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复习重点
第一章控制系统的状态空间描述
1 控制系统状态空间表达式
2 由系统的物理模型建立状态空间表达式
3 由系统的微分方程建立状态空间表达式
4 离散时间系统的状态空间表达式
第二章线性控制系统的分析
1 线性定常系统的运动分析
2 状态转移矩阵
3 线性定常非齐次状态方程的解
4 线性离散时间系统的运动分析
5 线性连续时间系统的离散化
第三章线性控制系统能控性和能观测性
1 线性连续系统的能控性及判据
2 线性连续系统的能观测性及判据
3 对偶原理概念
4 线性系统的能控标准型和能观测标准型
5 线性定常离散系统能控性与能观测性判据
6 线性系统的能控性结构分解和能观测性结构分解
7 传递函数矩阵的（能控、能观测、最小）实现
第四章控制系统的稳定性分析
1 李亚普诺夫稳定性定义
2 李亚普诺夫稳定性基本定理
3 线性系统李亚普诺夫稳定性分析
4 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析
第五章线性定常系统综合
1 状态反馈和输出反馈
2 闭环系统的极点配置
3 状态观测器的实现
i。
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制知识点总结在现代化的工业生产和自动化系统中，控制技术扮演着至关重要的角色。
控制技术的发展不断推动着生产系统的智能化、高效化和自动化。
本文将从控制理论、控制系统的组成、控制器的类型、现代控制技术等方面对现代控制知识点进行总结。
一、控制理论控制理论是现代控制的基础，它主要研究控制系统的设计、分析和优化。
在控制理论中，最经典的理论是PID控制器（比例、积分、微分控制器）。
PID控制器基于误差信号的比例、积分和微分来调节控制变量，它的简单结构和良好的稳定性使得它在工业控制中得到广泛应用。
除了PID控制器，控制理论中还有模糊控制、神经网络控制、模型预测控制等现代控制技术。
这些技术通过不同的控制策略和算法来实现对复杂、非线性的系统控制，提高了控制系统的性能和效率。
二、控制系统的组成控制系统是由传感器、执行器、控制器和执行对象组成的。
传感器用于采集控制对象的状态信息，将其转换为电信号送入控制器；执行器根据控制器的指令控制执行对象的动作；控制器是整个系统的核心部件，它根据传感器反馈的信息计算出控制信号，并将其送至执行器。
控制系统的组成非常复杂，不同的控制系统需要不同的传感器、执行器和控制器来实现。
在现代工业生产中，控制系统的组成将更加多样化和复杂化，需要运用各种现代控制技术来实现对各种复杂对象的控制。
三、控制器的类型控制器是控制系统的核心部件，它按照控制对象的状态信息，计算出控制信号来实现对执行对象的控制。
根据其控制策略和算法的不同，控制器主要有以下几种类型：1. 开环控制器：开环控制器没有反馈环节，它根据固定的控制规律来生成控制信号。
开环控制器简单、成本低，但不能对外界的干扰进行修正，容易受到外界因素的影响。
2. 闭环控制器：闭环控制器有反馈环节，它根据传感器反馈的信息进行计算和修正，实现对控制对象的精确控制。
闭环控制器有PID控制器、模糊控制器、神经网络控制器等。
3. 数字控制器：数字控制器是一种基于数字信号处理的控制器，它使用数字信号进行控制计算和处理，能够实现对非线性、复杂系统的控制，并且具有较强的抗干扰能力和精确性。
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 Du Cx y Bu Ax x+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
现代控制理论期末总结一、引言现代控制理论是控制科学领域的重要学科之一，它涉及到多学科的知识和技术，包括数学、物理、电子工程等。
随着科学技术的进步和社会需求的变化，现代控制理论也在不断发展和完善。
本文对现代控制理论的基本概念、主要方法和应用进行总结和归纳。
二、基本概念1. 控制系统：控制系统是由若干个组成部分组合起来，形成的一个整体。
主要包括被控对象、控制器、传感器和执行机构等。
2. 系统模型：系统模型是对控制对象的数学描述，主要有状态方程和传输函数两种形式。
3. 控制器：控制器是根据系统的输入和输出来生成控制信号，将控制对象的输出调整到期望值或稳定状态。
4. 闭环控制与开环控制：闭环控制是指根据反馈信号来调整控制信号的方法，开环控制是指不考虑反馈信号而直接调整控制信号的方法。
三、主要方法1. PID控制：PID控制是一种常用的控制方法，它基于比例、积分和微分三个部分来调整控制信号，使得系统输出能够快速稳定地达到期望值。
2. 状态空间法：状态空间法是一种描述系统动态行为的方法，通过状态变量和状态方程来描述系统的状态演化过程，实现对系统的控制。
3. 最优控制：最优控制是寻找使系统性能达到最佳的控制方法，主要有最小时间、最小能量、最小轨迹等不同的优化目标。
4. 自适应控制：自适应控制是指根据系统的动态特性来调整控制器的参数，以适应不断变化的控制对象。
5. 非线性控制：非线性控制是处理非线性系统的方法，包括滑模控制、反馈线性化、自适应模糊控制等。
四、应用领域1. 工业控制：现代控制理论在工业控制中得到广泛应用，包括自动化生产线、机器人控制、工艺流程控制等。
2. 航空航天：现代控制理论在飞行器的姿态控制、飞行轨迹规划、自动驾驶等方面有着重要的应用。
3. 医疗器械：现代控制理论在医疗器械中的应用包括影像诊断、手术机器人、生命支持系统等。
4. 交通运输：现代控制理论在交通运输中的应用包括车辆控制、交通网优化、智能交通系统等。
第一章控制系统的状态空间表达式1.状态空间表达式x 二 Ax Buu : r xl y ：1A:n 汉n B:n 汉r C:m 汉nD:m 汉ry = Cx DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；E为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
2.状态空间描述的特点①考虑了输入—状态—输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
3.模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
4.状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作X i，输入则为X i ；c由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL和KCL列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现冋题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程T系统函数T模拟结构图T状态空间表达式。
注意：a如果系统函数分子幕次等于分母幕次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。
b模拟结构图的等效。
如前馈点等效移到综合反馈点之前。
c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5.状态矢量的线性变换。
也说明了状态空间表达的非唯一性。
不改变系统的特征值。
特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量p i的求解：也就是求（’J - A） x = 0的非零解状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。
a互异根时, 各特征矢量按列排。
b有重根时，设3阶系统，'1= ' 2，'3为单根，对特征矢量p1，p3求法与前面相同，P 2称作'1的广义特征矢量，应满足（'l l - A ）P 2二-P 1系统的并联实现：特征根互异；有重根。
方法：系统函数 > 部分分式展开 > 模拟结构图 > 状态空间表达式。
6. 由状态空间表达式求传递函数阵 W （s ）W （s^C （sl - A ） J B D m r 的矩阵函数］W j ］ W j 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵 W （s ）是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵 W （s ）。
方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
第二章 控制系统状态空间表达式的解二.矩阵指数函数一一状态转移矩阵1. ］t ）二e At表示x （0）到x （t ）的转移。
5个基本性质。
2. e At的计算:a 定义；b 变换为约旦标准型 上（或J ） =T 」AT ,e At或Te Jt T Jc 用拉氏反变换e At =L 」［（sl -A ）」］代入公式即可。
特殊激励下的解。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性一. 能控性及能观性定义（线性连续定常）二. 线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统） 判别方法（一）：通过线性变换Ax Bu 》z 二T "Tz T ^Bu1. 若A 的特征值互异，线性变换（x 二Tz ）为对角线标准型，上=T^AT ，能控性充要条件：T _1B 没有全为0的行。
变换矩阵T 的求法。
2. 若A 的特征值有相同的，线性变换（x 二Tz ）为约当标准型，J 二T*AT ,能控性充要条件：.线性定常系统齐次状态方程（x 二 Ax )的解：x(t)二 e At x 0记忆常用的拉氏变换对/■(th 1;1(tp >t「2；e 」t …s s ;tn>』F;te1 (s a)2;sind 应用凯莱-哈密顿定理三.线性定常系统非齐次方程（tx = Ax + Bu )的解：x(t) = ©(t)x(0) + 严(t —i)BuC)出。
拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路） 求解步骤：先求（t^e At，然后将B 和u （t ）①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的T*B中最后一行元素没有全为0的。
②T_1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为 0的。
变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。
但线性变换比较复杂，关键是求 T 、T J 、T JB判别方法（二）：直接从A,B 判别x =Ax • Bu 能控的充要条件是 能控性判别矩阵M 二（B,AB,A 2B,…A nJB ）的秩为n 。
在单输入系统中，M 是一个n n 的方阵；而多输入系统，M 是一个n nr 的矩阵，可通过rankM = rank （MM T ） 三•线性定常系统的能观性判别 判别方法（一）：通过线性变换1 •若A 的特征值互异，线性变换（x 二Tz ）为对角线标准型，二=T JAT ，能观性充要条件：TC 中没有全为0的列。
变换矩阵T 的求法。
2 •若A 的特征值有相同的，线性变换（x 二Tz ）为约当标准型，J =T J AT ，能控性充要条件： ①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的 TC 中第一列元素没有全为0的。
②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为0的。
变换矩阵 T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。
但线性变换比较复杂，关键是求 T 、T _1、TC 。
判别方法（二）：直接从A ，C 判别CA n4在单输入系统中，N 是一个n n 的方阵；而多输入系统，N 是一个nm n 的矩阵，可通过rankM = rank （MM T ） 六•能控性与能观性的对偶原理1 •若 A2 =A T ，B 2 =C i T，C 2=B I T，贝U 1I （A I , B I ,C I ）与二 2（A 2,B 2,C 2）对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
且他们的特征方程式是相同的。
2.11与12对偶，则匚1能控性等价于12能观性，匕1能观性等价于匚2能控性。
七.能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方 便。
1. 能控标准I 型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。
②计算特征多项式| 'I -AF 」-an 4'n ^ ■ a< ■ a0，即可写出A 。
③求变_0l彳 彳_1— 1 0p =[0,0，…,1][b,Ab,…A 2B ]，。
④求 T c1，计算 b =Td b= :，C = cT“，x 二 Axz = T 」ATzTy = Cx y 二 TCz能观性的充要条件是能观性判别矩阵N 二CCA的秩为n 。
换矩阵Td --P 11P 1AJ.也可以验证是否有A =T c「ATc12.能观标准U 型①判别系统的能观性。
②计算特征多项式|，l -A|=，n • ac = cT 02 = 0 0…11,也可以验证是否有 A = T, 3.如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准I 型和能观标准U 型的状态空间表达。
:n 1-n _2' - n _2s八•线性系统的结构分解1.按能控性分解（状态不完全能控，即rankM =n 1 c n ）,通过非奇异变换 R c 二R 1 R 2…R n1…R n ,前n 1个列矢量是M 中m 个线性无关的列，其他列矢量保证 艮非 奇异的条件下是任意的。
2.按能观性分解（状态不完全能观，即 rankN 二n 1 ：：： n ）,通过非奇异变换x = R 。
;?完成。
f *、R 1 R 2"= I ,前n 1个行矢量是N 中n 1个线性无关的行，其他行矢量保证 R 。
'非奇异的条件下是任<Rn意的。
3. 按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但 直观。
nf n 」•…a °，即可写出A 。
③求变换矩阵 ％ 二 T 「AT-…,A n JT J ,cA3a1 11一。
④求％ ,计算b =T 02J b,十…+B is + B o-0 1 0 … 0 1 [ 0 01 ・・！■0 9a■ anb = 90 (1)[一 a0 _a1-a2… _ a n4 _j一1■0 0… 0 _ a 。
[1 0…0 一 a 1£0 1…0 —a2b =aaai---i【°0… 1 —an 」_ ic =[0 01]o2ATo2。
x = R c?完成。
■01-c r川…川as -能控标准I 型：Ac 二［：0 ：能观标准U 型：A =步骤：①首先按能控性分解（X c 能控状态，X c 不能控状态）。
②对不能控子系统按能观性分解（X co 不能控能观状态，X co 不能控不能观状态）。
③将能控子系统按能观性分解（X Co 能控能观状态，X OT 能控不能观状态）。
④综合各步变换结果，写出最后的表达式。
另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按 4种类型分类排列九•传递函数阵的实现问题1. 实现的定义：由W （S ）写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题 条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是2. 能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W （S ）是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准 1型和能观标准2型实现。
3. 最小实现（维数最小的实现）x 一 Ax 亠 BuB U为W （S ）最小实现的充要条件是 刃A,B,C ）是完全能控能观的。
y 二 Cx 步骤：对给定的W （S ），初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分， 即为最小实现。
注意：传递函数阵W （S ）的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的 十.传递函数W （S ）中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有 零极点对消。
