【分析】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用二次函数的性质解决实际问题，正确理解题意，确定函数解析式是关键．
设y=kx2+(2k−1)x+1，根据题意可知此函数图象与x轴有两个交点，可得出Δ>0，从而得到k的取值范围；根据一元二次方程的根与系数的关系得出x1+x2和x1⋅x2的值，代入⋅x1−x2⋅=(x1+x2)2−4x1⋅x2即可求出所求式子的值．
【解答】
解：设y=kx2+(2k−1)x+1(k=0)，
⋅此函数图象与x轴有两个交点，
⋅Δ=(2k−1)2−4k>0，
解得：k<−21或k>21；
⋅x1,x2为该函数图象与x轴两交点的横坐标，
⋅x1+x2=−k2k−1，x1⋅x2=k1；
⋅⋅x1−x2⋅=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−k2k−1)2−k4=k24k2−4k+1−k4=k2(2k−1)2−k4=k3(2k+1)(2k−3)．
平均变化率与一元二次方程
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．
一、情境导入
月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决增长率问题
【类型一】增长率问题
(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这
种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
答：这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.
某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐
月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)
初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析
一、引言
一元二次方程平均变化率问题在初中数学中占有重要地位，这类问题常常出现在各种考试和实际应用中。掌握这类问题的解决方法，不仅可以提高学生的数学成绩，还可以培养其逻辑思维和解决问题的能力。本文将详细解析一元二次方程平均变化率问题的概念、方法、应用及注意事项，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、平均变化率的概念
平均变化率描述了一个量在某一时间段内的平均变化情况。在一元二次方程中，平均变化率通常用来描述函数图像在某一段内的斜率或倾斜程度。设函数y=f(x)，在区间[x₁, x₂]上的平均变化率为(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)。
三、一元二次方程与平均变化率的关系
一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一个抛物线。这个抛物线的形状和位置由系数a、b、c决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。而抛物线的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
对于一元二次方程，我们可以通过计算其在某一区间上的平均变化率，来了解函数在该区间的变化情况。特别地，当区间选取为对称轴两侧等距的两个点时，平均变化率可以反映抛物线的开口方向和宽度。
四、求解一元二次方程平均变化率问题的方法
1. 确定区间：首先确定需要计算平均变化率的区间[x₁, x₁]。这个区间可以是题目给出的，也可以是根据实际问题自行选择的。
2. 计算函数值：分别计算f(x₁)和f(x₁)的值，即把x₁和x₁代入一元二次方程中求得对应的y值。
3. 计算平均变化率：利用公式(f(x₁)-f(x₁))/(x₁-x₁)计算平均变化率。这个值可以反映函数在区间[x₁, x₁]内的平均变化情况。
4. 分析结果：根据计算出的平均变化率，分析函数在指定区间的变化趋势和速度。如果平均变化率为正，说明函数在该区间内总体呈上升趋势；如果平均变化率为负，说明函数在该区间内总体呈下降趋势。同时，平均变化率的绝对值大小还可以反映函数变化的快慢。
第2课时 平均变化率与一元二次方程
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．
一、情境导入
月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决增长率问题
【类型一】增长率问题
(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
答：这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.
某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费) 解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．
一元二次方程增长率下降率问题公式
在数学中，一元二次方程是指最高次项的系数为非零的二次方程。可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知实数常数，且a不等于零。
当我们研究一元二次方程的图像时，我们会遇到增长率和下降率的问题。增长率是指函数值随自变量的增加而增加的速度，而下降率是指函数值随自变量的增加而减少的速度。
为了求解一元二次方程增长率下降率的问题，我们需要使用导数的概念。导数是用来描述函数在某一点的斜率或变化率的数学工具。对于一元二次方程f(x) =
ax^2 + bx + c，它的导数可以表示为f'(x) = 2ax + b。
根据导数的定义，当x取某一特定值时，f'(x)给出了该点处函数的斜率。如果f'(x)大于零，表示函数在该点处增长；如果f'(x)小于零，表示函数在该点处下降；如果f'(x)等于零，表示函数在该点处取得极值（最大值或最小值）。
因此，对于一元二次方程增长率下降率的问题，我们可以使用导数来求解。我们可以将f'(x) = 2ax + b设为0，解出x的值，得到函数在该点处的极值点。根据极值点的位置，就可以确定函数在该点的增长率和下降率。
总结而言，一元二次方程增长率下降率的问题可以利用导数来求解。通过求解导数为0的方程，我们可以确定函数的极值点，从而得出函数在该点处的增长率和下降率。这个过程可以帮助我们更好地理解和分析一元二次方程的图像特点。
