复变函数论 数学

复变函数教案

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

新疆财经大学教案

课程名称： 复变函数

任课班级： 应用数学系06级

任课教师： 热西旦·湖加

应用数学系 信息与计算数学 教研室

二○○九＿二○一○学年第 一 学期

课 程 教 案 概 貌

课 程 单 元 教 案（单元 1 ）

本单元 §复数及其几何表示 姓名 热西旦·湖加 职称 讲师 总学时 54

使用教材 《复变函数》（第四版），余家荣编着，高等教育出版社出版

课程

教学

目的 复变函数是数学的最重要的分支之一，同时在数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）以及在自然科学的其他领域（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）都有着重要的应用。本课程仅涉及复变函数的最基本的内容，它一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

学

时

分

配 章次 章 名 学时

一 复数及复平面 6

二 复变函数 9

三 复变函数的积分 6

四 级数 12

五 留数 6

六 保形映射 12

教学内容

复数域，复平面，复球面及无穷大

教学目的 掌握复数的各种表示法及其相互转化、会用复数的各种表示进行运算、理解复球面及无穷大

教学重点 用复数的各种表示法进行运算

教学难点 复数的辐角、复球面及无穷大

教学方法 课堂理论教学为主，以习题课为辅助教学

作业、思考题、讨论题 P13 1，2 ，3，4，5

课后阅读材料 1.《复变函数论》．钟玉泉编着．高等教育出版社

2. 《复变函数内容、方法与技巧》．孙清华, 孙技大学出版社

3. 《复变函数学习指导书》．钟玉泉编着．高等教育出版社

本单元小节（含学生课堂纪律、教学内容完成情况、教学体会等）

数学分析与复变函数论的联系

数学分析与复变函数论是数学中的两个重要领域，它们之间有着密切的联系。

数学分析是数学中一个重要的基础领域，主要研究连续函数、无限级数、无限维空间等概念。数学分析中的重要工具就是微积分，它可以用来解决各种连续函数的问题，如求函数的导数、求函数的积分等。

复变函数论是数学中另一个重要的领域，它研究的是复变函数的性质和应用。复变函数是一类复数函数，其中的复数变量可以在复平面上进行运算。复变函数论中最重要的工具就是欧拉公式，它可以用来表示复数的指数和三角函数的关系。

数学分析与复变函数论之间的联系非常密切，因为复变函数是一类连续函数，而数学分析正是研究连续函数的领域。因此，在复变函数论中，我们可以使用数学分析中的工具来解决各种问题。

比如，我们可以使用数学分析中的微积分来求解复变函数的导数和积分。例如，对于一个复变函数f(z)，我们可以使用数学分析中的定义来求解它的导数，即

f'(z)=lim(h->0) [(f(z+h)-f(z))/h]

这样，我们就可以使用数学分析中的微积分方法来求解复变函数的导数。

另外，我们还可以使用数学分析中的积分来解决复变函数的某些问题。例如，对于一个复变函数f(z)，我们可以使用定积分的方法来求解它的积分，即

∫f(z)dz=F(z)+C

其中F(z)是原函数的积分，C是常数。这样，我们就可以使用数学分析中的积分方法来求解复变函数的积分。

此外，复变函数论中的欧拉公式也与数学分析有着密切的联系。欧拉公式是一种重要的公式，它表示复数的指数和三角函数的关系，即

e^(ix)=cos(x)+isin(x)

这个公式可以用来表示复数的指数函数，也可以用来表示复数的三角函数。这个公式的证明也需要使用数学分析中的工具，例如微积分、级数展开等。

总的来说，数学分析与复变函数论之间有着密切的联系，我们可以使用数学分析中的工具来解决复变函数论中的各种问题。例如，我们可以使用数学分析中的微积分方法来求解复变函数的导数和积分，使用数学分析中的级数展开方法来证明欧拉公式等。

数学中的复变函数及其应用

复变函数理论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象是复数域中的函数，具有广泛应用。在物理学、工程学、计算机科学等领域中，复变函数被广泛应用，特别是在电磁学、流体力学、信号处理等领域中，有着相当重要的地位。

一、复变函数基础

复变函数是以复数为自变量，复数为函数值的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中，u(x,y)和v(x,y)是实函数，并且满足柯西-黎曼方程组：

$$

\begin{cases}

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\\\

\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

\end{cases}

$$

柯西-黎曼方程组的解析函数又称为全纯函数，是复变函数理论中的核心概念。全纯函数在整个复平面上都有解析，这是测量、研究复数在平面中的绝佳工具。

二、复数域中的积分

复变函数在复数域中的积分有很多重要性质，如柯西公式和柯西积分定理等。

①柯西公式：设f(z)在曲线C所包围的区域D上解析，则对于D中的任何点P，有

$$

f(P) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-P} dz

$$

其中，z是曲线C上的变量。

柯西公式是复变函数中的重要公式，它可以推广到多重积分和各种数学和物理问题中。

②柯西积分定理：设f(z)在区域D内解析，则D内任意两条连接两点A和B的曲线积分相等：

$$

\int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{\gamma_2} f(z) dz

$$

其中，$\gamma_1$和$\gamma_2$分别是由A到B的两条可求长曲线。

柯西积分定理是复变函数理论中的重要概念，它不仅可以应用于计算积分，还可以用于研究物理问题的解析解等方面。

复变函数是高等数学中一个重要的分支，研究了复平面上的数学函数。其中，奇点理论是复变函数理论中的一个重要概念。奇点理论研究了复变函数在某些点上的奇异性质，对理解复变函数的性质和应用具有重要意义。

在复平面上，奇点是指复平面上函数定义域的某个点，使得函数在该点上取无穷大或不取值的现象。奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三种类型。

可去奇点指的是函数在该点附近可以由有界的连续函数拓展，也就是说可以用有界函数补全，并且函数在该点附近的所有性质可以由这个补全的函数来表示。

极点是指函数在该点附近发散到无穷大，但是可以求出一个常数使得函数与它的逆函数的差趋近于零。在极点附近，函数会有类似于多项式或者指数函数的形式。

本性奇点是指既不是可去奇点也不是极点的奇点。本性奇点附近，函数不会有收敛的性质，也无法通过补全函数来扩展。

奇点理论对于理解函数在复平面上的性质和应用具有重要意义。首先，奇点理论可以帮助我们确定函数在某些点上的性质。例如，当一个复变函数在某点附近有可去奇点时，我们可以利用这个性质来计算该函数的留数（Residue），从而可以求解一些复积分，这在数学中具有重要的应用。

其次，奇点理论可以帮助我们理解函数的奇异行为。奇点的类型决定了函数在该点附近的行为，不同类型的奇点对应不同的函数特征。通过研究奇点的类型，我们可以得出一些关于整体函数性质的结论。例如，当函数在某点附近有本性奇点时，函数在该点附近的行为通常非常复杂，这为研究数学中的特殊函数和特殊曲线提供了理论基础。

最后，奇点理论在应用中也起到了重要的作用。例如，在工程领域中，奇点理论可以帮助我们理解电路中的共振现象。在物理领域中，奇点理论可以用于理解量子力学中的一些重要概念，如量子相互作用和粒子的散射等。

综上所述，奇点理论作为复变函数理论中的重要概念，对于理解复变函数的性质和应用具有重要意义。通过研究函数在复平面上的奇点，我们可以得出关于函数性质的结论，解决一些复杂的数学问题，并且在工程、物理等领域中有重要的应用。因此，深入理解奇点理论的基本概念和方法，对于学习和应用复变函数具有重要价值。