人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数的运算》导学案

第6课时对数的运算性质与换底公式1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关运算.2.理解换底公式,能运用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,并进行化简或计算.人民网北京11月23日电:23日白天,华北、黄淮和江淮等地连续第三天出现雾霾天气.其中,霾主要出现在河北中南部和东部、北京南部、天津、辽宁中东部及黄淮、江淮等地.中央气象台23日18时继续发布霾黄色预警.雾霾天气已经严重影响了人们的正常生活,为治理雾霾天气,政府采取了多种强有力的措施,其中有的城市着重强化增加城市的绿地面积.假设从2014年起逐年增加城市绿化面积,若每年新增绿地亩数比上一年增加10%,从而力争逐步将城市的绿地面积翻两番.问题1:如何计算该城市在哪一年要实现绿地面积翻两番?若设该市2013年年底有绿地面积a,则经过1年,即2014年的绿地面积是a+a·10%=a(1+10%);再经过一年,即2015年的绿地面积是a(1+10%)2;经过3年,即2016年的绿地面积是a(1+10%)3,…,经过x年的绿地面积是a(1+10%)x,依题意,a(1+10%)x=4a,即(1+10%)x=4,∴x=log1.14=≈15.∴大约经过15年,也就是到2028年该市的绿地面积将翻两番.问题2:对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么:①log(M·N)= ;a= ;②logaM n= (n∈R).③loga问题3:对数运算性质log a(MN)=log a M+log a N能否推广?可以推广到n个数的情形,即:log a(M1M2M3…M n)= (其中a>0,a≠1,M1,M2,M3,…,M n均大于0).问题4:(1)换底公式:①已知a>0,b>0,且a≠1,c≠1,把对数log a b化成底数为c的对数表示,即log a b= .②已知a>0,b>0,且a≠1,m,n∈N*,把对数lo b n化成底数为a的对数表示,即lo b n= .(2)换底公式的意义与作用:在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.在使用换底公式时,应根据实际情况选择底数,一般将对数化为常用对数或自然对数,然后化简求值.1.已知a>0且a≠1,则log a2+log a等于().A.0B.C.1D.22.若a>0且a≠1,M>0,N>0,且M>N,给出下列式子:①loga M·logaN=loga(M+N);②loga M·logaN=loga(M·N);③loga=;④loga M-logaN=loga(M-N).其中不正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个3.若lg a与lg b互为相反数,则a与b的关系是.4.若a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,则由换底公式可知log a b=,log b a=,所以log a b=,试利用此结论计算+的值.对数运算性质的应用计算下列各式的值:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)2(lg )2+lg·lg 5+;(3);(4)(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5.换底公式的应用(1)化简:log56·log67·log78·log89·log910.(2)已知lg 2=a,lg 3=b,用a、b表示log312.对数的实际应用里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.计算下列各式的值:(1)(lg -lg 25)÷10= ;(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2= .(1)化简:+.(2)已知a、b、c均为正数,3a=4b=6c,求证:+=.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)?(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)1.已知f(x)=log2x,则f(8)等于().A. B.8 C.3 D.-32.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,给出下列各式:①(loga x)n=n logax;②(logax)n=logax n;③loga x=-loga;④=log a x;⑤=loga;⑥log a=-log a.其中正确的有().A.2个B.3个C.4个D.5个3.若log34·log48·log8m=log416,则m等于.4.已知log53=a,log52=b,试用a、b表示log2512.(2013年·浙江卷)已知x,y为正实数,则().A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y)=2lg x·2lg yC.2lg x·lg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy)=2lg x·2lg y考题变式(我来改编):答案第6课时对数的运算性质与换底公式知识体系梳理问题2:①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M 问题3:log a M1+log a M2+log a M3+…+log a M n问题4:(1)①②log a b基础学习交流1.A log a2+log a=log a(2×)=log a1=0.2.D本题考查对数运算性质的掌握情况,与运算性质对照,4个选项都是错误的.选D.3.ab=1由题意lg a+lg b=0,∴lg(ab)=0,∴ab=1.4.解:(法一)+=+=+==1.(法二)+=log213+log277=log2121=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55= 2log55=2;(2)原式=lg(2lg+lg 5)+=lg(lg 2+lg5)+1-lg=lg+1-lg=1;(3)原式===;(4)原式=lg 2+lg 5(lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1.【小结】1.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到.2.对于同底的对数的化简,常用方法是:(1)将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;(2)将积(商)的对数化成对数的和(差).探究二:【解析】(1)原式=····=.(2)∵log312===,又lg 2=a,lg 3=b,∴log312==1+.【小结】换底公式的作用是化为同底,在解题时常化为常用对数或自然对数.利用换底公式可以得到如下结论:(1)lo b m=log a b;(2)log a b·log b a=1;(3)log a b·log b c·log c d=log a d.探究三:【解析】由M=lg A-lg A0知,M=lg 1000-lg 0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lg A1-lgA 2=(lg A1-lg A)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.∴=104=10000,∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.【答案】610000【小结】本题体现了对数的实际应用,在高考中为中低档难度的题目;需注意的是这个高考题其实就是我们教材上例题的改编,这就启示我们,在平时的学习中一定要抓好教材,落实好双基.思维拓展应用应用一:(1)-20(2)3(1)(lg -lg 25)÷10=lg ÷=lg 10-2÷=-2÷=-20;(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.应用二:(1)原式=lo+lo=log32+log34=log38.(2)(法一)设3a=4b=6c=k,则k>0,由对数定义得:a=log3k,b=log4k,c=log6k,则左边=+=+=2log k3+log k4=log k36,右边===2log k6=log k36,∴+=.(法二)对3a=4b=6c,两边同时取常用对数得:lg 3a=lg 4b=lg 6c,∴a lg 3=b lg 4=c lg 6,∴==log3,==log64,6∵+=log(9×4)=2,∴+=.6应用三:设这种放射性物质最初的质量是1,经过x年后,剩余量是y,则有y=0.75x,依题意,得=0.75x,即x====≈4.答:估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的.基础智能检测1.C∵f(x)=log2x,则f(8)=log28=log223=3.2.B由对数的运算性质知①②④不正确,而③⑤⑥正确,故选B.3.9∵log34·log48·log8m=log416,∴··=log442,化简得lg m=2lg 3,即lg m=lg 9,∴m=9.4.解:log2512=log253+log254=log53+log52=a+b.全新视角拓展D2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y.思维导图构建log a M+log a N log a M-log a N n log a M log a M。

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

第四章 指数函数与对数函数4.3.2 对数的运算1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)重点：对数的运算性质难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。

1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是________________.2.3.ab bc c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？探究一：对数的运算性质回顾指数幂的运算性质：n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．把指对数互化的式子具体化：设m a M =，n a N =，于是有,m n MN a ,m n n mn Ma M a N n N m M a a ==log ,log ．根据对数的定义有：n m an m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a mn a =log ． 于是有对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a 时，M>0，N>0，那么：（1）log ()a M N；（积的对数等于两对数的和） （2）log a M N ；（商的对数等于两对数的差）（3）log n a M；（R n ∈）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数） 1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )(3)log 2(－3)2＝2log 2(－3)．( )例1．求下列各式的值（1）log 84＋log 82；（2）log 510－log 52 （3）log 2（47×25）跟踪训练1 计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8. ().ln ,ln ,ln 1ln x y z xy z 例2用表示下列各式探究二：换底公式问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e 为底的对数？把问题一般化，能否把以a 为底转化为以c 为底？探究：设p b a =log ，则b a p =，对此等式两边取以c 为底的对数，得到：b ac p c log log =，根据对数的性质，有：b a p c c log log =，所以a b p c c log log =． 即a bb c c a log log log =．其中0>a ，且1≠a ，0>c ，且1≠c ． 公式log a b ；称为换底公式．用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B 地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 x =log 1.112 的值。

4.3.2 对数的运算1.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)=log a M+log a N.即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和. 这个性质可推广到若干个正因数的积:log a(N1N2…N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k(N i>0，i=1，2，3，…，k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.=log a M-log a N.(2)log a MN即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.(3)log a M n=nlog a M(n∈R).即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.特别地，log a a N=N.2.换底公式及导出公式(a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1).(1)换底公式:log a b=log c blog c a.(2)log a b=1log b a(3)log a N=lo g a n N n.(4)nlog a N=lo g a m N n.m对数的运算性质[例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)lg3+25lg9+35lg √27-lg √3lg81-lg27;(3)log 535-2log 573+log 57-log 51.8. 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115.(3)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+ log 55 =2log 55=2.(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.(2)对数计算问题中，涉及lg 2，lg 5时，常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5，lg 5=1-lg 2等解题.针对训练1:计算:(1)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18;(2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2; (3)2lg2+lg31+lg0.6+lg2.解:(1)法一 原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 法二 原式=lg 14-lg(73) 2+lg 7-lg 18=lg 14×7(73) 2×18=lg 1=0.(2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2 =lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2=lg12lg12=1.换底公式及其推论的应用类型一 用已知对数式表示对数值[例2] 已知log 37=a ，2b =3，试用a ，b 表示log 1456. 解:因为2b =3，所以b=log 23，即log 32=1b ，log 1456=log 356log 314=log 3(23×7)log 3(2×7)=3log 32+log 37log 32+log 37=3b +a 1b+a =3+ab 1+ab.用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.针对训练2:(1)已知log 147=a ，log 145=b ，用a ，b 表示log 3528; (2)已知log 189=a ，18b =5，用a ，b 表示log 3645. 解:(1)log 147=a ，log 145=b ， 所以log 3528=log 1428log 1435=log 14(14×2)log 14(5×7)=1+log 14147a+b=2-aa+b.(2)因为log 189=a ，18b =5，所以log 185=b ， 所以log 3645=log 1845log 1836=log 189+log 185log 1818+log 182=a+b1+log 18189=a+b 2-a.类型二 应用换底公式及其推论求值 [例3] 计算:(1)log 1627×log 8132; (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83). 解:(1)log 1627×log 8132=lg27lg16×lg32lg81=lg 33lg 24×lg 25lg 34=3lg34lg2×5lg24lg3=1516.(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83) =(log 32+log 32log 39)(log 23log 24+log 23log 28)=(log 32+12log 32)(12log 23+13log 23)=32log 32×56log 23=54×lg2lg3×lg3lg2=54.(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般需要统一成一种表达形式.针对训练3:计算:(1)log 23×log 34×log 45×log 52; (2)log 89×log 2732;(3)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258). 解:(1)原式=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2lg5=1.(2)原式=lo g 2332×lo g 3325=23log 23×53log 32=23×53log 23×log 32=109. (3)原式=(log 253+log 2252+log 235)(log 52+log 5222+log 5323) =(3log 25+log 25+13log 25)(log 52+log 52+log 52)=133×3×(log 25×log 52)=13.指数与对数的综合应用[例4] (1)设3a =4b =36，求2a +1b 的值;(2)已知2x =3y =5z ，且1x +1y +1z=1，求x ，y ，z.解:(1)法一 由3a =4b =36， 得a=log 336，b=log 436，由换底公式得1a =log363，1b=log364，所以2a +1b=2log363+log364=log3636=1.法二由3a=4b=36，两边取以6为底数的对数，得alog63=blog64=log636=2，所以2a =log63，1b=12log64=log62，所以2a +1b=log63+log62=log66=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0)，所以x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以1x =log k2，1y=log k3，1z=log k5，由1x +1y+1z=1，得log k2+log k3+log k5=log k30=1，所以k=30，所以x=log230=1+log215，y=log330=1+log310，z=log530=1+log56.利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.针对训练4:(1)已知log a x=2，log b x=3，log c x=6，求log abc x的值;(2)已知2x=50y=100，求x-1+y-1的值. 解:(1)因为log a x=2，log b x=3，log c x=6，所以lgxlga =2，lgxlgb=3，lgxlgc=6，lg x≠0.则log abc x=lgxlga+lgb+lgc =lgxlgx2+lgx3+lgx6=1.(2)因为2x=50y=100，所以x=log2100，y=log50100，所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.典例探究:素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1，第19个梅森素数为Q=24 253-1，则下列各数中与PQ最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)( )A.1045B.1051C.1056D.1059解析:PQ =24423-124253-1≈2170.令2170=k，则lg 2170=lg k，所以170lg 2=lg k，又lg 2≈0.3，所以51≈lg k，即k≈1051.所以与PQ最接近的数为1051.故选B.应用探究:已知lg 3≈0.477 1，由此可以推断32 022是几位整数.( ) A.963 B.964 C.965 D.966解析:因为lg 3≈0.477 1，令32 022=t，所以lg t=2 022×lg 3，则lg t≈2 022×0.477 1=964.696 2，所以可以推断32 022是965位整数.故选C.1.log210-log25等于( B )A.0B.1C.log25D.2解析:log210-log25=log2105=log22=1.故选B.2.log483+4log482等于( A )A.1B.2C.6D.48解析:log483+4log482=log483+log4816=log48(3×16)=1.故选A.3.log912-log32等于( C )A.√3B.2√3C.12D.3解析:原式=log912-log94=log93=12.故选C.4.已知3a=5b=M，且1a +1b=2，则M= .解析:3a=5b=M，则a=log3M，b=log5M，1 a +1b=log M3+log M5=log M15=2.所以M2=15，又M>0，M=√15. 答案:√15[例1] (2021·陕西渭南月考)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(√3lg 2)2+lg16+lg 600等于( )A.10B.2C.5D.6解析:原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6+2=3lg 2lg 5+3lg 5+3(lg 2)2+2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5+2=3lg 2+3lg 5+2=3(lg 2+lg 5)+2=3+2=5.故选C.[例2] 已知log 23=a ，3b =7，则log 2156等于( ) A.ab+3a+ab B.3a+b a+ab C.ab+3a+bD.b+3a+ab解析:log 23=a ，3b =7，即log 37=b ， 则log 2156=log 356log 321=log 3(7×23)log 3(3×7)=b+3a 1+b =ab+3a+ab.故选A.[例3] 设P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511，则( )A.0<P<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4 解析:P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511=log 112+log 113+log 114+log 115 =log 11(2×3×4×5)=log 11120.所以log 1111=1<log 11120<log 11121=2.故选B. [例4] 若2a =3，3b =4，4c =ab ，则abc 等于( ) A.12 B .1 C.2 D.4解析:根据题意，2a =3，3b =4， 则a=log 23，b=log 34，则有ab=log23×log34=lg3lg2×lg4lg3=2，则c=log4ab=log42=12，故abc=1.故选B.[例5] 已知log3a+log3b=log3(a+b)+1，则a+4b的最小值是( ) A.12 B.18 C.24 D.27解析:由log3a+log3b=log3(a+b)+1，可得log3(ab)=log3[3(a+b)]，a，b>0.可得ab=3(a+b)，所以3a +3b=1，则a+4b=(a+4b)(3a +3b)=3(1+4+ab+4ba)≥3(5+2√ab·4ba)=27，当且仅当a=2b=9时，取等号.故选D.选题明细表基础巩固1.lo g√24等于( D )A.12 B.14C.2D.4解析:lo g√24=lo g√2(√2)4=4.故选D.2.2log510+log50.25等于( C )A.0B.1C.2D.4解析:2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 525=2.故选C.3.(2021·浙江诸暨模拟)已知x ，y 为正实数，则( B ) A.lg(x 2·y)=(lg x)2+lg y B.lg(x ·√y )=lg x+12lg yC.e ln x+ln y =x+yD.e ln x ·ln y =xy解析:x ，y 为正实数，对于A ，lg(x 2·y)=lg x 2+lg y=2lg x+lg y ，故A 错误; 对于B ，lg(x ·√y )=lg x+lg √y =lg x+12lg y ，故B 正确;对于C ，e ln x+ln y =e ln x ·e ln y =xy ，故C 错误; 对于D ，xy=e ln x ·e ln y =e ln x+ln y ，故D 错误.故选B. 4.若log 34·log 8m=log 416，则m 等于( D ) A.3 B.9 C.18 D.27 解析:原式可化为log 8m=2log 34，lgm 3lg2=2lg4lg3，即lg m=6lg2×lg32lg2=lg 27，m=27.故选D.5.(2021·北京月考)log 38+log 32-4log 36= . 解析:原式=3log 32+log 32-4(log 32+log 33)=4log 32-4log 32-4=-4. 答案:-46.(2021·浙江杭州期中)若a=log 23，3b =2，则2a +2-a = ， ab= .解析:因为a=log 23，所以2a =3，2-a =13，所以2a +2-a =3+13=103，因为3b =2，所以b=log 32， 所以ab=log 23·log 32=1. 答案:103 1能力提升7.(2022·河北沧州模拟)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λln n 来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=9，T=80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( C )A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天 解析:因为Q=Tλ+1，Q=9，T=80，所以9=80λ+1，解得λ=10.设初始时间为K 1，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K 2，则K 2-K 1=λln(4n)-λln n=λln 4=20ln 2≈13.8天.故 选C.8.(多选题)已知正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z ，则下列正确的选项有( BD ) A.xy=z B.1x +1y =1zC.x+y=zD.xz+yz=xy解析:设正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z =t ， 则x=log 4t ，y=log 25t ，z=log 100t ， 所以1x=log t 4，1y=log t 25，1z=log t 100，所以1x +1y =1z，所以yz+xz=xy.故选BD.9.已知lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，则(lg ba) 2的值为( D )A.49B.139C.149D.229解析:因为lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，所以lg a+lg b=23，lg alg b=-12，所以(lg b a) 2=(lg a+lg b)2-4lg alg b=(23) 2-4×(-12)=229.故选D.10.计算:(1)ln(2e 2)+log 37×log 781-ln 2-log 2√2-log 2√8; (2)lg 2×lg 2 500+8×(lg √5)2+2log 49+log 29×log 34. 解:(1)原式=ln2e 22+log 381-log 24=2+4-2=4.(2)原式=lg 2×lg(52×102)+8×(12lg 5) 2+2log 23+2lg3lg2×2lg2lg3=lg 2×(2lg 5+2)+2(lg 5)2+3+4 =2lg 2+2lg 2×lg 5+2(lg 5)2+7 =7+2lg 5(lg 2+lg 5)+2lg 2 =7+2lg 5+2lg 2 =7+2=9.11.已知log a 2=m ，log a 3=n. (1)求a 2m-n 的值; (2)用m ，n 表示log a 18. 解:(1)因为log a 2=m ，log a 3=n ， 所以a m =2，a n =3. 所以a 2m-n =a 2m ÷a n =22÷3=43.(2)log a 18=log a (2×32)=log a 2+log a 32=log a 2+2log a 3=m+2n.应用创新12.对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数.例如[-1.52]=-2， [2.094]=2，记{x}=x-[x]，则{log 23}+{log 210}-{log 215}等于( D ) A.-6 B.-1 C.1 D.0解析:因为1<log 23<2，3<log 210<4，3<log 215<4， 所以{log 23}=log 23-1=log 232，{log 210}=log 210-3=log 2108，{log 215}=log 215-3=log 2158，则{log 23}+{log 210}-{log 215}=log 232+log 2108-log 2158=log 2(32×108×815)=log 21=0.故选D.。

《指数函数》达标检测1. 625的4次方根是，(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦= ．2. .已知1122a a -+=3，则1a a -+= ；（2）22a a -+= ；（3）33221122a aa a ----= ． 3. 化简325(4-= ；= ；21151133221()(3)(3a b a b a -÷= ．4.函数x y 523-=的定义域为 ；值域为 ． 5.已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）求f (x )的值域；（3）判断f (x )单调性并证明.对数与对数的运算预习学案假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()?2%81=⇒=+⋅x a a x也就是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 1. 对数的概念.一般地，如果N ax=)1,0(≠>a a ，那么数 x 叫做以a为底 N 的对数. 记作 ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2. 对数与指数的关系.一般地，如果(a ＞0, a ≠1)的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，3. 常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N 简记为lg N例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作 .4. 自然对数.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数N e log 简记作N ln例如：3log e 简记作3ln ； 10log e 简记作 ．反思：1.是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ 负数与零是否有对数？为什么？ 2.=1log a ， =a alog .3.底数的取值范围是 ,真数的取值范围 ．4.=n aa log ，=n a a log ．【温馨提示】对数的概念难以理解，对数的符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数的相互联系，深刻理解对数与指数间的关系，将有助于掌握对数的概念，对于对数式与指数式的互化，简单对数值的计算，要多做练习。

《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.2对数的运算》教案【教材分析】学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。

【教学目标与核心素养】 课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算. 数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【教学重难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】 一、情景导入回顾指数性质：(1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s ＝(a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r ＝(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．那么对数有哪些性质？如要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本124-125页，思考并完成以下问题 1.对数具有哪三条运算性质？ 2. 换底公式是如何表述的？rs a r r a b log ()?a MN要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a MN＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0)． 四、典例分析、举一反三 题型一对数运算性质的应用 例1计算下列各式的值: (1)log 2√796+log 224-12log 284; (2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2. 【答案】(1)-12(2)3【解析】(1)(方法一)原式=log 2√7×24√96×√84=log 2√2=-12. (方法二)原式=12log 2796+log 2(23×3)-12log 2(22×3×7)=12log 27-12log 2(25×3)+3+log 23-1-12log 23-12log 27 =-12×5-12log 23+2+12log 23=-52+2=-12. (2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2) =2+lg5+lg2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是: (1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一 1.计算下列各式的值 (1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0.(2)2log 32-log 3329+log 38-52log 53. 【答案】(1)5(2)-7【解析】(1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0=log 3332+lg52+lg22+12+1 =32+2lg5+2lg2+32=3+2(lg5+lg2)题型二换底公式的应用 例2计算下列各式的值:(1); (2)lg2lg3.【答案】(1)(2)【解析】(1)原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.(2)原式=(lg3lg4+lg3lg8)lg2lg3=(lg32lg2+lg33lg2)·lg2lg3 =lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.解题技巧：（换底公式的应用）827log 9log 3248(log 3log 3) 109561.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二 1.化简:(1)log 23·log 36·log 68; (2)(log 23+log 43)(log 32+log 274). 【答案】(1)3(2)【解析】(1)原式=log 23·log 26log 23·log 28log 26=log 28=3.(2)原式=(log 23+12log 23)×(log 32+23log 32)=(32log 23)×(53log 32)=52log 23×log 32 =52log 23×1log23=52. 题型三对数的综合应用例3(1)若3x =4y =36,求2x +1y 的值; (2)已知3x =4y =6z ,求证:1x +12y =1z.【答案】(1)1(2)【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log 336,y=log 436,∴2x =2log 336=2log 3636log 363=2log 363=log 369,1y=1log 436=1log 3636log 364=log 364.5212∴2x +1y=log369+log364=log3636=1.(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1x =1log3m=logm3,1y=1log4m=logm4,1z=1log6m=logm6.故1x +12y=logm3+12log m4=log m3+log m412=log m3+log m2=logm (3×2)=log m6=1z.解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.跟踪训练三1.已知3a=7b=M,且2a +1b=2,求M的值?【答案】3√7【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,所以2a +1b=2log3M+1log7M=2logM3+log M7=log M9+log M7=log M63=2,所以M2=63,因为M>0,所以M=√63=3√7.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本126页习题4.3【教学反思】本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.3.2 对数的运算》导学案【学习目标】知识目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.核心素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【重点与难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。

§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。

那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。

2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。

第二章 基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。

【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。

二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。

【导入新课】1. 对数的概念一般地，若 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1） 对数10log lg N N 记为（2） 对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1） 没有对数（2）1的对数为 ，同底的对数为 ，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠） （3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。

（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。

（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。

高中数学 对数的运算法例导教案 新人教 A 版必修 1学习目标（ 1）掌握对数的运算法例，并能理解推导这些法例的依照和过程； （ 2）能较娴熟地运用对数的运算法例解决相关问题．学习要点： 对数运算法例及其应用．学习难点： 对数运算法例的证明方法 . 一、课前准备 回想以下问题：1．对数的定义：若 a bN ，则 log a Nb ，此中 a (0,1) (1,) ， N(0,) ．2．指数式与对数式的互化公式： a b Nlog a Nb .3. 对数的性质：（ 1） 负数与零没有对数； （ 2） log a 1 0 ， log a a 1 ；（3）对数恒等式：a log aNN ．4．指数运算法例： （ 1）mnm n( ,) ； （2） m nm n( m,n R) ；a aam n R a aa（3）(a m ) na mn( ,)；（ 4） ( ab) na nn( n R) .m n Rb 二、新课导学（一）自主学习：自学教材 P64-65 ，达成《创新设计》 P37“新知导学”假如 a 0 且 a 1， M0 ， N 0 ，那么（ 1） log a (MN )M ；（2） log a；（ 3） log a M nN(nR) .注意 ：（1）语言表达： “积的对数 = 对数的和” （简略表达能够帮助记忆）.（ 2）有时一定逆向运算：如：11log 3 37log39log 3 (27 9 ) log 3 31 .（ 3）注意性质的使用条件： 每一个 对数都要存心义 .10) 2log 2 [( 3)( 5)] log 2 ( 3) log 2 ( 5) 是不建立的， log 10 (2log 10 ( 10) 是不建立的 .（ 4）小心记忆错误：log a (MN ) log a M log a N ，试举反例， log a (M N ) log a M log a N ，试举反例 .（ 5）对数的运算性质其实是将积、商、幂的运算分别转变为对数的加、减、乘的运算 .（二）典型例题 【例 1】求以下各式的值：（ 1） log 2 (23 45) =（ 2） log 5 125 = （ 3）lg 32lg 2 1 ；（4）log 2 8 4 3 log 2 8 4 3 .动着手 ：填空： ① log 2 6 － log 2 3；② log 3 52 log3 5 2；③log 5 75 log 5 1 ；④ log 35－ log 3 15 .3【例 2】计算：（ 1） lg 14 2 lg7 lg 7 lg 18 ；（ 2） 2lg 2 lg3 .3 2 2lg 2【分析】lg 243. （ 2）教材 P74 第 3 题。