1.5 有理数的乘除
1．有理数的乘法
(1)有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，
(－2)×3＝－(2×3)＝－6.
②任何数与零相乘仍得零．
如：(－5)×0＝0.
(2)有理数乘法的步骤
第一步：确定积的符号；
第二步：计算各因数的绝对值；
第三步：计算绝对值的积．
由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．
解技巧 有理数的乘法运算技巧
(1)两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，一般统一写成分数．
(2)一个数同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原数，同－1相乘得原数的相反数．
(3)两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．
【例1】 计算：
(1)45
×0.2； (2)13×(－4)；
(3)(－1.3)×(－5)； (4)221133⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (5)1106⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.
分析：利用乘法法则进行计算．这里(1)中是正数和正数相乘，因而得正；(2)中是正数和负数相乘，因而得负；(3)中是负数与负数相乘，因而得正；(4)中是负数和负数相乘，因而得正；(5)中是负数和零相乘，因而得零．小数和带分数一般化为分数或假分数．
解：(1)原式＝45×15＝425
； (2)原式＝－(13×4)＝－52；
(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；
(4)原式＝5735326⎛⎫+⨯
= ⎪⎝⎭
； (5)原式＝0.
2.倒数
(1)倒数的概念
如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数，如2与12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23分别互为倒数．
用字母表示：若ab ＝1，则a ，b 互为倒数，反之，若a ，b 互为倒数，则ab ＝1.
(2)倒数的求法
若a ≠0，则a 的倒数是1a
，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数．为了方便，一般采用如下方法：
①非零整数——直接写成这个数分之一．如：4的倒数是14，－6的倒数是－16
. ②分数的倒数——把分子、分母颠倒写即可；带分数要化为假分数，小数要化为分数
后再把分子、分母颠倒位置写．如：－34的倒数是－43；－0.25的倒数是－4，－123
的倒数是－35
. ③倒数等于本身的数是±1，零没有倒数．
辨误区 倒数与相反数的区别
一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分，互为相反数的两数之和为零，互为倒数的两数之积为1，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．
【例2】 求下列各数的倒数．
(1)－3；(2)45；(3)－0.2；(4)323
. 分析：求一个整数的倒数直接写成这个数分之一即可；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，要先化为假分数再求．
解：(1)－3的倒数为－13；(2)45的倒数为54；(3)由于－0.2＝－15
，所以－0.2的倒数为－5；(4)由于323＝113，所以323的倒数为311
. 3．有理数乘法法则的推广
(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.
(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
(3)由上面的法则可以知道：
几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．
解技巧 多个有理数相乘的技巧
多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，一般按
从左向右的顺序计算绝对值的积作为积的绝对值．
【例3】 计算：(1)1172137732222
⎛
⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；
(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．
分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)式子中的负数有3个，所以结果是负数．多个有理数进行运算时，应一次确定结果的符号，再计算各因数绝对值的积，这样既简捷又不易出错．
解：(1)1172137732222
⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯
⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝－227×223×722×2122
＝－7.
(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.
(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)
＝－(5×8×7×0.25)
＝－70.
4.有理数的除法
(1)有理数除法的意义
在有理数运算中，除法的意义依然是乘法的逆运算，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算．除法可以转化为乘法来进行．
(2)有理数的除法法则
①有理数的除法法则一(直接相除的法则)：
Ⅰ.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
Ⅱ.零除以一个不为零的数，仍得零．零不能作除数．
用字母表示：
