高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)章末综合测评 新人教B版必修1
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1 (三) 基本初等函数(Ⅰ)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与函数y＝14x的图象关于直线y＝x对称的函数是( )
A．y＝4x B．y＝4－x
C．y＝log14x D．y＝log4x
【解析】 由指数、对数函数图象性质知，与函数y＝14x的图象关于直线y＝x对称的函数是对数函数y＝log14x，故选C.
【答案】 C
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1
C．y＝12x D．y＝x2－2x
【解析】 y＝ln(x＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增;y＝－x＋1的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y＝12x的定义域为R，在(0，＋∞)上递减；y＝x2－2x的定义域为R，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减．故选A.
【答案】
A
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2] D．(1,2]
【解析】
得0
∴1
【答案】 D
4．设幂函数f(x)的图象经过点13，3，设0f(a) B．f－1(a)＝f(a)
C．f－1(a)
【解析】 设f(x)＝xα，将点13，3的坐标代入得：3＝13α，∴α＝－12.
∴f(x)＝x-12，即y＝x-12，
∴x＝y－2，
∴f－1(x)＝x－2.
又0
∴f－1(a)>f(a)．
故选A.
【答案】 A
5．设函数f(x)＝ 12x－1，x，log2x2＋x，x，若f(a)＝1，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．－1或1 D．－1或1或－2
【解析】 ∵f(a)＝1，
∴ 12a－1＝1，a≤0
或 log2a2＋a＝1，a2＋a>0，a>0，(a2＋a>0与a>0的公共解为a>0)
∴ a＝－1，a≤0或 a2＋a－2＝0，a>0.
∴a＝－1或a＝1.
【答案】 C
6．若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
【解析】 对于选项A：logac＝lg clg a，logbc＝lg clg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.而a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴logac与logbc的大小不能确定．对 3 于选项B：logca＝lg alg c，logcb＝lg blg c，而lg a＞lg b，两边同乘一个负数1lg c不等号方向改变，∴logca＜logcb，∴选项B正确．对于选项C：利用y＝xc(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，∴选项C错误．对于选项D：利用y＝cx(0＜c＜1)在R上为减函数，可得ca＜cb，∴选项D错误，故选B.
【答案】 B
7．函数f(x)＝lg21－x－1，x∈(－1,1)的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
【解析】 f(x)＝lg1＋x1－x，x∈(－1,1)，
∴f(－x)＝lg1－x1＋x＝lg1＋x1－x－1＝－lg1＋x1－x＝－f(x)．
即f(x)为奇函数，关于原点对称．
【答案】 C
8．若f(x)＝logax(a>0且a≠1)，f(x)的反函数为g(x)，且g(2)<1，则f(x)的图象是(
)
【解析】 g(x)＝ax(a>0且a≠1)，∴g(2)＝a2<1，故0
∴f(x)＝logax是减函数，应选B.
【答案】 B
9．已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )
A．若f(a)≤|b|，则a≤b
B．若f(a)≤2b，则a≤b
C．若f(a)≥|b|，则a≥b
D．若f(a)≥2b，则a≥b
【解析】 ∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若 4 f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.
【答案】 B
10．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．c
【解析】 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c
【答案】 C
11．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【解析】 因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.
【答案】 C
12．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是－53，1，则实数a＝( )
A．3 B.13
C．3或13 D.23或32
【解析】 当a＞1时，y＝ax－2在[－1,1]上为增函数，
∴ a－2＝1，1a－2＝－53，解得a＝3；
当0＜a＜1时，y＝ax－2在[－1,1]上为减函数， 5 ∴ a－2＝－53，1a－2＝1，
解得a＝13.
综上可知a＝3或13.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．计算lg14－lg 25÷100-12＝________.
【解析】 原式＝lg1425÷(102) -12
＝lg10－2÷110＝－2×10＝－20.
【答案】 －20
14．化简： aaa＝________.
【解析】 aaa＝aa·a1212＝a78.
【答案】 a78
15．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.
【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象对称轴为x＝1，
∴当－21时，
ymin＝g(a)＝－1.
∴g(a)＝ a2－2a，
－2
【答案】
a2－2a，
－2
16．对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1,3}； 6 ④函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数．
其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；
由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得 2x＋1＝x2－2，2x＋1>0，x2－2>0，
∴ x＝－1，3，x>－12，x>2或x<－2，
∴x＝3，③错误；
设f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数，④正确．故正确的结论是①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝1log2x＋－3；
(2)f(x)＝ 92x－1－127.
【解】 (1)要使函数有意义，
须满足 x＋1>0，log2x＋≠3＝log28，
∴ x>－1，x≠7，
∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠7}．
(2)要使函数有意义，须满足：92x－1－127≥0，
∴34x－2≥3－3，∴x≥－14，
∴函数的定义域为x x≥－14. 7 18．(本小题满分12分)若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·lgab2的值．
【解】 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴ lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝12.
∴ ab＝2，lg a·lg b＝12.
∴lgab2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b
＝[lg (ab)]2－4lg a·lg b
＝22－4×12
＝2.
∴lg(ab)·lgab2＝2×2＝4.
19．(本小题满分12分)求y＝(log12x)2－12log12x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
【解】 ∵2≤x≤4，
∴－2≤log12x≤－1.
设t＝log12x，
则－2≤t≤－1，
y＝t2－12t＋5＝t－142＋7916.
∵对称轴t＝14∉[－2，－1]，
∴y＝t2－12t＋5在[－2，－1]上是减函数．
∴y(－1)≤y≤y(－2)，
即当t＝－1时，ymin＝132，
