2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===-2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A. {}37x x <≤B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D.{}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题. 4.在区间[]2,4-上:任取一个实数x ,则使得312x -≤成立的概率为（ ） A.37B.45C. 23D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率求法即可求解. 【详解】3151222x x -≤⇔-≤≤， ∴使得312x -≤成立的概率为()51122422P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--故选：D【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，需熟记几何概型的概率求法公式，属于基础题. 5.函数()42x f x x=-的零点所在的区间是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数()42f x x=-，则121428122f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()141221f =-=，32348203232f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭ ，()3102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知函数()42x f x x=-的零点所在的区间是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题. 6.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错；对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且9·2AB AC =,则AB =（ ） A. 3 B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==， 291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=,解得3AB =. 故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( ) A. 13,q q B. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 22f x sin x cos x =化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】解:由()1 222sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=,由()22x k k Z ππ=+∈，解得()24k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()g x 的单调递增区间为,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时，44x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A.【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,月三棱柱外接球体积为323π,则12O O 的值为( )A.53B. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据球心与截面中心的连线与截面垂直得出12OO MO 为矩形，从而即可求解. 【详解】设三棱柱111 ABC A B C -外接球的半径为r ，则343233r ππ=，解得2r ，设AC 的中点为M ，三棱柱111 ABC A B C -外接球球心为O ， 则1OO ⊥平面ABC ，2O M ⊥平面ABC ，可得12OO MO 为矩形，所以12OM O O =====故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________． 3【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，故答案为：2【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4.15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m 取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则()21202f m f m ⎡⎤⎛⎫++-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()()2120f m f m ++->∴()()()2122f m f m f m +>--=-()f x 在R 单调递增，∴212m m +>-，即2300m m m ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()0,2,0FE b =-，23cos ,322FG FEb bFG FE b FG FE ⋅∴===⋅，E ∴到直线FG 的距离224sin ,24b d FE FG FE b b -===-，()222221333444322222EFGb b S FG d b b b b ∆+-∴=⋅⋅=-=-≤⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或 11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+ ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+ ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--故()121nn T n =-+【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2)若PAD △为正三角形,求C 点到平面PBD 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）62【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出.（2）取AD 中点M ,连接PM ，利用等体法：由P BCD C PBD V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 22, 22, AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥，面PAD ⊥底面 ABCD ，BD ∴⊥平面 .PAD 又PD ⊂平面 .PAD BD PD ∴⊥（2）因为侧面 PAD ⊥底面 ,ABCDPAD ∆为正三角形,取AD 中点M ,连接PMPM ∴⊥底面 ,ABCD 6PM =11126622332P BCD BCDV PM S -===设C 点到PBD 面的距离为,c d111262222332P BCD c PBDc Vd Sd -===62c d ∴=【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，需熟记锥体的体积公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n 户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.(1)求n ;(2)求这n 户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);(3)这n 户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率.【答案】（1）60n = （2）众数是67.5，中位数是66.3 （3）45【解析】 【分析】（1）根据从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,求出第四小组的频率，再由频率=频数样本容量即可求解.（2）由频率分布直方图第四组小矩形底边中点的横坐标为众数；中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和.（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1,2,3，分别记记为;,;,,a b c d e f 依次列出基本事件个数，由古典概型的概率求法公式即可求解.【详解】解：（Ⅰ）设从左至右第一、三、四小组的频率分别为123,,p p p ，则由题意可知：()2131123360.020.040.0451p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪+++++⨯=⎩,解得1230.050.150.3p p p =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 从而18600.3n == （2）由于第四小组频率最大，故这 n 户家庭月收入的众数为657067.52+= 由于前四小组的频率之和为：0.05 +0.1 0.15 +0.3 =0.6 >0.5+ 故这n 户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为 x 则650.050.10.150.30.52x -+++⨯=，解得66.3x = （3）因为家庭月收入在第一、二、三小组家庭分别有3,6,9户，按照分层抽样的方法易知分别抽取1,2,3，第一组记为a ，第二组,b c ，第三组为,,d e f ， 从中随机抽取2 户家庭的方法共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种；其中这2户家庭月收入都不超过6000元有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f()()(),,,,,,c d c e c f 共12种；所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为124155P == 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，掌握住由频率分布直方图求众数、中位数，考查了古典概型的概率求法，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ =y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max122S PQ =⨯⨯即可求解.【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ， 则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-，得1113y y x x +-=- 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k =+ 把.y kx m =+代入椭圆方程2213x y +=，整理得()222316330k x kmx m +++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+==++PQ ======()20k =≤=≠ 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立，当0k =时，PQ =综上所述max2PQ =.所以当PQ 取最大值时，POQ △面积max 1222S PQ =⨯⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题. 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a+<<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=，进而求出83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ=又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ （2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可证出.（2）利用基本不等式求出2214a b +的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.【详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤ 当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤< 当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤< 综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}05|2>-=x x x A ，则C R A = A ．{}50|≤≤x xB ．{}0|<x xC ．{}5|>x xD ．{}05|≤≤-x x2．设复数z 满足z （2-i ）=1+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭的虚部为 A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53-3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B = A ．4 B ．13C ．40D ．414．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51 C ．28 D ．185．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m ，)3,(m c =，若b a //，则⋅= A ．-5B ．5C ．1D ．-16．甲、乙、丙三人参加银川一中招聘老师面试，最终只有一人能够被银川一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。

2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合P={x|x≥1}，Q={x|y=ln(4−x2)}，则P∩Q=()A. [1,2)B. (1,2]C. (1,2)D. (2,1)2.已知i是虚数单位，若z(1−i)=i−2，则|z|=()A. √52B. √10 C. √102D. √53.命题“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是()A. ∀x∈R，2x +lnx>0 B. ∀x∈R，2x+lnx≥0C. ∃x0∈R，2x0+lnx0<0 D. ∃x0∈R，2x0+lnx0>04.在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于()A. 4B. 6C. 12D. 165.下列在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=−sinxB. y=x2−2x+3C. y=ln(x+1)D. y=2020−x26.设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确是()A. 若m⊥l，n⊥l，则m//nB. 若m⊥β，m//α，则α⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD. 若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β7.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，且△ABC的面积为√22，则角C的大小是()A. 45°B. 60°C. 60°或120°D. 45°或135°8.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±2x9.已知向量a⃗=(3,100)，若λa⃗=(3λ,2μ)(λ,μ∈R)，则λμ=()A. 50B. 3C. 150D. 1310.若执行如图所示的程序框图，且输入x的值为0，则输出x的值为()A. 9B. 8C. 7D. 611.若实数x，y满足不等式组{x−y+2≥0x+y−4≤0x−3y+3≤0，则4x+8y的最大值为()A. 28B. 23C. 4D. 112.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，率为−2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|=52，则该抛物线的方程是()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=6x二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)的定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，若f(−1)=−32，则a=．14.函数y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为______ ．15.半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是√3，则球的表面积是______ ．16.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P，使得∠APB=90°，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，数列{b n}的前n项和．18.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩(单位：分)分成范围为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]共6组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求实数m的值；(2)若从成绩在范围[60,80)的学生中随机抽取2人，求抽到的学生成绩全部在范围[70,80)的概率．19.已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，DC=2AB，Q为PC的中点．(1)求证：BQ//平面PAD；(2)若PD=3，BC=√2，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三．棱锥S−BCD的体积为2320. 已知以椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为顶点的四边形面积是4√3，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，证明：3|AB|=4|AF|×|BF|．21. 已知函数f(x)=2x −2lnx +a ，g(x)=−ax −2，a ∈R ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，求实数a 的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =−ty =t +4(t 是参数)，以原点O 为原点，以x 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos(θ−π6). (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．23.已知函数f(x)=|2x+1|−|2x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若f(x)≤a−2对任意的x∈R成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵P={x|x≥1}，Q={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，∴P∩Q=[1,2)．故选：A．可求出集合Q，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z(1−i)=i−2，∴z=i−21−i =(i−2)(1+i)(1−i)(1+i)=−32−12i，∴|z|=√94+14=√102，故选：C．先利用复数的运算法则求出z，再利用复数的求模公式即可求出|z|．本题考查了复数的四则运算及模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是∀x∈R，2x+lnx>0，故选：A直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.【答案】A【解析】解：a1⋅a3⋅a11=a13⋅q12=(a1q4)3=a53=8，则a 2⋅a 8=a 52=4．故选：A根据等比数列的通项公式化简a 1a 3a 11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a 2a 8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值． 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =−sinx ，在区间(0,+∞)上不具有单调性，不符合题意，对于B ，y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，在区间(1,+∞)上为增函数，不符合题意， 对于C ，y =ln(x +1)，在区间(0,+∞)上为增函数，不符合题意， 对于D ，y =2020−x2=(√2020)x ，是指数函数，在区间(0,+∞)上为减函数，符合题意，故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案． 本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面， ∴若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面，故A 错误； 若m ⊥β，m//α，则α⊥β，故B 正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C 不正确；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行，故D 不正确． 故选：B ．由m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，知：若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面；若m ⊥β，m//α，则α⊥β；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行．本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7.【答案】D【解析】解：若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，则ab=2，△ABC的面积为12absinC=sinC=√22，可得内角C=45°或135°．故选：D．由二次方程的韦达定理和三角形的面积公式，即可得到所求值．本题考查三角形的面积公式和二次方程的根的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，可得a2+b2a2=109，可得ba=13，所以双曲线的渐近线方程为：y=±13x．故选：C．利用双曲线的离心率推出a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及渐近线方程的求法，是基础题．9.【答案】C【解析】解：因为λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，所以100λ=2μ，即λμ=150．故选：C．由λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，得解．本题考查平面向量共线的条件，平面向量的坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得：不满足条件x >7，执行循环体，x =4，x =1 不满足条件x >7，执行循环体，x =6，x =2 不满足条件x >7，执行循环体，x =8，x =3 不满足条件x >7，执行循环体，x =10，x =4 不满足条件x >7，执行循环体，x =12，x =5 不满足条件x >7，执行循环体，x =14，x =6 不满足条件x >7，执行循环体，x =16，x =7 不满足条件x >7，执行循环体，x =18，x =8 此时，满足条件x >7，退出循环，输出x 的值为8． 故选：B ．根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理．11.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −4=0x −y +2=0，解得A(1,3)，由z =4x +8y ，得y =−x2+z8，由图可知，当直线y =−x2+z8过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为28． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点为F( p2,0)准线方程为x=−p2，设直线MN方程为y=−2x+p，联立抛物线方程可得y2+px−p2=0，故x M+x N=y M2+y N22p =(y M+y N)2−2y M y N2p=3p2，由抛物线的定义可得|MN|=x M+x N+p=32p+p=52，解得p=1；则该抛物线的方程是y2=2x，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p即可；本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及求函数值，同时考查了计算能力，属于基础题．根据条件，得到f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，即可求出a的值．【解答】解：由题意，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，f(−1)=−32，∴f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，∴a=12．114.【答案】3e2x−y−2e2=0【解析】解：∵y=xe2x，∴y′=(2x+1)e2x，∴y′|x=1=3e2，又当x=1时，y=e2，∴y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为y−e2=3e2(x−1)，即3e2x−y−2e2=0．故答案为：3e2x−y−2e2=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记导数的运算法则是关键，是基础题．15.【答案】4π【解析】解：根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线即√3R即√3R=√3解得：R=1故球的表面积是S=4π⋅12=4π，故答案为：4π．设球的半径为R，当球放在墙角时，同时与两墙面和地面相切可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，则正方体对角线即为球心到墙角顶点的距离，由此求出球的半径，可得球的表面积．本题主要考查了空间两点的距离，以及利用构造正方体进行解题，属于基础题．16.【答案】[−√7,√7]【解析】解：如图：由题可知，A(−2,0)和B(2,0)都在圆x 2+y 2=4上，∵P 在圆(x −a)2+(y −3)2=4，∠APB =90°，∴圆x 2+y 2=4与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点，所以0≤√a 2+32≤4，解得−√7≤a ≤√7，故答案为：[−√7,√7]．根据直径所对的圆周角恒为90°，可将题设转化为求以AB 为直径的圆与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点问题来解决．本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．17.【答案】解：(I)当n =1时，a 1=S 1=12−1=0；当n ≥2时，S n−1=(n −1)2−(n −1)=n 2−3n +2， 所以a n =S n −S n−1=2n −2(n ≥2)，经验证，当n =1时，也成立；综上，a n =2n −2；(II)由条件有2n −2+log 3n =log 3b n ，解得b n =n ×9n−1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =1×90+2×91+3×92+⋯+n ×9n−1，9T n =1×91+2×92+3×93+⋯+n ×92， 相减得−8T n =90+91+92+⋯+9n−1−n ×9n =1×(1−9n )1−9−n ×9n ， 整理得T n =1+(8n−1)×9n 64．【解析】(1)利用和项关系a n ={S 1, ;n =1S n −S n−1,n ≥2求解；(2)求出数列{b n }的通项公式b n =n ×9n−1，为差比型数列，利用错位相减法求和．本题考查点为利用数列的前n 项求数列的通项公式及利用错位相加法求差比型数列的前n 项和，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，(0.010+m+m+0.030+0.025+0.005)×10=1，解得m=0.015；(2)成绩在范围[60,80)的学生人数为n=20×(0.015×10)+20×(0.030×10)=9人，成绩在范围[70,80)的学生人数q=20×(0.030×10)=6人，从9个学生中随机抽取2人的种数为C92=36种，从6个学生中随机抽取2人的种数为C62=15种，故所求概率P=1536=512．【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解即可；(2)先求出成绩在范围[60,80)和[70,80)的学生人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：取PD的中点G，连结AG，QG，又因为Q为PC的中点，所以GQ//DC且GQ=12DC，又因为AB//DC，DC=2AB，所以GQ//AB，GQ=AB，故四边形ABQG是平行四边形，所以BQ//AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ//平面PAD；(2)因为在四边形ABCD中，AB//DC，AD⊥DC，DC=2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，又因为BC=√2，BC⊥BD，所以BD=BC=√2，故△BCD的面积S=12×√2×√2=1，设点S到平面ABCD的距离为h，因为三棱锥S−BCD的体积为23，所以13×1×ℎ=23，解得ℎ=2，又PD ⊥平面ABCD ，所以点S 在线段PC 上靠近点P 的三等分点处．【解析】(1)取PD 的中点G ，连结AG ，QG ，证明四边形ABQG 是平行四边形，可得BQ//AG ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)确定点B 在线段CD 的垂直平分线上，求解△BCD 的面积，设点S 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积求出h ，然后由PD ⊥平面ABCD ，即可得到点S 的位置．本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵以椭圆C 的顶点为顶点的四边形面积是4√3，∴4×12ab =4√3， ∴ab =2√3，又∵椭圆的离心率为12，∴a 2−b 2a 2=(12)2， ∴a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴由韦达定理可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∴3|AB|=3√m 2+1|y 1−y 2|=3√m 2+1 √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36(m 2+1)3m 2+4，∵A(x 1,y 1)，F(1,0)，∴|AF|=√(x 1−1)2+(y 1−0)2=√my 12+y 12=√m 2+1|y 1|，同理可得|BF|=√m 2+1|y 2 |，∴4|AF|×|BF|=4(m 2+1)|y 1y 2|=4(m 2+1)⋅93m 2+4=36(m 2+1)3m 2+4，∴3|AB|=4|AF|×|BF|，即得证．【解析】(1)根据已知条件，结合椭圆的离心率公式，即可求解．(2)设l 为x =my +1，将直线l 与椭圆联立方程可得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，再结合韦达定理，以及两点之间的距离公式，即可证明．本题考查了直线与椭圆的综合知识，需要学生能够熟练掌握公式，且本题计算量大，属于难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=2x −2lnx +a ，定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=2−2x =2x−2x ，当0<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x >1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；(2)由题意可得，f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，即a >2+2lnx 1−x对任意的x ∈(0,12)成立， 令ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，则ℎ′(x)=2x −2+2lnx (1−x)2， 令m(x)=2x −2+2lnx ，则m′(x)=−2+2x x 2， 当x ∈(0,12)时，m′(x)<0，则m(x)在(0,12)上单调递减，又当x =12时，m(x)>0，所以当x ∈(0,12)时，m(x)>0，即当x ∈(0,12)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增，故ℎ(x)<ℎ(12)=2−4ln2，所以a ≥2−4ln2，故实数a 的取值范围为[2−4ln2,+∞)．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数的正负确定函数f(x)的单调性即可；(2)利用参变量分离将问题转化为a >2+2lnx 1−x 对任意的x ∈(0,12)成立，构造ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，利用导数求解ℎ(x)的性质以及取值范围，即可得到a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−t y =t +4(t 是参数)，消去参数t ，可得直线的普通方程为x +y −4=0， 由ρ=6cos(θ−π6)，得ρ2=6ρ(√32cosθ+12sinθ)，即ρ2=3√3ρcosθ+3ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−3√3x −3y =0；(2)由(1)得，曲线C 的方程为(x −3√32)2+(y −32)2=9， 令x −3√32=3sinθ，y −32=3cosθ，则x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32=3√2sin(θ+π4)+3√3+32． ∴x +y 的取值范围是[3√3−6√2+32,3√3+6√2+32].【解析】(1)直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 的参数方程形式，可得x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32，再由辅助角公式化积，利用三角函数求最值，即可求得x +y 的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|，所以不等式f(x)<0为|2x +1|−|2x −2|<0，即(2x +1)2<(2x −2)2，化简得12x <3，解得x <14，所以不等式f(x)<0的解集为(−∞,14)；(2)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|≤|(2x +1)−(2x −2)|=3，所以f(x)max ≤3；又因为f(x)≤a −2对任意的x ∈R 成立，所以3≤a −2，解得a ≥5，所以实数a的取值范围是[5,+∞)．【解析】(1)不等式f(x)<0化为|2x+1|<|2x−2|，两边平方后求出不等式的解集；(2)求出函数f(x)的最大值，不等式化为f(x)max≤a−2，由此实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a -> B. 0x ∀>，使()21xx a -≤ C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =，()0,1b =-，(),3c k =.若()()2//a b b c -+，则k 的值为（ ） A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意；若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>，所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________. 【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360y x y =⎧⎨+-=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A ，所以z 2x y =-的最小值为83-. 故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 ． 【答案】50π 【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， ∵长方体的对角线长等于球的直径， ∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π． 故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a 中，12n n a a +-=且1239a a a ++=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++，()21212(121)22212nn n n n+-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）1sin()sin 0,sin (sin )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=，10,sin 0,sin ,tan 2B B C C C π<<∴≠==，20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 4223222S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB，,E G分别是,BC SC的中点，//EG SB∴.又SB⊂平面11,BDD B EG⊄平面11BDD B，所以直线//EG平面11BDD B.（2）连接,,SD F G分别是,DC SC的中点，//FG SD∴.又∵SD⊂平面11,BDD B FG⊄平面11,BDD B//FG∴平面11BDD B.又EG⊂平面,EFG FG⊂平面,EFG EG FG G⋂=，∴平面//EFG平面11BDD B.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，60DAB∠=，PD⊥平面ABCD，2PD AD==，点E、F分别为AB和PD的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】（1）(),()xxf x e ax f x e a '=-=-，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞； （2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增， 无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解，1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>，22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增，1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ)1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =， 设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．估计sin2020°的大小属于区间（ ）A ．)0,21(-B ．)21,0(C ．)21,22(--D ．)23,22( 2．已知)}2ln(|{2--=∈=x x y N x A ，}1,|{≤=∈=x e y N y B x ，则(C N A )∩B ＝（ ）A ．{1，2}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．∅3．设x ∈Z ，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题p ：∀x ∈A ，x-1∈B ，则（ ）A ．￢p ：∀x ∈A ，x-1∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，x-1∉BC ．￢p ：∃x ∉A ，x-1∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，x-1∉B4．设锐角△ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ，那么“A +B ＞2π”是“sin B ＞cos A ”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知243παπ-<<-，则sin α，cos α，tan α的大小关系为（ ） A ．sin α＞cos α＞tan α B ．cos α＞sin α＞tan αC ．tan α＞cos α＞sin αD ．sin α＞tan α＞cos α6．设⎩⎨⎧<+≥-=5)),3((5,2)(x x f f x x x f ，则f （3）的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设a ＝0.30.2，b ＝0.20.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c 8．曲线x x y ln 2-=在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则)22cos(πα-的值为（ ） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53- 9．已知奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且g （b ）＝a ，则f （2）的值为（ ）A ．a 2B ．2C ．415D ．417 10．函数||ln 8)(4x x x f =的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，0)()(<'⋅+x f x x f ，且0)3(=-f ，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣3，0）∪（3，+∞）B ．（﹣3，0）∪（0，3）C ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知f （x ）是R 上的偶函数，f （x +π）＝f （x ），当20π≤≤x 时，f （x ）＝sin x ，则函数||lg )(x x f y -=的零点个数是（ ）A ．12B ．10C ．6D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13．集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ．14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝)(212矢矢弦+⨯．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为32π，弦长等于9m 的弧田．按照上述经验公式计算所得弧田的面积是 m 2．15．若关于x 的不等式1ln ≤+x ax 恒成立，则a 的最大值是 ．16．函数)32(log 2sin +-=mx x y θ(其中)2,0(πθ∈)在区间)1,(-∞上递增，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合A ＝{x |2a ﹣1＜x ＜a +1}，B ＝}10|{≤<x x ．（1）若a ＝1，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为)54,53(-。

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）【答案】C 【解析】 【分析】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ⋃⋂= (]3,2-.故选C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2||z = ( )A. 2B.C. D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出复数2z ，再求2z . 【详解】由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()xf x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增， 所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2x p x R x e ∃∈->为真命题； 由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.4.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( )A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=， 解得2q =-（舍去），12q =， 则14a =， 故选A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 2B. 4C. 442+D. 642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.6.已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 根据22a b -=得到22424a b a b +-=，再由基本不等式得到222424a b a b a b ≤+-=，结合数量积的定义，即可求出结果.【详解】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式，熟记向量数量积的运算与基本不等式即可，属于常考题型.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(+)6y x π=D. 2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 11.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．12.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A. 11B. 5C. -9D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据(3)()f x f x +=-即可得出(6)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为6，再根据()f x 是偶函数，以及(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，从而可求出f （8）f =（2）(2)9f =-=-． 【详解】(3)()f x f x +=-；(6)(3)()f x f x f x ∴+=-+=；()f x ∴的周期为6；又()f x 是偶函数，且(3,0)x ∈-时，()25f x x =-；f ∴（8）(26)f f =+=（2）(2)459f =-=--=-．故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】 分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目标函数2z x y=+可化为122zy x=-+，因此当直线122zy x=-+在y轴上截距最小时，2z x y=+取最小.由图像易得，当直线122zy x=-+过点(2,0)A时，在y轴上截距最小，即min2z=.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.已知4cos()35πα+=，则13sin()6πα-的值是____________.【答案】45-【解析】根据两角和的余弦公式可得134cos cos325πααα⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以由诱导公式可得13sin6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭31cos622sin sinπααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭134cos225sinαα⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭，故答案为45-.15.已知A，B，C三点在球O的表面上，2AB BC CA===，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R 3=， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 219-r 2＝43，得r 232=． 球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π．故答案为6π．【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16.已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x '=+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最小值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．【详解】解：函数f x ax sinx =+（），若'g x f x f x ax sinx cosx a =+=+++（）（）（）， g x f x f x =+'（）（）（）在区间[-2π，2π]上单调递增，'0g x a sinx cosx =-+≥（），可得,,422a x x πππ⎛⎫⎡⎤≥-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,4x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以1a ≥.所以a最小值为：1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA AB =.求棱锥C PBD -的高. 【答案】（1）证明见解析（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ． （2）运用等体积转化图形求体积．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥ BD . 又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .（2）解：∵C PBD P CBD V V --=， 设棱锥C PBD -的高为h ∴1133PBD CBD h S PA S ∆∆⋅=⋅ ∵PA AB =，2AB =，60BAD ∠=︒ ∴22PB PD == 2BD = ∴2211722PBDS BD PB BD ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11322CBD S BD AC ∆=⋅= ∴2217CBD PBD PA S h S ∆⋅==. 即棱锥C PBC -的高为2217. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的求法，棱锥体积计算的常见方法： （1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求. （2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥），在计算体积时可以换底进行等体积棱锥图形的转化.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的值；（2）若4,7a c ==ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin cos 2sin sin 022R B C C R C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，由于在ABC ∆中，sin 0B >，则得出：1sin 022C C +=， 所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为()0,C π∈，则3C ππ+=，解得：23C π=.（2）在ABC ∆中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 所以24120b b +-=，且0b >， 解得：2b =， 则ABC ∆的面积为：11sin 42222S ab C ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n nS n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*213n an b n n N=-⋅∈，求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =； （2）13(1)3,n n T n n N ++=+-⋅∈.【解析】 【分析】（1）应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项n a 的表达式（2）由错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当n 2≥时，n n n 1a S S n -=-=；当n 1=时，11a S 1==，符合上式. 综上，n a n =. （2）()213nn b n =-.则由（1）-（2）得 ()()()2122123132132323213321313n n n nT n n -+⋅--=⋅+⋅++⋅+-⋅=+--⋅-()16223n n +=-+-⋅故()1313,n n T n n N ++=+-⋅∈.【点睛】知道n S 的表达式求数列通项时，我们常应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项na 的表达式．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】1:1 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:121.已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)a e +上单调递增，在1(,)ae ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】 【分析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x=-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e =-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值．【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2y 16x =，24t 705--=，12t t +=1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t 35-+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 【答案】（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】 【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥； （2）求出()()min23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥， 由()5f x ≥得][4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++. （2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷六）本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题=（）1.5−i1+iA. 2−3iB. 3−3iC. 2−2iD. 3+2i2.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n=（）A. 5B. 6C. 7D. 83.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A. {x|0<x<2}B. {x|0≤x<2}C. {x|−1<x<0}D. {x|−1<x≤0}4.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若其中一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的四分之一，样本容量为160，则该小长方形这一组的频数为（）A. ３２B. 0.2C. ４０D. 0.25 5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. 4B. 6+4√2C. 4+4√2D. 2 6.图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 20 7.已知椭圆的中点在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12 ，离心率为 13 ，则椭圆的方程为（ ）．A. x 236+y 224=1B. x 236+y 220=1C. x 232+y 236=1D. x 236+y 232=1 8.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A. 23B. 163 C. 6 D. 与点O 的位置有关9.执行如图所示的程序框图,若输入的n的值是100,则输出的变量S和T的值依次是()A. 2 500,2 500B. 2 550,2 550C. 2 500,2 550D. 2 550,2 50010.方程log5x+x−2=0的根所在的区间是（）A. (2,3)B. (1,2)C. (3,4)D. (0,1)11.若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是（）A. 1ab >12B. 1a+1b≤1 C. √ab≥2 D. a2+b2≥812.等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1，其前n项和为S n，则数列{s nn}前10项的和为（）A. 120B. 70C. 75D. 100二、填空题13.已知向量a→=（√3，1），b→=（0，﹣1），c→=（k，√3）．若a→-2b→与c→共线，则k=________14.某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为________．15.双曲线x2m −y26=1的一条渐近线方程为y=3x，则实数m的值为________．16.设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________ 写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三、解答题17.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知√3bcosC+csinB=√3a. （1）求角B的大小；（2）若b=√3，求ΔABC的周长的取值范围．18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= √2．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．19.已知函数f(x)=(kx−1)e x−k(x−1)．（1）若f(x)在x=x0处的切线斜率与k无关，求x0；（2）若∃x∈R，使得f(x)＜0成立，求整数k的最大值．20.“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)( i=1,2,3,⋯,10)的数据，得的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量yi到如图所示的散点图.参考数据和公式： ln2≈0.69 ， ln7≈1.95 .对于一组数据 (u 1,v 1) ， (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) ，其回归直线 v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： β̂=∑u i v i −nu ̅v ̅n i=1∑u i 2−nu ̅2n i=1=∑(u i −u ̅)(v i −v ̅)n i=1∑(u i −u ̅)2n i=1 ， α̂=v̅−β̂u ̅ .（1）利用散点图判断， y =a +bx 和 y =c +dlnx (其中a ，b ，c ，d 为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：其中令 w 1=ln x i ， w ̅=110∑w i10i =1 . 根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；（3）从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.21.已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为{x=1+cosφy=1+sinφ( φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A、B两点．（1）求l和M的极坐标方程；（2）当α∈(0，π4]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23.已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+ 15；4（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2021年高三文科保送数学模拟考试卷 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ． 2．已知复数，则 ▲ . 3．双曲线的离心率是 ▲ .4.若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．5.已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件） 6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ .7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形， 若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的， 则正中间一组的频数为 ▲ .8．执行如图算法流程图,若输入,,则输出的值为 ▲ . 9．已知ΔABC 的三个内角所对边的长分别为， 向量，，若，则∠等于 ▲ . 10．在等比数列中，已知，， 则 ▲ .11．函数的单调增区间为 ▲ .12.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值集合 是 ____▲ ．13. 设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 ▲.第814．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则正实数的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分12分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、上的点.（1）如果，求证：直线∥平面； （2）如果，求证：直线平面.17(本题满分12分)数列中， (c 是常数，n=1,2,3,…)，且成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值； (2)求的通项公式.PA B CD FE第16题18. (本小题满分14分)如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分15分)已知椭圆E ：的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点.(1)求圆C 的方程；(2)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P ， 使得？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.A B CD E F G R 第18题 H20．(本小题满分15分) 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程；（2）若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围； （3）若方程有唯一解,试求实数的值.南京外国语学校仙林分校高三数学模拟考试答题纸 2014-11-14一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11. _______ 12. _______ 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，共80分，__________ 姓名____________________ ———————————————————————————————15.（本题满分12分）16.（本题满分12分）PA B CDFE 第16题17.（本题满分12分）18.（本题满分14分）AB C DEFG R 第18题H19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）南外仙林分校xx 届文科保送高三数学模拟考试答案 2014-11-14一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ． 1{2，4，5}2．已知复数，则 ▲ .2.53．双曲线的离心率是 ▲ .3.4.若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．4. [-4，0]．5.已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件）5.既不必要也不充分条件．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ . 6.7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为 ▲ . 7.308．执行如图算法框图,若输入,,则输出的值为 ▲ .8.9．已知ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于 ▲ . 9. π310．在等比数列中，已知，，则 ▲ . 10.11．函数的单调增区间为 ▲ .11. （也可以写成）12.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值集合是 ____▲ ． 12. {5}（原题）13. 设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 ▲ . 13.29（原题13）14．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则正实数的取值范围是 ▲ . 14. （原题(1/e,1】）二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分12分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.解 由题意得p 和q 中有且仅有一个正确① p 正确，则由0＜()|x −1|≤1，求得a ＞1． ……………3分 ② ②若q 正确，则ax 2+(a −2)x + ＞0解集为R 当a=0时，−2x + ＞0不合，舍去；③ 当a ≠0时，则解得 ＜a ＜8． ……………6分 ④ p 和q 中有且仅有一个正确，∴，………9分 ∴a ≥8或 ＜a ≤1．故a 的取值范围为 [8，+∞）∪（，1]．………12分16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.（1）求证：直线∥平面；（2）求证：直线平面.P CDE16．证明：（1）作EQ//CD,FG//CD分别交PD,AD于Q,G，连GQ,Z则可以证明 GQ//EF …3分而GQ平面，平面,∴直线∥平面…………6分（2）因为面面,面面,面,且,所以平面,………………………8分又，，且、面,所以面…10分而∥,所以直线平面……………12分17(本题满分12分)数列中， (c是常数，n=1,2,3,…)，且成公比不为1的等比数列.(1)求c的值；(2)求的通项公式.17解：(1)a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1,a2,a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，…，a n-a n-1=(n-1)c，所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=. 又a1=2，c=2，所以a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n=n2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分18. (本小题满分14分)如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. …………3分又由点得线段的方程为.而，所以…………6分（2）①当时，因为，所以，由，得，……8分CDE FH当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，；…………10分②当时，因为，所以当时，；…………12分综上，因为，所以当米时，平方米. …………14分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19. (本小题满分15分)已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.(1)求圆C的方程；(2)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分15分) 已知函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；（3）若方程有唯一解,试求实数的值.20．(1)因为,所以切线的斜率……………………2分又,故所求切线方程为,即……………………4分(2)因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, .即在上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又,所以在上递增,在上递减……………7分欲与在区间上均为增函数,则,解得……10分(3) 原方程等价于,令,则原方程即为. 因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点…………………12分又,且x>0,所以当x>4时,；当0<x<4时, ，即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当时原方程有唯一解的充要条件是……15分南外仙林分校xx届文科保送高三数学模拟考试（二）答案2014-11-14一、填空题：1{2，4，5} 2.5 3. 4. [-4，0]． 5.既不必要也不充分条件． 6.7.30 8. 9.π310. 11.（也） 12. {5} 13.29 14.二、解答题：15解由题意得p和q中有且仅有一个正确①p正确，则由0＜()|x−1|≤1，求得a＞1．……………3分②②若q正确，则ax2+(a−2)x+ ＞0解集为R当a=0时，−2x+ ＞0不合，舍去；③当a≠0时，则解得＜a＜8．……………6分④p和q中有且仅有一个正确，∴，………9分∴a≥8或＜a≤1．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．………12分16．证明（1）作EQ//CD,FG//CD分别交PD,AD于Q,G，连GQ,Z则可以证明 GQ//EF …3分而GQ平面，平面,∴直线∥平面…………6分（2）因面,面面,面,且,所以平面,………………………8分又，，且、面,所以面…10分而∥,所以直线平面……………12分17解：(1)a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1,a2,a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，…，a n-a n-1=(n-1)c，所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=. 又a1=2，c=2，所以a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n=n2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分Array18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. …………3分又由点得线段的方程为. 而，所以…………6分（2）①当时，因为，所以，由，得，……8分当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，；……10分②当时，因为，所以当时，；…………12分综上，因为，所以当米时，平方米. …………14分20．(1)因为,所以切线的斜率……………………2分又,故所求切线方程为,即……………………4分(2)因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, .即在上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又,所以在上递增,在上递减…………7分欲与在区间上均为增函数,则,解得……10分(3) 原方程等价于,令,则原方程即为. 因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点…………………12分又,且x>0,所以当x>4时,；当0<x<4时, ，即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当时原方程有唯一解的充要条件是……15分U U35301 89E5 觥28772 7064 灤24223 5E9F 废23776 5CE0 峠40659 9ED3 黓}Y22521 57F9 培 31813 7C45 籅。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数1iz i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. 12- B. 12i C. 12D. 12i -【答案】C 【解析】 试题分析：(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-，则虚部为，故选. 考点：复数的运算、复数的实部与虚部.2.若集合{1234}A=，，，，{}260B x x x=--≤，则A B=（）A. {1}B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}，【答案】D【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B--≤∴-≤≤⋂=,选D.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为11151720222224323319699x++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,x y满足约束条件220,10,0.x yxy+-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ）A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1xf x e x x=+-，则()1f '=（） A. 3e - B. 2e -C. 1e -D. e【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x '，即可求出()1f '的值.【详解】由题得()21=ln x xe f x e x x x'+-，所以()211==e 111e f '--. 故选C【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =得，0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C c a C c A =--=--，由正弦定理得，sin cos 2sin cos sin cos 0A C B A C A -+=， 化为sin()2sin cos 0A C B A +-=， 即sin 2sin cos 0B B A -=， 由于sin 0B ≠，∴2cos A =，又()0,A π∈∴4A π=，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始0S = 1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（）A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O '的半径22a b r +=．由球的性质得，OO'⊥平面ABCD，所以球O的半径R=由均值不等式得，2222a b a b++222()202a ba b++=，所以2034R=+=，当且仅当a b==所以球O的表面积的最小值为2432Rππ=，故选C．【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.已知函数()()221xf x x a x e=++，则“a=()f x在-1x=处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出原函数导函数，分析函数()f x在1x=-处取得极小值时的a的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()f x在1x=-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x xf x x a x a e x x a e'=++++=+++．令()0f x'=，得1x=-或21x a=--．①当0a=时，2()(1)0xf x x e'=+．故()f x在R上单调递增，()f x无最小值；②当0a≠时，211a--<-，故当21x a<--时，()0f x'>，()f x单调递增；当211a x--<<-时，()0f x'<，()f x单调递减；当1x>-时，()0f x'>，()f x单调递增．故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. ⎝B.C. (5,)⎛+∞ ⎝⎭D. (13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,1c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意即可得出函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方，当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，可设切点为0(x ，0)y ，从而可以得出()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，联立三式即可得出01k x =-，根据01x >即可得出0k >，再根据③即可得出1k >，从而得出整数k 的最大值为2．【详解】关于x 的不等式10xlnx kx k -++>在(1,)+∞内恒成立， 即关于x 的不等式(1)1xlnx k x >--在(1,)+∞内恒成立， 即函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方．当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(1)1x k k x -=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >． 又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k ．因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为9y bx =+，则b 的值为__________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为6.5．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】先表示出曲线C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.已知()f x 是定义在(),ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且当()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '+>．则不等式()sin 1f x x <的解集为__________．【答案】,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】令()()sin F x f x x =，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出()sin f x x 的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．【详解】令()()sin (0)F x f x x x π=<<， 则()()sin ()cos 0(0)F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin F x f x x =在(0,)π上为单调递增，且()()sin 1444F f πππ==，所以()()sin ()4F x f x x F π=<，解得04x π<<．由()f x 是定义在(,)ππ-上的奇函数得，()()sin()()sin F x f x x f x x f -=--=-⋅-=（x)sinx=F(x)所以()()sin F x f x x =在(,)ππ-为偶函数，且(0)(0)sin 00F f == 所以不等式()sin 1f x x <的解集为(),44ππ-，故答案为(),44ππ-． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x = 【解析】 【分析】设出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，消去x ，解方程求得p 的值，再写出抛物线C 的标准方程．【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p或y =（舍去），从而1()6B p p ；由4||3AB =43， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=. 又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．【答案】（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）45【解析】 【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为32006010⨯=，B 类行业的单位个数为32006010⨯=， C 类行业的单位个数为42008010⨯=，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205P M =-=. 【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；93【解析】 【分析】第一问先证明BM ∥平面PCD ，MN ∥平面PCD ，再根据面面平行的判定定理证明平面BMN平面PCD ．第二问利用等积法可得13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅，分别求出PMN ∆的面积和BM 的长度即可解决问题．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BMCD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MNPD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =，∴平面BMN平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(21119324424PMNPAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅199333344=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()1F ，)2F ，且经过点12A ⎫⎪⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点0(4)B ，作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）证明见解析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得a ，再求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠，再设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，求出P Q '所在直线方程，取0y=求得x 值，即可证明直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =+142==. 解得2a =. 又2221b a =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()40x my m =+≠. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-.由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()2248120m y my +++=. ()216120m ∆=->，212m ∴>. 12284m y y m -∴+=+，122124y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==--，∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--.令0y =，可得()211124m y y x my y y -=+++.121224my y x y y ∴=+=+22122244441884m m m m m m ⋅++=+=--+.()1,0D ∴. ∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数()1xxxf x ae e =--，其中0a >． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．【答案】(1) 10x y -+=；(2) 1a = 【解析】 【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于x 的方程1(1)x x x a e e =+有唯一的解时，求a 的值．令1()(1)x xxg x e e =+，求得()g x 的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a 的值； 【详解】解：（1）当2a =时，()21xx xf x e e=--，所以()12xxxf x e e -'=-， 所以()0211f '=-=． 又()0211f =-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=， 即10x y -+=．（2）问题等价于关于x 的方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值．令()11x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()212xxx e g x e--'=． 令()12xh x x e =--，则()20xh x e '=--<，()h x ∴在(),-∞+∞上单调递减．又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在()0,∞+上单调递减． ()g x ∴的极大值为()01g =．∴当(],0x ∈-∞时，()(],1g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,1g x ∈．又0a >，∴当方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =．综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最小值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11||||PA PB +的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=.由直角坐标与极坐标的互化关系222x y ρ=+，cos x ρθ=.∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=.()22sin 2cos 80αα∆=-+>，∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<.11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+====≥=4πα=时，等号成立. 11PAPB∴+. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ）A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合N ，进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<，所以{}|43M N x x =-<<，故选A .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知角α的终边经过点(-，则sin α的值为（ ）A.B. C. 12-D. -2【答案】B 【解析】 【分析】求出(-到原点的距离，进而可求sin α的值.【详解】解：由题意知，(-到原点的距离5r==，所以sin α==故选:B.【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角α 终边上一点的坐标为(),x y ，则代入公式sin cos tan y r x r y x ααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，其中r =.3.已知1e ，2e 为单位向量，且满足()12220e e e +⋅=，则12,e e =（ ） A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e 【详解】因为()12220e e e +⋅=则212220e e e ⋅+=由向量数量积的定义可得2121222cos ,0e e e e e ⋅+=1e ,2e 为单位向量则122cos ,10e e += 即121cos ,2e e =-由向量夹角的取值范围为o 0180⎡⎤⎣⎦，可得12,120e e = 故选:C【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列{}n a ，其中115a =，13135a =，结合等差数列通项公式，可求公差10d =，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为n a ，即夏至时冕长为115a =，冬至时冕长为13135a =，由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ， 由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则21151025a a d =+=+=. 故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列. 5.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩的变换求解即可. 【详解】将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度得到 5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成15sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.6.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 7.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题. 8.若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m nB. 若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥C. 若//,//,//m n αβαβ，则//m nD. 若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A 中，若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥，所以不正确；对于B 中，若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确； 对于C 中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确；对于D 中，若,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由//n β，可得m n ⊥，所以是正确的．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．9.已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.【详解】因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b >> 故选:C【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.10.已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 4+B. 5+C.1D.2【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(,0),(,0)F c F c -，所以1212F O c F P ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=，所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.11.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出,a b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.【详解】由2y x a =-+得1y'=；由1x b y e +=-得'x by e +=；因为2y x a =-+与曲线1x by e+=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x by e+=-得0y =；所以切点为(,0)b -.则20b a --+=，所以2a b +=.故1111()()22a b a b a b +=++=1222b a a b++≥ 当且仅当22b a a b=，即1a b ==时等号成立，此时取得最小值2.选B. 【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.12.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. [2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩, 则2z x y =-的最大值为______.【答案】8 【解析】【详解】作可行域，则直线2z x y =-过点B(5,2)时z 取最大值8.14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+=⎪⎝⎭即可得解. 【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.15.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则AB = . 【答案】163【解析】试题分析：∵24y x =，∴抛物线的准线为1x =-，(1,0)F ，又A 到抛物线准线的距离为4，∴14A x +=，∴3A x =，∵214A B p x x ==，∴13B x =，∴1163233A BAB x x p =++=++=.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.16.已知边长为23的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若3BADπ∠=，平面ABD⊥平面CBD，则该球的球面面积为___________.【答案】20π【解析】【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积.【详解】根据题意, G为底面等边三角形CBD的重心,作OG⊥底面CBD.作AE BD⊥交BD 于E,过O作OF AE⊥交AE于F.连接,AO OC画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD与等边三角形ABD的边长为3且3BADπ∠=所以23sin33AE CEπ===G为底面等边三角形CBD的重心,则113133EG CE==⨯=,2GC=面ABD⊥平面CBD因而四边形OGEF为矩形,设OG h=,则EF h=,球的半径为rRt AFO∆和Rt OGC∆中()222222312h rh r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15hr=⎧⎪⎨=⎪⎩所以球的表面积为2244520S rπππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=. （1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）当0a ≠时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出1a =或1a =-，将a 的值带回直线方程进行验证，可舍去1a =-；当0a =，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出a 的值.（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知AB ==a 的方程，从而可求出a 的值，进而可求直线的方程.【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l的距离d =由AB ==()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论a 的值，直接令斜率相等；二是求出a 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.18.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若611a =，220S =. （1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（1）232n a =n -；（2）12322n n b n -=-+，22221n n n -+-【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.（2）由题意知12n n n b a -=+，结合分组求和法，可求出n T .【详解】（1）解：设公差为d ，由题意可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1212a d =⎧⎨=-⎩. 所以232n a =n -.（2）由题意12n n n b a --=，故12n n n b a -=+.由（1）知，()211222n n n S a n d n n -=+=-， 因此1121212......12 (2)12nn n n n n T b b b a a a S --=++=+++++++=+- 22221n n n =-+-.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知622,a S .对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法. 19.已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）；（II ）.【解析】【详解】试题分析：（I ）根据正弦定理算出 csin A asinC =，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC=，可得 csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a =……（1） 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab…..（2） 由（1）（2）解得1,5a b ==11353sin 1522ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出5b a =，再利用余弦定理可求出5,1a b ==，从而求出ABC ∆的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键.20.如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.（1）求证：AC DF ⊥；（2）若2FA FC FD ===，1AB =，求三棱锥A CDF -和三棱锥E BDF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,1 【解析】 【分析】（1）连接CE ，与DF 交于点O ，连接AO 易知CE DF ⊥，AO DF ⊥，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面AOC ，从而可证明AC DF ⊥；（2）由面面垂直的性质可知，AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出3CDFS=，从而可求三棱锥A CDF -的体积；由//AB 平面CDEF ，可知点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =，由菱形的性质可知C FEDFD S S=，从而可求出三棱锥E BDF -的体积.【详解】（1）证明:如图，连接CE ，与DF 交于点O ，则O 为DF 的中点，连接AO ， 由四边形CDEF 是菱形可得CE DF ⊥，因为AD AF =，所以AO DF ⊥， 因为CEAO O =，所以DF ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC DF ⊥.（2）因为平面ADF ⊥平面CDEF ，平面ADF平面CDEF FD =，且AO DF ⊥，所以AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高. 由2FA FC FD ===，四边形CDEF 是菱形，且AD AF =，可得ADF 与CDF 都是边长为2的等边三角形，所以2sin 60AO =⨯︒=因为CDF 的面积22CDFS==11133A CDF FCDV SAO -=⋅==. 因为//AB CD ，CD ⊂ 平面CDEF ，AB ⊄ 平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ，故点B 到平面CDEF 的距离也为AO =CDEF 是菱形得C FEDFD S S=因此11133E BDF B DEF EDFV V S AO --==⋅==. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与圆M ：2223x y +=相切，且直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）0【解析】 【分析】（1）由抛物线2y =的焦点)F是该椭圆的一个顶点，可得a =结合离心率2e =，可求1c =，进而可求出2221b a c =-=，从而可求椭圆的方程. （2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即()22213m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，21222221m x x k -=+，22122221m k y y k -=+，从而可求12120OA OB x x y y ⋅=+=. 【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率2e =，所以2c a =，即a =．因为抛物线2y =的焦点)F恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =所以1c ==，则222211b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）由圆的方程可知，圆心为()0,0M，半径为r =；由于直线l 与圆M 相切， 故圆心到直线l的距离d ==，整理得()22213m k =+，则联立直线和椭圆的方程，即2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，则 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222221m k k -=+．所以()2222121222212232202121k k m k OA OB x x y y k k +----⋅=+===++. 【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和圆的位置关系，考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.22.设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--，()2ln x xg x x+=. （1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值；（3）若函数()f x 在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值.【答案】（1）()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()g x 有极大值()11g =，无极小值；（3）12a =. 【解析】 【分析】（1）求出()1'210f x x x =--=，解得1x =或12-，则可探究当01x <<时，当1x >时，()(),f x f x ' 的变化，从而求出单调区间；（2）求出()312ln 'x xg x x --=，令()()12ln 0h x x x x =-->，结合导数探究()h x 在()0,∞+ 的单调性，结合()10h =，可探究出()(),g x g x '随x 的变化情况，从而可求极值； （3）令222ln 0x ax a x --=，可得21ln 2x xa x+=在()0,∞+只有一个解，借助第二问可知()1112g a==，从而可求出a 的值. 【详解】解：（1）当12a =时，()2ln f x x x x =--.易知()f x 的定义域为()0,∞+，令()()()2211121'210x x x x f x x x x x+---=--===，解得1x =或12-， 当01x <<时，()'0f x <，则()f x 递减；当1x >时，()'0f x >，则()f x 递增， 因此，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. （2）()g x 的定义域为()0,∞+，则()312ln 'x xg x x--=，令()()12ln 0h x x x x =-->， 则()2'10h x x=--<，故()h x 在()0,∞+单调递减，又知()10h =， 当01x <<时，()0h x >，即()'0g x >；当1x >时，()0h x <，即()'0g x < 因此()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减. 即当1x = 时， ()g x 有极大值()11g =，无极小值.（3）令222ln 0x ax a x --=，整理得：21ln 2x x a x +=在()0,∞+只有一个解， 即12y a =图像与()2ln x x g x x+=的图像在()0,∞+只有一个交点，由（2）知，()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，且()g x 有极大值()11g =，所以，()1112g a ==，解得12a =. 【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.。

2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ）A. {0,2}B. {1,2}C. {0}D.{2,1,0,1,2}--【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解.【详解】因为集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--， 所以A B ={2,1,0,1,2}--.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2.已知,a b 为实数，i 为虚数单位，若2ia bi i++=，则a b +=（ ） A. 3- B. 1-C. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据2ia bi i++=，转化为2b ai i -+=+，再利用复数相等求解. 【详解】因为2ia bi i++=，所以2b ai i -+=+， 所以2,1b a =-=， 所以1a b +=-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题.3.针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】C 【解析】 【分析】设男女生人数共有n 人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，算出a ，b ，c ，d 的值，代入公式解得2K ，然后根据有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有23. 6.638415K <<求解. 【详解】设男女生人数共有n 人，则男生喜欢欢抖音的人数有25n ，男生不喜欢欢抖音的人数有110n ， 女生喜欢欢抖音的人数有310n ，男生不喜欢欢抖音的人数有15n ， 所以22()2113551010117322101021n n n n n n n n K n n -=⨯⨯=⨯⨯⨯， 因为有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 所以3.841 6.63521n<<， 解得80.661139.335n <<， 所以40.3369.6672n<<， 所以调查人数中男生可能有60人. 故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.平面向量a 与b 的夹角为120,(2,0),||1a b ︒==，则|2|a b +=（ ） A. 4 B. 3C. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得出向量b 的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【详解】由题目条件，两向量如图所示：可知13,2b ⎛=- ⎝⎭则()|2||1,3|2a b +==∴答案为2.【点睛】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题． 5.已知函数()|sin |cos f x x x =，则下列结论中错误的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 最大值为12C. ()f x 在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π【答案】D 【解析】 【分析】去绝对值，转化为分段函数，作出函数图象，利用二倍角公式和三角函数的性质逐项判断. 【详解】1sin 2,[2,2]sin cos ,[2,2]2()sin cos sin cos ,[2,22]1sin 2,[2,22]2x x k k x x x k k f x x x x x x k k x x k k ππππππππππππππ⎧∈+⎪∈+⎧⎪===⎨⎨-∈++⎩⎪-∈++⎪⎩如图所示：A. 因为()()()()|sin |cos |sin |cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 为偶函数.B.如图，()f x 最大值为12. C. 当33,,2,2,sin 242x x y x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增，故()f x 在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.D. ()f x 是偶函数，故()f x 不具有周期性.，故错误. 故选：D【点睛】本题主要考查二倍角公式和三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.6.三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是62P ABC -的外接球的表面积是（ ） A. 2π B. 4πC. 8πD. 16π【答案】B 【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大． 此时6AP PM =，6PM =PBC 中，26··12PB PC BC PM PC PC PC =⇒=+⨯⇒=． 三棱锥P ABC -扩充为长方体，1122++=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=． 选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．7.等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()54,n a a =，()78,m a a =，且4m n ⋅=，则2122211log log log a a a ++⋯+=（ ）A. 5B.112C.132D.22log 5+【答案】B 【解析】 分析】根据{}n a 是等比数列，由 4m n ⋅=，得到1112a a ⋅=，再由对数运算求解. 【详解】已知向量()54,n a a =，()78,m a a =， 所以57484m n a a a a ⋅=⋅+⋅=， 因为{}n a 是等比数列，所以1112a a ⋅=，所以()11112221222112111211log log log log log 22a a a a a ++⋯+==⋅=. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，等比数列的性质，以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A. (22-B. ()22 C. ()15,-+∞ D. ()15,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的半径大于零可求得2a <；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离d ，利用弦长6可求得15a >-；综合可得a 的取值范围.【详解】由题意知，圆的方程为：()()22112x y a -++=-，则圆心为()1,1-，则：20a ->，解得：2a <圆心到直线40x y +-=的距离为：d ==6∴<，解得：15a >-综上所述：()15,2a ∈- 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于易错点是忽略半径必须大于零的条件.9.已知在ABC 中，34B π=，1AB =，角A 的平分线AD =AC =（ ）B. 13【答案】C 【解析】 【分析】先在ABD △中，利用正弦定理得到ADB ∠，进而得到BAD ∠，从而得到BAC ∠，然后在ABC 中，利用正弦定理求解.【详解】在ABD △中，由正弦定理得1sin sin ADB B =∠∠，所以3sin 1sin 2ADB π∠===， 因为34B π=， 所以6ADB π∠=，,,12612BAD BAC ACB πππ∠=∠=∠=，sinsin sin cos cos sin 123434344πππππππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin AB ACACB B=∠∠，所以31sinsin 41sin sin 12AB BAC ACB ππ⋅⋅∠====∠. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1(2)()+=f t f t ，且(0,4]x ∈时，()'()f x f x x>，则6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是（ ） A. 6(2017)3(2018)2(2019)f f f <<B.3(2018)6(2017)2(2019)f f f <<C. 2(2019)3(2018)6(2017)f f f <<D.2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）满足f （t+2）=()1f t ，可得f （x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f（2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）．令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x -＞0，利用其单调性即可得出．【详解】函数f （x ）满足f （t+2）=()1f t ，可得f （t+4）=()12f t +=f （t ），∴f（x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f （2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）． 令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x-，∵x∈（0，4]时，()()'f x f x x＞，∴g′（x ）＞0，g （x ）在（0，4]递增， ∴f（1）＜()22f ＜()33f ，可得：6f （1）＜3f （2）＜2f （3），即6f （2017）＜3f （2018）＜2f （2019）． 故答案为：A【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，并求出函数的单调性.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是（ ）A. 2【答案】D 【解析】 【分析】先求得A 点的坐标，根据中点坐标公式求得B 点坐标，将B 点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ，所以,AF b OA a ==，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由于B 是AF 的中点，故2,22a ab c c c B ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程并化简得222c a =，即222c a =，e =【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值b ，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率. 12.已知函数()()21ln 10210x x f x x x x ⎧-+≤=⎨-++>⎩，函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 513,11,44⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 131,4⎛⎫⎪⎝⎭C. 131,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 513,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x 的图象与y x m =-的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数y x m =-即可得解【详解】函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x 的图象与y x m =-的图象恰有三个不同的交点.由221x x x m -++=-得: 210x x m ---=,相切时有: 14(1)0m ∆=++=得54m =-; 由221x x m x -++=-得2310x x m -+-=,相切时有: 94(1)0m ∆=--=得134m =. ()()10,1ln 1,'()1x f x x f x x ≤=-+=-+ 在(0,1)处切线斜率为'(0)1f =-.如图所示，函数134y x =-的图象与函数()f x 的图象相切，函数|1|y x =-的图象过点()0,1，函数1y x =+的图象过点()0,1，函数54y x =+的图象与函数()f x 的图象相切，从而结合图象可知实数m 的取值范围为513,11,44⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:A.【点睛】本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是解题的关键,属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知sin20cos202cos130m ︒+︒=︒，则m =_____【答案】3-【解析】【分析】根据2cos1302cos50︒=-()2cos 2030=-+，再利用两角和的余弦公式展开，与sin 20cos20m ︒+︒建立方程求解.【详解】已知sin 20cos 202cos1302cos50m ︒+︒=︒=-，()2cos 2030sin 203cos 20=-+=︒-︒，所以m =3-.故答案为：3-【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了转化变形运算求解的能力，属于基础题.14.如图，圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 所成角的正切值为24，则该圆柱1OO 的体积为______．【答案】4π【解析】【分析】过B 作BH O ⊥于点H ，则2tan ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且OH OA ⊥得2AH =，所以圆柱的高4tan AH BH ABH==∠，圆柱的体积为4π． 【详解】过B 作BH O ⊥于点H ，则ABH ∠即为异面直线AB 与1OO 所成角，则2tan 4ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且1OA O B ⊥，可得OH OA ⊥， 得22112AH =+=又tan AH ABH BH∠=, 所以圆柱的高4tan AH BH ABH==∠， 所以圆柱的体积为214πOA OO π⋅⋅=．故答案为：4π.【点睛】本题考查圆柱的体积的计算，同时也考查了异面直线所成的角，考查空间推理能力，属于中等题.15.已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 12m n a a a =且6542a a a =+，则14m n+的最小值是_______ 【答案】73【解析】【分析】设公比为q ，根据6542a a a =+，解得2q ，在根据两项,m n a a 12a =，得到4m n +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】在正项等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为6542a a a =+，所以220q q --=， 2q 或1q =-（舍去），因为存在两项,m n a a 12a =，所以24m n q +-=，所以4m n +=，因为,m n 都是正整数，所以132,,312m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，共三种情况， 分别代入14m n +，其值分别为7135,,332， 所以14m n +的最小值是73. 故答案为：73 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平面α，若//a b ，//b α，则//a α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线； ③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-. 其中，正确命题的序号为_______.【答案】④⑤【解析】【分析】 利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误.【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误； ②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为b y x a=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；④若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以④正确；⑤设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012y y y k x x x +==+， 把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2212x y +=， 得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212k k =-，所以⑤正确. 所以正确命题的序号为④⑤.故答案为：④⑤.【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 中，满足11a =，()121n n a a n N ++=+∈.（1）证明：数列{1}n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）122n n S n +=--.【解析】【分析】(1)直接利用等比数列的定义证明；（2）先求出21n n a =-，再利用分组求和求数列{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）∵121n n a a +=+∴()1121n n a a ++=+又因为112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）知12n n a +=，∴21n n a =-，∴()()()12212121n n S =-+-++-()12222n n =++⋯+-()21212n n ⨯-=--122n n +=--.故122n n S n +=--.【点睛】本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列求和和分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.某学校为了了解学生对《3.12植树节》活动节日的相关内容，学校进行了一次10道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取50人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]五组，得到如下频率分布直方图.（1）若答对一题得10分，答错和未答不得分，估计这50名学生成绩的平均分；（2）若从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.【答案】（1）63.5（2）815【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图得到答对题数的平均数，再乘以10即可.（2）根据频率分布直方图得到答对题数在[0,2)内和在[2,4)内的学生人数，利用古典概型的概率求解.【详解】（1）答对题数的平均数为(10.0230.0450.1270.2290.10)2 6.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以这50人的成绩平均分约为10 6.3563.5⨯=.（2）答对题数在[0,2)内的学生有0.022502⨯⨯=人，记为,A B答对题数在[2,4)内的学生有0.042504⨯⨯=人，记为a b c d ,,,从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人的情况有(,)A B ，(A,a)，(A,b)，(,)A c ，(,)A d ，(,a)B ，(,b)B ，(,)B c ，(,)B d ，(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共15种其中恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有8种所以恰有1人答对题数在[2,4)内的概率815P =. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体和古典概型的概率，还考查了识图理解辨析运算求解的能力，属于中档题.19.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 与侧面PAB 均为正三角形，2AB =，6PC =，M为AB 的中点．（Ⅰ）证明：平面PCM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）N 为线段PA 上一点，且34CMN S ∆=，求三棱锥P CMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）38P CMN V -=【解析】【分析】（Ⅰ）要证平面PCM ⊥平面PAB ，即证CM ⊥平面PAB ，转证CM PM CM AB ⊥⊥，； （Ⅱ）利用等体积法即可得到三棱锥P CMN -的体积．【详解】解法一：（Ⅰ）因为ABC ∆ 是边长为2的正三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥，3CM =同理，3PM =，又6PC =因为222CM PM PC +=，所以CM PM ⊥又AB PM M =，所以CM ⊥平面PAB ，又CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得CM ⊥平面PAB ，所以CM MN ⊥，CMN ∆ 为直角三角形， 所以1324CMN S CM NM ∆=⋅=，且3CM =， 解得32MN =． 在AMN ∆ 中，由222cos 2AN AM MN A AN AM +-=⋅， 22231cos602AN AN+-⎝⎭︒=． 解得12AN =，即32PN = 即34PN PA =,333333488PNM PAM PAB S S S ∆∆∆====， 13P CMN C PMN PMN V V S CM --∆== 13333388=⨯= 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CM ⊥平面PAB ，所以CM NM ⊥，即31342NM ，3NM =， 所以12NM AM PM PA ==， 得ANM APM ∆∆∽，则90ANM AMP ∠=∠=︒，所以NM PA ⊥，又CM PA ⊥，NMCM M =所以PA ⊥平面CNM ，Rt PNM ∆中，32PN ，所以1113333228P CMN CMN V S PN -∆=⋅=⨯=． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(1,0)F -为其左焦点，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若A B 、是椭圆C 上不同的两点，以AB 为直径的圆过原点O ，求||AB 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2 【解析】【分析】（1）设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，利用椭圆的定义得到a ，又1c =得解.（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知45AOx BOx ∠=∠=︒，求得A ，B 坐标求解||AB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据以AB 为直径的圆过原点O ，则0OA OB ⋅=，再利用直角三角形中线定理有||2||AB OP =，将韦达定理代入，两式联立求解.【详解】（1）设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据椭圆的定义：1224PF PF a +==， 2a ∴=又1c =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知45AOx BOx ∠=∠=︒，不妨设()00,A x y ，则2200143x y +=，0x =||AB =当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=， 由()()2222644434120k m k m ∆=-+->，得22430k m +->，()* 由韦达定理得122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+， 因为以AB 为直径的圆过原点O ，所以0OA OB ⋅=，即()()2222121212122712121034m k x x y y k x x km x x m k --+=++++==+， 即2212127k m +=，满足()*式. 设AB 的中点是()00,P x y ，则12024234x x km x k+-==+，022433434km m y k m k k -=+=++，||2||AB OP ====，()()221691212k k +++≤=221691212k k +=+时等号成立，即k =，<||AB . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知直线:(1)l y k x =-与函数()ln f x x =.（1）若()(1)f x k x ≤-恒成立，求k 的取值的集合.（2）若210x x >>，求证：()()2121212f x f x x x x x ->-+. 【答案】（1）{1}（2）见解析【解析】【分析】将()(1)f x k x ≤-恒成立，转化为()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立，只要max ()0g x ≤，先通过当x e =时也成立，得到0k >，再用导数法求解.（2）将212121ln ln 2x x x x x x ->-+，令21x t x =，转化为ln 211t t t >-+成立，令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+>，只要min ()0F t >，再用导数法求解.【详解】令()()(1)(0)g x f x k x x =-->则依题意()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立所以当x e =时也成立，则1()ln (1)001g e e k e k e =--≤⇒≥>- 又11()00g x k x x k '=->⇒<<，1()0g x x k'<⇒>； 所以()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减， 所以max 111()ln ln 10g x g k k k k k k k ⎛⎫==-⋅+=--+≤ ⎪⎝⎭令()ln 1(0)h x x x x =--+> 则11()101x h x x x x-'=-+=>⇒>，()001h x x '<⇒<< 所以()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)0h x h ≥=，故()ln 10h k k k =--+≤的解为1k =所以满足题意的K 的取值的集合为{1}（2）证明：要证()()2121212f x f x x x x x ->-+，即证212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 令21x t x =则210x x >>，1t ∴> 即可转证：212211ln211x x x x x x >-+，即证ln 211t t t >-+ 因为1t >所以即证(1)ln 2(1)t t t +>-即证ln ln 220(1)t t t t t +-+>>令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+> ()* 则11111()ln 2ln 1ln 1F t t t t t t t t t '=+⋅+-=+-=-+-由（1）中结论易知10h t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11ln 10t t -+->即得()0F t '>所以()ln ln 22F t t t t t =+-+在(1,)+∞上递增所以()ln ln 221ln1ln12120F t t t t t =+-+>⨯+-⨯+=即()*式得证.所以原不等式得证.【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立及证明不等式问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，直线l的极坐标方程是cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11PM PN+的值．【答案】（1）22162x y +=，20x y +-=；（2. 【解析】 【分析】（1）利用222sin y xy ρθρ=⎧⎨+=⎩，将极坐标方程化为直角坐标方程； （2）写出直线l 过点()2,0P 的参数方程，代入曲线C ，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果．【详解】（1）曲线C 化为：2222sin 6ρρθ+=， 将222sin y x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入上式，即2236x y +=， 整理，得曲线C 的直角坐标方程22162x y +=. 由cos 04πρθ⎛⎫--=⎪⎝⎭，得cos sin 022ρθρθ+=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得20x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程20x y +-=.（2）由（1）知，点()2,0P 在直线l 上，可设直线的参数方程为32cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，得221143622t t -++⨯=， 整理，得210t -=，所以24160∆=+⨯=>，1210t t =-<， 由题意知，1212121111t P N t P t t t M t -+=+====【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题．23.设函数()214f x x x =+--.（1）解不等式()0f x >；（2）若()342m x x f +->-对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 解集为{|1x x >或5x <-};(2) m 的取值范围为()7,11-.【解析】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）要使()342f x x m +->-成立，只需函数的最小值大于2m -即可，利用绝对值三角不等式可得2124x x ++-的最小值.详解：（1）当4x ≥时，()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>， 解得5x x >-，∴4x ≥； 当142x -≤<时， ()21433f x x x x =++-=-，原不等式即为330x ->， 解得1x >，∴14x <<； 当12x <-时， ()2145f x x x x =--+-=--，原不等式即为50x -->， 解得5x <-，∴5x <-；综上，原不等式的解集为{1x x 或5x <-}.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=. 当142x -≤≤时，等号成立. ∴()34f x x +-的最小值为9，要使()342f x x m +->-成立， ∴29m -<，解得711m -<<，∴m 的取值范围为()7,11-.点睛：（1）含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数（2）不等式恒成立问题通常转化为求函数最值来处理. 的图象求解，体现了函数与方程的思想.。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0)1)(2(<+-=x x x A ，{}11≤≤-=x x B ，则A B ∩= A ．{}1x x -＜≤1 B ．{}1x x -≤≤1 C ．{}1x x -＜≤2 D ． {}1x x -≤≤2 2．设复数z 满足(1－i)·z=i ，则z =A ．2B ．22C ． 2D ．123．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2S =2，3S =－6，则5S =A ．－22B ．－14C ．10D ．184．已知2.02.055.052log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b5．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N(modm)表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4(mod6)．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．176．已知1sin()44x π-=，则sin 2x = A ．1516 B ．916 C ．78 D ．1516±7．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为8．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4B ．N N M +2C ．N M N )(4-D ．NN M 24+ 9．已知a ，b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +-⊥，且=a b a b +-2，则cos θ=A ．12B ．35C ．1-2D ．3 10．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．811．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法： ①f （x ）的值城为[-1，1]；②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③12．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若曲线n me x f x+=)(在点))1(,1(f 处的切线方程为ex y =，则n m += . 14．已知双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的左、右焦点分别为21F F 、，点P 是双曲线上一点，若21F PF ∆为等腰三角形，12021=∠F PF ，则双曲线的离心率为 . 15．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，a+c=6，AA B B cos 3sin cos 1sin -=+，则△ABC 面积的最大值是 . 16．中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为a ，b ，c （a>b>c ，a ，b ，c *N ∈），选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分a=4分；②甲可能有一场比赛获得第二名；③乙有四场比赛获得第三名；④丙可能有一场比赛获得第一名. 则以上说法中正确的序号是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足323-+=n a S n n （Ⅰ）求证：数列{}1-n a 是等比数列； （Ⅱ）若nn n n b c a a a b 1).1(log )1(log )1(log 32313=-++-+-= .求数列{}n c 的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）按照水果市场的需要等因素，水果种植户把这种成熟后的水果按其直径d 的大小分为了不同的等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售，为了了解这种水果的质量等级情况，随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表：（单位：mm ）用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品中共抽取6个，其中一级品2个.（Ⅰ）估计这批水果中特级品的比例；（Ⅱ）已知样本中这种水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果代售，商家提出两种收购方案；方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，∠PDC=120°，E 是PC 的中点，点F 在AB 上，且AB=4AF.（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；（Ⅱ）求点F 到平面ADE 的距离.20．（本小题满分12分） 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的离心率为23，一个顶点为)1,0(M ，直线l 交椭圆于A ，B 两点，且MA ⊥MB.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线l 过定点.21．（本小题满分12分） 已知函数1ln 2)(++=xa x x f（Ⅰ）若函数)(x f 有两个零点，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当1=a 时，对任意满足12)()(21+==m x f x f 的正实数)(2121x x x x <，，都有121>+x x .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=112,1t t y t t x （t 为参数） ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x （α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线)20(1πββθ<<=与曲线C 2交于O ，P 两点，射线βπθ+=22与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a+b+c= 1，证明：8)11)(11)(11(≥---cb a ； （Ⅱ）证明：23≥+++++b a c c a b c b a。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1234}A =，，，，{}|13B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}1B. {1}2，C. {123}，， D. 14}2{3，，， 【答案】B 【解析】 【分析】直接找出集合A 中元素满足在(13)-，内的元素即可. 【详解】由集合{1234}A =，，，，{}|13B x x =-<<， 则={1,2}AB .故选：B.【点睛】考查两个集合的交集，属于基础题. 2.复数1i iz在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数21(1)=(1)1i i i i iz i i ++==--=-，再判断对应点所在象限. 【详解】21(1)=(1)1i ii i iz i i ++==--=- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限， 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于基础题.3.设152a =，131()4b =，21log 2c =，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】21log =12c =-，由指数函数的单调性有015122a >==，130110()()414b <<==，从而得到答案.【详解】由指数函数的单调性有015122a >==，130110()()414b <<==,又21log =12c =-，则a b c >>, 故选：A【点睛】本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小,属于基础题. 4.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A. 若//αβ，则//l m B. 若//m a ，则//αβ C. 若m α⊥，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，则//l m【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确. B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确.D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确. 【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.165B.185C. 10D.325【答案】B 【解析】 【分析】边长为3的正方形的面积S 正方形＝9，设阴影部分的面积为S 阴，由几何概型得8002000S S =阴正方形，由此能估计阴影部分的面积．【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，则边长为3的正方形的面积S 正方形＝9， 设阴影部分的面积为S 阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分， ∴8002000S S =阴正方形， 解得S 阴800800189200020005S =⨯=⨯=正方形， ∴估计阴影部分的面积是185．故选：B ．【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.若变量x ，y 满足约束条件则00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x -的最小值是（ ）A. -1B. -6C. -10D. -15【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化成2y x z =+，表示直线在y 轴上的截距,然后将目标函数平移经过可行域，可得其最值.【详解】由00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图.设2z y x =-，化成2y x z =+，表示直线在y 轴上的截距.2y x -的最小值,即直线2y x z =+在y 轴上的截距最小.由图可知，直线2y x z =+过点(22)B ，-时截距最小。

2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、选择题（共12小题，每题5分）1. 已知集合A={}|lg 0x x ≥， {}|1B x x =≤，则下列结论正确的是（ ）.A A B =∅ .B A B R = .C A B ⊆ .D B A ⊆2．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分条件D ．必要条件3.x θ角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴,终边经过点3(4,5P θ，y),且sin =-tan =θ则（ ）4.3A - 4.3B 3.4C - 3.4D4．设0.502a =.，0.3log 0.2b =，0.50.4c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．已知函数）（则x f xx,313f(x)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ ） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数 6．函数y=x 2﹣2lnx 的单调增区间为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（0，1）7．下列说法错误．．的是 （ ） A ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠” 8．函数2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．某品牌牛奶的保质期y （单位：天）与储存温度x （单位：C ︒）满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是（ ） A ．60天B ．70天C ．80天D ．90天10．函数2ln x x y x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若对于任意的120x x a <<<，都有121221ln ln 11x x x x x x -<-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1212．设函数()ln xf x x=，若关于x 的不等式()f x ax >有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ln 3ln 2,94⎛⎤⎥⎝⎦ B ．ln 21,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 21,42e ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 3ln 2,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每题5分）13．2()ln()f x x a x a =++=已知函数是奇函数，则 . 14．函数2sin 2cos 3y x x =---的最小值为___________________． 15．(1)01x y ax e =+函数在（，）处切线的斜率为-2，则a=16． 已知函数f （x ）=若f （2﹣a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（共6大题，17题10分，其余每题12分）17．设全集U =R ，{}13A x x =≤≤，{}23B x a x a =<<+. ⑴、当1a =时，求()C U A B . ⑵、若A B A =，求实数a 的取值范围.18．已知α为第四象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)； (2)若51)2cos(=+απ，求f (α)的值．19．已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p q ∧ 是真命题，求实数a 的取值范围．20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．21．已知函数()(1)ln f x a x x =-- （1）1,()a f x =若求的最小值.（2）若 1 ()a x f x ≥时，有两个零点，求的取值范围.22．已知函数()ln ,xm e f x x m R e=-∈其中,（1）1m =当时，求函数f(x)的单调区间. （2）2m =当时，证明:f(x)>0.答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、 1 ；14、 -5 ；15、 -3 ； 16、 )1,2(- ；17． 解：（1）当1a =时，{}24B x x =<<，{}{}13,C 13U A x x A x x x =≤≤∴=或(){}C 34U A B x x ⋂=<<（2）由A B A =可得A B ⊆，即2133a a <⎧⎨+>⎩，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭18．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α.(2)因为51)2cos(=+απ所以－sin α＝15，从而sin α＝－15. 又α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝ 265， 所以f (α)＝－cos α＝－265.19. 解：由命题p 为真，可得不等式x 2－a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立．所以a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]． 所以a ≤1.若命题q 为真，则方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解．所以判别式Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. 所以a ≥1或a ≤－2.又因为p ，q 都为真命题，所以112a a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或所以a ≤－2或a ＝1.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－2，或a ＝1}．20．解：（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性，得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ．解得c ＜﹣1或c ＞2．21（1）解：x x x f a ln 1)(1--==时，当，()∞+，定义域是0)(x f 。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（二十六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}21x x A =->0，{}=0,1,2,3B ，则AB =A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24,a a 是方程2230+-=x x 的两实根．则5=SA ．10B ．5C ．5-D ．10-3．已知函数3log , 0,()1() , 0,3>⎧⎪=⎨⎪⎩x x x f x x ≤则1(())2f f -的值为A.12 B. 2 C. 12- D. 2-4．设函数()sin f x ax =，则“1=a ”是“()f x 在33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分不必要条件5. 如图，在直角坐标系xOy 中，点()4,4B ，点()0,4C ，点A 在x 轴上，曲线sin32xy π=+ 与线段AB 交于点()4,3D ．若在四边形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 A.15 B. 14 C ． 13 D. 126．函数()=+af x x x在1=x 处的切线方程为20-+=x y b ，则+=a b A ．3- B ．1- C ．0 D ．1 7．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了8． 原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线l 上取长度为1的线段AB ，做一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段BC 的延长线于点D ,再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l 恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为A. 310πB. 340π C ． 930π D. 1020π 9． 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为线段1AC ，1CB 上的动点，且11==C M B Nk MA NC，则以下结论错误的是 A ．MN ∥平面ABCD B ．平面1MNC ⊥平面11BB C CC ．()0,∃∈+∞k ，使得MN ⊥平面11BB C CD ．()0,∃∈+∞k ，使得MN ∥平面11AA B B10.在等腰ABC △中，120C =︒，6AB BC ⋅=-，2AD DC =，则BD CA ⋅=A ．103-B ．103C ．223D ．2311. 在直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，直线2=y a与C 相交于,P Q 两点，Q 位于第一象限，若OQ 平分AOP ∠，则C 的离心率为A B C ．D 12. 已知函数()e sin =-+xf x ax x ，以下关于()f x 的结论①当0=a 时，()f x 在R 上无零点；②当0=a 时，()f x 在π2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增； ③当1=a 时，()f x 在R 上有无数个极值点； ④当[]1e ∈a ，时，()0>f x 在R 上恒成立． 其中正确的结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ． ②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。