过程分析

8 / 10 这3种情况，有必要利用马氏链建模来实时估计和预测状态变化情况，为频谱共享和动态频谱接入提供参考。

假如，经过一段时间的检测并通过概率统计分析，得到状态转移图，其状态转移概率矩阵为

状态转移图为

根据马尔可夫原理，大多数情况下，随着时间的推进，马尔可夫过程都会演化到一个稳态概率分布。根据平稳分布的公式

黑空+灰空+白空=1

黑空×（1-a-b）+灰空×c+白空×f=黑空

黑空×b+灰空×d+白空×（1-f-e）=白空

可分别求得黑空、灰空、白空，再根据检测周期T，可分别求得平均返回时间，这样就可以为CR优化动态频谱分配提供参考。 随机过程分析

9 / 10 3、排队论在通信网中的运用

排队论又称随机服务系统,主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞)现象的规律的一门学科,排队论的创始人Er la n g是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。随着电子计算机的不断发展和更新,通信网的建立和完善,信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题,从而使排队论理论与应用得到发展。

顾客通过网络必须经过三个环节,即顾客到达、排队等候处理(服务)、离去。如图：

排队系统的组成包括三个部分:1.输入过程2.排队规则3.服务机构。其中，在输入过程中，顾客的相继到达时间间隔可分为确定型和随机型，顾客到达系统的方式可以逐个或成批;顾客到达系统可以是独立的或相关的,输入过程可以是平稳、马氏、齐次的。排队规则可分为损失制，等待制和混合制。(1)损失制，顾客到达系统时,若系统中所有服务窗均被占用,则到达的顾客随即离去,比如打电话时碰到占线,计算机限定的内存等均为此种情况;(2)等待制，顾客到达系统时,虽发现服务窗均忙着,但系统设有场地供顾客排队等待之用,于是到达系统的顾客按排队规则进行排队等候服务;(3)混合制，它是损