中考数学试题-三角形与全等三角形试题及答案

《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对mn第3题图21CBAD第4题第5题二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： ．10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为12～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___ __° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，求∠EBC 的度数.CABDBFDE AC15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分 21、问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互OCBA② ABCO①O C B AED③不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ABCE D m（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．测试题答案一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( D ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ D ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( C ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ D ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ A ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°mn第3题图21CBAD第4题第5题6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ C ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= 3cm . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为 40°9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ． 10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为 75°11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为 10或1112～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___66.5___° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CABDBFDE AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°14、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，求∠EBC 的度数.解：在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°.由AB的垂直平分线交AC得AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°.15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．解：(1)第一个空填：90°＋2α；第二个空填：90°＋3α．第三个空填：120°－3α．(2) 答案：120°－3α．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ 1n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－1n (180°＋∠A)＝n−1n·180°－αn ．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状. OCBA② ABCO①O C B AED③ABCE Dm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90°∴∠BA D+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠AB D=90°∴∠CAE=∠AB D又AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE (2)∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）由（2）知，△A DB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE ∵B F=AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ααα根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程） （1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO 和△PDE 中∴△BPO≌△PDE（AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4， 在△ABP 和△CPD 中∴△ABP≌△CPD（AAS ），∴AP=CD．（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ， １、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ， ∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MF=21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG=21AC ，∴MF=EG ． 同理可证DF=MG ． ∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ． 2、MD ⊥ME ；∵MG ∥AB ，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD ⊥ME ； ●类比探究答：等腰直角三解形。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题15三角形及全等三角形一．选择题（共16小题）1．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边【分析】根据两点确定一条直线判断即可．【解析】这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、两点之间，线段最短、两点确定一条直线、垂线段最短，正确理解它们在实际生活中的应用是解题的关键．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．【解析】在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．3．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解析】∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关键．4．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A．1B．2C．7D．8【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．【解析】∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范围为：2＜d＜8，∴则d可能是7．故选：C．【点评】本题主要考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到d的取值范围是解题的关键．5．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解析】根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．6．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解析】设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n﹣2）•180°是解题的关键．7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解析】A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．8．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解析】∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．9．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解析】∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．10．（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解析】A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．11．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．70°【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．【解析】如图所示，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．12．（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解析】当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设李锐两家的直线距离为x，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．【解析】在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC全等的证明过程．15．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．16．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解析】∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．二．填空题（共6小题）17．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为11．【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意可得：，解得：n＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．18．（2022•江西）正五边形的外角和为360度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解析】正五边形的外角和为360度，故答案为：360．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．19．（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝48度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．【点评】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．20．（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为135°．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解析】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）．21．（2022•孝感）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．【解析】添加条件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝15度．【分析】根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．三．解答题（共4小题）23．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD ＝CF．【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF，∴AC﹣DC＝DF﹣DC，即：AD＝CF．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键．24．（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．26．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．。

2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。

中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( )第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是．(只填一个即可) 7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．11．(2023·大连)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.第11题图12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积．参考答案1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C)A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( D)第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C)第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B)第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( C)第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是(示例)3．(只填一个即可)7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是(2，5)．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有①②④．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线由作图知，AE ＝AF. 在△ADE 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF(SAS)；(2)∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD ＝12∠BAC ＝40°由作图知，AE ＝AD. ∴∠AED ＝∠ADE∴∠ADE ＝12×(180°－40°)＝70°∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC.∴∠BDE ＝90°－∠ADE ＝20°.11．(2023·大连)如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于点F ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF ＋∠AED＝180°.求证：AB ＝AD.第11题图证明：∵∠ACB ＋∠ACF ＝∠ACF ＋∠AED ＝180°在△ABC 和△ADE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS) ∴AB ＝AD.12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE ＝4，求△AED 的面积．解：(1)证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠CED ∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CED ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ECD(AAS) ∴AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ∴△AED 为等边三角形 ∴AE ＝AD ＝ED ＝4 过A 点作AF ⊥ED 于点F.第12题图∴EF ＝12ED ＝2∴AF ＝AE 2－EF 2＝42－22＝2 3 ∴S △AED ＝12ED ·AF ＝12×4×23＝4 3.。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

2022-2023学年年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案一、选择题1．（2022-2023学年年江苏省）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF，，；===②AB DE B E BC EF=∠=∠=，，；③B E BC EF C F，，；∠=∠=∠=∠④AB DE AC DF B E，，．==∠=∠其中，能使ABC DEF△≌△的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组2.（2022-2023学年年浙江省绍兴市）如图，D E△的AC，，分别为ABCBC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若48∠=°，则APDCDE∠等于（）A．42°B．48° C ．52°D．58°3. (2022-2023学年年义乌)如图，在ABC中，90C ∠=。

，EF//AB,150∠=。

,则B ∠的度数为A ．50。

B.60。

C.30。

D.40。

【关键词】三角形内角度数【答案】D4.（2022-2023学年年济宁市）如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°5、（2022-2023学年年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB 的交点6、（2022-2023学年年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三A BDCB图2角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°7、（2022-2023学年 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．10米C ． 15米D ．20米【8、（2022-2023学年年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A ．7B ．9C ．12D ．9或129、（2022-2023学年年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 10、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30B ． 40C ． 50D ． 6011、（2022-2023学年年清远）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°12、（2022-2023学年年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）CDBAE F12 ADEBA．2对B．3对C．4对D．5对【形AB CDO13、(2022-2023学年年甘肃定西)如图4，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C．22D．2314、（2022-2023学年年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA BCD15、（2022-2023学年肇庆）如图，Rt ABC△中，90ACB∠=°，DE 过点C，且DE AB∥，若55ACD∠=°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D ．65°16、（2022-2023学年年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C 、A 、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560 B.680 C.1240 D.180017、（2022-2023学年年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ） A ．10°B ．100°C ．80°D ．120°1C AA CDE21CDBA18、（2022-2023学年河池）如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB=AC＝E为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．D ．19、（2022-2023学年柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个20、（2022-2023学年年牡丹江）如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD =··A ．1B ．2C ．3D ．4 【21、（2022-2023学年桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，CBFAE CD BA得A B O ''△，则点A '的坐标为（ ）．A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（1，3）22、（2022-2023学年年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm23、（2022-2023学年年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm24、（2022-2023学年陕西省太原市）如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40°25、（2022-2023学年陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.526、（2022-2023学年年牡丹江）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如C AB B 'A '下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS27、（2022-2023学年年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15°28、(2022-2023学年年牡丹江市)尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS123【29、（2022-2023学年年包头）已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43B ．45C ．54D ．34【30、（2022-2023学年年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边A B 、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，OB =10米，A B 、间的距离不可能是（）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米31、（2022-2023学年年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。

2022河南数学中考总复习--4.2三角形及其全等五年中考考点1三角形的有关概念1.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为()A.85°B.75°C.65°D.60°答案B如图,∠α是△ABC的外角,所以∠α=∠ABC+∠A=45°+30°=75°.故选B.2.(2021河北,12,2分)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点是()分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能．．A.0B.5C.6D.7答案B连接OP1,OP2,因为点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,根据轴对称的性质得OP1=OP,OP2=OP.根据三角形的三边关系得OP1+OP2>P1P2,因为OP=2.8,所以0<P1P2<5.6,故选B.3.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5答案C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合.故选C.4.(2021福建,14,4分)如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=√3,则点D到AC的距离是.答案√3解析过D点作DE⊥AC于E点.∵AD是△ABC的角平分线,DB⊥AB,∴DE=BD=√3,即点D到AC的距离是√3.5.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).答案=解析根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.一题多解连接CD,可知CD∥AB,即点C、D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x 2-10x +21=0的根,则三角形的周长为 . 答案 16解析 ∵x 2-10x +21=(x -3)(x -7)=0,∴x 1=3,x 2=7, ∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长, ∴三角形的第三边长为7, ∴三角形的周长为3+6+7=16.7.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为(5,0),点B 在x 轴的上方,△OAB 的面积为152,则△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为 .答案 4或5或6解析 ∵A (5,0),S △OAB =152,点B 在x 轴的上方,∴点B 的纵坐标为3.设边OB ,AB 分别与直线y =1交于点E ,F ,与直线y =2交于点C ,D ,则BC =CE =EO ,CD ∥EF ∥OA ,∴CD =13OA =53,EF =23OA =103,∴线段CD 可以覆盖1个或2个整点,线段EF 可覆盖3个或4个整点,∴△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.考点2三角形全等1.(2021重庆A卷,7,4分)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是()A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC∥FD答案C由BF=EC可得BC=EF,又∠B=∠E,所以添加AB=DE后,根据SAS可得△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D后,根据AAS可得△ABC≌△DEF;添加AC∥FD后,得∠ACB=∠DFE,根据ASA可得△ABC≌△DEF.添加AC=DF后,由SSA不能判定△ABC≌△DEF.故选C.2.(2019山东临沂,6,3分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2答案B∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,{∠A=∠FCE,∠ADE=∠F, DE=FE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,∵AB=4,∴DB=AB-AD=4-3=1.故选B.3.(2018江苏南京,5,2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c答案D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.思路分析证明△ABF≌△CDE,得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+b-c.解后反思本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.4.(2020北京,14,2分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD,这个条件可以是(写出一个即可).答案答案不唯一,如:D是BC的中点解析根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据“角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.5.(2020江西,11,3分)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.答案82°解析∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA=CA,∴△DCA ≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,{AB=DC,∠B=∠C, BF=CE,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.7.(2021陕西,18,5分)如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:∠D=∠ABC.证明∵BD∥AC,∴∠EBD=∠C.(2分)∵BD=BC,BE=AC,∴△EDB≌△ABC.(4分)∴∠D=∠ABC.(5分)8.(2019江苏苏州,24,8分)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.解析(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF =∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中,{AB =AE ,∠BAC =∠EAF ,AC =AF ,∴△ABC ≌△AEF (SAS ), ∴EF =BC. (2)∵AE =AB ,∴∠AEB =∠ABC =65°. ∵△ABC ≌△AEF , ∴∠AEF =∠ABC =65°,∴∠FEC =180°-∠AEB -∠AEF =180°-65°-65°=50°. ∵∠FGC 是△EGC 的外角,∠GCE =28°, ∴∠FGC =∠GEC +∠GCE =50°+28°=78°.9.(2021河南,23,10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.图1小明:如图1,(1)分别在射线OA ,OB 上截取OC =OD ,OE =OF (点C ,E 不重合);(2)分别作线段CE ,DF 的垂直平分线l 1,l 2,交点为P ,垂足分别为点G ,H ;(3)作射线OP ,射线OP 即为∠AOB 的平分线.简述理由如下:由作图知,∠PGO =∠PHO =90°,OP =OP ,OG =OH ,所以Rt △PGO ≌Rt △PHO ,则∠POG =∠POH ,即射线OP 是∠AOB 的平分线.图2小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.……任务:(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是(填序号).①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=√3+1,点C,D分别为射线OA,OB上的动点且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.图3解析(1)⑤(2分)(2)是.(注:若没写出判断结果,但后续证明正确,不扣分)(3分)理由如下:由作图可知,OC=OD,OF=OE.又∵∠COF=∠DOE,∴△COF≌△DOE.∴∠OFC =∠OED. (5分) 连接EF.∵OF =OE ,∴∠OFE =∠OEF. ∴∠PFE =∠PEF ,∴PF =PE. 又∵OP =OP ,OF =OE , ∴△FOP ≌△EOP. ∴∠FOP =∠EOP ,即射线OP 是∠AOB 的平分线. (8分)(3)2或2+√3. (10分)提示:连接OP.由(1)(2)可知,图形关于直线OP 对称,分情况讨论:①如图1,当点C 在线段OE 上时,连接EF ,过点C 作CG ⊥OB 于点G ,∵∠COB =60°,OE =OF =√3+1,∴△OEF 为等边三角形,∴∠OFE =60°,∵PE =PF ,∴∠EFP =12∠2=12×30°=15°,∴∠1=∠OFE -∠EFP =45°,设OG =x ,则CG =√3x ,GF =CG =√3x ,∴OG +GF =x +√3x =√3+1,∴x =1. ∴OC =2x =2;②如图2,当点C 在线段OE 的延长线上时,连接CD ,过点E 作EH ⊥OB 于点H ,同①可证∠1=45°,在Rt △EOH中,EH =OE ·sin 60°=√32(√3+1)=32+√32,OH =12OE =√32+12,在Rt △EHD中,HD =EH =32+√32,∴OD =OH +HD =2+√3,∴OC =2+√3.综上,线段OC 的长为2或2+√3.图1图2题干解读本题是以作已知角的平分线的不同方法为背景的几何综合题,小明和小军的作图过程中分别提供了相等的角和线段,可以依据三角形全等的判定和性质证明作图的正确性.在(3)中,点C,D分别为射线OA,OB上的动点,OE=OF且OE,OF为定长,需分点C,D分别在线段OE,OF上和点C,D分别在线段OE,OF的延长线上两种情况,再结合题中所提供的条件,构造等边三角形、直角三角形,通过计算可以求得线段OC的长.三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2021南阳宛城一模,4)在三角板拼角活动中,小明将一副三角板按如图方式叠放,则拼出的∠α度数为()A.65°B.75°C.105°D.115°答案C根据题意得,∠ACB=45°,∠D=60°,∠DCB=90°,则∠DCA=90°-45°=45°,所以∠α=∠D+∠DCA=60°+45°=105°.故选C.2.(2020信阳二模,8)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于12DE长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是()A.1B.2C.32D.52答案B由题意知AF平分∠BAC,过点G作GH⊥AC于点H,∵∠B=90°,∴GH=BG=1,∴S△ACG=12GH·AC=2.故选B.3.(2021商丘柘城一模,4)如图,△EFG的三个顶点E,G和F分别在平行线AB,CD上,FH平分∠EFG,交线段EG于点H,若∠AEF=36°,∠BEG=57°,则∠EHF的大小为()A.105°B.75°C.90°D.95°答案B∵∠AEF=36°,∠BEG=57°,∴∠FEH=180°-36°-57°=87°.∵AB∥CD,∴∠EFG=∠AEF=36°,∵FH平分∠EFG,∴∠EFH=12∠EFG=12×36°=18°,∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°.故选B.思路分析本题主要考查三角形内角和定理的应用,角平分线的定义及平行线的性质,依据上述性质得出相关角的大小,由角的和差运算求出∠EHF的大小即可.二、填空题(每题3分,共6分)4.(2021信阳一模,12)一副直角三角板如图放置,AB∥EF,∠B=30°,∠F=45°,则求∠1=.答案75°解析∵AB∥EF,∠F=45°,∴∠BDF=∠F=45°,∴∠1=∠B+∠BDF=75°.5.(2020信阳一模,13)一个等腰三角形边长的数值是方程x2-6x+8=0的根,那么这个等腰三角形的周长为.答案10解析解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4,则等腰三角形的三边长分别为2,4,4.故其周长为10.三、解答题(共20分)6.(2021信阳一模,18改编)定义:三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.如图,∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角,若∠A =α,请用含α的代数式表示∠E.解析 ∵BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD , ∴∠EBD =12∠ABC ,∠ECD =12∠ACD , ∵∠ECD =∠E +∠EBD ,∴∠E =∠ECD -∠EBD =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =12α.7.(2021郑州三模,22改编)如图,两个等腰直角△ABC 和△CDE 中,∠ACB =∠DCE =90°. (1)观察猜想如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明把△CDE 绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由.解析 (1)AE =BD ;AE ⊥BD. (2)结论成立.理由如下:如图,延长AE 交BD 于点H ,交BC 于点O.在△ABC和△CDE中,AC=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH,∴∠BOH+∠OBH=90°,∴∠OHB=90°,即AE⊥BD.思路分析本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质.(1)根据条件证明△ACE≌△BCD即可.(2)结论不变.在图2中,延长AE交BD于点H,交BC于点O,证明△ACE≌△BCD,可以求得结论.8.(2020中原名校三模,22(1)(2))问题呈现:已知等边三角形ABC边BC的中点为点D,∠EDF=120°,∠EDF的两边分别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.(1)特例研究:如图1,当点E,F分别在线段AB,AC上,且DE⊥AB,DF⊥AC时,请直接写出线段BE,CF与BC的数量关系:;(2)问题解决:如图2,当点E落在射线BM上,点F落在线段AC上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,请通过证明探究出线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.解析(1)BE+CF=1BC.(3分)2(2)不成立.理由如下:如图,分别过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,易证得△BDG≌△CDH,则BG=CH,DG=DH.∵∠A=60°,∠DGA=∠DHA=90°,∴∠GDH=120°,∵∠EDF=120°,∴∠FDH=∠EDG,则△DGE≌△DHF,∴EG=FH,∴CF-FH=CF-EG=CF-(BE+BG)=CF-BE-BG=CH,即CF-BE=2CH,在Rt△DCH中,CD=2CH,∴CF-BE=CD,即CF-BE=1BC.(8分)2思路分析(1)根据等边三角形的性质和直角三角形的性质可得出线段BE、CF和BC之间的关系.(2)过点D 作AB、AC的垂线,结合题中的条件构造全等三角形,依据全等的性质找出相等线段,判断三条线段的数量关系.B组提升题组一、选择题(每题3分,共6分)1.(2020驻马店二模,7)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,以点B为圆心,以任意长度为半径画弧交BA,BC于点D,E,分别以点D,E为圆心,以大于1DE的长度为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP;以点C为圆心,以任意长度为半径2画弧交AC,BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于1MN的长度为半径画弧,两弧交于点Q,作射线CQ.若BP与CQ2相交于点O,则∠BOC的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130° 答案 D 由作图知BP ,CQ 分别平分∠ABC ,∠ACB , 则∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB , ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB ), ∴180°-∠BOC =12(180°-∠A ), ∴∠BOC =90°+12∠A =130°.故选D .2.(2021开封二模,10)如图,将△ABC 沿着过BC ,AB 的中点D ,E 所在的直线折叠,使点B 落在AC 边上的B 1处,称为第一次操作,点D 到AC 的距离为h 1;还原纸片后,再将△BDE 沿着过BD ,BE 的中点D 1,E 1所在的直线折叠,使点B 落在DE 边上的B 2处,称为第二次操作,点D 1到AC 的距离记为h 2,按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到点D n -1到AC 的距离记为h n ,若h 1=1,则h n 的值为 ( )A.2-12n -1B.2-12nC.1+12n -1D.1+12n答案 A 如图,过点B 作BG ⊥AC 于点G 交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,∵D ,E 分别为BC ,BA 的中点,∴BD =DC ,DE ∥AC ,∴DE ⊥BF ,∴∠BFD =∠DHC =90°,∠BDF =∠C , ∴△BFD ≌△DHC ,∴BF =DH =FG , 即h 1=12BG =1,∴BG =2, 同理BM =12BF =12,即h 2=2-12, ∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .一题多解 过点B 作BG ⊥AC 于点G ,交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,,∵D ,E 分别为BC ,AB 的中点,∴DE ∥AC ,DE =12AC ,∴BF BG =BD BC =12,∴BF =FG =12BG =1,∴BG =3,同理,BM =12BF =12,∴h 2=2-12,∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .二、填空题(每题3分,共9分)3.(2021濮阳二模,14)如图,在△ABC 中,已知AB =4,AD ⊥BC ,垂足为D ,BD =2CD ,若E 是AD 的中点,则EC = .答案 2解析 取BD 的中点F ,连接EF , ∵E 是AD 的中点, ∴EF =12AB =2, ∵BD =2CD ,∴FD =CD , ∵AD ⊥BC ,∴EC =EF =2.4.(2020信阳二模,13)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =36°,AD 是BC 边上的中线,将△ACD 沿AD 折叠,使点C 落在点F 处,DF 交AB 于点E ,则∠DEB = .答案 108°解析 在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∴∠C =90°-∠B =54°.∵D 是BC 的中点,∴DA =DC ,∴∠DAC =∠C =54°,∴∠ADC =∠ADF =72°,∴∠EDB =180°-2×72°=36°,∴∠DEB =180°-∠B -∠EDB =180°-36°-36°=108°.5.(2019郑州一模,14)如图,已知△ABC ≌△DCE ≌△GEF ,三条对应边BC 、CE 、EF 在同一条直线上,连接BG ,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、K ,其中S △PQC =3,则图中三个阴影部分的面积和为 .答案 39解析 ∵△ABC ≌△DCE ≌△GEF , ∴∠ACB =∠DEC =∠GFE ,BC =CE =EF. ∴AC ∥DE ∥GF.∴PC KE =12,PC GF =BC BF =13,∴KE =2PC ,GF =3PC. 又∵DK =DE -KE =3PC -2PC =PC , 易证△DQK ≌△CQP.设△DQK 的边DK 长为x ,DK 边上的高为h , 则12xh =3,整理得xh =6, ∴S △BPC =12x ·2h =xh =6.∴S 四边形CEKQ =12×3x ·2h -3=3xh -3=3×6-3=18-3=15,S △EFG =12×3x ·2h =3xh =18. ∴三个阴影部分的面积和为6+15+18=39.三、解答题(共25分)6.(2021许昌二模,18改编)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°. (1)尺规作图,作出经过A ,B ,C 三点的☉O ;(不写作法,保留作图痕迹) (2)连接AO 并延长,交☉O 于点D ,连接DB ,DC. 求证:△BDC ≌△CAB.解析 (1)如图所示,☉O 即为所求.(2)证明:∵OA =OD ,OB =OC , ∴四边形ABDC 是平行四边形, ∴CD =AB ,BD =CA ,在△BDC 和△CAB 中{CD =BA ,BD =CA ,BC =CB ,∴△BDC ≌△CAB (SSS ).7.(2019开封一模,22(1)(2))(1)操作:如图1,点O 为线段MN 的中点,直线PQ 与MN 相交于点O ,请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形;(不写画法)(2)根据上述操作得到的经验完成探究活动:如图2,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE =∠EAF ,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.解析(1)如图①.(1分)(2)结论:AB=AF+CF.(2分)证明:如图②分别延长AE、DF交于点M,∵E为BC的中点,∴BE=CE,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠M.在△ABE与△MCE中,{∠BAE=∠M,∠AEB=∠MEC, BE=CE,∴△ABE≌△MCE(AAS),∴AB=MC,∵∠BAE=∠EAF,∴∠EAF=∠M,∴AF=MF,∴AB=MC=MF+FC=AF+FC.(6分)8.(2021濮阳二模,23)(1)[问题背景]如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是直线BC上的一点,将线段AD 绕点A逆时针旋转90°至AE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;(2)[尝试应用]如图2,在(1)的条件下,延长DE,AC交于点G,BF⊥AB交DE于点F,求证FG=√2AE;(3)[拓展创新]如图3,A 是△BDC 内一点,∠ABC =∠ADB =45°,∠BAC =90°,BD =√3,直接写出△BDC 的面积为 .解析 (1)[问题背景]证明:如图1∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠DAB =∠EAC ,在△ABD 和△ACE 中{AD =AE ,∠DAB =∠EAC ,AB =AC ,∴△ABD ≌△ACE (SAS ).(2)[尝试应用]证明:如图2,过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于点K.∵DK ⊥CD ,BF ⊥AB ,∴∠BDK =∠ABK =90°,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠ABC =∠ACB =45°,∴∠DBK =∠K =45°,∴DK =DB ,∵△ABD ≌△ACE ,∴∠ABD =∠ACE =135°,DB =EC =DK ,∴∠ECG =45°,∵BF ⊥AB ,CA ⊥AB ,∴AG ∥BF ,∴∠G =∠DFK.在△ECG 和△DKF 中{∠ECG =∠K ,∠G =∠DFK ,CE =KD ,∴△ECG ≌△DKF (AAS ),∴DF =EG ,∵DE =√2AE ,∴DF +EF =√2AE ,∴EG +EF =√2AE ,即FG =√2AE.(3)[拓展创新]32.提示:如图3中,过点A 作AE ⊥AD 交BD 于点E ,连接CE ,∵∠ADB =45°,∠DAE =90°,∴△ADE 与△ABC 都是等腰直角三角形,∠DEA =45°,同法可证△ABD ≌△ACE ,∴CE =BD =√3,∵∠AEC =∠ADB =45°,∴∠CED =∠AEC +∠DEA =90°,∴S △BDC =12·BD ·CE =12×√3×√3=32.思路分析 本题考查旋转变换,三角形全等的性质与判定及等腰直角三角形的性质.(1)根据条件,用“边角边”判定全等.(2)以DB 为边,点D 为直角顶点作辅助线构造等腰直角三角形,证明全等,将FG 的长转化为DE ,而DE =√2AE ,求得结论.(3)作辅助线构造“手拉手模型”的全等三角形,证出CE 即为△DBC 的边BD 上的高,即可求出面积.。