有理数 第1课时 数集的扩充

（小升初） 备课教员：第一讲 数的扩充——有理数一、教学目标： 1. 借助生活中的实例理解负数，有理数的意义。

体会负数引入的必要性和有理数的广泛性。

2. 会判断一个数是正数还是负数，能用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系。

3. 在负数概念的形成过程中，养成观察，归纳与概括的能力。

二、教学重点： 正、负数的意义。

三、教学难点： 负数的意义及0的内涵。

四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：同学们，在上课之前呢，老师要先问大家几个问题？生：……师：请同学们数一数自己文具盒中有几支笔？生：3支，5支...师：好的，那现在老师请一位同学上来帮老师数一数老师手中的文具盒有几支笔？请同学举手发言哦！好的，这位同学你上来帮老师数一数。

生：没有笔。

师：是的，老师的文具盒里没有笔，那同学们知道没有怎么表示吗？ 生：用“0”。

师：是的，这位同学说对了，我们可以用“0”表示。

其实在我们生活中，数的应用也非常地广泛，接下来我们看看这些数代表的含义。

生：……师：北京冬季里某一天的温度-3℃～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？生：……师：这里出现了-3，在实际问题中表示零下3℃，这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，有时在正数前面也加上“+”（正号）。

例如，+3，+2，+0.5，+31... 生：……师：其实这里不管是正数，负数，还是0，我们都可以叫做有理数，今天我们一起来研究数的扩充——有理数。

（板书课题：数的扩充——有理数）二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）把下列各数填在相应的大括号里。

－1，0，+0.8，－37，-2.4，8848，134，227，-80 正数集合（ ）； 负数集合（ ）；正整数集合（ ）； 负整数集合（ ）； 正分数集合（ ）； 负分数集合（ ）； 整数集合（ ）； 有理数集合（ ）； 师：同学们先看看正数有哪些？生：+0.8，8848，722。

有理数单元教学目标1了解有理数的意义。

会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。

2了解数轴、相反数、绝对值的概念。

会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

3掌握有理数大小比较的法则。

会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。

单元教学重点1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。

2数形结合的思想方法。

单元教学策略有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。

对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。

教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。

同时还要注意为后面的学习做好准备。

教学手段和方法1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来2指导学生阅读、讨论、练习、总结。

3使用投影仪。

第1、2课时正数与负数一、学习目标1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。

2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。

二、教学过程师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数）填空1在数物体时，物体的个数用 ___________________________ 示；一个物体也没有，就用_________________________ 示。

2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用 ______________________________ 示。

3北京冬季里的一天，白天最高气温比0C高10C，记作10C ;夜晚最低气温比0C低5C，记作_______________________________________ 。

在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848,表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低21 2 8848、-155,21师：在黑板上写出11、2、3、0、-5、21、1.5、-1、1.5、2请同学们认真观察教师写出的数，以四个小组为单位，讨论下面的问题1哪些数是我们在小学已经学过的？自然数包括0吗？2哪些数我们还没有学过？试说明它们都是在实际需要中产生的。

数系的扩充和复数的概念教案第一章：数系的扩充1.1 有理数和无理数学习目标：1. 理解有理数和无理数的定义及其性质。

2. 学会有理数和无理数的运算方法。

教学内容：1. 有理数的定义：整数和分数的统称，包括正整数、负整数、正分数、负分数。

2. 无理数的定义：不能表示为两个整数比的实数，如π和√2。

3. 有理数和无理数的性质：有理数和无理数都是实数的一部分，有理数可以表示为分数，无理数不能表示为分数。

4. 有理数和无理数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入有理数和无理数的定义，让学生通过实例理解有理数和无理数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉有理数和无理数的性质。

3. 讲解有理数和无理数的运算方法，并通过练习题巩固。

1.2 实数和虚数学习目标：1. 理解实数和虚数的定义及其性质。

2. 学会实数和虚数的运算方法。

教学内容：1. 实数的定义：包括有理数和无理数。

2. 虚数的定义：形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

3. 实数和虚数的性质：实数和虚数统称为复数，复数可以表示为a+bi的形式。

4. 实数和虚数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入实数和虚数的定义，让学生通过实例理解实数和虚数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉实数和虚数的性质。

3. 讲解实数和虚数的运算方法，并通过练习题巩固。

1.3 复数的表示学习目标：1. 理解复数的表示方法及其性质。

2. 学会复数的运算方法。

教学内容：1. 复数的定义：实数和虚数的统称，形如a+bi的形式，其中a和b是实数，i 是虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的性质：复数可以表示为a+bi的形式，实部a和虚部b可以相加、相减、相乘、相除和相乘方。

3. 复数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入复数的定义，让学生通过实例理解复数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉复数的性质。

趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。

作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。

一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。

小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。

上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。

如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。

更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。

因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。

毕氏本应接受这新数源。

然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。

使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。

这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。

后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。

鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。

当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。

这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。

第一章《有理数》 第一课时1.1 正数和负数（1）一、生活中的实例问题1：师：今天我们已经是七年级的学生了，我是你们的数学老师．下面我先向你们做一下自我介绍，我的名字是XXX ，身高1.69米，体 重74.5千克，今年43岁．我们的班级是七(2)班，有50个同学，其中男同学有27个，占全班总人数的54%…问题1：老师刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗？学生活动：思考，交流师：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）．问题2：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？请同学们看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论，然后进行交流。

（也可以出示气象预报中的气温图，地图中表示地形高低地形图，工资卡中存取钱的记录页面等）学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“－”的新数。

问题3：前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢？为什么要引人负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量．问题4：请同学们举出用正数和负数表示的例子．问题5：你是怎样理解“正整数”“负整数，，’’正分数”和“负分数”的呢？请举例说明．知识小结：1、 0由于实际问题中存在着相反意义的量，所以要引人负数，这样数的范围就扩大了；2、正数就是以前学过的0以外的数（或在其前面加“＋”），负数就是在以前学过的0以外的数前面加“－”。

作业设计：【基础平台】1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作____,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239． 则正数有_____________________；负数有____________________．4．向东行进-50m 表示的意义是……………………………………………………〖 〗A ．向东行进50m C ．向北行进50mB ．向南行进50m D ．向西行进50m 5．下列结论中正确的是 ……………………………………………………………〖 〗A ．0既是正数，又是负数B ．O 是最小的正数C ．0是最大的负数D ．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有 ……〖 〗 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个 7．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数?+8，-25，68，O ，722，-3.14，0.001，-889．正数有：负数有：【自主检测】1．零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________．2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．3．某天中午11时的温度是11℃，早晨6时气温比中午低7℃，则早晨温度为_____℃，若早晨6时气温比中午低13℃，则早晨温度为_______℃．4．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．5．在下列四组数(1)-3，2.3，41；(2)43，0，212；(3)311，0.3，7；(4) 21，51，2中，三个数都不是负数的组是〖 〗A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(3)(4)D ．(2)(3)(4) 6．在-7，0，-3，34，+9100，-0.27中，负数有〖 〗A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．指出下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-2，312+，0，513，204，-0.02，+3.65，715-． 正数有：负数有：【拓展平台】1．写出比O 小4的数 ，比4小2的数 ，比-4小2的数 ．2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．3．学校对初一男生进行立定跳远的测试，以能跳1.7m 及以上为达标，超过1.7m 的厘米数用正数表示，不足l.7m的厘米数用负数表示．第一组10名男生成绩如下(单位cm)：+2-4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3 问：第一组有百分之几的学生达标?1.1 正数和负数（2）回顾：上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量，为了区分这两种量，我们用正数表示其中一种意义的量，那么另一种意义的量就用负数来表示．这就是说：数的范围扩大了（数有正数和负数之分）．那么，有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？问题1：有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？学生思考并讨论．（数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．这个道理学生并不容易理解，可视学生的讨论情况作些启发和引导，下面的例子供参考）例如：在温度的表示中，零上温度和零下温度是两种不同意义的量，通常规定零上温度用正数来表示，零下温度用负数来表示。

第一部分：知识精讲知识点一、正数和负数为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前面加“+”号表示，如+6，133+等，带有正号的数叫正数（正号可省略不写），负的数量用算术数前加“－”号表示，如－4，162-等，带有负号的数叫负数。

知识点二、有理数正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称分数，整数和分数统称有理数。

有理数的分类：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯---⋯⎪⎩⎪⎨⎧⋯---⋯655.3512.53121321321，，负分数：如，，正分数：如分数，，负整数：如零，，正整数：如整数有理数 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---⋯---⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯655.351321413121321:，，负分数：如，，负整数：如负有理数零，，正分数：如，，如正整数正有理数有理数 特别注意：○1用正数和负数表示相反意义的量：可以任意规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就必须为负数。

数的扩充——有理数○2零既不是正数也不是负数，它是正数、负数的分界。

“0”不仅仅表示没有的意思，“0”它是一个具体的量，表示有。

如，C ︒0；规定海平面的海拔高度为0.○3零是整数，也是偶数。

○4非负数就是零和正数。

第二部分：例题精讲例1、把下列各数填在相应的大括号里。

－1，0，+0.8，－37， 2.4-，8848，134-，227，80- 正数集合}{； 负数集合}{ ； 正整数集合}{； 负整数集合}{ ； 正分数集合}{ ； 负分数集合}{ ； 整数集合}{； 有理数集合}{；例2、（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作 。

（2）海平面的高度一般用数 表示，比海平面高8848m 的山峰处，它的高度记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m 。

（3）粮食产量增产12%，记作+12%，则减产8%记作 。

第1讲 数的扩充——认识有理数【课程构架】⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩数的扩充按定义分类有理数的分类按符号分类数轴有理数的衍生概念绝对值与相反数认识有理数倒数、负倒数数轴法有理数大小的比较方法作差法作商法【知识体系】1. 数的扩充：人类很早就有了数的概念。

在漫长的生活和生产实践中，由于记事、测量和分配等方面的需要，人们发明了自然数和分数，为了表示具有相反意义的量，我们的祖先又发明了正数和负数，把数扩展到了有理数。

正整数、零和负整数统称整数（integer ）；正分数，负分数统称分数（fraction ）。

2. 掌握有理数的两种分类方式：①⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零负整数有理数（按定义分类）正分数分数负分数 ②⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正数正分数有理数（按符号分类）零负整数负数负分数 3. 有理数的衍生概念：（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；注：①数轴的画法必须规范，原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。

②单位长度指一条人为规定的代表“1”的线段，长短可由实际情况来确定，但必须统一。

（2）相反数与绝对值：①只有符号不同的两个数互称为相反数；特别地，0的相反数是0。

②数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a 。

（3）倒数与负倒数：乘积为1的两个数互为倒数，若1a b ⋅=，则,a b 互为倒数；乘积为1-的两个数互为负倒数，若1a b =- ，则,a b 互为负倒数。

4. 学会比较有理数之间的大小：数轴法，作差法，作商法1． 下列说法正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义表示没有 C ．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数B ．正有理数和负有理数组成全体有理数 D ．零是最小的非负整数，它既不是正数，又不是负数 2． 有如下命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数； ③两个符号相反的分数之间至少有一个整数； ④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数. 其中正确的个数为（ ）. 个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 3． 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）A ．节约汽油10升和浪费粮食10kg C ．向东走8公里和向北走8公里B ．收入300元和支出100元 D ．身高180cm 和身高90cm4． A 地海拔高度是－30米，B 地海拔高度是10米，C 地海拔高度是－10米，则地势最高的与地势最低的相差 米.5． 一个零件的内径尺寸在图纸上标注是0.050.0320+-（单位：mm ），表示这种零件的标准尺寸是20mm ，加工最大不超过标准尺寸 ，最小不小于标准尺寸 ．6． 数轴的三要素是： ，若在数轴上到点A 距离为2的点所表示的数为4，则点A 所表示的数为 .数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为7，则这两数为 . 数轴上与2-这个点的距离等于3.5个单位长度的点所表示的数是 .7． 一个数的绝对值表示这个数在数轴上与 的距离，若数轴上点a 表示的数是3，则与a 相距5个单位长度的点所表示的数的绝对值是 ； 绝对值是其本身的数是 ； 8． 把下列各数填入相应集合的括号内：29，-5.5，2002，67，-1，90%，3.14，0，-213，-0.01，-2，1 （1）整数集合：{ }； （2）分数集合：{ }； （3）正数集合：{ }； （4）负数集合：{ }； （5）正整数集合：{ }； （6）负整数集合：{ }.例1. 填空：（1）若a 与b 互为相反数，且两数之差为5，则ab = ；（2）若7x +与3x -互为相反数，则x 的相反数是 ；（3）相反数是其本身的数为 ；相反数比本身大的数是 ； （4）(1)--的相反数是 ；1--的相反数是 。

趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。

作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。

一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。

小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。

上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。

如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。

更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。

因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。

毕氏本应接受这新数源。

然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。

使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。

这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。

后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。

鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。

当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。

这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。