最新-【数学】福建省龙门中学2018学年高一下学期期末

2018-2019学年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）2018-2019学年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A. 4B.C.D.2.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A. 1B.C.D.3.下列命题正确的是（）A. 两两相交的三条直线可确定一个平面B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线4.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D.6.如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A. （﹣3，﹣1）∪（1，3）B. （﹣3，3）C. [﹣1，1]D. [﹣3，﹣1]∪[1，3]7.若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）A. 4B. 16C. 4或16D. 2或48.已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O 于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 710.点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊥l，n⊥l，则m∥nB. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC. m∥α，n∥α，则m∥nD. α∥γ，β∥γ，则α∥β12.曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）二.填空题13.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．14.若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．15.若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．16.直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．三.解答题17.已知△ABC三边所在直线方程：l AB：3x﹣2y+6=0，l AC：2x+3y﹣22=0，l BC：3x+4y﹣m=0（m ∈R，m≠30）．（1）判断△ABC的形状；（2）当BC边上的高为1时，求m的值．18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D 为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．答案解析部分一.选择题1.【答案】D【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d= = = ．故答案为：D【分析】根据两条直线平行的一般式的系数关系可求出m=2，进而得到两条直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式可得结果。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。

2018—2019学年第二学期福建省高一数学期末试卷一、选择题1、将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5=（）A ．2018×2012B ．2018×2011C ．1009×2012D ．1009×2011 2、已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是 A ．B ．C ．D ．3、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定4、已知x =是函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－，]上的最小值为A ．－2B ．－1C ．－D ．－5、已知α为锐角，且A ．B ．C ．－D ．±6、在△ABC 中，，则这个三角形一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形 7、已知若，则实数对（λ1，λ2）为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．无数对 8、若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A ．－B ．－C ．－D ．－9、若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．C ．2或D ．无法确定 10、若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A ．B ．C ．D ．11、设a n =（n ∈N *），则a 3=A ．B ．C ．D ．12、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A ．B ．C ．－D ．－二、填空题13、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A －B ）cos （B －C ）cos （C －A ）=1，则△ABC 为正三角形。

2018年福州市高一第二学期期末质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是（ ）A ．(cos ,sin )θθB ．(cos ,sin )θθ-C ．(sin ,cos )θθD ．(sin ,cos )θθ- 2.已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A ．2 B 2 C ．2-2 D ．0 3.cos20cos10sin 2010︒︒-︒︒的值为（ ） A 3．32 D ．2 4.设向量(1,3)a =-，(2,4)b =-，(1,2)c =--，若表示向量4a ，42b c -，2()a c -，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d =（ ）A ．(2,6)B ．(2,6)-C ．(2,6)-D ．(2,6)-- 5.若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 6.若函数()sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则有（ ）A ．1ω=，3πϕ= B ．1ω=，3πϕ=-C ．12ω=，6πϕ= D ．12ω=，6πϕ=- 7.已知向量(2,1)AB =，点(1,0)C -，(4,5)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．322-B ．35-C ．322D ．35 8.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位9.如图，O 在ABC ∆的内部，D 为AB 的中点，且20OA OB OC +==，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.1sin 61sin 6+- ）A ．2sin3-B ．2cos3-C ．2sin3D ．2cos311.设偶函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，KLM∆为等腰直角三角形，90KML ∠=︒，1KL =，则16f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．14-C ．12- D ．34 12.已知平面内的向量OA ，OB 满足：1OA =，()()0OA OB OA OB +⋅-=，且OA 与OB 的夹角为120︒，又12OP OA OB λλ=+，101λ≤≤，213λ≤≤，则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13.已知(,2)a m =，(1,)b n =，0m >，0n >，且4a =，2b =，则向量a 与b 的夹角是 ． 14.cos3502sin160sin(190)︒-︒=-︒ ．15.如图，在半径为2的圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点.若点A 、B 、C 不共线，且AB t AC BC -≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则AB AC ⋅= ．16.设函数()sin()cos()3f x a x b x παπβ=++++（其中a 、b 、α、β为非零实数），若(2001)5f =，则(2018)f 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知tan 2α=. （Ⅰ）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 18.已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a =，4b =. （Ⅰ）计算：42a b -；（Ⅱ）当k 为何值时，(2)()a b ka b +⊥-.19.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈. （Ⅰ）若1m n +=，求证：A ，P ，B 三点共线； （Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线，求证：1m n +=. 20.已知函数2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求使函数()3f x ≥的解集. 21.函数()cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）求ϕ及图中0x 的值； （Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 22.已知向量33(cos,sin )22a x x =，(cos ,sin )22x x b =-，且[0,]2x π∈. （Ⅰ）求：a b ⋅及a b +；（Ⅱ）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求实数λ的值.2018年福州市高一第二学期期末质量检测数学试卷参考答案一、选择题1-5: ACADC 6-10: CCBBB 11、12：DB 二、填空题13. 30︒三、解答题17.解：（Ⅰ）tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-213121+==--⨯. （Ⅱ）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-221422⨯==+-. 18. 解：由已知得，12442a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）∵2222a b a a b b +=+⋅+42(4)1612=+⨯-+=，∴23a b +=. ∵2224216164a b a a b b -=-⋅+16416(4)416192=⨯-⨯-+⨯=， ∴4283a b -=.（Ⅱ）∵(2)()a b ka b +⊥-，∴(2)()0a b ka b +⋅-=， ∴22(21)20ka k a b b +-⋅-=，即1616(21)2640k k ---⨯=，∴7k =-. 即7k =-时，2a b +与ka b -垂直. 19. 解：（Ⅰ）若1m n +=， 则(1)OP mOA m OB =+-()OB m OA OB =+-，∴()OP OB m OA OB -=-， 即BP mBA =，∴BP 与BA 共线. 又∵BP 与BA 有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线. （Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线， 存在实数λ，使BP BA λ=， ∴()OP OB OA OB λ-=-， 又OP mOA nOB =+.故有(1)mOA n OB OA OB λλ+-=-， 即()(1)0m OA n OB λλ-++-=.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线， ∴010m n λλ-=⎧⎨+-=⎩，∴1m n +=.20.解：（Ⅰ）2())2sin ()612f x x x ππ=-+-)1cos(2)66x x ππ=-+--2sin(2)166x ππ=--+ 2sin(2)13x π=-+，∴22T ππ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)12133f x x π=-+≤+=，故只有当()f x 取最大值时，()3f x ≥， ∴sin(2)13x π-=，有2232x k πππ-=+，即5()12x k k Z ππ=+∈， ∴所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.解：（Ⅰ）由题图得(0)2f =，所以cos 2ϕ=， 因为02πϕ<<，故6πϕ=，所以()cos()6f x x ππ=+.由于()f x 的最小正周期22T ππ==，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，由0()f x =0cos 62x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以01166x πππ+=，053x =. （Ⅱ）因为11cos 336f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos sin 6x x πππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos cos sin sin sin 66x x x πππππ=--3sin 22x x ππ=-6x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin 126x ππ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，故62x πππ-=，即13x =-时，()g x ；当66x πππ-=-，即13x =时，()g x 取得最小值22.解：（Ⅰ）33coscos sin 222x a b x x ⋅=⋅-sin cos 22xx ⋅=，a b +==∵[0,]2x π∈，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=.（Ⅱ）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---. ∵[0,]2x π∈，∴0cos 1x ≤≤.（1）当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值-1，这与已知矛盾； （2）当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--， 由已知得23122λ--=-，解得12λ=； （3）当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-， 解得58λ=，这与1λ>矛盾. 综上所述，12λ=为所求.。

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷命题学校： 长乐一中 命题者： 长乐一中集备组 考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()2//a b c +，则x =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6B.3C. 12D. 93．，则sin 2α的值为（ ）ABC ．9D ．94．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=（ ） A ．2- B ．12- C ．1-D ．16．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上，且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向 上的投影为（ ）学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------A ．12-B ．12C ．1D ． 1-8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为（ ） A ．2B ．38C ．103D ．2312．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D 1二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ．14则sin cos αα等于 ．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16． ①；②③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，时，()sin f x x =，其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a ，b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3π，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x .(1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，且//a b ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值．2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯= ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯= ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯-= ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36gx x π=-，………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==， 所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分 解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω= ………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ= …………4分∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈-(2)如图，OC ，1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OPθ=，12sin PP θ=在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴13MP θ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin1203OP OM θθθθ⋅-===-．） ……8分……11分当262ππθ+=时，即6πθ=……12分 22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分 αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分2cos 3OM θθ=-（2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+， 由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-， 由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾． ……………12分 综上所述，12λ=．。

2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。

福建省福州市2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 终边落在第二象限的角组成的集合为 ( )A. B.C. D.【答案】D【解析】∵终边落在y轴正半轴的角的集合为，终边落在x轴负半轴的角的集合为{ | =，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{ |＜＜，k∈Z}．故选D2. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据向量加法运算得，根据向量减法得=故选D3. 若为第四象限角，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】若为第四象限角，，所以，所以=故选A4. = ( )A. 0B.C.D. 1【答案】B【解析】==sin（63°-33°）=sin30°=故选B5. 点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图形可知：与,与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选：B.6. 点落在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限；故选：C．7. 角的终边与单位圆交于点，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知sinα=−，又cos（）=sin=−；故选：B．8. 已知函数，则（）A. 当时，为奇函数B. 当时，为偶函数C. 当时，为奇函数D. 当时，为偶函数【答案】C【解析】A.f（x）===-cos2x, 则f（x）是偶函数，A不符合条件；B. f（x）=sin2（x-0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C. f（x）==sin（2x-π）=-sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D. f（x）=sin2（x-π）=sin（2x-2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9. 若向量，，则在方向上的投影为（）A. -2B. 2C.D.【答案】A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2 故选A10. 为得到的图象，只需将的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】将y=的图象向左平移个单位可得y=sin[(x+）+]=cosx的图象，故选：C．点睛：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，左右平移改变x本身，伸缩变换改变周期，上下平移改变y的取值，最后统一这两个三角函数的名称，是解题的关键.11. 如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若长度为x,则直线AP与半圆弧所围成的图形的面积S关于x的函数图象为（）【答案】A【解析】∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S 关于x的函数S=x-sinx,∴S′=-cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12. 将函数与的所有交点从左到右依次记为，若O为坐标原点，则=（）A. 0B. 1C. 3D. 5【答案】D【解析】函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x-1的所有交点，从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示；则=（5,0），所以=5故选D点睛：本题考查了函数的图象与平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，根据题意画出函数f （x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，再计算与它的模长．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知钝角满足，则__________．【答案】【解析】∵钝角α满足，∴．故答案为.14. 如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则__________．【答案】-3【解析】设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，由余弦定理得，故答案为-3.点睛：本题考查同角基本关系来计算正切，先利用图形特征找出三角形相似得出相似比，再借助直角三角形算出斜边长，即得出AP，DP的长，把放在三角形APD中，利用余弦定理先算出是关键.15. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象，则__________．【答案】【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数图象的解析式为：故答案为16. 在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：，则__________．【答案】1【解析】设，∵D为BC中点，所以,可以化为3x=λ（）+（3-3λ），化简为（3x-λ）=（3-2λ），只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）=（3-2λ）才成立，所以λ=，x=所以，则M为AB的中点故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB上的点M可设成，D为BC中点可得出，代入已知条件整理可得.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（）（1）求证：；(2) ，求实数m的值.【答案】(1)见解析(2) 或1【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出算出（2）由向量的平行进行坐标运算即可.试题解析：(1)依题意得，所以所以.(2)，因为所以整理得所以，实数m的值为或1.18. 已知函数（1）用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）写出的对称中心与单调递增区间；（3）求的最大值以及取得最大值时x的集合.【答案】(1)见解析（2）对称中心，单调增区间（3）试题解析：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图所示：（2）由（1）图象可知，图象的对称中心为；单调递增区间为（3）此时x组成的集合为.19. 已知函数（1）求的周期；（2）若，求的值.【答案】（1）T=(2)【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f （x）的周期；（2）由（1）化简=，利用平方关系和诱导公式求出的值．试题解析：（1），所以的周期.(2)因，所以，令，则，,所以，.20. 在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，D为△ABC所在平面内一点，（1）求线段AD的长；（2）求∠DAB的大小.【答案】（1）AD＝1(2)试题解析：（1）依题意得：因为所以所以所以，即AD＝1(2)由（1）可知，，所以，又因所以点睛：本题是用向量的知识来解决的三角形的知识，已知两边及夹角可以求出数量积，再利用向量的加法用基底，来表示,求模长平方即可，计算角度的问题可以联系向量的夹角，利用夹角的计算公式很容易得解.21. 如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ//AB，交AC于点Q，记面积为（1）求关于的函数;（2）求的最大值,并求出相应的值.【答案】（1）(2)，【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面积公式，即可求S（θ）关于θ的函数；（2）利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．试题解析：（1）依题意得，∠CAB＝，如图，过点A作直线PQ的垂线，垂足为E.因为PQ//AB，所以在RT△APE中，在RT△AQE中，因为所以所以PE＝PE－EQ＝，所以(2)由（1）得，，因为，所以所以当，即时，22. 已知函数部分图象如图所示,点P为与x轴的交点,点A,B 分别为的图象的最低点与最高点,(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】（1）（2）当，的值域为；当时，的值域为【解析】试题分析：（1）设函数f（x）的周期是T、P（a，0），由图象和周期性表示出A、B的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；（2）由（1）和x的范围求出f（x）、ωx+φ范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的取值范围．试题解析：（1）设最小正周期为T，，则，所以，解得T＝4，所以（2）由（1）知，，T＝4，由得所以的增区间为，减区间为因为，所以当时，所以在区间上为增函数，在区间为减函数，所以当时，易知为图象的一条对称轴.所以当，即，当，即时，综上，当，的值域为；当时，的值域为点睛：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，向量数量积的坐标运算，以及正弦函数的性质，第（2）问通过计算函数的对称轴即定出函数的单调区间，进而得出函数在所求区间的最值.。

2018—2019学年度福州市高一第二学期期末质量检测数学试题（满分：150分；完卷时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,2,4,6A =-，{}25B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A. {}2,0,2,4-B. {}0,2,4C. {}0,2D. {}2,42.设向量(1,)AB k =-u u u r ，(2,1)BC =-u u u r，若,,A B C 三点共线，则k =（ ）A.12B. 12-C. 2-D. 23.已知32a =，0.5log 3b =，3ln2c =，则（ ） A. c b a << B. b a c <<C. b c a <<D. b a c <<4.设等比数列{}n a 满足123a a +=，133a a -=-，则4a =（ ） A. 8B. 16C. 24D. 485.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 6.已知直线l 的方程为sin 310x α-=，α∈R ，则直线l 的倾斜角范围（ ） A. 20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B. 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭UC. 50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 7.把函数23sin 22cos 1y x x =+-，x ∈R 图象上所有的点向右平行移动12π个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为（ ） A. sin y x = B. 2sin 4y x =C. 2sin y x =D. 2sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8.函数ln xy x=的图象大致为（ ） A. B. C. D.9.直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A.35B.45C. 5D.6510.将一边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，若顶点,,,A B C D 落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. 43πB.82πC. 4πD. 8π11.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)直线与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，则OAB ∆的面积的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412.设函数()2,0()24,0x xx e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A. (0,2)B. (0,2]C. (2,)+∞D. [2,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知α为钝角，且3sin 2α=，则tan α=__________. 14.已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.15.已知等边ABC ∆，D 为BC 中点，若点M 是ABC ∆所在平面上一点，且满足1132AM AD AC =+u u u u r u u u r u u u r，则AB CM ⋅=u u u r u u u u r__________.16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，12AB AA ==，1AD CD BC ===，,M N 分别为11,CC DD 的中点，平面ABM ⋂平面1111A B C D l =.给出以下几个说法： ①11//A B l ；②直线AN 与l 的夹角为45︒；③l 与平面11BB C C 所成的角为60︒； ④平面11ADD A 内存在直线与l 平行.其中正确命题的序号是__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某商品监督部门对某厂家生产的产品进行抽查检测估分，监督部门在所有产品中随机抽取了部分产品检测评分，得到如图所示的分数频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该厂家产品检测评分的平均值；（2）该厂决定从评分值超过90的产品中取出5件产品，选择2件参加优质产品评选，若已知5件产品中有3件来自A 车间，有2件产品来自B 车间，试求这2件产品中含B 车间产品的概率.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且222n n n S a a +=+.（1）求n a ； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）求cos2α的值；（2）已知β为锐角，5cos()αβ+=，求tan()αβ-的值. 20.△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，已知△ABC 面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-. （1）求角C ；（2）若D 为AB 中点，且c =2，求CD 的最大值.21.如图，等边PAD ∆所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，,E F 分别是,AB PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若2AB =，60BAD ∠=︒，求三棱锥E PBF -的体积22.在平面直角坐标系xoy 中，已知(6,0)A -，(3,0)B ，动点P 满足条件2PA PB =. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设点B '是点B 关于直线OP 的对称点，问是否存在点B '同时满足条件：①点B '在曲线C 上；②,,A B P '三点共线，若存在，求直线OP 的方程；若不存在，请说明理由.2018—2019学年度福州市高一第二学期期末质量检测数学试题（满分：150分；完卷时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,2,4,6A =-，{}25B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A. {}2,0,2,4- B. {}0,2,4C. {}0,2D. {}2,4【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由{}2,0,2,4,6A =-，{}25B x x =-≤≤， 则A B =I {}2,0,2,4-. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交运算，需掌握集合的交运算的概念与运算，属于基础题.2.设向量(1,)AB k =-u u u r ，(2,1)BC =-u u u r，若,,A B C 三点共线，则k =（ ）A.12B. 12-C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示可得120k -=，解方程即可. 【详解】Q ,,A B C 三点共线，AB BC ∴u u u r u u u r P ，又Q (1,)AB k =-u u u r ，(2,1)BC =-u u u r ，120k ∴-=，解得k =12. 故选：A【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：12210x y x y -=，属于基础题.3.已知a =0.5log 3b =，3ln2c =，则（ ） A. c b a << B. b a c <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】0.5log y x =Q 为减函数，∴0.50.5log 3log 10<=，ln y x =Q 为增函数，31ln lnln102e ∴=>>=， 2x y =Q为增函数，122∴>=，所以0.53log 3ln 2<<b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.4.设等比数列{}n a 满足123a a +=，133a a -=-，则4a =（ ） A. 8 B. 16C. 24D. 48【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1121133a a q a a q +=⎧⎨-=-⎩，解得11,2a q == 所以3418a a q ==.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.5.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错； 对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，D ，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.6.已知直线l的方程为sin 10x α-=，α∈R ，则直线l 的倾斜角范围（ ） A. 20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B. 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U C. 50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l的方程为sin 10x α+-=，所以y x = 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤. 所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为[)0,p ， 由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U . 故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考查了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于基础题.7.把函数222cos 1y x x =+-，x ∈R 图象上所有的点向右平行移动12π个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为（ ） A. sin y x = B. 2sin 4y x = C. 2sin y x =D. 2sin 12y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，然后再利用三角函数的图像变换即可求解.【详解】函数23sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26y x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，函数图象上所有的点向右平行移动12π个单位长度可得62sin 2sin 2212x y x ππ⎪⎡⎤⎫=⎛=-+ ⎝⎥⎣⎭⎢⎦， 在将横坐标伸长到原来的2倍， 可得2sin y x =. 故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的图像平移伸缩变换，需熟记公式，属于基础题.8.函数ln xy x=的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的性质逐个排除即可求解.【详解】函数ln xy x=的定义域为{}0x R x ∈≠，故排除A 、B. 令()ln xy f x x==又()()ln ln x xf x f x x x--==-=--，即函数为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，排除D 故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.9.直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相交的性质可知2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求AB ，只要求解圆心到直线2y x =-的距离.【详解】由题意圆226480x y x y ++-+=，可得圆心()3,2-，半径r =圆心到直线2y x =-的距离d ==则由圆的性质可得2221695255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以AB =5. 故选：D【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.10.将一边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，若顶点,,,A B C D 落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 43π B. 823π C. 4π D. 8π【答案】D【解析】【详解】令正方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点为O ，如图所示：由正方形ABCD 中，2AB BC CD AD ====,则222222AC BD ==+=，那么2OA OB OC OD ====,将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，如图所示：则点O 为三棱锥C ABD -的外接球的球心，且半径为2R =故外接球的表面积为248S R ππ==.故选：D 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题.11.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)的直线与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，则OAB ∆的面积的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用直线的方程过点(1,1)分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，可得AB l ：111a b+=，0,0a b >>，结合基本不等式的性质即可得出. 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)的直线与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，且构成OAB ∆，所以，直线AB 斜率一定存在，设(),0A a ，()0,B b ，AB l ：111a b+=，0,0a b >>， 则有：111a b =+≥，0,0a b >>， 解得4ab ≥，当且仅当：11a b =，即2a b ==时，等号成立， OAB ∆的面积为：122OAB S ab ∆=≥. 故选：B【点睛】本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.12.设函数()2,0()24,0x x x e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A. (0,2)B. (0,2]C. (2,)+∞D. [2,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】首先注意到()00g =，0x =是函数()g x 的一个零点.当0x ≠时，将()0g x =分离常数得到()f x a x =，构造函数()()f x h x x=，画出()h x 的图像，根据“函数()h x 与函数y a =有一个交点”结合图像，求得a 的取值范围.【详解】解：由()y f x ax =-恰有两个零点，而当0x =时，(0)00y f =-=，即0x =是函数()g x 的一个零点，故当0x ≠时，()fx a x =必有一个零点，即函数()()f x h x x =,042,0x x e e x x x x -⎧->⎪=⎨---<⎪⎩与函数y a =必有一个交点，利用单调性，作出函数()h x 图像如下所示，由图可知，要使函数()h x 与函数y a =有一个交点，只需02a <<即可.故实数a 的取值范围是(0,2).故选A.【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知α为钝角，且3sin α=，则tan α=__________. 【答案】3【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由α为钝角，且3sin α=， 所以21cos 1sin2αα=-=-， 所以sin tan 3cos ααα==-故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，同时考查了象限角的三角函数的符号，属于基础题.14.已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．15.已知等边ABC ∆，D 为BC 中点，若点M 是ABC ∆所在平面上一点，且满足1132AM AD AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则AB CM ⋅=u u u r u u u u r __________.【答案】0【解析】【分析】 利用向量加、减法的几何意义可得1163CM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r ，再利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】根据向量减法的几何意义可得：CM AM AC =-u u u u r u u u u r u u u r , 即()11111323211326AD AC AB CM AC AB AC AC AC =-=-+⨯+-=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u u r , 所以211116363AB CM A AB AC AC B AB AB ⎛⎫⋅=⋅=--⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r 211cos 063AB A A A B C -⋅==u u u r u u u r u u u r . 故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，12AB AA ==，1AD CD BC ===，,M N 分别为11,CC DD 的中点，平面ABM ⋂平面1111A B C D l =.给出以下几个说法：①11//A B l ；②直线AN 与l 的夹角为45︒；③l 与平面11BB C C 所成的角为60︒；④平面11ADD A 内存在直线与l 平行.其中正确命题的序号是__________.【答案】①③.【解析】【分析】利用线面平行的性质定理可判断①；利用平行线的性质可得直线AN 与l 的夹角等于直线AN 与AB 所成的角，在ABN ∆中即可判断②；l 与平面11BB C C 所成的角即为AB 与平面11BB C C 所成的角可判断③；根据直线与平面的位置关系可判断④；【详解】对于①，由//AB CD ，平面ABM ⋂平面1111A B C D l =，则//AB l ，又11//A B AB ，所以11//A B l ，故①正确；对于②，连接,BN BD ，由//AB l ，即直线AN 与l 的夹角等于直线AN 与AB 所成的角，在ABN ∆中，2,2,2AN AB BN ===，显然直线AN 与l 的夹角不为45︒，故②不正确； 对于③，l 与平面11BB C C 所成的角即为AB 与平面11BB C C 所成的角，根据三棱柱为直棱柱可知ABC ∠为AB 与平面11BB C C 所成的角，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD CD BC ===，可解得AB 与平面11BB C C 所成的角为60o ，故③正确；对于④，由于l 与平面11ADD A 相交，故平面11ADD A 内不存在与l 平行的直线.故答案为：①③【点睛】本题是一道立体几何题目，考查了线面平行的性质定理，求线面角以及直线与平面之间的位置关系，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某商品监督部门对某厂家生产的产品进行抽查检测估分，监督部门在所有产品中随机抽取了部分产品检测评分，得到如图所示的分数频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该厂家产品检测评分的平均值；（2）该厂决定从评分值超过90的产品中取出5件产品，选择2件参加优质产品评选，若已知5件产品中有3件来自A 车间，有2件产品来自B 车间，试求这2件产品中含B 车间产品的概率.【答案】（1）74.6；（2）710. 【解析】【分析】（1）利用平均数=每个小矩形面积⨯小矩形底边中点横坐标之和，即可求解.（2）设这5件产品分别为,,,1,2a b c ，其中1，2为B 车间生产的产品，利用列举法求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】解：（1）依题意，该厂产品检测的平均值550.12650.18750.40x =⨯+⨯+⨯850.22950.08+⨯+⨯74.6=.（2）设这5件产品分别为,,,1,2a b c ，其中1，2为B 车间生产的产品，从5人中选出2人，所有的可能的结果有：{},a b ，{},a c ，{},1a ，{},2a ，{},b c ，{},1b ，{},2b ，{},1c ，{},2c ，{}1,2，共10个，其中含有B 车间产品的基本事件有：{},1a ，{},2a ，{},1b ，{},2b ，{},1c ，{},2c ，{}1,2，共7个，所以取出的2件产品中含B 车间产品的概率为710. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、平均数、古典概型等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且222n n n S a a +=+.（1）求n a ；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）n T =2(2)n n +. 【解析】【分析】 （1）利用n S 与n a 的关系可得11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式即可求解.（2）由（1）求出n b ，再利用裂项求和法即可求解.【详解】解：（1）因222n n n S a a +=+，①所以当1n =时，211122a a a +=+，又0n a >，故12a =.当2n ≥时，211122n n n S a a ---+=+，②①-②得，22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得()()1101n n n n a a a a --+--=.因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，所以{}n a 是以12a =为首项，以1为公差的等差数列.所以2(1)1n a n =+-⋅，即1n a n =+.（2）由（1）及11n n n b a a +=得，1(1)(2)n b n n =++1112n n =-++， 所以12n n T b b b =+++L11112334⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112n n ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭L 1122n =-+ 2(2)n n =+. 【点睛】本小题考查n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.19.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭. （1）求cos2α的值；（2）已知β为锐角，cos()αβ+=tan()αβ-的值. 【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义可求出sin ,cos αα，再根据二倍角的余弦公式即可求解.（2）由（1）可得tan2α，再利用同角三角函数的基本关系可得tan()2αβ+=-，由tan()tan[2()]αβααβ-=-+，利用两角差的正切公式即可求解.【详解】解：（1）依题意得，4sin 5α=-，3cos 5α=-， 所以227cos 2cos sin 25ααα=-=-. （2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==， 故sin 224tan 2cos 27ααα==-. 因3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈，02πβ<<， 所以222k k ππαβππ+<+<+，k Z ∈又因为cos()0αβ+=>， 所以32222k k ππαβππ+<+<+，k Z ∈. 所以tan()2αβ+=-，所以tan()tan[2()]αβααβ-=-+tan 2tan()1tan 2tan()ααβααβ-+=++ 211=-. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等.20.△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，已知△ABC 面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-. （1）求角C ；（2）若D 为AB 中点，且c =2，求CD 的最大值.【答案】（1）3C π=（2【解析】【分析】（1）根据()11sin sin sin sin 22ABC S ab C c a A b B c C ==+-V ，由正弦定理化角为边， 得222a b c ab +-=，再根据余弦定理即可求出角C ；（2）由余弦定理可得，222a b c ab +-=又2c =，结合基本不等式可求得4ab ≤．由中点公式的向量式得()12CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v ，再利用数量积的运算，即可求出CD 的最大值． 【详解】（1）依题意得，()11sin sin sin sin 22ab C c a A b B c C =+-， 由正弦定理得，()222abc c a b c =+-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）∵222a b c ab +-=，2c =，∴22424ab a b ab =+-≥-，即4ab ≤．∵D 为AB 中点，所以()12CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v ， ∴()222124CD CA CB CA CB =++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()22114244b a ab ab =++=+ ()14834≤+= 当且仅当2a b ==时，等号成立.所以CD 的最大值为3．【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．21.如图，等边PAD ∆所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，,E F 分别是,AB PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若2AB =，60BAD ∠=︒，求三棱锥E PBF -的体积【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【解析】【分析】解法一：（1）取PC 中点H ，连接FH ，BH ，证出//EF BH ，利用线面平行的判定定理即可证出. （2）取AD 中点O ，连接,,OP BD DE ，利用面面垂直的性质定理可得OP ⊥平面ABCD ，过F 作FK AD ⊥于K ，可得FK ⊥平面ABCD ，由P BEF D BEF V V --=F BDE V -=即可求解.解法二：（1）取CD 中点G ，连接,FG EG ，证出//FG 平面PBC ，//EG 平面PBC ，利用面面平行的判定定理可证出平面//EFG 平面PBC ，再利用面面平行的性质定理即可证出.（2）取AD 中点O ，连接,,BO AF BD ，根据面面垂直的性质定理可得OB ⊥平面PAD ，再由12B PEF B PAF V V --=，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】解法一：（1）取PC 中点H ，连接FH ，BH .因为,E F 分别是,AB PD 的中点，所以////FH DC BE ，且12FH DC BE ==， 所以四边形EFHB 为平行四边形，所以//EF BH ，因为BH ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以//EF 平面PBC .（2）取AD 中点O ，连接,,OP BD DE ，则PO AD ⊥，且3PO =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD同理，在平面PAD 内，过F 作FK AD ⊥于K ，则FK ⊥平面ABCD ，且1322FK PO ==， 因为F 为PD 的中点，所以P BEF D BEF V V --= F BDE V -=13BEF S FK ∆=⋅ 11233322⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 14=， 所以，14E PBF P BEF V V --==. 解法二：（1）取CD 中点G ，连接,FG EG ，因为F 为PD 的中点，所以//FG PC ，因为FG ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//FG 平面PBC .因为//CG BE ，且CG BE =，所以四边形BCGE 为平行四边形，故//EG BC ，因为EG ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EG 平面PBC ，因为EG FG G =I ，,EG FG ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PBC ，因为EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面PBC .（2）取AD 中点O ，连接,,BO AF BD ，依题意，ABD ∆为等边三角形，所以BO AD ⊥，且3BO =.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，OB ⊂平面ABCD ，所以OB ⊥平面PAD .因为E 是AB 的中点， 所以12B PEF B PAF V V --= 1123PAF S OB ∆⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 111133232⎛=⨯⨯⨯ ⎝14=， 所以14E PBF P BEF V V --== . 【点睛】本小题主要考查几何体的体积及、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知(6,0)A -，(3,0)B ，动点P 满足条件2PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设点B '是点B 关于直线OP 的对称点，问是否存在点B '同时满足条件：①点B '在曲线C 上；②,,A B P '三点共线，若存在，求直线OP 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(6)36x y -+=；（2）存在点B '，直线方程为155y x =±. 【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，由题意根据两点间的距离公式即可求解.（2）假设存在点B '满足题意，此时直线OP 的方程为：(0)y kx k =≠.设()00,P x y ，(),B x y '''，根据题意可得01,33,22y x k y x k -⎧=-''⎪⎪-⎨'+'⎪=⎪⎩，求出B '，再将直线与圆联立求出P ，根据向量共线的坐标表示以及点B '在圆上，求出k 即可求解.【详解】（1）设(,)P x y ，由2PA PB =得=整理得：22120x y x +-=，所以点P 的轨迹方程为22(6)36x y -+=.（2）假设存在点B '满足题意，此时直线OP 的方程为：(0)y kx k =≠.设()00,P x y ，(),B x y '''.因为B 与B '关于直线OP 对称， 所以01,33,22y x k y x k -⎧=-''⎪⎪-⎨'+'⎪=⎪⎩ 解得22233,16,1k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+'⎩'⎪即222336,11k k B k k ⎛⎫-' ⎪++⎝⎭. 由()220000636,,x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得020*******x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即221212,11k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 此时，222936,11k k AB k k ⎛⎫+'= ⎪++⎝⎭u u u r ，22218612,11k k AP k k ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭u u u r ， 所以222931211k k k k +⋅-++2226186011k k k k+⋅=++，所以当0k ≠时，,,A B P ''三点共线.若B '在曲线C 上，则2222233663611k k k k ⎛⎫-⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得425230k k +-=，即()()225310k k -+=，所以235k =，即k =综上所述，存在点B '，满足条件①②，此时直线方程为5y x =±. 【点睛】本小题主要考查坐标法、圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查数形结合思想、整体运算思想，化归与转化思想等.。

2018年高一下学期数学期末试卷（附答案）
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考生须知
1 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内域作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

（样本标准差式）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
(1) 若，则下列各式中一定成立的是
A B c D
(2) 不等式的解集是
A B c D
(3) 的值是
A B c D
(4) 在一次对年龄和人体脂肪含量关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的年龄和人体脂肪含量关系的散。