江苏徐州市高中数学第二章圆锥曲线与方程242抛物线的几何性质学案苏教版1-1!

课题：抛物线的几何性质〔授课年级及课型：高二新授课〕1教材内容分析〔苏教版高中数学选修1-1第二章第四节〕本堂课是苏教版高中课程标准实验教科书选修1-1第二章圆锥曲线中的第章节的内容，是学生在学习了椭圆、双曲线的以及抛物线的定义之后对抛物线几何性质的探索与应用由于学生已经有了在椭圆、双曲线中探究其几何性质的探究根底和知识根底，因此，本节课可以主要通过类比椭圆、双曲线，探索研究抛物线的几何性质，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力2学情分析：本节课对抛物线几何性质的学习是学生在学习了椭圆、双曲线的概念以及几何性质的根底上，进一步对抛物线及其性质进行研究利用椭圆及双曲线几何性质中学生积累的探究经验，学生可以自行通过类比，明确抛物线需要探究的要素以及探究问题的方式，这是对本节课学习的有利因素抛物线作为一类特殊的圆锥曲线，其有处理的特殊方法和研究技巧，即利用到焦点和准线的距离相等，可以将焦半径或是焦点弦的计算转化为点到准线的距离，利用点的坐标进行表示，学生能否深刻理解抛物线的定义，发现和掌握这种处理方法是本节课教师需要着重引导的问题之一3教学目标〔1〕理解并掌握抛物线的简单几何性质，会根据性质处理简单问题；〔2〕能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而解决有关焦半径、焦点弦的问题；〔3〕通过探究过程，培养学生分析、探究和解决问题的能力，进一步体会分类讨论、数形结合和转化的数学思想方法4教学重点与难点教学重点：探究抛物线的简单几何性质；教学难点：抛物线焦半径、焦点弦的计算；5教学方法与策略本节课采用启发式教学与探究式教学相结合，通过学生自主探究，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力，感受数学中研究问题中，例如：归纳、类比等思维方式，增强学生学好数学的自信6教学过程复习回忆，启发思考对于椭圆、双曲线我们研究了它们的哪些几何性质？是如何进行研究的？〔学生答复〕对称性、顶点、范围、离心率等所用的推理思想：图象、算术推理6.2以问题为导向，探究新知学生活动：探究抛物线的几何性质？（1）范围（2）对称性（3）顶点O（4）开口方向思考：结合图象，说说抛物线、、的几何性质？练习：抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:6.3例题讲解，知识内化例1、求顶点在原点，焦点为F〔-4,0〕的抛物线方程〔学生答复〕解：设∵F〔-4,0〕∴∴练习：抛物线的准线为=-2，焦点坐标_________,焦点到准线的距离__________,标准方程__________例2、抛物线上有一点的横坐标为6，该点到焦点的距离为10，求顶点到准线的距离〔学生答复〕由抛物线定义知：∴∴小结：抛物线上的点到焦点的连线叫做抛物线的焦半径，在处理有关焦半径的问题时，我们根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转换为点到准线的距离对于抛物线，焦半径长。

2.4.2抛物线的几何性质(1)教学过程一、问题情境上节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点P(x,y)到焦点的距离.(对应填在表格中)对照前面椭圆和双曲线的研究,下面我们研究什么呢?——抛物线的简单几何性质.(板书)二、数学建构1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)标准方程图形顶点坐标对称轴焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(0,0) x轴x=-y2=-2px(p>0)(0,0) x轴x=x2=2py(p>0)(0,0) y轴y=-x2=-2py(p>0)(0,0) y轴y=注意强调p的几何意义:表示焦点到准线的距离.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线和抛物线交于M1,M2两点,线段M1M2叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为2p.2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点:(1)抛物线可以无限延伸,但无渐近线.(2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为1,是固定的.(3)抛物线的开口大小与离心率无关,与p的大小有关,p越大则开口越大,反之则开口越小.(4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.三、数学运用【例1】过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交该抛物线于A,B两点,且AB=6,求m的值.(见学生用书P33)引导学生通过通径的定义自主解题.解由题意可知AB为抛物线的通径,且AB=6,所以2|m|=6,即m=±3.本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题.【例2】过抛物线y=4x2的焦点F作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,求AB 的长. (见学生用书P34) 利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决.解因为y=4x2,即x2=y,故2p=,即p=.(例2)如图,过点A作AA1垂直准线于点A1,过点B作BB1垂直准线于点B1.于是AB=AF+BF=AA1+BB1=y1++y2+=y1+y2+p=5+=.凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化.【例3】(教材第49页例2)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(结果精确到1 mm)(见学生用书P34)引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.(例3)解如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p≈70.3,它的焦点坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约35 mm处.本例是一个有实际意义的抛物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来.【例4】已知A,B为抛物线y2=4x上的点,F为抛物线的焦点.若=2,求直线AB的方程.显然,线段AB为过焦点的弦,运用抛物线的定义将AB转化为AM+BN,再根据题设条件求解直角梯形的底角.解当直线AB的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为l.因为向量,同向,所以AF=2BF,所以设BF=m,则AF=2m.作AM⊥l于M,作BN⊥l于N.(例4)由抛物线的定义可知,AM=2m,BN=m.过点B作BC⊥AM于C,在Rt△ABC中,cos∠CAB==,tan∠CAB=2.由抛物线对称性可知,直线AB的方程是y=±2(x-1),即2x±y-2=0.本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义,往往可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注.四、课堂练习1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则此抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.提示若焦点在x轴上,则由解得即焦点坐标为(4,0),此时抛物线的方程为y2=16x;若焦点在y轴上,则由解得即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.2. 已知抛物线型拱桥的拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽4m时,水面下降了2m.提示以拱顶为坐标原点,水平直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,解得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.当x=2时,y=-4,故水面下降了2 m.3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点是坐标原点,则这个三角形的边长是12.提示由对称性,设正三角形为△AOB,A(x1,y1),B(x1,-y1).由∠AOx=30°,得=tan30°=,即y1=x1,代入y2=2x得x 1=6,所以OA==12.4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程.解设抛物线的方程为x2=2ay(a≠0),则准线方程为y=-.由题意得解得或或或即得抛物线的方程为x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y.五、课堂小结1. 本节课学习了抛物线的几何性质.2. 借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦点弦等问题.。

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等． 2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]抛物线的几何性质类型y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图象性 质焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右 向左 向上 向下1．判断正误：(1)抛物线是中心对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R .( ) (3)抛物线是轴对称图形．( )【解析】 (1)×.在抛物线方程中，以－x 代x ，－y 代y ，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形．(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y 2＝2px (p ＞0)的范围是x ≥0，y ∈R . (3)√.抛物线y 2＝±2py (p ＞0)的对称轴是x 轴，抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的对称轴是y 轴．【答案】 (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞p 2，则点M 的横坐标是________.【导学号：95902138】【解析】 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.【答案】 a －p2[合 作 探 究·攻 重 难]抛物线的方程及其几何性质(1)设O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF＝42，则△POF 的面积为________．(2)已知拋物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与拋物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此拋物线的标准方程.[思路探究] (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程．【自主解答】 (1)如图，设P (x 0，y 0)，由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得y 20＝42×32＝24. 所以y 0＝2 6.所以S △POF ＝12OF ·y 0＝12×2×26＝2 3.【答案】 2 3(2)由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a2，∴AB ＝a ，∵△OAB 的面积为4，∴12·a 4·a ＝4，∴a ＝±42，∴拋物线的方程为y 2＝±42x .[规律方法]1．求抛物线的标准方程时，目标就是求解p ，只要列出一个关于p 的方程即可求解． 2．求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)； (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p 的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． [跟踪训练]1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，求抛物线C 2的方程.【导学号：95902139】【解】 ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝c ，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8，∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→求方程→求出相关量→解决问题 【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．[规律方法]1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．[跟踪训练]2．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如2­4­1图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由.【导学号：95902140】图2­4­1【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－3，－3)，A (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将B 点的坐标代入，得9＝－2p ·(－3)， ∴p ＝32，∴抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)．∵车与箱共高4.5 m ，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m ．设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，D ′的坐标为(－x 0，－0.5)，则x 20＝－3×(－0.5)，解得x 0＝±32＝±62. ∴|DD ′|＝2|x 0|＝6＜3，故此车不能通过隧道.直线与抛物线的综合应用[探究问题]1．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB 的长是多少？【提示】 由抛物线的定义可知AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p2，所以AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .2．斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的长是多少？【提示】 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1＋m －kx 2－m2＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2|x 1－x 2|.这个公式称为弦长公式．(1)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．(2)求顶点在原点，焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程． [思路探究] (1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解．【自主解答】 (1)抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，与方程y 2＝6x联立得：4k 2x 2－(12k 2＋24)x ＋9k 2＝0.设直线与抛物线交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴x 1＋x 2＋3＝3k 2＋6k2＋3＝12.∴k 2＝1，∴k ＝±1.故弦所在直线的倾斜角是π4或34π.【答案】π4或34π (2)设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0) ① 直线方程变形为y ＝2x ＋1 ② 设抛物线截直线得弦长为AB ，将②代入①整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则AB ＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝12或a ＝－4.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x . [规律方法] 直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A x 1，y 1，B x 2，y 2两点，直线的斜率为k . 1一般的弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.2焦点弦长公式：当直线经过抛物线y 2＝2px p ＞0的焦点时，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .3求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x 1，x 2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而x 1，y 2或y 1，x 2一般是求不出来的.[跟踪训练]3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝__________.【导学号：95902141】【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线倾斜角为45°，过抛物线焦点，所以可设直线方程为y ＝x －p2，代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0，故x 1＋x 2＝3p ，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，因此p ＝2.【答案】 2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________.【导学号：95902142】【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 102.如图2­4­2，已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．图2­4­2【解析】 设△AOB 边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，∴a 24＝6×32a .∴a ＝12 3.【答案】 12 33.如图2­4­3所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米.【导学号：95902143】图2­4­3【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A ，如图所示，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 64．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于__________．【解析】 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.【答案】 45．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且AM ＝17，AF ＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵AF ＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵AM ＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .。

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2。

4.1 抛物线的标准方程学习目标：1。

掌握抛物线的标准方程．(重点）2。

掌握求抛物线标准方程的基本方法．［自主预习·探新知］抛物线的标准方程标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 图形焦点坐标错误!错误!错误!错误!准线方程x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!开口方向向右向左向上向下1．判断正误：（1)标准方程y2＝2px（p＞0）中p的几何意义是焦点到准线的距离．( ）(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)x2＝－2y表示的抛物线开口向左．( )【解析】（1）√。

抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为错误!，准线为x＝－错误!，故焦点到准线的距离是p.（2）√。

一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上,故该说法正确．（3)×。

x2＝－2y表示的抛物线开口向下．【答案】(1)√（2)√(3)×2．焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________．【解析】由题意知p＝2×2＝4，焦点在y轴正半轴上，∴方程为x2＝2×4y，即x2＝8y.【答案】x2＝8y[合作探究·攻重难]求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3,－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.【导学号：95902128】[思路探究] 错误!→错误!→错误!→错误!【自主解答】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x2＝2py（p>0）．又－p2＝－2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y。

抛物线的几何性质学习目标：1、掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；2、能应用抛物线的几何性质解决有关问题；学习重点： 抛物线几何性质 学习过程： 一、问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。

首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。

2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。

二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。

三、归纳总结顶点 准线 范围 对称轴焦点 图 形方程 l Fy x O lF y xO lF y x O l Fy xOy 2 = 2px （p >0） y 2 = -2px （p >0） x 2 = 2py （p >0） x 2= -2py （p >0） )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(pF )2,0(p F -2px =2px -=2p y -=2p y =x ≥0 y ∈R x ≤0 y ∈R y ≥0 x ∈Ry ≤ 0x ∈R(0,0) x 轴 y 轴(0,0) (0,0) (0,0)x 轴 y 轴四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)； (3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=3分析：根据待定系数法设出抛物线的方程，由题意列出相应的关系式求解。

2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。

由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。

为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)课下思考：设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为和，求证：=-p 2。

课题： §2.4.2抛物线的几何性质【学习目标】掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 【学习重点与难点】抛物线的几何性质． 【学习过程】 一、问题情境抛物线的标准方程有哪些？二、建构数学探究1 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质． 抛物线的几何性质．三、数学运用例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M-，求它的标准方程．变式顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M-的抛物线有几条？求出它们的标准方程．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？四、课堂检测1．241x y =的焦点坐标是 ． 2．求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0，－5）． （2）准线方程为3=x ，顶点为原点．（3）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（－3，4）．3．顶点在原点，对称轴为y 轴，且焦点在直线02=+-y x 上的抛物线的标准方程 是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ．4．若P （x 0，y 0）是抛物线y 2＝－32x 上一点，F 为抛物线的焦点，则PF ＝ ．5．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ．五 课后作业1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为_____. 2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________.6. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点， 求证：①y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4；②1AF ＋1BF为定值；③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.。