平面向量与三角形三心教学文案

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++ 1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+2.若M是OP上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线:（2）高线:（3）角平分线:（4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点:()AB AC λ+ 或()||sin ||sin AB ACAB B AC Cλ+(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+,(3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+ (4)中垂线上的动点:()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ,三、四心与向量的结合1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则）应用:（1）O 是ABC ∆的重心.⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔OA OB OC ++=（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔Ctan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=（4）O 为ABC ∆的外心⇔⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心.⇔1()3P O P A P B P C =++（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅（3）O 为ABC ∆的内心.⇔(()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB∙-=∙-=∙= （4）O 为ABC ∆的外心⇔==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心题2：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A.重心B.垂心C.外心D.内心题4：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心题5：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足(||||AB CA OA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅+||CB CB )=(||||BC CA OC BC CA ⋅+=0，则O 点是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++=0,则O 点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点),则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点是△ABC 的()A.垂心 B.重心C.内心D.外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅=0，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++=0，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH=()m OA OB OC ++ ，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知非零向量AB与AC 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅=0且12||||AB AC AB AC ⋅=，则△ABC 为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC 一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形题17：已知△ABC，若对任意t R ∈，||BA t BC - ≥||AC，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定题18：已知a ,b,c 分别为△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅=0,则△ABC 为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++=0,则：(1)△AOB 与△AOC 的面积之比为___________________；(2)△ABC 与△AOC 的面积之比为___________________；(3)△ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________.四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA =a ,CB =b ,CP =m a ,CQ =n b ,则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++sin )0}ACB ACλ> ，，则ABC ∆的（）一定属于集合M .（A）重心（B）垂心（C）外心（D）内心GABC MPQ。

高中数学三角形的向量教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念及性质；
2. 掌握向量的加减运算；
3. 运用向量解决三角形的性质和问题。

二、教学重点：
1. 向量的加减运算；
2. 三角形内部及外部向量的性质及应用。

三、教学内容：
1. 向量的概念及表示法；
2. 向量的加减法；
3. 三角形中的向量性质；
4. 用向量解决三角形相关问题。

四、教学过程：
1. 引入：通过实际生活中的例子引入向量的概念，引起学生对向量的兴趣和好奇。

2. 讲解：介绍向量的定义、表示方法和性质，以及向量的加减法规则。

3. 练习：让学生做一些简单的练习，加深对向量加减法的理解。

4. 拓展：探讨三角形内部和外部向量的性质，引导学生研究如何用向量解决三角形相关问题。

5. 应用：通过实际问题，引导学生运用向量知识解决三角形的周长、面积等问题。

6. 总结：总结本节课的重点内容，强化学生对向量的理解和掌握。

五、课后作业：
1. 完成课堂练习题；
2. 练习相关习题，巩固向量的加减法；
3. 解决一些三角形相关的问题，用向量解答。

六、教学反思：
本节课围绕向量的加减运算和三角形性质展开，通过引入生活中的实际问题和举例讲解，激发学生的学习兴趣和思维能力。

在教学过程中，要注重引导学生通过思考和实践来深入理解和掌握向量的相关知识，提高学生的解决问题能力和应用能力。

知识导航三角形“四心”在平面向量中的应用史平笔一、有关三角形“四心”的概述1.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边. 2.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等. 3.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点的距离与该点到对边中点距离之比为 2∶1. 4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等. 二、三角形“四心”与平面向量的关系设（，），则（GG GG ）向量必平1．AB + AC λ∈0 +∞λGG GG 分，该向量必通过AB AC ∠BAC △ABC 的内心. GG GG 设（，），则（）AB AC 2．λ∈0 +∞λAB GG cos B + AC GG cos C 向量必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心. GG GG GG 3．△ABC 中，AB +AC 一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心. 4．点O 是△ABC 的外心GG 2 GG 2 GG 2 圳OA =OB =OC . 5．点O 是△ABC 的重心GG GG GG 軋圳OA +OB +OC =0. GG GG GG GG GG GG 6．点O 是△ABC 的垂心圳OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA . GG GG GG 軋7．点O 是△ABC 的内心圳a ·OA +b ·OB +c ·OC =0 （其中 a 、b 、c 为△ABC 三边）. 的外心、重心、垂心共线，即GG ∥GG . ABC O G H OG OH 三、探究教材内容，链接高考试题【题源】人教版 A 版《数学》必修四 B 组 P125 页第5 题：已知向量GG ，GG ，GG 满足条件GG +GG +GG = OP 1 OP 2 OP 3OP 1 OP 2 OP 3 0軋，GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．思路分析对于本题中的条件GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，容易想到，点O 是△P 1P 2P 3的外心，而另一个条件GG GG GG 軋表明，点O 是△P 1P 2P 3 的重心故本OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 ．题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形证明由．可知，是GG = GG = GG =1 OP 1 OP 2 OP 3 O △P 1P 2P 3三角形的外心，由GG GG GG 軋可知O 是三角形的重心，OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 △P 1P 2P 3 可知点 O 是正△P 1P 2P 3的中心，即△P 1P 2P 3是正三角形．（2016·四川高考理科·T10）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA GG = DB GG = DC GG GG GG GG GG GG ，DA ·DB =DB ·DC =DC ·GG =2 ，动点，满足GG =1 ，GG GG ，则GG 2 的数DA P M AP PM =MC BM 最大值是（）学A. 43B. 49C. 37+6姨3D. 37+2姨33 篇44 4 4 解析由上例可知△ABC 是正三角形，且 D 是46 GG GG = GG GG cos ∠ADB= GG △ABC 的中心，DA ·DB DA DB DA。

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、 四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲 动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・ 例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩 為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点 在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。

三角形外心内心重心垂心与向量性质三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量(=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆的垂心。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++； （2）)(31PC PB PA PG ++=。

平面向量与三角形三心------------------------------------------作者------------------------------------------日期向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OAB CD∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心) ：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合证法1设0(x, y), A(x i, yj B(X2, y2)，C(X3, y3)(1) OA OB 0C =0：二0是:ABC的重心.OA OB OC = 0 二(X i _X)+(X2 _X)+(X3 _ X) =0(y i -y) (y2 - y) 仏- y) =o % y 2 y33 O是ABC的重心•证法2:如图OA OB OC=OA 2OD =0.AO =2OD.A、O、D三点共线，且O分AD为2：1.O是ABC的重心(2) OA OB = OB OC = OC OA：= O为ABC 的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，OA OB =OB OC 二OB(OA -OC) =OB CA = 0二OB _ AC同理OA _ BC，OC _ AB=O为-ABC的垂心(3)设a, b , c是三角形的三条边长，O是厶ABC的内心▼faOA bOB cOC = 0 = O 为ABC 的内心.AB AC ——-——-证明：... AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量,ABcAC+ 平分N BAC, bX1X2X3y二D、E是垂足.AB AC)，令一be a b cbe AB ACAO()a b c c b化简得(a b c)OA bAB eAC =0 aOA bOB cOC = 0(4) OA=OB=OC 二 O 为占ABC 的外心。

典型例题分析［例题］已知点G 是丁ABC 内任意一点，点M 是丁ABC 所在平面内一点•试根据下列条件判断G 点可能通过VABC 的 _______ 心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).［提出问题］⑵ 若点D 是丁 ABC 的底边BC 上的中点，满足GDGB 二GDGC ,则点G 可能通过VABC 的 __________.⑶若存在常数 上,满足MG = MA + 珥一-AB — +™AC —)仏丰0)，则点G 可能 AB 廉i nB AC 隔 nC 通过VABC 的 ___________通过VABC 的 __________ .［思路分析］以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性质 同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉形或三角形法则知，点G 是角平分线上的点，故应填内心. (2) 简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点，故应填外心. (3) 叮 ABVin B =|AC 蹩i nC/.记 ABVin B=| AC^i nC = h ,则AG =「(AB AC)('').由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G 是hBC 边的中线上的点，故应填重心.(4) 分析后发现，本题学生难以找到解决问题的突破口 ，主要在于平面向量的数量(1)若存在常数 ———A丸,满足MG = MA +九(—〜AB ACG 可能通过丁 ABCAC(4)若存在常数 ABAC■a^s a^s丸,满足MG = MA + k (—飞ABVosB ACPosC)(■ =0),则点G 可能［解答过程］(1)记 AB AB AC〜，一~■ (ej e 2).由平面向量的平行四边)(=0),第3页共4页积的充分利用•由MG =MA …(AB AB£osBAC AC \cosC得 AG = ■( 一 一+ —)(丸丰 0),AB Vos B AC \cosC (关键点)AGB^ (一亠—T )x BC (“o ) AB^cosB AC^CosC于是AG BC = ■( IAB A 啤乞+ AC 乎)(+) YosB〔ACpCosC =■( BC cos( -：-B) BC cosB)从而AG _ BC ，点G 是高线上的点，故应填垂心.［点评］以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心” 的性质在解答问题时的作用•特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧•总结:(1) OA OB OC =0 = O 是 ABC 的重心.(2) OA OB =OB OC =OC OA ：= O 为 ABC 的垂心.(3) 设a , b , c 是三角形的三条边长， O 是厶ABC 的内心aOA bOB cOC = 0 = O 为 ABC 的内心.(4) OA=OB=OC= O 为 AABC 的外心。

平面向量的基本定理、正交分解及坐标表示一、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角概念；（2）会用基底表示平面内任一向量，能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解坐标表示。

2、过程与方法（1）通过对平面向量基本定理的探究以及用坐标表示平面向量的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。

（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强学生思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力工具。

3、情感态度与价值观通过本节课的教学，引导学生经历定理的产生过程，学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点重点：平面向量基本定理的探究；平面向量的坐标表示。

难点：平面向量基本定理的理解及其应用。

三、教学方法探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，由向量的合成引出向量分解，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程一、复习旧知，引入课题：1．向量的加法运算法则？2．两个非零向量共线的条件是什么？3．给定向量 1e 2e ，作向量→a =1232e e + 采用平行四边形法则构图求得，反问：给定向量 1e ，2e 和→a 向量，如何确定三者之间的关系，上述关系式还成立吗？教师：（1）提问学生回答，多媒体展示三角形法则、平行四边形法则； （2）两非零向量共线的条件，并补充问题两向量方向有何关系？ （3）提问学生口述向量合成的过程，引导学生思考反问，板书课题。

学生：思考并进行回答，设计意图：回顾平面向量线性运算及向量共线定理，提问学生由向量的合成问题反问其分解问题——引出课题二、探究归纳，讲授新课： 1、平面向量基本定理假设1e ，2e 是平面内两个不共线向量，a 是平面内任一向量，能否用向量1e 2e 表示向量→a （引导学生构造平行四边形）OA =1e ，OM =λ12e ，OC =a =OM ON =λ11e λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．教师：引入几何画板，引导学生通过向量动态变化深刻认识定理的关键点，并设置以下问题引导学生进行思考：（1）向量→a 是平面中的任意一个向量吗？如果向量→a 与向量1e 或者2e 共线，还能否用其表示？（板书：向量→a 的任意性）（2）向量1e 2e 可否共线？向量→a 只能用向量1e 2e 进行表示吗？（板书：基底是平面内任意两个不共线向量,用来表示向量→a 的1e 2e 可以有无数组）（3）基底确定,对于向量→a ,有且只有一对实数λ1 λ2,使得a ＝λ11e λ22e （板书：λ1λ2的唯一确定性）教师引导学生归纳总结得出平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有1e2eaNBC一对实数λ1 ，λ2使a ＝λ11e λ22e ．不共线的向量1e 2e 叫做表示平面内所有向量的一组基底设计意图：通过问题的设置，引导学生观察几何画板中向量分解所构造的平行四边形动态变化，归纳总结平面向量基本定理的关键点，掌握其定理本质含义，加深学生对定理的认识。