相对运动在高中物理中的应用湖北省恩施高中 陈恩谱一、相对运动基本公式如右图所示，木板对地位移为 x 1，物块相对木板位移为 x 相对，则物块对地位移为x 2=x 1+x 相对变形可得x 相对=x 2-x 1用更一般形式表示，如下s 相对 = s 物 - s 参上式左右两边对时间求导，可得同理可得v 相对 = v 物 - v 参a 相对 = a 物 - a 参注意，这三个公式都是矢量式，在直线运动的计算中，需要规定好正方向，带入正负号计算，在曲线 运动中，需要用平行四边形定则或者三角形定则进行矢量运算。
【例 1】(2017·中原名校第一次联考)以从塔顶由静止释放小球 A 的时刻为计时零点，t 0 时刻又在与小球 A 等高的位置处，由静止释放小球 B 。
若两小球都只受重力作用，设小球 B 下落时间为 t ，在两小球落地前，两小球间的高度差为Δx ，则Δx－t 0 图线为( )t[解析] t 0 时刻，小球 A 的速度为 gt 0，小球 B 的速度为 0，则此后以 B 为参考系，A 的相对速度为 v 相对 = gt 0 - 0 = gt 0 ， 相 对 加 速 度 为 a 相对 = g - g = 0 ， 则 经 过 时 间 t ， A 相 对 B 的 位 移 为 ∆x = v t = gt ⋅ t ，这也就是两球间的高度差，则有Δx ＝gt 0，Δx 与 t 0 成正比，选项 B 正确。
相对0 t t【例 2】(2016·南通二模)如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至 b 点时，救生员乙从 O 点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的( )A ．Oa 方向B ．Ob 方 向C ．Oc 方向D ．Od 方向[解析] 由于落水者随着水流运动，以水为参考系时，落水者相对水静止；而救生员既随水运动，又相对水运动，以水为参考系时，救生员就只有相对水的运动了。
初始时刻，他们之间的相对位置沿 Ob 方向， 则以水为参考系时，救生员只需相对于水流沿 Ob 方向做直线运动，就能实施救助，B 项正确。
【例 3】(2016·江西九校联考)如图 4 所示，质量相等的两个滑块位于光滑水平桌面上。
其中，弹簧两端分别与静止的滑块 N 和挡板 P 相连接，弹簧与挡板的质量均不计；滑块 M 以初速度 v 0 向右运动，它与挡板 P 碰撞(不粘接)后开始压缩弹簧，最后，滑块 N 以速度 v 0 向右运动。
在此过程中( )A.M 的速度等于 0 时，弹簧的弹性势能最大B.M 与 N 具有相同的速度时，两滑块动能之和最小C.M 的速度为v0时，弹簧的长度最长2 D.M 的速度为 v 0时，弹簧的长度最短2[解析] 以 N 为参考系，M 的速度减为零时，弹簧压缩最短；也就是以地面为参考系时，两者共速时弹簧压缩最短，弹簧的弹性势能最大，由能量守恒可知，此时两滑块动能之和最小。
设两滑块的共同速度为 v ，则由动量守恒，有 mv 0 = (m + m )v ，解得 v 0v = 。
故本题选 BD 。
2在右边两幅图所示情境中，有类似结论：图（1）中，靴型物体放置在光滑水平地面上，小球以某一初速度滑 上靴型物体，以靴型物体为参考系，易知小球速度减为零时，小球上升至最高点，也就是以地面为参考系时，小球与靴型物体水平共速时小球上升至最高点。
图（2）中，金属圆环 m 套在水平光滑杆上，轻质细线一端系于圆环，另一端悬挂一质量为 M 的物块，给物块一水平初速度后，以圆环为参考系，当物块的速度减为零时物块上升至最高点，也就是以地面为参考系时，物块与圆环水平共速时物块上升至最高点。
二、相对运动在受力分析中的应用 1、摩擦力的方向图（1）图（2）摩擦力总是与受力物体相对施力物体的运动方向（或相对运动趋势）相反。
因此，只要判断出受力物 体相对施力物体的运动方向，即可得到摩擦力的方向。
这是摩擦力方向判断的最基本依据。
【例 4】如图所示，A 为长木板，在水平地面上以速度 v 1 向右运动，物块 B 在木板 A 的上面以速度 v 2 向右运动。
下列判断正确的是（A 、B 间不光滑）（ ）A ．若是 v 1＝v 2，A 、B 之间无滑动摩擦力B ．若是 v 1＞v 2，A 受到了 B 所施加的向右的滑动摩擦力C ．若是 v 1＜v 2，B 受到了 A 所施加的向右的滑动摩擦力D ．若是 v 1＞v 2，B 受到了 A 所施加的向左的滑动摩擦力[解析]当 v 1＝v 2 时，A 、B 之间无相对运动，它们之间肯定没有滑动摩擦力；当 v 1＞v 2 时，以 B 为参考 系，A 向右运动，它受到 B 施加的向左的滑动摩擦力，B 则受到 A 施加的向右的滑动摩擦力；当 v 1＜v 2 时， 以 A 为参考系，B 向右运动，B 受到 A 施加的向左的滑动摩擦力，A 受到 B 施加的向右的滑动摩擦力。
故本题选 A 。
2、应用【例 5】摩擦力方向的判定 1：倾斜向下传送带如图所示，传送带与地面夹角θ＝37°，从 A 到 B 长度为 L ＝10.25 m ，传送带以 v 0＝10 m/s 的速率逆时针转动。
在传送带上端 A 无初速地放一个质量为 m ＝0.5 kg 的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝ 0.5 。
煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。
已知 sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2，求(1)煤块从 A 到 B 的时间；(2)煤块从 A 到 B 的过程中传送带上形成痕迹的长度。
[解析] (1)煤块刚放上时，以传送带为参考系，煤块相对传送带向上运动， 所以煤块受到向下的滑动摩擦力，设其加速度为 a ，则由牛顿第二定律，有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1代入数据，解得 a 1＝10 m/s 2加速过程中 t ＝v 0＝1 s ，x ＝1a t 2＝5 m 。
1 1 1 1a 1 2由于μ= 0.5 < tan θ= 0.75，煤块的速度达到 v 0 后，将相对传送带向下滑动，其受到传送带给它向上的滑动摩擦力，则则由牛顿第二定律，有mg sin θ-μmg cos θ＝ma 2代入数据，解得 a 2＝2 m/s 2此后过程煤块位移为 x ＝L －x ＝5.25 m ，且 x ＝v t1a t 2，得 t ＝0.5 s 。
2120 2＋ 2 2 22煤块从 A 到 B 的时间为 t ＝t 1＋t 2＝1.5 s 。
v 相对v 1v 相对 = - v 相对v 相对0 - v 0 - v (2)以传送带为参考系，煤块在第一过程相对位移为Δx 1＝x 1－v 0t 1＝－5 m ，负号表示方向向上； 第二过程相对位移Δx 2＝x 2－v 0t 2＝0.25 m ，方向向下。
也就是煤块先相对传送带上滑后相对下滑，所以两段划痕有部分重合，故痕迹总长为 5 m 。
【例 6】一方形木板放置在水平地面上，在方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定在水平地面上，挡跟木板之间并不接触．现在有一个方形物块在木板上沿挡板以某 一速度运动，同时方形木板以相等大小的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1 和μ2， 物块的质量为 m ，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为（ ）1 A. 0 B.μ1μ2mg C. 2 μ1μ2mg D. 2μ1μ2mg [解析] 以挡板为参考系，物块相对速度为 v 1，则挡板对物块的滑动摩擦力 f 1 与 v 1 方向相反；以木板为参考系，物块的相对速度为 ，矢量图如右图所示，则可知物块相对木板的速度与向右 v 物 v 木 偏 45⁰角，木板对物块的滑动摩擦力 f 2 与方向相反，则物块的受力俯视图如右图（2）所示。
由滑动摩擦定律可知：f 2＝μ2mg垂直挡板方向，由平衡条件，有 F N ＝f 2cos 45⁰＝v 22 f 2μ2mg2则由滑动摩擦定律可知：f 1＝μ1F N ＝ 2故本题选 B 。
三、相对运动在运动学问题中的应用1、直线运动中的应用μ1μ2mgF N图（1 图（2） 【例 7】在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x ，A 车在后面做初速度为 v 0、加速度大小为 2a 的匀减速直线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。
要使两车不相撞，求 A 车的初速度 v 0 满足什么条件。
[解析] 以 B 车为参考系，A 车初速度方向为正方向，则 A 车的相对初速度为v 相对0 = v 0 - 0 = v 0 ，相 对加速度为 a 相对 =（- 2a ）- a = -3a ，则 A 的相对速度减为零时，有代入数据，解得 x 相对v 2 = 0 。
6a2 2 相对0 = 2a 相对x 相对若相对速度减为零时，A 车不撞 B 车，两车就不会相撞，即 x 相对 ≥ x ，解得v 0 ≤ 【例 8】 (2017·安徽名校联考)质量 M ＝3 kg 的长木板放在光滑的水平面上。
在水平拉力 F ＝11 N 作用下由静止开始向右运动。
如图所示，当速度达到 1 m/s 时，将质量 m ＝4 kg 的物块轻轻放到木板的右端。
已知物块与木板间动摩擦因数μ＝0.2，物块可视为质点。
(g ＝10 m/s 2)求：(1)物块刚放置在木板上时，物块和木板的加速度分别为多大；(2)木板至少多长物块才能与木板最终保持相对静止。
[解析] (1)物块刚放置在木板上时，木板具有向右的速度，则物块相对木板向左运动，物块受到木板向右的滑动摩擦力，加速度大小为 a 1＝μmg＝μg ＝2 m/s 2，方向向右。
木板相对物块向右运动，则受到物块给m它向左的滑动摩擦力，加速度大小 a 2＝F －μmg＝1 m/s 2，方向向左。
M(2) 选 木 板 为 参 考 系 ， 物 块 的 相 对 初 速 度 为v 相对0 = 0 - v 0 = -1m/s ， 相 对 加 速 度 为 a 相对 = a 1 - (-a 2 ) = 3m/s 2 ，则物块相对速度减为零时，有2 2 相对0 = 2a 相对x 相对代入数据，解得 x 相对 = -0.5m ，负号表示相对位移向左。
则木板长度应满足 L ≥ x 相对 ，物块才不会从木板上掉落。
故木板至少长为 0.5 m 。
2 2 2 6axf 1k 32、曲线运动中的应用 【例 9】(2016·山西太原一模)CTMD(中国战区导弹防御体系)是一种战术型导弹防御系统，可以拦截各类型的短程及中程超音速导弹。
在某次演习中，检测系统测得关闭发动机的导弹在距地面高为 H 处，其速度为 v 且恰好水平，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度 v 0 竖直向上发射一颗炮弹成功拦截。
