用一元二次方程解决增长率问题含答案
1.解决增长率问题的一元二次方程
1.1 平均变化率问题
安徽中考题目：一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。设两次降价的百分率都为x，则x满足(D)
16(1+2x)=25.
阳泉市平定县月考题目：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆。设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)
1000(1+x)2=1000+440.
巴中中考题目：巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率。解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2=4050.解得x=10%。
广东中考题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。求3月份到5月份营业额的月平均增长率。解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2=633.6.解得x=20%。
1.2 市场经济问题
泰安中考题目：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)
(3+x)(4-0.5x)=15.
达州中考题目：新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每售出1件，价格就下降0.5元。若该童装原价为10元/件，则在售完全部存货后，该童装的平均售价为(A)
9.5元/件。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，每件童装盈利40元。经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可以多售出2件。要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应该降价多少元？设每件童装应该降价x元，可以列方程为(40-x)(20+2x)=1200.
平均变化率与一元二次方程
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．
一、情境导入
月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决增长率问题
【类型一】增长率问题
(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这
种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
答：这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.
某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐
月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)
【分析】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用二次函数的性质解决实际问题，正确理解题意，确定函数解析式是关键．
设y=kx2+(2k−1)x+1，根据题意可知此函数图象与x轴有两个交点，可得出Δ>0，从而得到k的取值范围；根据一元二次方程的根与系数的关系得出x1+x2和x1⋅x2的值，代入⋅x1−x2⋅=(x1+x2)2−4x1⋅x2即可求出所求式子的值．
【解答】
解：设y=kx2+(2k−1)x+1(k=0)，
⋅此函数图象与x轴有两个交点，
⋅Δ=(2k−1)2−4k>0，
解得：k<−21或k>21；
⋅x1,x2为该函数图象与x轴两交点的横坐标，
⋅x1+x2=−k2k−1，x1⋅x2=k1；
⋅⋅x1−x2⋅=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−k2k−1)2−k4=k24k2−4k+1−k4=k2(2k−1)2−k4=k3(2k+1)(2k−3)．
初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析
一、引言
一元二次方程平均变化率问题在初中数学中占有重要地位，这类问题常常出现在各种考试和实际应用中。掌握这类问题的解决方法，不仅可以提高学生的数学成绩，还可以培养其逻辑思维和解决问题的能力。本文将详细解析一元二次方程平均变化率问题的概念、方法、应用及注意事项，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、平均变化率的概念
平均变化率描述了一个量在某一时间段内的平均变化情况。在一元二次方程中，平均变化率通常用来描述函数图像在某一段内的斜率或倾斜程度。设函数y=f(x)，在区间[x₁, x₂]上的平均变化率为(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)。
三、一元二次方程与平均变化率的关系
一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一个抛物线。这个抛物线的形状和位置由系数a、b、c决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。而抛物线的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
对于一元二次方程，我们可以通过计算其在某一区间上的平均变化率，来了解函数在该区间的变化情况。特别地，当区间选取为对称轴两侧等距的两个点时，平均变化率可以反映抛物线的开口方向和宽度。
四、求解一元二次方程平均变化率问题的方法
1. 确定区间：首先确定需要计算平均变化率的区间[x₁, x₁]。这个区间可以是题目给出的，也可以是根据实际问题自行选择的。
2. 计算函数值：分别计算f(x₁)和f(x₁)的值，即把x₁和x₁代入一元二次方程中求得对应的y值。
3. 计算平均变化率：利用公式(f(x₁)-f(x₁))/(x₁-x₁)计算平均变化率。这个值可以反映函数在区间[x₁, x₁]内的平均变化情况。
4. 分析结果：根据计算出的平均变化率，分析函数在指定区间的变化趋势和速度。如果平均变化率为正，说明函数在该区间内总体呈上升趋势；如果平均变化率为负，说明函数在该区间内总体呈下降趋势。同时，平均变化率的绝对值大小还可以反映函数变化的快慢。
