圆与方程总结知识点

高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程

第 2 页 高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程

高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程

圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：

圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：

圆的一般方程

当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；

当=0时，表示点；

当＜0时，不表示任何图形。

圆的定义的理解：

（1）定位条件：圆心,高考历史；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．

圆的方程的理解：

(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．

(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．

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高中数学圆与方程知识点分析

1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()xaybr（圆心为A(a,b),半径为r）

（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（0422FED）

圆心（-2D，-2E）半径FED42122

2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d与r在大小关系判断

3. 直线与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r为相交，d

（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

4．圆与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；

3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；

5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；

（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系

题型一 求圆的方程

例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。

变式1求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx（也可设圆的标准方程求）

∵(0,0),(11AB，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于FED,,的三元一次方程组.

圆的方程 知识点总结

圆是平面上一组距离等于定值的点构成的集合。圆的方程是描述圆的位置和形状的数学公式。在平面直角坐标系中，圆的方程通常以(x,y)表示平面上的点，以(r)表示圆的半径。

圆的方程有多种表示形式，包括标准圆的方程和一般圆的方程。在本文中，我们将讨论这两种表示形式，并就圆的方程的一些重要知识点进行总结。

一、标准圆的方程

在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以表示为：

(x - h)² + (y - k)² = r²

其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

在标准圆的方程中，圆心的坐标是负号，而圆的半径是正号。

例：方程(x - 2)² + (y + 3)² = 4

这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的标准圆的方程。

二、一般圆的方程

一般圆的方程可以表示为：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

其中D，E和F是常数，而一般圆的方程的系数则表示圆心的坐标和半径。

在一般圆的方程中，圆心的坐标可以通过系数D和E计算：

圆心的横坐标(h) = -D/2

圆心的纵坐标(k) = -E/2

而圆的半径可以通过系数D，E和F计算：

r² = h² + k² - F

一般圆的方程可以通过圆心的坐标和半径的公式推导出来。

例：方程x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0

这是一个以(2, -3)为圆心，半径为2的一般圆的方程。

三、圆的一般方程与标准方程的转换 在平面直角坐标系中，标准圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到，而一般圆的方程可以通过圆的半径和圆心的坐标得到。

通过圆心的坐标和半径的公式，我们可以将一般圆的方程转换成标准圆的方程。同样地，我们也可以将标准圆的方程转换成一般圆的方程。

四、圆的方程的性质

1. 圆的方程中，系数D和E总是成对出现，即D和E的系数相等。

2. 圆的半径r永远是正数。

3. 一般圆的方程可以通过圆心的坐标和半径的公式推导出来。

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第一讲圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准

方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2，

半径：12D2＋E2－4F

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋D2)2＋(y＋E2)2＝D2＋E2－4F4

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D2，－E2)为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点(－D2，－E2)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

（三）温馨提示

1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

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（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．