图形与几何主线分析

小学数学“图形与几何”疑难问题分析“图形与几何”是小学数学教学的严重的组成部分，是学生认识空间事物的严重基础，有利于帮助学生建立正确的空间观念，培养学生的数学想象能力与空间思维，培养学生严格的学习能力。

本文将在明确“图形与几何”教学的学习目标、教学理念、教学内容的基础上，促进全体学生综合发展的原则，使得学生都获得优良的数学教育，促进例外学生的数学能力都得到一定的发展，课程的内容要与学生的学习需要以及社会的现实需要相结合。

本文将对小学数学“图形与几何”教学的中的问题进行探讨。

并且提出相应的解决对策。

一、小学数学“图形与几何”教学中的疑难问题1.在教学中的教学目标不够明确。

在新的课程教育标准逐渐深入实施的今天，各级各类学校都在深入的学习相关的理念，现行的小学数学教材就是依据新的课程标准编写的，但是有许多的教师对新的教学理念理解不够深入，对教材中的内容缺少深入的分析与细密的思考，还是依据传统的教学模式进行教学，依据自己内心的想法想当然采取教学手段，在这种教学模式下，学生的学习能力得不到提高，达不到教学目标。

教师若是要想胜利的上好一节课，就是对教材进行分析，构建前后联系的知识体系，分析知识之间的联系，把握教育教学的主线，分析教材编写者的意图，根据教材的编排才能够采取灵敏有用的教学手段，才能够有用的达到教育教学的目标。

数学的课程标准不仅仅包括对学生传授知识与技能，还包括学生的内心情感、对问题的思考、数学思维能力的培养等等，因此，教师要促进学生全面发展。

2.教师不够关注学生。

新的课程标准明确的指出：“数学教学应该是师生相互互动、积极参与、共同进步与发展的过程，在教学中，要关注学生的主体地位，教师充分的发挥自身的作为学习活动的组织者、引导者的作用。

小学数学教师在教学中要增强师生之间的互动与交流，给与学生更好地学习环境与学习空间。

许多教师在教学中也确实做到了这一点，但是当学生出现错误的时候，教师会自动的给与忽略，没有告诉学生自己错在哪里、为什么错了，学生没有办法真正的理解知识，仅仅靠机械记忆去学习。

小学数学新课标解读之“几何与图形”分析与研讨王晓萍“图形与几何”的课程内容，在小学阶段分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个部分，它们以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。

我们接下来的讨论交流将围绕着“如何在这四个部分的课程内容中，来发展学生的空间观念、几何直观和推理能力，落实四基中的后两基”为主线展开。

一、图形的认识1、图形的认识的内容主线我们首先来看图形的认识的内容主线。

主要有如下的几条基本线索：一是从立体到平面再到立体。

新课标对空间观念这个核心词的描述有这样一条：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。

教材这样的编排正好体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中还原立体图形。

在教学中要把握好这条主线，建立学生的空间观念。

二是从生活中的实物抽象出图形到应用于生活。

例如圆的认识，首先让学生观察生活中的大量现实模型，然后抽象出圆形，探究其特征。

这一点大家都能充分认识并做得非常好，但反过来将图形及其特征应用到生活中去，重视的不够。

我们的教材有这样一道练习：这就是应用于生活。

当学生在尝试解决这个问题问题时，不仅促进了对圆性质的理解，同时还发展了学生解决问题的能力。

三是从直观辩认图形到操作探索图形的特征。

例如对于长方形的认识，课标中对第一、二学段的要求就有明显的层次：从辨认到初步认识特征再到探索并掌握周长、面积公式。

这样从直观辩认到探索特征符合儿童的认知规律。

我们在教学中一定要把握好每个学段的目标，到位而不越位。

四是从直观图形到曲边图形。

在这个过程中，“化曲为直”的思想将初步渗透。

五是从静态到动态。

第一阶段主要侧重于静态，第二阶段则侧重于动态认识。

还是以长方形为例。

例如认识它的轴对称性，知道绕长或宽旋转一周形成圆柱等等，这些都是进一步丰富对长方形的认识。

２、教学中注意问题纵观整个“图形的认识”这部分，我们的教学中哪些问题是薄弱环节，需要引起我们的重视呢？一是设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化。

核心素养下“图形与几何”单元整体教学探究作者：胡静来源：《少男少女·教育管理》2023年第09期摘要：文章从剖析小学数学“图形与几何”的教学现状入手，提出以单元整体教学为切入口，拟通过课例“体积和体积单位”，研究如何利用单元整体教学促进学生的数学核心素养的发展，从而优化教学并提高课堂质量，为课程实践提供参考。

关键词：核心素养；单元整体教学；图形与几何2022年新修订的义务教育课程方案和课程标准的颁布，标志着基础教育课程改革全面步入核心素养时代。

通过深入学习课标，发现提倡“探索大单元教学”“重视单元整体教学设计”来优化教学。

一、对小学数学“图形与几何”教学现状的分析小学“图形与几何”一直是小学数学课程中的一个重要内容。

然而，传统的小学数学“图形与几何”教学存在着一些问题。

部分教师仍只注重孤立的课时设计，忽视了从单元角度进行整体化教学的探索，这无法满足学生的核心素养发展的需求：1. 教学的碎片化与狭窄化，将单一知识点作为学习任务设计，忽视教学主题，限制了学生在数学领域的学习深度和后续发展。

2. 教学忽视知识内容的本质联系，缺乏清晰的主线引领单元教学，难以构建网络化的知识体系。

3. 教学过于注重知识的讲述，而轻视过程的探究。

缺乏对学生高阶思维的培养，从而导致学科育人价值大打折扣。

数学核心素养具有“整体性、一致性、阶段性”的特征，教师要在教学过程中精心选择、整合和设计适合学生数学学习的内容，以构建数学内容与核心素养之间的桥梁。

二、明确单元整体教学定义与实施要素（一）单元整体教学定义单元整体教学是教师在全盘考虑新课标对小学数学的内容要求和学业要求的前提下，在对教材及学情充分分析的基础上，根据教材的自然单元或由几个相同学科本质的单元组合成的大单元，抓住同个学习主题，组织学生进行数学探究活动，让学生不断感悟数学思想，深入理解数学知识的内涵，更好地发展学生核心素养。

（二）单元整体教学实施基本要素单元整体教学要从学习主题、学习目标、教学活动及学习评价四个基本要素展开。

初中数学分学段目标及内容主线的分析数学作为一门基础学科，在初中阶段被广泛教授。

初中数学教学的目标是培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

本文将分析初中数学的分学段目标及内容主线。

一、初一数学目标及内容主线初一数学的目标是培养学生对数学的兴趣和认识，帮助他们理解数学的基本概念和运算规律，为进一步学习数学打下坚实的基础。

内容主线如下：1. 数的认识和运算：学习整数、分数和小数的概念，进行基本的四则运算；2. 图形与几何：学习几何图形的命名、绘制和一些基本性质的认识；3. 数据的处理：学习统计和概率的基本概念与方法，进行简单的数据整理和分析；4. 代数初步：学习代数字母、式子的概念与运算，解一元一次方程。

二、初二数学目标及内容主线初二数学的目标是在初一的基础上进一步拓展学生的数学知识，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

内容主线如下：1. 代数与方程：学习多项式、因式分解、分式的概念与运算，解一元一次及二次方程；2. 几何与变换：学习平面图形的性质、面积和体积计算，了解坐标系和几何变换的基本知识；3. 函数初步：学习函数的概念、函数的图像与性质，解直线和二次函数方程；4. 数据与统计：学习折线图、柱状图、扇形图的绘制和分析，学习简单的统计方法。

三、初三数学目标及内容主线初三数学的目标是巩固和拓展初二的内容，帮助学生建立数学思维能力的框架，为高中数学学习做好准备。

内容主线如下：1. 代数与函数：学习指数、对数、根式的基本概念与运算，学习常见函数的性质和图像；2. 几何与证明：学习三角形的性质，了解平行线和比例定理的证明，学习简单的向量知识；3. 统计与概率：学习离散型随机变量的概念与分布，学习事件概率的计算方法；4. 三角函数：简单了解三角函数的概念与图像，学习简单的三角函数计算方法。

总结：初中数学的分学段目标及内容主线经过了逐渐深入、拓展与巩固的过程。

从初一到初三，学生的数学知识将从基础的四则运算逐渐扩展到代数、几何、函数、统计和概率等各个方面。

新课标的修订稿公布图形与几何的三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。

一、图形与几何中三条研究线索：首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。

第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换——图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。

这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。

第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。

二、三条线索之间的关系首先，三条线索从形象逐步变得抽象。

图形的性质→图形的变化→图形与坐标，三条线索引领学生逐步从直观认识走向代数化，顺应学生的认识规律和学习的认知特征，同时也让学生认识问题的思维变得越来越深刻。

比如菱形，首先我们可以通过实物抽象出其定义，把握特殊的性质——对称性，在图形的变化中从通过变换的角度认识菱形的特殊性质，最后还可以从坐标的角度研究对称的规律。

所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。

第二，三条线索体现了数形结合的思想。

“数形结合”是重要的数学思想，这三条线索的整合正是培养学生这种思想方法的有效载体。

比如，图形旋转的不变形既可以通过全等知识加以证明，又可以通过变换的操作方法加以验证和认识，也可以通过坐标变化的特征进行刻画，认识图形的过程由直观变得深刻，从而学生对几何图形的认识更加全面与立体。

第三，三条线索的整合又向学生渗透了“解析化”解题策略。

传统的数学教材，认为的割裂了图形的性质与坐标，性质侧重于几何的演绎推理，坐标就是解决函数问题。

初中数学三条主线初中数学学习有三条主线。

1.代数：以有理数，整式，分式为基础！有理数对应有理数运算，科学记数法，近似值，实数（平方立方），二次根式；整式对应整式单（多）项式，整式加减乘除运算，因式分解，化简求值！整式三件套：一元一次方程（函数，不等式）；一元二次方程（函数，不等式）分式对应分式运算，化简求值，分式方程，反比例函数！2.几何：以三角形，圆为核心，穿插直线，射线，线段，平行线，坐标系，图形变换！三角形有关线段（中线，角平分线），全等（相似）三角形以及特殊三角形（等腰三角形，等边三角形，直角三角形性质）和勾股定理，三角函数（解三角形）等若干计算。

以三角形为基础衍生出平行四边形以及特殊平行四边形。

后面就是以圆压轴！3.统计概率：数据收集，处理，分析，涉及直方图，扇形图，中位数，众数，平均数，方差等！简单的概率计算，树形图！怎么学好初中数学？1.正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。

想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。

但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现基础不稳，成绩飘忽不定的现象，随着时间推移，学习逐渐吃力跟不上。

2.构建完整的知识框架是解决问题的基础。

由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础。

同时，能将所学融合贯通，温故知新，提纲挈领会提升学习能力，降低学习难度！如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。

只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。

3.注重数学方法、思想的总结、研究和应用，培养自主学习能力和数学学习兴趣。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。

关于“图形与几何”的整体描述一、“图形与几何”领域的三大核心概念（2011版）三大核心如图6-1所示。

图6-11.空间观念（如图6-2）主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形；等等。

图6-22.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

三层维度：①图形可以帮助刻画和描述问题。

一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。

②图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。

③图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。

3.推理能力贯穿于整个数学学习过程，是最基本的思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，可以运用于探索思路，发现结论。

演绎推进是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推进的法则证明和计算，用于证明结论。

二、“图形与几何”领域知识框架结构“图形与几何”领域知识框架结构如图6-3所示。

图6-3三、“图形与几何”框架的三条主线2011版修订课标确立了“图形与几何”框架分别是以图形的性质、图形的变化、图形与坐标为三条主线。

1.图形的性质涵盖了图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间概念和推理能力。

2.图形的变化包含图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似、直角三角形的边角关系、图形之间的关系。

3.图形与坐标包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称、图形的平移、图形的位似等。