随机过程及其应用-清华大学

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数的Poisson过程来到公交站，公交车于时刻t发出，那么在],0[t时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？

对于某一个乘客而言，假设其到达时间为kt，那么他等待时间就是ktt所以乘客总的等待时间为)(0)()(tNkktttS

使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((ntNtEEtSE

对于某已成了而言，其到达时刻kt随机],0[t内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在ntN)(的条件下，nttt,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和ntt...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n各独立的],0[t内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20ttNEtttNEtEEntntnttEntntNtEEnkk从而有

4.2(数值记录)设},{NnXn是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t如下)(1)()(tFtft

这里)()(tFtf和分别是kX的概率密度分布和分布函数。定义随机过程)(tN如下}),,..,max(:{#)(01tXXXXntNnnn

这里A#表示集合A中的元素个数。如果把)(tN中的时间t看做时间，那么)(tN是一个非齐次Poisson过程。事实上，由于kX彼此独立，所以)(tN具有独立增量性。很明显0)0(N，于是只需要检查一个时间微元内)(tN的状态。

假定t充分小，在0,...,XXn中只有nX在],(ttt上，因此

111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((nnnnnnnnnnnntFtottftXtXPttXPtXtXttXPXXXttXPXXXttXPtNttNP

所以

)()()(1)()())(())()(()1)()((21totttFtottfxFtottftNttNPnn

另一方面，可以证明)()2)()((totNttNP

所以)(tN是非齐次的Poisson过程，强度)(t。

这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为)()(tftF和，那么风险率微元)()(tott表示该器件在]1,0[时间段内为失效的条件下，将会在],[ttt内失效的概率。由此可以说明“风险”一次的含义。从而可知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。事实上，由

)exp(1)(0)0()),(1()(ttFFtFtFdtd直接解得上式正好指数分布的分布函数。

4.3(Poisson过程的和与差)两个独立的Poisson过程的和仍然是Poisson过程，事实上，设是两个和)()(21tNtN独立的Poisson过程，参数分别是21和。则)()(21tNtN的母函数为 ))1()exp((),(),())(()(),(21)()()()()()(21212121zttzGtzGzzEzEtzGNNtNtNtNtNtNtN所以)()(21tNtN是参数21的Poisson过程。类似的结论可以拓广到n个独立的Poisson过程的和：如果个是，ntNtNn)(...,)(1独立的Poisson过程，参数分别为n...,1，，那么)(...)(1tNtNn仍然是Poisson过程，参数n...1。

考虑两个独立Poisson过程差21)(NNtX。可以肯定，)(tX不是Poisson过程，因为0)0)((tXP，这与Poisson过程的非负明显矛盾。计算)(tX的特征函数可以知道：

)1)(()exp())1)(exp()1)(exp(exp()()()))((exp()))(((exp())))()(((exp()(2121)()(21211121jPtjtjtjjtNjEtNjEtNtNjEjtNtNNN

这里)exp()exp()(212211jjjP

所有)(tX是Poisson过程，其中Poisson过程参数n1，随机变量kY服从两点分布：212211)1(,)1(kkYPYP

4.4(事件分类)[0,t]内进入商店的顾客服从Poisson过程，顾客有男有女之分。如果每次进入商店的顾客中，男顾客出现的概率为p，女顾客出现的概率为q，1qp那么每次进入想点的男顾客人数)(tNm有

)(0)(tNkkmYtN其中，kY为取值0,1独立同分布的随机变量，不妨设男顾客出现时kY取1，

kY 0 1

kYP q p

根据式))1)((exp())(()()()()()(1tYtYtNtYtjGj

)1)(exp(exp()1)(exp(exp()1))(exp((exp()),exp(()(jptqjptjttjYtNm得到可以看到，进入商店的男顾客人数)(tNm服从参数为p的Poisson过程。同理女顾客人数服从参数为q的Poisson过程。

4.6(散弹噪声分析)电真空以及半导体中的噪声有很大一部分来源于“散弹效应”。单个电子在器件内渡越是会引起微小的窄脉冲电流，设该波形为)(ti。而阴极发射的电子数目服从Poisson分布，大量电子的运动在电路中的总电流强度可以用过滤Poisson过程进行近似。

其他其中,0],0[,2)()()(2)(0aatNkkttqtititYq为电子所携带电荷量，a为电子在器件内的渡越时间。由式atYtdthtYEtm设,),())(()(0得

atYstqdiitm,,)()(0如果设由式),min(0),(),(),(stYdtshthstC可知

)(tY的协方差函数为),min(0)()(),(stYdsitistC整理后得到

aaaaaaYststststqstC||,||,0))((61))((214),(3242所以散弹效应所引起的噪声电流是宽平稳的随机过程。

4.7(发射强度很大时的Gauss近似)过滤Poisson过程的性质不仅仅受到滤波器冲击响应h的影响，和标准Poisson过程)(tN的强度也有很大关系。现需要研究当时，过滤Poisson过程)(tY的渐进形态，为此首先把)(tY归一化。设令,))(()()),(()(tYVarttYEtmYY

)()()()(ttmtYtYY则)(1))((,0))((ttVartE。的特征函数满足

)()()(exp)()()(ttmtjYtYYYt取对数以后得到

)2exp()(2))(lg(12),()(2),()()()()1),()((exp()()())(lg()()())(lg(2)(2)(2022200)()(tttYtYYYtYYYYtYYYtodthtdthtjtmtjdthtjtmtjttmtj也就是说时有所以当

所以当单位时间内出现的脉冲个数趋于无穷大时，归一化的过滤Poisson过程的极限分布为Gauss分布。

4.8(特烈：Poisson过程)如果某个更新过程的更新强度为

0,00,)(ttN可以利用更新方程式来计算时间间隔的概率分布，由式dftttfTtNNT)()()()(0得))(1()()(tFtFdtdtfTT立刻得

)exp(1)(ttF恰好说明分布函数就是指数分布。

4.

7.6(周期性)状态i的周期id是集合的最大公约数，即}0:{)(niiiPnT

}0:gcd{)(niiiPnd如果,11d就状态i非周期的。如果1id，则称状态i为周期态。

7.10(两个状态的Markov链)设离散时间Markov链的样本空间只有两个状态，这种连接在现实生活中十分常见。比如天气预报问题，吧晴天和阴天作为(0,1)两种样本状态，可以通过构造Markov链来研究天气在两种状态之间的统计规律。两个状态Markov链的一步转移概率为2*2的随机矩阵，为)11(P 其中。，]1,0[要得到n步转移概率，需要计算。nP可以利用特征分解吧矩阵对角化一简化矩阵乘幂的计算。以上矩阵为列，设其两个特征值不同，则可以找到2*2的矩阵Q，使得110)00(QQP其中10，非标是矩阵P的两个特征值，矩阵Q的列分别是对应于10，的特征向量。从而有110)00(QQPnnn只需要具体求出P的特征向量就可以完成nP的计算。P的特征值是下列特征方程的解0)(detIP其中I是单位矩阵。于是0)1)(1(得到的两个解是1110，因，进而得到所以10,0,0)11(Q且有

)11(11Q所以

)()1()(1)11)()1(001)(11(1nnnP

如果

时，有那么当n1,|1|趋于无穷大时，即当时间n)(1nP N步咋混一概率存在极限，即)(10n)(00nlimlimnnPP和)(01n)(11nlimlimnnPP抓你概率极限与初始状态无关，如果，，即，必然有121|1|此时转移概率为性，，过程具有很强的周期一个状态，随机性消失链从一个状态转移到另)0110(P正是这种周期导致你步转移概率在n时不存在极限。

7.11设有三个状态{0,1，2}的Markov链，一步转移矩阵为

)3231041412102121(有于2102104110,0211201，导致，故。而所以PP

相通，是不可约的，所以该链所以状态都得到和0120210311021PP。

状态图

7.12设有四个状态{0，1，2，3}的Markov链，一步转移概率为)100021212121002121002121(状态如下所示，状态3是吸收态。状态0，1相互可达，但是两者都无法到达状态2。所以该链有两个闭集{3}和{0,1}。状态