3-1复变函数

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《复变函数》第1章

2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4

复变函数3-1

ML,
所以 f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
[证毕]
16
四、小结与思考
本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微
积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重
点掌握复积分的一般方法.
17
13
当 n 0 时, 1 i 2π in C ( z z0 )n1 dz r n 0 e d , 当 n 0 时,
y
z
i d 2i; 0
o
2π
z0

r
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0; ( z z0 ) r
P Q C P(x, y )dx Q(x, y )dy与路径无关 y x
9
例2 计算 Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点1 再到 1 i 的折线.
z z( t ) x( t ) i y( t ), t
C
设光滑曲线C的参数方程为
参数及对应于起点A 及终点 B, 正方向为参数增加的方向,
C f ( z )dz {u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y( t )] y( t )}dt
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt

{u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )]}{ x( t ) iy( t )}dt

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域设 z 平面上的区域 D，若在 D 内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D，则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个）点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

复变函数1-4章

(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat）基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数；解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求（1）理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算方法。（2）理解柯西－古萨基本定理及其推论。（3）熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。（4）了解摩勒拉(Morera）定理。（5）了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部。； 2.重点、难点重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式在复数域下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及它们的实部, 虚部 . z2 z2
Complex Analysis

复变函数课件第一章1-3节

2. 复球面的定义球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解（1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示什么图形？解设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re

复变函数论第三版课后习题答案[1]

第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=± 。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

复变函数1-3

i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
16
i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.

1-3复变函数

和函数 w = u + iv ( w = ρ e iϕ )
第二步：根据映射，第二步：根据映射，找出 u, v与 x , y的关系
第三步：的关系，的关系式，第三步：根据 x , y的关系，定 u , v的关系式，即可得到像的图形。即可得到像的图形。
15
三、函数的极限
1.函数极限的定义函数极限的定义: 函数极限的定义
w = z →
2
v o
4
−2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
10
例1 在映射 w = z 2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 < θ < , 0 < r < 2. 4 解设 z = re iθ , w = ρe iϕ , 则 ρ = r 2 , ϕ = 2θ ,
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
18
Re( z ) 当 z → 0 时的极限例3 证明函数 f ( z ) = z 不存在.
u v + = 1. 关系式：即得 u, v 关系式： 2 2 5 3 2 2 表示 w 平面上的椭圆 .
14
2 2
总结，总结，求 z 平面上的图形在某映射平面上的像集：在 w 平面上的像集：
第一步：第一步：先设出自变量
下,
z = x + iy ( z = re iθ ),
设函数 w = f ( z ) 定义在 z0 的去心邻域 0 < z − z0 < ρ 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 ε > 0, 相应地必有一正数 δ (ε ) 使得当 0 < z − z0 < δ (0 < δ ≤ ρ )时, 有 f ( z ) − A < ε 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 .

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4

ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是连续函数而C 是光滑曲线时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一定存在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数第三版课件第一章

3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1

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0 t 1
x x1 t ( x2 x1 ) , y y1 t ( y2 y1 )
0 t 1
15
15
例1 计算 C zdz ,
解
C : 从原点到点3 4i 的直线段.
x 3t , 直线方程为 0 t 1, y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,
22
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f ( z )dz
C C C
f ( z )dz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
2 1
1
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为
z ( t ) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt ,
y
i
1 i
y x2
C Re zdz 0 tdt 0 1 idt
1 i. 2
x
1
1
o
o 记 max {sk },当n 无限增加且 0 时, 1 k n
(3) 取极限
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
x
与C的分法和 k 的取法无关
8
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
n

0
2π
0.
19
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半例4 求 C n ( z z0 ) y z 径的正向圆周 , n 为整数.
解
积分路径的参数方程为
0 z

r
z z0 re i
(0 2π ),
o
x

C
1 dz n ( z z0 )

2π
0
ire i d n in r e
C a
C
C
b
因为:一般 f ( z )dz的值不仅与起点a , 终点b有关，
更与积分路线C有关 ( 4) 如果 C 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) u( x ), 这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义 . 9
二、积分存在的条件及其计算法
定理3.1（复积分存在的条件）

2π
0
[cos(n 1) i sin( n 1) ] d 0.
1 2i , n 1, 所以 d z n ( z z0 ) n 1. z z0 r 0,
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
21
练习2：求

C
z dz
其中C为正向圆周|z|=1.
( 3 4i ) 2 C zdz 2 .
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点 3 4i 的曲线,
P Q C P(x, y )dx Q(x, y )dy与路径无关 y x
16
例2 计算 Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点1 再到 1 i 的折线.
代入整理后，转化为对二元函数u( x . y ), v( x , y ) 的第二类曲线积分的讨论。
10
Sn f ( k )zk ( uk ivk )(xk iyk )
k 1 k 1
n
n
uk xk vk yk
k 1 k 1
n
n
当 0时，均是实函数的曲线积分.
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向：
当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P点的左方.
y
P P P P
o
x
5
复合闭路：所谓复合闭路是指一类特殊的有界多连通区域
D的边界曲线，它有若干条简单闭曲线构成记为
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
0
n k 1
n
关于定义的说明:
(1) 用 f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分 C ( 2) 如果 C 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分
记为 f ( z )dz.
(3) 一般不能把 f ( z )dz写成 f ( z )dz形式
1 2 n
14
例解
将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直线用复数形式的方程来表示.
z z1 t ( z2 z1 )
z z1 t ( z2 z1 )
t (, ),
y
z2
zห้องสมุดไป่ตู้
z1
O
x
由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
C
udx vdy i vdx udy .
C C
注：复变函数的积分转化为二元实函数的第二类曲线积分，
积分值与方向有关．
12
复积分的计算法 udx vdy i vdx udy. C C

C
f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 .
设光滑曲线C的参数方程为
1
积分结果与路径有关！
18
例3 计算 | z | dz其中 C 为 : 正向圆周 z 2.
c
解积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π),
2π 0
dz 2ie d
i
C
z dz 2 2ie i d ( 因为 z 2 )
4i (cos i sin )d
顾广
C为区域D 内光滑有向曲线（起点A, 终点B).
(1) 将C分割为n 个弧段； (2) 近似求和； y n n
k 1 k 1
0 i 1
S n f ( k ) ( zk z k 1 ) f ( k ) zk ,
zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
C C C
估值 (4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足不等 f ( z ) M , 那末 f ( z )dz f ( z ) ds ML. 式 C C
23
性质(4)的证明
因为 zk 是 zk 与zk 1 两点之间的距离 ,
sk 为这两点之间弧段的长度,
C C C
11
公式
C f ( z )dz C udx vdy i C vdx udy
在形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv)(dx idy)
udx ivdx iudy vdy
z(t ) t it 2 (0 t 1),
于是 Re z t , dz (1 2ti )dt ,
x轴上直线段的参数方程为
z(t ) t
(0 t 1),
C Re zdz 0 t (1 2it )dt
t 1 2 2i 3 i; 2 3t 0 2 3
第三章复变函数的积分
本节课主要内容：第一节复变函数积分的概念
复积分概念柯西积分定理上述定理推广柯西积分公式高阶导数公式
1
复变函数积分的定义；
复积分的的性质与计算
第一节复变函数积分的概念
一、复积分的定义二、复积分的计算三、复积分的性质
预备知识
格林公式
L D
单连通区域 ( 无“洞”区区域 D 分类域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
在D 内
P Q P Q , 连续且 y x y x

C
P ( x , y )dx Q( x , y )dy与路径无关.
4
一、积分的定义
1.有向曲线:
规定了正方向的光滑（分段光滑）曲线。如果A到B作为曲线C 的正向, 那么B到A就是曲线C 的负向, 记为C .

y
B
o
A
x
13
C f ( z )dz

f [ z( t )]z( t )dt
如果 C 是由C1 , C2 , , Cn 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线, 则
C
f ( z )dz C f ( z )dz C f ( z )dz C f ( z )dz .
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L
或

D
x
y
P
Q
d xd y Pd x Qd y
L
3
定理. 设D 是单连通域 , 函数具有一阶连续偏导数,
= C +C1 C 2 C n (其方向是: C 按逆时针进行, C1 , C2 , , Cn按顺时针进行). 它们都在C内部且互不包含也互不相交, 上述的方向称为多连通