2012年理数高考试题答案及解析-全国

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程26130xx 的一个根是A ．32iB ．32iC ．23iD ．23i考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根.难易度：★解析：根据复数求根公式：266134x322i ，所以方程的一个根为32i答案为 A. 2．命题“x R Q e ，3x Q ”的否定是A ．0x R Q e ，30x QB ．0x R Q e ，30x Q C ．x R Q e ，3xQD ．xR Q e ，3xQ 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

因此选 D3．已知二次函数()yf x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为A ．2π5B ．43C ．32D ．π2考点分析：本题考察利用定积分求面积.难易度：★解析：根据图像可得：2()1yf x x，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33Sx dx xx .4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3π侧视图2 正视图42 42 11yxO第3题图1111C ．10π3D ．6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设a Z ，且013a ，若201251a 能被13整除，则a A ．0 B ．1 C ．11D ．12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：★解析：由于51=52-1，152 (52)52)152(1201120122011120122012020122012C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210ab c，22240x yz，20axbycz，则a b c x yzA ．14B ．13C ．12D ．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于222222)())((2cz by ax z yxc ba等号成立当且仅当,t z c y b xa 则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222z yx t 所以由题知2/1t,又2/1,tzyxc b a z yxc b a zc yb xa 所以，答案选 C.7．定义在(,0)(0,)上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)上的如下函数：①2()f x x ；②()2xf x ；③()||f x x ；④()ln ||f x x .则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，212n nn aa a ，①122212222nn n n nn a faaa a f a f ；②12221222222na a a a a nn a fa f a f nnnnn；③122122nnnn nn a fa a a a f a f ；④122122ln ln ln nnn n nn a fa a a a f a f .选C8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21πB ．112πC ．2πD ．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令1OA，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷 注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3 C 1 D 1或3 【解析】因为AB A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-ca ，所以842==c a ，448222=-=-=c ab ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C. 【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A. 【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5 （B ）555【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1AB +=BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯==BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

绝密* 启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动. 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效·4. 考试结束后. 将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ,B{( x, y) x A, y A,x y A} ；,则B 中所含元素的个数为（）(A) 3 (B) 6 (C) (D)【解析】选 Dx 5, y 1,2,3,4 ，x 4, y 1,2,3 ，x 3,y 1,2 ，x 2, y 1共10 个（2）将2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）(A) 12 种(B) 10 种(C) 种(D) 种【解析】选 A甲地由1名教师和 2 名学生： 1 2C2C4 12种（3）下面是关于复数z21 i的四个命题：其中的真命题为（）p1 : z 2 2p2 : z 2i p3 : z的共轭复数为 1 i p4 : z的虚部为1(A) p2, p3 (B) p1, p2 (C) p , p (D)p , p 【解析】选 C2 2( 1 i )z 1 i1 i ( 1 i)( 1 i)p1 : z 2 ， 2p2 : z 2i ，p3 : z的共轭复数为 1 i ，p4 : z的虚部为 1第1 页共12 页（4）设F F 是椭圆1 22 2x yE : 1(a b 0)2 2a b的左、右焦点，P 为直线3ax 上一点，2F PF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）2 1(A) 12(B)23(C) ( D)【解析】选 C3 c 3F PF 是底角为30 的等腰三角形PF2 F2F1 2( a c) 2c e2 12 a 4 （5）已知a为等比数列，a4 a7 2，a5a6 8 ，则a1 a10 （）n(A) 7 (B) 5(C) (D)【解析】选 Da4 a7 2，a a a a a a 或5 6 4 7 8 4 4, 7 2 a a4 2, 7 4a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2) 和实数a1,a2 ,..., a n ，输出A, B ，则（）( A) A B 为a1,a2 ,..., a n 的和(B) A B2 为a1,a2 ,..., a n 的算术平均数(C) A 和B 分别是a1,a2,..., a n 中最大的数和最小的数(D)A 和B 分别是a1,a2,..., a n 中最小的数和最大的数【解析】选 C第2 页共12 页（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）(A) 6 (B) 9 (C) (D)【解析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3此几何体的体积为V 1 13 26 3 3 92（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线y 16x的准线交于A,B 两点，AB 4 3 ；则C的实轴长为（）(A) 2 (B) 2 2 (C) (D)【解析】选 C设 2 2 2 2C : x y a (a 0)交y 16x 的准线l : x 4 于A( 4,2 3) B( 4, 2 3)得： 2 ( 4)2 (2 3)2 4 2 2 4a a a（9）已知0 ，函数 f (x) sin( x )在( , )4 2上单调递减。

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M={-1,0,1} ， N={x|x 2≤ x}，则M ∩ N=A.{0}B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}【答案】 B【解析】N 0,1 M={-1,0,1} M ∩ N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出N 0,1 ,再利用交集定义得出 M∩ N.2.命题“若α = ，则 tan α =1”的逆否命题是4A.若α≠，则 tanα ≠1 B. 若α = ，则 tanα ≠ 14 4C. 若 tanα ≠ 1，则α≠ D. 若 tanα ≠1，则α =4 4【答案】 C【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若p ，则q ”，所以“若α = ，则 tanα =1”的逆否命题是“若4tan α ≠ 1，则α ≠” .4【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】 D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.第 1 页共 17 页【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力 .是近年高考中的热点题型 .4.设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ x i ，y i ）（ i=1， 2 ，⋯， n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kgD.若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重比为 58.79kg【答案】 D【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最y bx a bx y bx (a y bx ) ，所以回归直线过样本点的中心（x ，小二乘法建立的回归方程得过程知? y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确 .【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易 错 .5. 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为a 2 - 2 bx 2 y 2x 2 - y 2 x 2 y 2x 2 y 2A ．-=1 B. 5 20=1 C. - =1D.-=120 5 80 2020 80【答案】 A【解析】设双曲线 C： x 2 y 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c10, c 5 .a 2 - 2b 又 C 的渐近线为 ybx ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线 1 b 2 ，即 a 2b .上，a a又 c2a2b2， a 2 5,b5 ， C的方程为x2- y2 =1.20 5【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 .第 2 页共 17 页6. 函数 f （x） =sinx-cos(x+ )的值域为6A． [ -2 ,2] B.[-3 , 3 ] C.[-1,1 ]D.[-3 3, ]2 2【答案】B【解析】 f（ x） =sinx-cos(x+ ) sin x 3 cos x 1 sin x 3 sin( x ) ，sin( x )1,1 ，f (x) 值6 2 2 6 6 域为 [- 3 , 3 ].【点评】利用三角恒等变换把f ( x) 化成Asin( x) 的形式，利用sin( x )1,1 ，求得 f (x) 的值域 .7. 在△ ABC中， AB=2， AC=3， AB BC = 1 则 BC ___ .中 &% 国教 *^ 育出版网A. 3B. 7C.2 2D. 23【答案】A【解析】由下图知AB BC = AB BC cos( B) 2 BC ( cos B) 1.cosB 1 .又由余弦定理知cos B AB 2BC 2AC2，解得BC 3 .2B C 2 AB BCAB C【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB, BC 的夹角为 B 的外角 .8 ．已知两条直线l1： y=m和 l8(m＞ 0)， l1与函数ylog2 x 的图像从左至右相交于点A， B ，l2 2： y=2m 1与函数 y log 2 x 的图像从左至右相交于bC,D .记线段 AC和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当m 变化时，a的最小值为来源 %&: 中国教育出版网A． 16 2 B.8 2 C.8 4 D. 4 4【答案】B第 3 页共 17 页【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像如下图，2m 1由 log 2 x = m ，得 x 1 2m , x 2 2m ， log 2 8 8 8x = ，得 x 32 2 m 1 , x 4 2 m 1 2 . 2m 1 8 依照题意得 a 2 m 2 2 m1, b 2m 2 82 m12m 2 , ba 2 m 2 8 2m1 8 8 2m 2m 1 m8 2 2 2 m1 . 2m 1m 8 m 1 4 1 4 1 3 1 ， ( b )min 8 2 .2m 1 2 1 2 2 2 a m 2y log 2 xDy 8C2m 1 A By m O1 x【点评】在同一坐标系中作出y=m ， y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像，结合图像可解得 .2m 1二 、填空题： 本大题共8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上 .（一）选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. xOy 中，已知曲线C1：x t 1, x a sin ,在直角坐标系y 1(t 为参数 )与曲线C2：3cos 2t y( 为参数，a0 ) 有一个公共点在 X 轴上，则 a __ .【答案】32【解析】曲线C1x t 1,y 3 2 x ，与 x 轴交点为 ( 3 ,0) ；：1直角坐标方程为y 2t 2x asin, x2y21，其与 x 轴交点为( a,0),( a,0) ，曲线 C2：3cos 直角坐标方程为29y a第 4 页共 17 页由 a 0，曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 3X 轴上，知 a.2【点评】 本题考查直线的参数方程、 椭圆的参数方程， 考查等价转化的思想方法等 .曲线 C 1 与曲线 C 2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得 . 10.不等式 |2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.【答案】 x x143,( x 1) 2 【解析】令f ( x) 2x 1 2 x 1 ，则由 f (x)4x 1,( 1x 1) 得 f ( x) 0 的解集为 x x 1 . 2 4 3,( x 1)【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组） .11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A ，B 两点 .若 PA=1， AB=2， PO=3，则圆 O 的半径等于 _______.O BPA【答案】 6【解析】设 PO 交圆 O 于 C ， D ，如图，设圆的半径为 R ，由割线定理知PA PB PC PD,即1 (1 2) (3- r )(3 r ), r 6. DOC PB A【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ，从而求得圆的半径 .(二 )必做题（ 12~16 题）12.已知复数 z (3 i )2 (i 为虚数单位 )，则 |z|=_____.第 5 页共 17 页【答案】 10【解析】 z (3i )2= 9 6i i 2 8 6i ， z82 62 10 .【点评】本题考查复数的运算、复数的模 .把复数化成标准的 abi ( a, b R) 形式，利用z a 2 b 2 求得 .13.( 2 x - 1 )6 的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）x【答案】 -160【 解 析 】 ( 2 x - 1 )6 的 展 开 式 项 公 式 是 T r 1C 6r (2 x )6 r( 1 )r C 6r 26 r ( 1)r x 3 r . 由 题 意 知 x x3 r 0 r, 3 T 4C 6 2 ( 1) 160 .，所以二项展开式中的常数项为 3 3 3 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3 所示的程序框图，输入 x 1 ,n=3,则输出的数 S=. 【答案】4 【 解 析 】 输 入 x 1 ,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： i 2: S 6 2 3 3 ； i 1: S 3( 1) 1 15 ； i 0: S 5( 1) 0 1 4 ，所以输出的是 4 .【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错 .15.函数f（ x）=sin (x )的导函数y f (x) 的部分图像如图4 所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图第6 页共17页像与 x 轴的两个交点， B 为图像的最低点 .（ 1）若，点 P 的坐标为（ 0 ， 3 3），则;62（ 2）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ ABC 内的概率为 .【答案】（1） 3；（ 2）4【解析】（1） y f ( x)cos( x ) ，当 ，点 P 的坐标为（ 0，3 3）时 6 2 cos3 3 , 3 ； 6 2T21 AC（ 2）由图知AC ， SABC 2 ，设 A, B 的横坐标分别为 a,b .2 22设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则 S b f (x)dx f ( x) a bsin( a ) sin( b ) 2， a由几何概型知该点在△ABC 内的概率为P SABC 2 .S 2 4【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P 在图像上求 ， （ 2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.n* ， n ≥ 2），将 N 个数 x 1,x 2 ,⋯， x N 依次放入编号为 1,2，⋯， N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯16.设 N=2（ n∈ NxN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 和后N个位置，得到排列2 2P1=x1 x3⋯ xN-1x2x4⋯ xN，将此操作称为C 变换，将 P1分成两段，每段N 个数，并对每段作C 变换，得到p2；当22第 7 页共 17 页≤ i ≤ n-2 时，将 P i 分成 2i 段，每段 N个数，并对每段C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8， 2i此时 x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置 .（ 1）当 N=16 时， x 7 位于 P 2 中的第 ___个位置；（ 2）当 N=2n （ n ≥ 8）时， x 173 位于 P 4 中的第 ___个位置 .【答案】（1） 6；（ 2） 3 2n 4 11【解析】（1）当 N=16 时 ,P 0 x 1 x 2 x 3x 4 x 5x 6 x 16 ,可设为 (1,2,3,4,5,6,,16) , P 1 x 1 x 3 x 5 x 7 x 15 x 2 x 4 x6 x 16 ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8, ,16) ,P 2 x 1 x 5 x 9 x 13 x 3x 7 x 11x 15 x 2 x 6 x 16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6,,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置 ,；（ 2）方法同（1） ,归纳推理知 x 173 位于 P 4 中的第 3 2n4 11 个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数 据，如下表所示 .一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数（人） x30 25 y 10 结算时间 （分钟 /人） 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％ .（Ⅰ）确定 x ， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； [&% 中国 教育出版网*#（Ⅱ） 若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算， 且各顾客的结算相互独立， 求该顾客结算前的等候时间 不超过．．． 2.5 分钟的概率 .（注：将频率视为概率） 中 %# 国教 育出版网 【解析】（1）由已知 ,得25y 10 55, x y 35, 所以 x 15, y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所以收集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一 个容量随机样本，将频率视为概率得p( X 1 ) 1 53 ,p (X 1. 5 ) 3 03 p , X ( 2 )2 51,1 00 2 0 1 0 0 1 0 1 00 4p( X 2 . 5 ) 2 01 p,X( 3 )1 0 1 .1 00 5 1 00 1 0X 的分布为X 1 1.5 2 2.5 3P 3 3 1 1 120 10 4 5 10 X 的数学期望为第 8 页共 17 页331 1 1E( X ) 11. 5 22. 53 . 1. 9 2 0 1 0451 0（Ⅱ）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， X i (i2)1,为该顾客前面第 i 位顾客的结算时 间，则P( A) P( 1X 且1 2X 1) P (1X 且 1 2X 1. 5 ) P 1 X( 且 1. 25X.1 )由于顾客的结算相互独立，且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以P( A) P( X 1 ) ( P 2X 1) P 1( X 1) P 2 (X 1. 5 )P X( 1. 5P) X ( 1)1 1 23333 339 20 20 20 10 10 20 .80故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9.80 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问 中根据统计表和100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％知 25 y 10 100 55%,x y 35, 从而解得 x, y ，计算每一个变量对应的概率， 从而求得分布列和期望；第二 问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．． 2.5 分钟的概率 . 18.（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ，AB=4， BC=3， AD=5，∠ DAB=∠ABC=90°， E 是 CD 的中点 .来源 %:* 中 国 教育出 @ 版 网（Ⅰ）证明： CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积 .【解析】解法 1（Ⅰ如图（ 1）），连接 AC，由 AB=4， BC 3，ABC 90 , 得 AC 5. 又 AD 5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD AE.第 9 页共 17 页PA 平面 ABCD, CD 平面 ABCD, 所以 PA CD .而 PA, AE是平面 PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面 PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG CD, 分别与 AE, AD相交于 F ,G,连接 PF . 由（Ⅰ） CD⊥平面 PAE知，ＢＧ⊥平面 PAE于.是 BPF 为直线ＰＢ与平面 PAE 所成的角，且 BG AE .由 PA 平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .AB 4, AG 2, BG AF , 由题意，知PBA BPF ,因为 sin PBA PA ,sin BPF BF , 所以 PA BF .PB PB由DAB ABC 90 知， AD / / BC, 又BG / /CD , 所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GDBC 3.于是AG 2.在 Rt BAG 中， AB 4, AG2, BG AF , 所以BG AB2AG2 2 5, BF AB216 8 5 .BG 2 5 5 于是 PA BF 8 5 .5又梯形 ABCD 的面积为S 1 (5 3) 4 16, 所以四棱锥P ABCD 的体积为2V1S PA 1 168 5 128 5 .3 3 5 15第 10 页共 17 页解法 2：如图（ 2），以 A 为坐标原点，AB, AD , AP 所在直线分别为x 轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 .设PA h, 则相关的各点坐标为：A(4,0,0), B(4,0,0), C (4,3,0), D (0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).（Ⅰ）易知 CD ( 4,2,0), AE (2,4,0), AP (0,0, h). 因为CD AE 8 8 0 0,CD AP 0, 所以 CD AE, CD AP.而 AP, AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD 平面 PAE .( Ⅱ )由题设和（Ⅰ）知，CD, AP 分别是平面 PAE ，平面 ABCD 的法向量，而PB 与平面 PAE 所成的角和PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以cos CD, PB cos PA, PB , 即CD PB PA PB .CD PB PA PB由（Ⅰ）知，CD ( 4,2,0), AP (0,0, h), 由 PB (4,0, h), 故160 0 0 0 h2.2 5 16 h2h 16h285解得 h .513) 4 16 ，所以四棱锥PABCD 的体积为又梯形 ABCD的面积为S (521S PA 1 8 5 1 2 8 5V 165 15 .3 3【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由积.19.（本小题满分12 分）1V S PA 算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体3已知数列 {an}的各项均为正数，记 A（n）=a1 +a2+⋯⋯ +an ，B（ n）=a2+a3+⋯⋯ +an+1，C （ n）=a3+a4+⋯⋯ +an+2，n=1,2，⋯⋯ [来 ^& 源 :中教网 @~%]（ 1）若 a1=1， a2 =5，且对任意n∈ N﹡，三个数A（ n），B （ n）， C（ n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.（ 2）证明：数列 { an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN ，三个数 A（ n），B（ n），C（ n）第 11 页共 17页组成公比为q 的等比数列 .【解析】解（１）对任意 n N ,三个数 A(n), B(n),C (n) 是等差数列，所以B(n) A(n) C( n)B( n),即 a n 1a1a n 2 , 亦即 a n2a n1a2a14.故数列 a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是 a 1 ( n 1) 4 4n 3.n n（Ⅱ）（１）必要性：若数列a n是公比为ｑ的等比数列，则对任意n N ，有a n 1 a nq . 由a n0 知， A(n), B(n), C( n) 均大于０，于是B(n) a2a3... a n1q(a1a2... a n)q, A(n) a1a2...a n a1a2... a nC(n) a3a4... a n2 q(a2a3... a n 1)q, B(n) a2a3 ...a n a2a3... a n1 1即B(n)＝C (n)＝ q ，所以三个数A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列 .A(n) B(n)（２）充分性：若对于任意n N ，三个数 A( n), B(n), C ( n) 组成公比为 q 的等比数列，则B( n) q A( n) , C ( n) ，q B n于是 C(n) B( n)q B( n) A(n) , 得 a n2a2q(a n 1 a1), 即a n2qa n 1 a 2 a .由 n 1有 B(1) qA(1), 即a2qa1，从而 a n2qa n 10 .因为 a n 0a n 2 a2q ，故数列a n是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，，所以a1a n 1综上所述，数列a n是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈ N﹡，三个数 A(n), B(n),C (n)组成公比为 q 的等比数列 .【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.第 12 页共 17 页20.（本小题满分 13 分） 来 源 中教 %&*网某企业接到生产3000 台某产品的 A ，B ，Ｃ三种部件的订单， 每台产品需要这三种部件的数量分别为２ ,２ ,１（单 位：件） .已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件 .该企业计划安排２００名工人分 成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （ k 为正整数） . （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时 具体的人数分组方案 .【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1( x), T 2 ( x),T 3 (x), 由题设有2 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0T ( x) ,T ( x ) ,T (x ) ,1 6 x23 2 0 0 ( 1 k )xx k x 期中 x, kx,200 (1 k) x 均为 1 到 200 之间的正整数 .（Ⅱ）完成订单任务的时间为f ( x) max T 1( x),T 2 ( x), T 3 ( x) , 其定义域为 x 0 x 200 , x N. 易知， T 1( x),T 2 ( x) 为减函数， T 3( x) 为增函数 .注意到1 k2 于是T 2 ( x) k T 1( x),（ 1）当 k2 时， T 1(x) T 2 (x), 此时f ( x) max T 1( x), T 3 ( x) max1000 , 1500 ，x 200 3x由函数 T 1 (x), T 3 (x) 的单调性知，当1000 1500时 f ( x) 取得最小值，解得x 200 3x 400x .由于944 4045, 而 f(44)T1(44) 250 , f (45) T3 (45) 300 , f (44) f (45) .9 11 13故当 x 44 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250.f (44)11375 , (x) max T1( x),T ( x)易（ 2）当k 2 时， T1( x)T2( x),由于 k 为正整数，故k3 ，此时 T(x)50 x知 T ( x) 为增函数，则f ( x)max T1 ( x), T3( x)第 13 页共 17 页max T1 (x),T (x)( x) max 1000 375. x,x51000 375(x) x 400. 由于由函数 T1 (x),T (x) 的单调性知，当50 x 时取得最小值，解得11x3 64 0 0( 3T61 )2 5 0 2 5 0T, ( 3 7 )3 75 2 5 0,3 而7,( 3 6 ) ( 3 7 )1 1 9 1 1 1 311此时完成订单任务的最短时间大于250.11（3 ）当 k 2 时，T1 ( x) T2 ( x),由于k 为正整数，故 k 1 ，此时f ( x)max T2 ( x),T3( x) max 2000 , 750.由函数 T2 ( x),T3 ( x) 的单调性知，x 100 x当 2000 750时 f (x) 取得最小值，解得x 800 x 100 x250 ，大于25011完成订单任务的最短时间为.9 11.类似（ 1）的讨论 .此时综上所述，当 k 2 时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为 44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分 13分） [www.z%zstep.co* ~&m^]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（ x-5）2＋ y2=9 外，且对 C1上任意一点 M ，M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值 . （Ⅰ）求曲线 C1的方程；（Ⅱ）设 P(x0,y0)（y0≠± 3）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点 A， B 和C， D.证明：当 P 在直线 x=﹣4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 .【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知得x 2 (x 5)2y2 3 ，易知圆 C2上的点位于直线 x 2 的右侧 .于是x2 0 ，所以( x 5) 2y2x 5 .化简得曲线 C1的方程为y220x .第 14 页共 17 页解法 2 ：由题设知，曲线C1上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线x5 的距离，因此，曲线C1是以 (5,0) 为焦点，直线x 5 为准线的抛物线，故其方程为y220x .（Ⅱ）当点P 在直线 x 4 上运动时， P 的坐标为 ( 4, y0 ) ，又 y0 3 ，则过 P 且与圆C2相切得直线的斜率k 存在且不为 0 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y y0k( x即kx-y+y 0 +4k=0.于是4),5k y04k3.k 2 1整理得72k 218y0k y029 0. ①设过 P 所作的两条切线PA, PC 的斜率分别为k1 , k2，则 k1, k2是方程①的两个实根，故k1k218 y0y0 .②72 4由k1x y y04k10, 得k1y220 y 20( y04k1).③y220x,设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为y1, y2 , y3 , y4，则是方程③的两个实根，所以y1y220( y04k1 ).④k1同理可得y3y420( y04k2 ).⑤k2于是由②，④，⑤三式得y1 y2 y3 y4400( y04k1)( y04k2 )k1k2400y02 4(k1 k2 ) y0 16k1k2k1k2第 15 页共 17 页400y02y0216k1k2k1k26400 .所以，当 P 在直线x 4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法 .第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A, B,C , D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13 分）已知函数 f( x)= ax ，其中≠ex a0.（1）若对一切 x∈ R， f (x) ≥ 1 恒成立，求 a 的取值集合 .（2）在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1, f (x1 )) ， B(x2 , f (x2 )) (x1x2 ) ，记直线 AB的斜率为 K，问：是否存在 x0∈（ x1，x2），使 f( x0 )k 成立？若存在，求 x的取值范围；若不存在，请说明理由 .【解析】（Ⅰ）若 a 0 ，则对一切x 0 ， f ( x) e ax x 1 ，这与题设矛盾，又 a 0，故a 0.而 f (x) ae ax1, 令 f ( x) 0, 得x1 ln 1 .1 1 a a1 1 1 1当xln (x)0, f ( x) 单调递减；当a时， f xln 时， f ( x) 0, f ( x) 单调递增，故当 xln时，a a a a af ( x) 取最小值 f ( 1ln1) 1 1 ln 1 .a a a a a于是对一切 x R, f ( x) 1恒成立，当且仅当1 1 ln 1 1 . ①a a a令 g(t) t t ln t , 则 g(t )ln t.当 0 t 1 时， g (t) 0, g(t ) 单调递增；当t 1时， g (t) 0, g(t ) 单调递减 .故当t 1时， g(t) 取最大值g(1) 1.因此，当且仅当11即 a 1时，①式成立 .a综上所述， a 的取值集合为 1 .f (x2 ) f (x1) axeax（Ⅱ）由题意知，ke 2 1x2x1x21.x1第 16 页共 17 页令 ( x) f ( x) k ae ax e ax 2 e ax1 , 则x 2 x 1( x 1 ) e ax 1 e a( x x ) a( x 2 x 1 ) 1 , x 2 x 1 2 1( x ) e ax 2 a (x 1x 2 ) a( x x ) 1 . e 2 x 2 x 1 1 2令 F(t ) e t t 1，则 F (t) e t 1. 当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递减；当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递增 .故当t 0 ， F(t)F (0) 0, 即 e t t 1 0.从而 e a ( x 2 x 1) a( x 2 x 1 ) 1 0 ， e a (x 1 x 2 ) a(x 1 x 2 ) 1 0,又 e ax 1 0, e ax2 0,x 2 x 1 x 2 x 1所以 ( x 1 ) 0, (x 2 ) 0.因 为 函 数 y( x) 在 区 间 x , x 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 所 以 存 在 x 0 (x 1, x 2 ) 使 1 2 ( x 0 ) 0, ( x) a 2e ax 0, ( x) 单 调 递 增 ， 故 这 样 的 c 是 唯 一 的 ， 且 c 1 ln e ax2 e ax 1 . 故 当 且 仅 当 a a( x 2 x 1 ) 1 e ax2e ax1 , x2 )时， f ( x 0 ) k .x ( lna( x 2 x 1 ) a综上所述，存在x 0 (x , x ) 使 f ( x ) k 成立 .且 x 的取值范围为 1 2 0 01 e ax2 e ax 1 ( ln a( x 2 , x 2 ) . a x 1 ) 【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、不等式恒成立问题等， 考查运算能力， 考查分类讨论思想、函 数 与 方 程 思 想 ， 转 化 与 划 归 思 想 等 数 学 思 想 方 法 . 第 一 问 利 用 导 函 数 法 求 出 f ( x) 取 最 小 值f ( 1 ln 1 ) 11 ln 1 .对一切 x∈ R， f(x) 1 恒成立转化为 f ( x)min 1，从而得出 a 的取值集合；第二问在假a a a a a设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.第 17 页共 17 页。

第1页，总14页…………装…………○…校:___________姓名：___________班级：…………装…………○…2012年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题0}，B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0}，则A∩B=（ ） A.（﹣∞，﹣1） B.（﹣1， −23 ）C.﹙ −23，3﹚D.（3，+∞）2.设a ，b∈R．“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）A.CE•CB=AD•DBB.CE•CB=AD•ABC.AD•AB=CD 2D.CE•EB=CD 24.从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A.24 B.18 C.12 D.6答案第2页，总14页订…………○…………线…………○内※※答※※题※※订…………○…………线…………○5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A.28+6 √5B.30+6 √5C.56+12 √5D.60+12 √5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）6.直线 {x =2+t y =−1−t （t 为参数）与曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）的交点个数为 7.已知﹛a n ﹜是等差数列，s n 为其前n 项和．若a 1= 12 ，s 2=a3 ， 则a 2= ． 8.在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ，则b= ．9.在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°．则△OAF 的面积为 ．10.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则 DE →⋅CB →的值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f （x ）的定义域及最小正周期； （2）求f （x ）的单调递增区间． 12.如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．第3页，总14页…○…………线…………○…____…○…………线…………○…（1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．13.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值． （求：S2= 1n[ (x 1−x ¯)2 + (x 2−x ¯)2 +…+ (x n −x ¯)2]，其中 x ¯为数据x 1 ， x 2 ， …，x n 的平均数）14.已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．15.已知曲线C ：（5﹣m ）x 2+（m ﹣2）y 2=8（m∈R）（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G ．求证：A ，G ，N 三点共线．16.设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s （m ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m ，n ），记r i （A ）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j （A ）为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）；记K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，…，|Rm （A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，…，|Cn （A ）|中的最小值．答案第4页，总14页（3）给定正整数t ，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K （A ）的最大值．第5页，总14页装…………○………订…………○…………线……_姓名：___________班级：_______考号：___________装…………○………订…………○…………线……参数答案1.D【解析】1.解：因为B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0﹜={x|x ＜﹣1或x ＞3}， 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x >−23 }，所以A∩B={x|x >−23}∩{x|x＜﹣1或x ＞3}={x|x ＞3}，故选：D ． 【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立，以及对解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边． 2.B【解析】2.解：因为a ，b∈R．“a=O”时“复数a+bi 不一定是纯虚数”． “复数a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a ，b∈R．“a=O”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． 故选B ．【考点精析】关于本题考查的复数的定义，需要了解形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部才能得出正确答案． 3.A【解析】3.解：连接DE ，∵以BD 为直径的圆与BC 交于点E ， ∴DE⊥BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ， ∴△ACD∽△CBD， ∴ CDBD =ADCD ， ∴CD 2=AD•BD． ∵CD 2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD，答案第6页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※…○…………内…………○…………装…………○…线…………○故选A ．4.B【解析】4.解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 A 32=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A 32 =6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 A 32=6种； 故共有3 A 32=18种故选B ． 5.B【解析】5.解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图， 所以S 底= 12×4×5 =10， S 后= 12×5×4=10 ， S 右= 12×4×5 =10，S 左= 12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6 √5 ． 几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 √5 ． 故选：B ．第7页，总14页…………○…………装…………○………订…………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：________考号：___________…………○…………装…………○………订…………○…………线……【考点精析】认真审题，首先需要了解由三视图求面积、体积(求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积)． 6.2【解析】6.解：直线 {x =2+ty =−1−t（t 为参数）化为普通方程为x+y ﹣1=0曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）化为普通方程为x 2+y 2=9∵圆心（0，0）到直线x+y ﹣1=0的距离为d= √2＜3 ∴直线与圆有两个交点 所以答案是：2【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的参数方程的相关知识，掌握经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数），以及对圆的参数方程的理解，了解圆的参数方程可表示为．7.1【解析】7.解：∵﹛a n ﹜是等差数列，a 1= 12 ，S 2=a3 ， ∴ 12 + 12 +d= 12 +2d ， 解得d= 12 ， a 2= 12 + 12 =1．所以答案是：1．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；前n 项和公式：．8.4【解析】8.解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ， ∴ b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b=4所以答案是：4答案第8页，总14页○…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订○…………装…………○…9.√3【解析】9.解：抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为（1，0） ∵直线l 过F ，倾斜角为60°∴直线l 的方程为： y =√3(x −1) ，即 y =√33y +1代入抛物线方程，化简可得 y 2−4√33y −4=0∴y=2 √3 ，或y=﹣ 23√3 ∵A 在x 轴上方∴△OAF 的面积为 12×1×2√3 = √3 所以答案是： √3【考点精析】利用直线的倾斜角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=0°． 10.1【解析】10.解：因为 DE →⋅CB →= DE →⋅DA →= |DE →|⋅|DA →|cos <DE →⋅DA →> =DA →2=1．所以答案是：111.（1）解： f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx=(sinx−cosx)sinxcosxsinx=2(sinx −cosx)cosx=sin2x ﹣1﹣cos2x= √2 sin （2x ﹣ π4 ）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z} 原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π（2）解：由 2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得 kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，第9页，总14页…外…………○…学校:…内…………○…原函数的单调递增区间为 [kπ−π8,kπ) ，k∈Z， (kπ,kπ+3π8] ，k∈Z【解析】11.通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 12.（1）证明：∵CD⊥DE，A 1D⊥DE，CD∩A 1D=D ， ∴DE⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C⊥DE 又A 1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A 1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2 √3 ），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴ A 1B →=(0,3,−2√3) ， A 1E →=(−2,2,−2√3) 设平面A 1BE 法向量为 n →=(x,y,z)则 {A 1B →⋅n →=0A 1E →⋅n →=0∴ {3y −2√3z =0−2x +2y −2√3z =0 ∴ {z =√32y x =−y2∴ n →=(−1,2,√3)又∵M（﹣1，0， √3 ），∴ CM →=（﹣1，0， √3 ） ∴ cosθ=CM →⋅n→|CM →|⋅|n →|=√1+4+3⋅√1+3=2⋅2√2=√22∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3] ∴ A 1P →=(0,a,−2√3) ， DP →=(2,a,0)答案第10页，总14页○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………装…………○…………订…设平面A 1DP法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) 则 {ay 1−2√3z =02x 1+ay 1=0 ∴ {z 1=√36ay 1x 1=−12ay 1∴ n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直【解析】12.（1）证明A 1C⊥平面BCDE ，因为A 1C⊥CD，只需证明A 1C⊥DE，即证明DE⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量 n →=(−1,2,√3) ， CM →=（﹣1，0， √3 ），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3]，求出平面A 1DP法向量为 n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论． 【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握向量语言表述面面的垂直、平行关系(若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证)的相关知识才是答题的关键． 13.（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400600=23（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b ，c 的平均数为200∴ s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ， ∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2a c≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000【解析】13.（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差． 14.（1）解：f （x ）=ax 2+1（a ＞0），则f'（x ）=2ax ，k 1=2a ，g （x ）=x 3+bx ，则g′（x ）=3x 2+b ，k 2=3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a=3+b ① 又f （1）=a+1，g （1）=1+b ， ∴a+1=1+b，即a=b ，代入①式可得： {a =3b =3（2）解：由题设a 2=4b ，设 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则 ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2 ，令h'（x ）=0，解得： x 1=a 2 ， x 2=−a6 ； ∵a＞0，∴ −a2＜−a6，∴原函数在（﹣∞，﹣ a2 ）单调递增，在 (−a 2,−a 6) 单调递减，在 (−a 6,+∞) ）上单调递增①若 −1≤−a2，即0＜a≤2时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；②若 −a 2＜−1 ＜﹣ a6 ，即2＜a ＜6时，最大值为 ℎ(−a2)=1③若﹣1≥﹣ a 6 时，即a≥6时，最大值为h （﹣ a2 ）=1 综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；当a∈（2，+∞）时，最大值为 ℎ(−a2)=1答案第12页，总14页………○…………线…………○※※题※※………○…………线…………○【解析】14.（1）根据曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a 、b 的值；（2）根据a 2=4b ，构建函数 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值． 15.（1）解：原曲线方程可化简得：x 285−m+y 28m−2=1由题意，曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得： {85−m＞8m−285−m＞08m−2＞0，解得： 72＜m ＜5（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3）＞0，解得： k 2＞32由韦达定理得： x M +x M =−16k 2k 2+1①， x M x M =242k 2+1，②设N （x N ，kx N +4），M （x M ，kx M +4），G （x G ，1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，∴ AG →=(3x Mkx M+6,−1) ， AN →=（x N ，kx N +2）， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG →， AN →共线 即 3x MkxM +6(x N k +2)=−x N 成立，化简得：（3k+k ）x M x N =﹣6（x M +x N ）将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【解析】15.（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3），解得： k 2>32 ，设N （x N ， kx N +4），M （x M ， kx M +4），G （x G ， 1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，从而可得 AG →=(3x MkxM +6,−1) ，线…………○…线…………○…AN → =（x N ， kx N +2），欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG → ， AN →共线，利用韦达定理，可以证明．【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：即可以解答此题．16.（1）解：由题意可知r 1（A ）=1.2，r 2（A ）=﹣1.2，c 1（A ）=1.1，c 2（A ）=0.7，c 3（A ）=﹣1.8∴K（A ）=0.7（2）解：先用反证法证明k （A ）≤1： 若k （A ）＞1则|c 1（A ）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0 同理可知b ＞0，∴a+b＞0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a ﹣b ＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k（A ）≤1．易知当a=b=0时，k （A ）=1存在 ∴k（A ）的最大值为1（3）解：k （A ）的最大值为 2t+1t+2 ． 首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ，j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： a 1,1=a 1,2=⋯=1,a 1,t+1=a 1,t+2=a 1,2t+1=t−1t+2， a 2,1=a 2,2=⋯=a 2,t =t 2+t+1t(t+2),a 2,t+1=a 2,t+2=a 2,t+1=−1 ．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 |r (A)1|=|r (A)2|=2t+1t+2， |c (A)1|=|c (A)2|=⋯=|c (A)t |=1+t 2+t+1t(t+2)＞1+t+1t+2＞2t+1t+2，|c (A)t+1|=|c (A)t+2|=⋯=|c (A)2t+1|=1+t+1t+2=2t+1t+2．下面证明 2t+1t+2 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S （2，2t+1），使得 k(A)=x ＞2t+1t+2．由k （A ）的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x ，2]中．由于x ＞1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x ﹣1． 设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g ＜h ，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．答案第14页，总14页考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x ﹣1（即每个负数均不超过1﹣x ）．因此|r 1（A ）|=r 1（A ）≤t•1+（t+1）（1﹣x ）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x ）＜x ，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此k （A ）的最大值为 2t+1t+2【解析】16.（1）根据r i （A ），C j （A ），定义求出r 1（A ），r 2（A ），c 1（A ），c 2（A ），c 3（A ），再根据K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，|R 3（A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，|C 3（A ）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k （A ）≤1，然后证明k （A ）=1存在即可；（3）首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ， j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 2t+1t+2 是最大值即可．。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题1．复数13i 1i-+=+( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 B ．0或3 C ．1D ．1或33．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184xy+= D ．221124xy+=4．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，1CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2 BCD ．15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( )A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011006．△ABC 中，AB 边的高为CD ．若C B ＝a ，C A ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD＝( )A ．1133-a bB ．2233-a bC ．3355-a b D ．4455-a b7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α3，则cos2α＝( )A．3-B．9-C9D38．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．459．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=e z -，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x10．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或111．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝37.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A．16 B．14 C．12 D．10第Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若x，y满足约束条件10,30,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．14．)当函数y＝sin xx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.15．若(x＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．16．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C．18．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．设函数f(x)＝ax＋cos x，x∈[0，π]．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)≤1＋sin x，求a的取值范围．21．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离．22．函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．1． C213i (13i)(1i)1+i+3i 3i24i 12i 1i(1i)(1i)22-+-+---+====+++-.2． B ∵A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m =∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B 项． 3． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2. 又∵准线x ＝－4，∴24ac-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184xy+=，故选C 项． 4． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，∵AB =2，∴AC =.又1CC =AC =CC 1.作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知， CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离．又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 5． A 15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1.∴515115151a a d --===--.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+.设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则100111 1223100101T=+++⨯⨯⨯…＝11111 1223100101 -+-++-…＝1100 1101101 -=.6．D∵a·b＝0，∴a⊥b. 又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||AB=∴12||5C D⨯==.∴||5AD==.∴4444()5555AD AB AB===-=-a b a b.7．A∵sinα＋cosα＝3，且α为第二象限角，∴α∈(2kπ＋π2，2kπ＋3π4)(k∈Z)．∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋3π2)(k∈Z)．由(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝13，∴2sin23α-＝.∴cos23α==-.9．D∵x＝ln π＞1，y＝log52＞51log2=，121e2z-==>=，且12e－＜e0＝1，∴y＜z＜x.10．A y′＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)．当y′＞0时，x＜－1或x＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.11． A如图，由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．12． B 结合已知中的点E ，F 的位置，由反射与对称的关系，可将点P 的运动路线展开成直线，如图．当点P 碰到E 时，m 为偶数，且333477m n =+-，即4m ＝3n .故m 的最小值为6，n ＝8，线段PE 与网格线交点的个数为(除E 点外)6＋8＝14个． (PE 的方程为39428y x =-，即4y ＝3x －97，x ，y 不能同时为整数，所以PE 不过网格交点)13．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 14．答案：5π6解析：y ＝sin xcos x＝1π2(sin )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =.15．答案：56解析：∵26C C n n ＝，∴n ＝8.T r ＋1＝8C rx 8－r (1x)r ＝8C rx 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴系数为58C 56＝.16．答案：6解析：取BC 的中点O ，连结AO ，A 1O ，BA 1，CA 1，易证BC ⊥AO ，BC ⊥A 1O ，从而BC ⊥AA 1，又BB 1∥AA 1，BB 1⊥BC ．延长CB 至D ，使BD =BC ，连结B 1D ，则B 1D ∥BC 1，设BC =1，则1B D =，1AB AD ===.6=17．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得21sin 4C ＝，于是1sin 2C -＝(舍去)或1sin 2C ＝.又a ＝2c ，所以π6C =.18．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ， 所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =PA =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC =从而P C F C =A C E C=因为P C A C F CE C=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠PAC =90°， 由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ． (2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ． 又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，P D ==. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d P Dα==.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (0,0)，D ，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (3，0，23)，B b,0)．于是PC ＝(，0，－2)，BE ＝(3，b ，23)，D E ＝(3，－b ，23)，从而0PC BE ⋅= ，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB＝b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b 0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b=-，n ＝(1，b-)．因为面PAB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b =，于是n ＝(1，－1，DP＝(2)，1cos ,2||||D P D P D P ⋅== n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.19．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352. (2)(理)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.20．解：(1)f ′(x )＝a －sin x .①当a ≥1时，f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，π2x =时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是增函数；②当a ≤0时，f ′(x )≤0，且仅当a ＝0，x ＝0或x ＝π时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是减函数；③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝arcsin a ，x 2＝π－arcsin a . 当x ∈[0，x 1)时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(x 1，x 2)时，sin x ＞a ，f ′(x )＜0，f (x )是减函数； 当x ∈(x 2，π]时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． (2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1， 所以2πa ≤.令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)，则g ′(x )＝cos x －2π.当x ∈(0，arccos 2π)时，g ′(x )＞0， 当x ∈(arccos 2π，π2)时，g ′(x )＜0.又g (0)＝g (π2)＝0，所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)．当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x .①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1，所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]．21．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)， 故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |2=，即2r =.(2)设(t ，(t ＋1))为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M2，2=，化简得t (t －4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =+，22t =-抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==.将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)． 所以D 到l的距离5d ==.22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为(2)55(4)24f y x --=--， 令y ＝0，解得2114x =，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3. 直线PQ k ＋1的方程为11()55(4)4k k f x y x x ++--=--，令y ＝0，解得121342k k k x x x ++++=+，由归纳假设知121134554432223k k k k x x x x +++++==-<-=+++；x k ＋2－x k ＋1＝111(3)(1)02k k k x x x +++-+>+，即x k ＋1＜x k ＋2.所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3. (2)由(1)及题意得1342n n n x x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+，111115()44n nb b ++=+，数列{114nb +}是首项为34-，公比为5的等比数列．因此1113544n nb -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+， 所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.。

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x 对称得：|PQ |最小值为．故选：B ．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9S ：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得 故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x ，y 满足约束条件：；则z=x ﹣2y 的取值范围为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求z 的最大与最小值，从而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y ﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合函数的图形可知，当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到B 时，截距最大，z 最小；当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到A 时，截距最小，z 最大由可得B （1，2），由可得A （3，0）∴Z max =3，Z min =﹣3则z=x ﹣2y ∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii ）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD ﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD ∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln （a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．祝福语祝你考试成功!。

全国理数高考试题答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。

故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

(2)复数22ii -=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。