广东省佛山市禅城区2019届高三数学统一调研考试试题(二)理

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜x 2＞2 x }，B ＝{x ｜1≤x ≤3}，则A ∪B ＝（ ）A 、{x ｜0≤x ＜1}B 、{x ｜x <0或x ≥1}C 、{x ｜2＜x ≤3}D 、{x ｜x ≤1或x >3}2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i)＝3＋i ，则｜z ｜＝（）A 、1B 、2C 、3D 、23．(1-x )10的二项展开式中，x 的系数与x 4的系数之差为（ ）A 、-220B 、-90C 、90D 、04．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为（） A 、3 B 、4 C 、18 D 、405．设函数()f x ＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x ，则下列结论错误的是（）A 、()f x 的最小正周期为πB 、y ＝()f x 的图像关于直线x ＝8π对称 C 、()f x 的最大值为2＋1 D 、()f x 的一个零点为x ＝78π 6．已知，则（） A 、a <b <c B 、a <c <b C 、c <a <b D 、b <a <c7．已知点A (3，－2)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则|BF |＝（）A 、6B 、8C 、10D 、128．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A、35B、79C、715D、31459．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：下列结论中不正确的是（）A、2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B、2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C、2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D、2019年3月份的居民消费价格全年最低10．已知P为双曲线C：22221(00)x ya ba b-=>>，上一点，O为坐标原点，F1，F2为曲线C左右焦点．若｜OP｜＝｜OF2｜，且满足tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（）A、5B、2C、10D、311．已知A，B，C是球O的球面上的三点，∠AOB＝∠AOC＝60º，若三棱锥O-ABC体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A、4πB、9πC、16πD、20π12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(-a，0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线C．已知点P (x0，y0)是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个；④|PO|2a．A、①②B、①②④C、②③④D、①③第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设命题，则⌝p 为 ． 14．已知函数，若f (a )＝-3，则f (-a )＝ ．15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝6π，则AB BC u u u r u u u r g ＝________； 点P 是直线AD 上的动点，则的最小值为________．16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）．该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37º；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53ο．测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为 米．（精确到0.1）参考数据：三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，满足S 1，S 2，-S 3成等差数列，且a 1a 2＝a 3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是矩形，PA＝PD＝3，PB＝PC＝6，∠APB＝∠CPD＝90ο，点M，N分别是棱BC，PD的中点．（1）求证：MN//平面PAB；（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为22，且过点(2，1)．（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于MN，两点，过点M作圆x2＋y2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM||＝PN|．20．(本小题满分12分)2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x(5≤≤x20)（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据．x57911y200298431609模型①：；模型②：．其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量，分布列为：结合你对（1）的判断，当产量x 为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？21．(本小题满分12分) 已知函数()-f x x a =-sin x (x ≥a )．（1）若()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）若a <－14，证明：()f x 在(0，2π)有唯一的极值点x 0， 且．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．22．(本小题满分10分)[选修44-：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4，0)，射线θ＝α（0<α<2π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，若∠AMB ＝4π，求tan α的值．23．(本小题满分10分)[选修45-：不等式选讲]已知函数，a∈R．（1）若f(0)＞8，求实数a的取值范围；（2）证明：对∀x∈R，恒成立．。

理科数学试卷】2019-2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学1.已知集合 $A=\{x|x>2x\}$，$B=\{x|1\leq x\leq 3\}$，则$A\cup B=$（）A。

$\{x|0\leq x<1\}$ B。

$\{x|x<1$ 或 $x\geq 1\}$ C。

$\{x|2<x\leq 3\}$2.复数 $z$ 满足 $(z+2)(1+i)=3+i$，则 $z=$（）A。

$1$ B。

$2$ C。

$3$ D。

$-2$3.$(1-x)^{10}$ 的二项式展开式中，$x$ 的系数与$x^4$ 的系数之差为（）A。

$-22$ B。

$-90$ C。

$90$ D。

$220$4.设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}x+2\geq y\\2x+y-3\geq 0\end{cases}$，则目标函数 $z=x+6y$ 的最大值为（）A。

$3$ B。

$4$ C。

$18$ D。

$40$5.设函数 $f(x)=(\sin x+\cos x)+\cos 2x$，则下列结论错误的是（）A。

$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ B。

$y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{8}$ 对称 C。

$f(x)$ 的最大值为$2+\sqrt{2}$ D。

$f(x)$ 的一个零点为 $x=\frac{7\pi}{8}$6.已知点 $A(3,-2)$ 在抛物线 $C:x=2py(p>0)$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与抛物线在第一象限相切于点 $B$，记抛物线的焦点为 $F$，则 $BF=$（）A。

$6$ B。

$8$ C。

$10$ D。

$12$7.盒中有形状、大小都相同的 $2$ 个红色球和 $3$ 个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球$4$ 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A。

$\frac{3}{5}$ B。

2019年广东省佛山市高考数学二模试卷（理科）一．选择题（共12小题）1．若集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣9＜0}，求A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3} 2．已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1﹣i）＝n，则|m+ni|的值为（）A．1B．C．D．3．若向量＝（0，﹣2），＝（，1），则与2+共线的向量可以是（）A．（，﹣1）B．（﹣1，）C．（，﹣1）D．（）4．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．5．设实数x，y满足的约束条件，则z＝x+y的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，3]D．[0，4]6．若函数为偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（a）＞f（2a）＞f（0）B．f（a）＞f（0）＞f（2a）C．f（2a）＞f（a）＞f（0）D．f（2a）＞f（0）＞f（a）7．△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，点D在BC上，BD＝DC，则AD＝（）A．B．C．3D．58．如图是1990年﹣2017年我国劳动年龄（15﹣64岁）人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是（）A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%9．已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（）A．6B．7C．8D．910．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点P为对角线A1C1的中点，E，F分别为对角线A1D，BC1（含端点）上的动点，则PE+PF的最小值为（）A．B．C．2D．11．已知F为双曲线的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．设0＜a＜1，函数，给出以下结论：①f（x）可能是区间（0，1）上的增函数，但不可能是（0，1）上的减函数；②f（x）可能是区间（0，m）上的减函数；③f（x）可能是区间（0，1）上既有极大值，又有极小值．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共4小题）13．已知，α∈（﹣π，0），则＝．14．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是[0，2）．15．已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P（4，y0）在抛物线上，K为l 与y轴的交点，且|PK|＝，则y0＝2．16．某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为．三．解答题（共7小题）17．已知各项均不为零的两个数列{a n}，{b n}满足：，（Ⅰ）设，求证：数列{c n}是等差数列；（Ⅱ）已知b1＝4，b2＝12，数列{a n}是首项为2的等差数列，设数列的前n项和为S n，求证：．18．如图，四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAE＝∠BAE＝45°，∠DAB＝60°．（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面ABE；（Ⅱ）当直线DE与平面ABE所成的角为30°时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．已知，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．（Ⅰ）求点M的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点A的直线与轨迹Γ交于点Q，与y交于点C，过T（1，0）作CT的垂直线交y轴于点D，求证：AD∥BQ．20．某电子设备工厂生产一种电子元件，质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出．估计这个厂生产的电子元件的次品率为0.2%，且电子元件是否为次品相互独立，一般的检测流程市：先把n个（n＞1）电子元件串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一个次品，再逐一检测，直到把所有的次品找出，若检验一个电子元件的花费为5分钱，检验一组（n个）电子元件的花费为4+n分钱．（Ⅰ）当n＝4时，估算一组待检元件中有次品的概率；（Ⅱ）设每个电子元件检测费用的期望为A（n），求A（n）的表达式（Ⅲ）试估计n的值，使每个电子元件的检测费用的期望最小．（提示：用（1﹣p）n≈1﹣np进行估算）21．已知函数f（x）＝e x+ln（x+1）﹣ax﹣cos x，其中a∈R（Ⅰ）若a≤1，证明：f（x）是定义域上的增函数；（Ⅱ）是否存在a，使得f（x）在x＝0处取得极小值？说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数）．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝α与C有两个不同的交点M、N，求证|OM|+|ON|的取值范围．23．设函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣1|，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝3时，求不等式f（x）＜6的解集；（Ⅱ）若f（x）+f（﹣x）≥5，求a的取值范围．。

2019届广东省佛山市禅城区高三统一调研考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵∴复数的虚部为故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B，即得解.详解：由题得，∴.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.3．公差不为0的等差数列的前n项和为，若，且，则的值为（）A．15 B．25 C．13 D．23【答案】B【解析】设公差为，由题意可得，解得即可.【详解】由题意可得，设等差数列的公差为.∵，∴∴故选B.【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的前项和的公式及等差数列的通项公式化简求值，考查学生的计算能力，属于中档题．4．已知命题p：命题“”的否定是“”；命题q：在△ABC 中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据条件判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】命题：命题“”的否定是“”，则命题是假命题；命题：在中角、、的对边分别为、、，则“”是“”的充要条件，则命题是真命题.∴为真命题，其余为假命题.故选A. 【点睛】解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题，的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假. 5．已知函数()151x f x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()e 51xg x x =--， ()e 5xg x '=-，所以函数()g x 在(),ln5∞-上单调递减，在()ln5,∞+上单调递增，又令()ln545ln50g =-<，所以()g x 有两个零点，因为()00g =， ()()252e 110,5e 260g g =-=-，所以()120,2,5x x =∈，且当0x <时， ()0g x >，()0f x >，当12x x x <<时， ()0g x <， ()0f x <，当2x x >时， ()0g x >， ()0f x >，选项C 满足条件.故选C.点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性）、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.6．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（ ）A ． 8.3B ． 8C ． 8.1D ． 8.2 【答案】B【解析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出的平均数，即可求出值．【详解】根据题意可得，.∵线性回归方程为∴∴故选B. 【点睛】本题考查的知识是线性回归方程.解答本题的关键利用回归直线过样本中心点.7．如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2π B ． 12 C ． 1π D ． 3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域OABC 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为()ππ200sin d cos |2S x x x ==-=⎰，由几何概型的概率公式，得在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==.故选A. 8．已知,则（ ）A ．B ．C ．或1 D ． 1【答案】D【解析】根据二倍角公式及同角三角函数关系将化简得，再根据，即可求解.【详解】∵又∵∴故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．9．定义运算：，将函数（）的图像向左平移个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用三角恒等变换，化函数为余弦型函数，写出三角函数的图象变换规律，得到对应的函数，由函数为偶函数，即可求出的最小值. 【详解】根据新定义运算，函数.∵的图像向左平移个单位∴所得图象对应的函数为又∵函数为偶函数∴，解得.∵∴当时，的最小值是.故选A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．10．设x，y满足约束条件，若目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（）A．（-6，-3）B．（-6,3）C．（0,3）D．（-6,0]【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可．【详解】作出满足约束条件的可行域如图所示：将化成.当时，仅在点处取得最小值，即目标函数仅在点处取得最小值，解得.故选B.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（1,2]【答案】A【解析】由，解得，然后分和分类求解得答案.【详解】令.∵且∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12．若关于x的方程有三个不相等的实数解，且，其中m∈R，e为自然对数的底数，则的值为（）A．1+m B．e C．m-1 D．1【答案】D【解析】令，则有，即，作出函数的图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，，且，，即可求解.【详解】由方程可得.令，则有，即.令函数，则.∴在上单调递增，在上单调递减.作出图象如下：要使关于额方程有三个不相等的实数解，，且结合图象可得关于关于的方程一定有两个实根，，，且，，，.∴∵∴故选D.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题13．等边△ABC中，边长为2，则=______【答案】-2【解析】运用向量的数量积的定义，计算即可得到．【详解】∵等边的边长为2∴故答案为.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，注意向量的夹角的概念，考查运算能力，属于基础题，本题的易错点是夹角为．14．的展开式中，项的系数为________【答案】【解析】将二项式变形为，然后利用二项式定理分别计算出和的展开式中项的系数，再将两系数相减即可得出答案.【详解】∵∴二项展开的通项为，二项展开的通项为令，解得.∴项的系数为故答案为.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15．若函数为偶函数，则=______________【答案】2【解析】由函数可得，再根据函数为偶函数，可得，从而得解.【详解】∵∴∴∵函数为偶函数∴故答案为2.【点睛】本题主要考查了分段函数与偶函数的定义的简单应用用，属于基础题.16．定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，则a,b,c的大小关系为__________【答案】b>a>c【解析】根据题意，可设函数，求出，结合题意可得，即函数为减函数，进而分析可得，，，结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意，设函数，则.∵当时，恒成立∴，即函数为增函数∵，，∵为增函数∴故答案为.【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“，”和“，”的联系构造函数.三、解答题17．已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），曲线的方程为以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线C1的极坐标系方程；（2）曲线C2：分别交直线和曲线C1交于A、B，求的最大值.【答案】(1) ,(2)【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出结果．【详解】解:(1)∵,∴直线的普通方程为: ,直线的极坐标方程为.曲线C1的普通方程为,∵∴C1的参数方程为:(2)直线的极坐标方程为，令，则所以又∴∵，∴，∴时，即时，取得最大值【点睛】本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.18．已知是定义在（-1,1）上的奇函数，当x∈（0,1）时，.（1）求在（-1,1）上的解析式；（2）若是周期为2的函数，且x∈（-1,1）时，求时的解析式.【答案】(1) (2)【解析】（1）定义在上的奇函数，可得，当时，则，由已知解析式，化简整理结合奇函数的定义即可得到所求；（2）设，则，结合（1）可得，再结合周期为2，可得，从而可求解.【详解】(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),因为函数f(x)为奇函数，∴又，∴，故当x∈(-1,1)时,f(x)的解析式为(2)设x∈(2n,2n+1),则x-2n∈(0,1)因为f(x)周期为2,n∈N,所以2n也是周期,所以x∈(2n,2n+1)时,【点睛】本题考查奇偶性、函数奇偶性的应用，综合性较强，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析能力.19．△ABC的对边分别为a,b,c，满足.（1）求角B；（2）若，试求的值.【答案】(1) (2)【解析】（1）由正弦定理将化为，再根据，结合三角恒等变换，即可求得，从而可得；（2）根据，求得，再根据，从而可得，即可求解.【详解】(1)已知a=bcosC+csinB,由正弦定理得:sin A=sin Bcos C+ sin Csin B,sin(B+C)=sin Bcos C+ sin Csin B,sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B,cos Bsin C=sin CsinB因为△ABC中sinC>0,所以cosB=sinB∵sinB>0,∴cosB>0∴因为,所以(2)因为, ,所以，由(1)可知,所以,【点睛】本题考查三角函数的化简.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.20．已知数列的前n项和为，，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和.【答案】(1) (2)【解析】（1）运用，再求得，然后结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求通项；（2）求得，讨论为奇数和偶数，计算即可得到所求和．【详解】解:(1)由已知得,n≥2时,所以,又,∴,则∴{an}为等比数列,所以(2)由已知得，当n为偶数时当n为奇数时,则n-1为偶数综上:【点睛】本题考查数列的递推公式的运用，考查等比数列的通项公式的运用，以及分类讨论思想方法.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.21．一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图（I）求样本平均株长和样本方差（同一组数据用该区间的中点值代替）；（II）假设幼苗的株长X服从正态分布,其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为，设最终结穗的幼苗株数为，求的数学期望.附：；若X：，则；；【答案】(1) ，(2)1366(3)683【解析】（1）使用加权平均数公式求，再由方差公式求方差；（2）求出及的值，得到，乘以2000得答案；（3）求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．【详解】解(1)(2)由(I)知, ,∴2000×0.683=1366∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366.(3)由题意,进入育种试验阶段的幼苗数1366,每株幼苗最终结穗的概率,则,所以【点睛】本题考查了频率分布直方图，服从正态分布随机变量的期望，属于中档题．本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力.解答中正确、准确的计算是解答本题的关键. 22．已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明12112ln ln x x +>. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论a 的范围，求出()'f x ，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=， ()2121ln ln x x a x x -=-，原不等式等价于2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，只需证明证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，求出11ln 2t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最大值即可得结论.试题解析：1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->- 只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +>。

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)数 学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2},{|13}A x x x B x x =>=≤≤，则A B =U （ ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|0x x <或1}x ≥ C ．{|23}x x <≤D ．{|1x x ≤或3}x >1．答案：B解析：2{|2}{|0A x x x x x =>=<或2},{|13}x B x x >=≤≤，所以A B =U {|0x x <或1}x ≥． 2．复数z 满足(2)(1i)3i z ++=+，则z =（ ） A ．1 BCD ．22．答案：A 解析：3i (3i)(1i)42i222i,11i (1i)(1i)2z z ++--=-=-=-=-∴=++-． 3．10(1-的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A ．220-B ．90-C ．90D ．03．答案：D解析：10(1的二项展开式中，含x的项为2221010(C C x =，含4x的项为88841010(C C x =，因为281010C C =，所以x 的系数与4x 的系数之差为04．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≥，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．404．答案：C解析：作出可行域如图中阴影部分所示， 由6z x y =+得1166y x z =-+，表示斜率为16-， 纵截距为16z 的直线，作出直线16y x =-并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点(0,3)A 时， 纵截距最大，此时z 取得最大值，最大值为18．2020年5月5．设函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称C ．()f x1 D ．()f x 的一个零点为78x π=5．答案：D解析：2()(sin cos )cos 21sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 正确；当8x π=时，242x ππ+=，选项B 正确； ()f x1，选项C 正确；当78x π=时，()1f x =，故选项D 错误，所以选D ． 6．已知23333log (log 2),(log 2),2log 2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．答案：A解析：3log 2(0,1)∈Q ，所以2333333log (log 2)log 10,(log 2)(0,1),2log 2log 41a b c =<==∈==>，所以a b c <<．7．已知点(3,2)A -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．答案：C解析：由题可知2,42p p -=-∴=，抛物线方程为28x y =，设2(4,2)(0)B t t t >，由28x y =可得4x y '=，22320t t --=，(21)(2)0t t ∴+-=， ）A ．35B ．79C ．715D ．31458．答案：A解析：若从盒中取出一个红色球（概率为25），则第二次取球时盒中有6个红色球，3个黄色球，取出黄色球的概率为39； 若从盒中取出一个黄色球（概率为35），则第二次取球时盒中有2个红色球，7个黄色球，取出黄色球的概率为79； 由全概率公式，可知第二次取球时取出黄色球的概率23372735959455P =⨯+⨯==． 9．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度： （100%100%--=⨯=⨯本期数去年同期数本期数上期数同比，环比去年同期数上期数）下列结论中不正确的是（ ）A ．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B ．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C ．2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D ．2019年3月份的居民消费价格全年最低 9．答案：D解析：设2019年3月份的居民消费价格为a ，则6月份的居民消费价格为2(10.001)(10.001)(10.001)a a a +-=-<，所以2019年6月份的居民消费价格全年最低，故D 不正确．10．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，O 为坐标原点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点．若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为 （ ）11．答案：C解析：AOB △和AOC △都是边长为R 的等边三角形，显然当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -的体积取得最大值，最大值为231113428R R R ⎛⎫⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2R =， 所以球O 的表面积2416S R ππ==．O AB12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)F a F a -距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法正确的有（ ）①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③12．答案：B解析：在曲线C 上任取一点(,)P x y ，则根据题意可得2PA PB a ⋅=，即224PA PB a ⋅=，所以22224()()x a y x a y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，整理得4222422(22)20x y a x y a y +-++= （1）， 在（1）式中同时将x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；在（1）中，由222422422(22)4(2)4160y a y a y a a y ∆=--+=-≥，得224a y ≤，22a a y ∴-≤≤，故②正确； ②解法二：12120121211sin 22PF F S F F y PF PF F PF =⋅=⋅∠△， 212012sin sin 222a F PF a a y F PF a ∠∴==∠≤，022a ay ∴-≤≤，故②正确；满足12PF PF =的点P 都在y 轴上，在（1）中，令0x =，得42220y a y +=，解得0y =，即(0,0)P ， 所以③错误；222a θ≤，ρ≤00()p x ”14．已知函数2(1sin )1()2x x x f x x+++=，若()3f a =-，则()f a -= ．14．答案：4解析：2(1sin)1sin11 ()22222 x x x x xf xx x+++==+++，设sin1()222x xg xx=++，则()g x为奇函数，177171()()3,(),(),()()4222222f ag a g a g a f a g a=+=-∴=--=-=-+=+=．15．在面积为1的平行四边形ABCD中，6DABπ∠=，则AB BC⋅=u u u r u u u r；点P是直线AD上的动点，则22PB PC PB PC+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为．15．答案：3，3解析：设,AB a AD b==，则1sin1,262ABCDS ab ab abπ===∴=，则cos36AB BC abπ⋅==u u u r u u u r，在PBC△中，由余弦定理得222222cos2BC PB PC PB PC BPC PB PC PB PC=+-⋅∠=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，2222PB PC PB PC BC PB PC b PB PC∴+-⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，过点P作PQ BC⊥于点Q，设BQ x=，则CQ b x=-，()()221()4PB PC PQ QB PQ QC PQ QB QC a x b x⋅=+⋅+=+⋅=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222222222111133()344444PB PC PB PC b a x b x b a b a b ab∴+-⋅=+--+-+=u u u r u u u r u u u r u u u r=≥≥．QCDA BP16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两侧测角法”，并自制了测量工具；将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子转动一周为1.753米）．该小组在操场上选定A点，此时测量视线与铅垂线之间的夹角在量角器上的度数为37︒；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈到达B点，此时测量视线与铅垂线之间的夹角在量角器上的度数为53︒．测量者站立时的“眼高”为1.55米，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为米．（精确到0.1）参考数据：34sin37,sin5355︒≈︒≈．16．答案：31.6解析：如图，设CD h =，因为53,37CAD CBD ∠=︒∠=︒，34tan 37,tan 5343︒≈︒≈， 所以34,43AC h BC h ==， 所以437121.7531017.53,17.5330.0534127AB BC AC h h h h =-=-==⨯=∴=⨯≈米所以该建筑物的高度约为30.05 1.5531.6+=米BDCA三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 的前n 项和为(0)n n S S ≠，满足123,,S S S -成等差数列，且123a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13(1)(1)nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．17．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由123,,S S S -成等差数列，得2132S S S =-， 即2111122a a q a q a q +=--，所以2320q q ++=，(1)(2)0q q ++=，解得1q =-或2q =-， 又因为0n S ≠，所以1q ≠-，故2q =-，由123a a a =，得2211a q a q =，得12a q ==-，所以11(2)n n n a a q -==-．（2）111133(2)[(2)1][(2)1](1)(1)[(2)1][(2)1][(2)1][(2)1]n n n n n n n n n n n a b a a ++++--⋅--+--+===++-+⋅-+-+⋅-+ 111(2)1(2)1n n +=--+-+， 所以12n n T b b b =+++L12231111111(2)1(2)1(2)1(2)1(2)1(2)1n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 1111111(2)1(2)1(2)1n n ++=-=---+-+-+．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD PB PC ====，90APB CPD ∠=∠=︒，点,M N 分别为棱,BC PD 的中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．PABCDMN18．解析：（1）解法一：取PA 中点E ，连接,BE EN ，则EN 为PAD △的中位线，12EN AD P ， 又因为12BM AD P，所以EN BM P ，所以四边形BENM 是平行四边形，所以//MN BE ， 又因为MN ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．解法二：取AD 中点E ，连接,ME EN ，因为E M 、分别为AD BC 、的中点，所以//ME AB ， 又ME ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//ME 平面PAB ； 因为EN 是PAD △的中位线，所以//EN PA ，又EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EN 平面PAB ；又因为,,ME EN E ME EN =⊂I 平面EMN ，所以平面//EMN 平面PAB ， 而MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面PAB ． 解法三：取PC 中点E ，连接,NE ME ，则NE 是PCD △的中位线，所以//NE CD ，又因为//CD AB ，所以//NE AB ， 又NE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//NE 平面PAB ；ME 是PBC △的中位线，所以//ME PB ，又ME ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以//ME 平面PAB ； 又因为,,ME EN E ME EN =⊂I 平面EMN ，所以平面//EMN 平面PAB ， 而MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面PAB ．PABCDMNEP ABCDMNE PABCDMN ExB（2）解法一：设平面PAB I 平面PCD l =，因为//AB 所以//AB 平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ，平面PAB I 平面PCD l =，则//AB l ，过P 作PF AB ⊥于F ，PG CD ⊥于点G ，连接FG ，过P 作PO FG ⊥于点O ，连接OM ， 则,PF l PG l ⊥⊥，所以FPG ∠即为平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以90FPG ∠=︒，由,,AB PF AB PG PF PG P ⊥⊥=I ，可得AB ⊥平面PFG ，所以AB PO ⊥，又PO FG ⊥，AB FG F =I ，所以PO ⊥平面ABCD ，经计算得3,2,1AB CD PF PG FG AF DG =======，所以O 为FG 中点，以O 为原点，,,OM OG OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则111(0,0,1),(2,1,0),(1,1,0),(2,0,0),,,222P C D M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则511,,,(2,1,1),(3,0,0)222MN PC CD ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则2030n PC x y z nPD x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，可取(0,1,1)n =r ，所以cos ,MN n MN n MN n ⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ． 所以直线MN 与平面PCD 解法二：可将此四棱锥还原成如图所示的直三棱柱BCF ADE -，因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以90AED ∠=︒，经计算可得AE DE ==1EP =，3AB =，以E 为坐标原点，,,EA ED EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1,,(0,0,1),0,2222M P D N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以522MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，显然平面PCD 的一个法向量(1,0,0)n =r，所以cos ,MN n MN n MN n -⋅===⋅u u u u r r u u u u r r u u u u r r ， 所以直线MN 与平面PCD所成角的正弦值9． 解法三：取PA 中点E ，连接,BE EN ，由（1）的证明可知//MN BE ，设平面PAB I 平面PCD l =，因为//,AB CD AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ， 平面PAB I 平面PCD l =，则//AB l ，过P 作PF AB ⊥于F ，则PF l ⊥，又因为平面PAB ⊥平面PCD ，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面PCD ，所以PF u u u r即为平面PCD 的法向量，在平面PAB 中，以F 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则1(1,0),(2,0),2A B P E ⎛-- ⎝⎭，5,2BE FP ⎛=-= ⎝⎭u u ur u u u r ，cos ,9BE FP BE FP BE FP ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以直线MN 与平面PCD19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点(2,1)．（1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于,M N 两点，过点M 作圆222x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：PM PN =．19．解析：（1）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率2c e a ==，且222a b c =+，可得222a b =，将点(2,1)代入椭圆方程222212x y b b +=，得224112b b+=，解得23b =，从而2226a b ==，所以椭圆C 的方程为22163x y +=． （2）当直线MP 的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线MP的方程为x =则(M P N，则PM PN == 当直线MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，则圆心(0,0)O 到直线MP的距离d ==所以2222m k =+，因为圆在椭圆内部，所以圆的切线与椭圆一定会有两个交点，将y kx m =+代入22260x y +-=，整理得：222(21)4260k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y P x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k --+==++，22121212121212()()(1)()OM OP x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++u u u u r u u u r22222222222222264428(1)(1)(1)2(1)21212121m k m k k k k m k k k k k k --+=+-+=+-++++++在每月生产的一种核心产品的产量(520)x x ≤≤（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．y 200 298 431 609工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机得近似结果如下：模型①：31733x y =+； 模型②：68160y x =-． 其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析，判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x q 1402x -1302x -1002x -P0.50.40.1结合你对（1）的判断，当产量为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 20．解析：（1x 5 7 8 11 y200 298431609 ˆe 2018- 21-21模型②的残差图如图所示．………………………………………………………………2分（只要算出残差或残差绝对值，或直接画出残差图，即给2分）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程，因为：………………………………………………3分 理由1：模型①这4个样本点的残差的绝对值都比模型②小．理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄． 理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴．（写出一个理由即可得分）………………………………………………………………………5分 （2）设月利润为Y ，由题意知Y qx y =-，则Y 的分布列为：232323121()1401731301731001732322352310x x x x x x E Y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯+---⨯+---⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3213217332x x x =--+-．………………………………………………………………………………9分设函数322()132173,(0,),()13232x x f x x x f x x x '=--+-∈+∞=--+．……………………9分 令()0f x '=，解得11x =或12x =-（舍去），当(0,11)x ∈时，()0,()f x f x '>单调递增；当(11,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减． 则函数()f x 的最大值为4649(11)6f =，即产量为11件时，月利润的预报期望值最大，最大值是774.8万元．…………………………………………………………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数()sin ()f x x x a =≥．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若14a <-，证明：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一的极值点0x ，且0001()2f x x x π>--． 21．解析：（1）由()0f a ≥，得sin 0a -≥，即sin 0a ≤，解得22,Z k a k k πππ-∈≤≤……1分 以下证明，当22()Z k a k k πππ-∈≤≤时，()0f x ≥sin (0)x x ≥． 若1x ≥1sin x ≥；若01x <≤，x，令()sin (0)g x x x x =-≥，可知()1cos 0g x x '=-≥，故()(0)0g x g =≥， 即sin (0)x x x ≥≥sin (0)x x≥．…………………………………………………………3分 若22()Z k a k k πππ-∈≤≤，则当2a x k π≤≤时，sin 0x ≤，0sin x ≥，即()0f x ≥； 当2x k π≥sin (0)x x ≥sin(2)sin x k x π-=． 故当22()Z k a k k πππ-∈≤≤时，()0f x ≥．综上，所求a 的取值范围是{|22,}Z a k a k k πππ-∈≤≤．…………………………………………5分（2）()cos f x x '=，令()cos g x x =-，则321()sin 4()g x x x a '=+-，………6分1,()4a g x '<-∴Q 是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又321(0)0,10242g g a ππ⎛⎫''<=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，故存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0g t '=，当0(0,)x t ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0,()g x g x '>单调递增．………………………………………………………………………………7分又14a <-，则11,,142a ->>>，11(0)10,10,03222g g g ππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪∴=-<==-<=> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎭，故存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使00()cos 0g x x =-=．………………………………8分 所以在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点0x，且极小值为00()sin f x x =……………………9分又由00()cos 0g x x =-=000011,()sin 2cos 2cos f x x x x =∴=-， 又00000011()(sin )2cos 2cos f x x x x x x +=+->．………………………………………………10分以下只需证明00112cos 2x x π>-，即证0002cos 2x x π<<- ．000000,,2cos 2sin 22222x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴=-<-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，……………………………………11分则0000000111()(sin )2cos 2cos 2f x x x x x x x π+=+->>-，所以0001()2f x x x π>--………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值．22．解析：（1）曲线1C 是以(0,2)为圆心，半径为2的圆，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， 即224x y y +=，又由222,sin x y y ρρθ+==，可得曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）将θα=代入4sin ρθ=，得4sin A ρα=，将θα=代入4cos ρθ=，得4cos B ρα=， 又因为4AMB π∠=，2ABM π∠=，所以ABM △是等腰直角三角形，所以4cos 4sin BM AB OB OA αα==-=-，（1）若(0)8f >，求实数a 的取值范围；（2）证明：对R x ∀∈，1()51f x a a--+≥恒成立． 23．解析：（1）由(0)8f >，得156a a -+->， 当1a <时，156a a -+->，解得0a <，所以0a <； 当15a ≤≤时，156a a -+->，无解；当5a >时，156a a -+->，解得6a >，所以6a >． 综上可知，实数a 的取值范围是(,0)(6,)-∞+∞U ．（2）11()512cos 110f x a x a a a--+⇔+-++≥≥， 111111(1)12a a a a a a a a-++-++=+=+Q ≥≥，而2cos 2x -≥， 所以12cos 11220x a a+-++-+=≥恒成立， 所以对R x ∀∈，1()51f x a a--+≥恒成立．。

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)数 学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2},{|13}A x x x B x x =>=≤≤，则A B =U （ ） A ．{|01}x x <≤B ．{|0x x <或1}x ≥C ．{|23}x x <≤D ．{|1x x ≤或3}x >2．复数z 满足(2)(1i)3i z ++=+，则z =（ ） A ．1 BCD ．23．10(1-的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A ．220-B ．90-C ．90D ．04．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≥，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．405．设函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称C ．()f x1D ．()f x 的一个零点为78x π=6．已知23333log (log 2),(log 2),2log 2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．已知点(3,2)A -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31459．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度： （100%100%--=⨯=⨯本期数去年同期数本期数上期数同比，环比去年同期数上期数）2020年5月下列结论中不正确的是（ ）A ．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B ．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C ．2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D ．2019年3月份的居民消费价格全年最低10．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，O 为坐标原点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点．若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为 （ ）A 5B 2C 10D 311．已知,,A B C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ∠=∠=︒，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．9πC ．16πD ．20π12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)F a F a -距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法正确的有（ ）①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤； ③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO 2a A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．设命题21:(0,),12xp x e x ∀∈+∞>+，则p ⌝为 ． 14．已知函数2(1sin )1()2x x x f x x+++=，若()3f a =-，则()f a -= ．15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=u u u r u u u r；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为 ．16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两侧测角法”，并自制了测量工具；将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子转动一周为1.753米）．该小组在操场上选定A 点，此时测量视线与铅垂线之间的夹角在量角器上的度数为37︒；推动自行车直线后退， 轮子滚动了10圈到达B 点，此时测量视线与铅垂线之 间的夹角在量角器上的度数为53︒．测量者站立时的 “眼高”为1.55米，根据以上数据可计算得该建筑物 的高度约为 米．（精确到0.1） 参考数据：34sin 37,sin 5355︒≈︒≈． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 的前n 项和为(0)n n S S ≠，满足123,,S S S -成等差数列，且123a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13(1)(1)nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，3,6PA PD PB PC ====，90APB CPD ∠=∠=︒，点,M N 分别为棱,BC PD 的中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且过点(2,1)．（1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于,M N 两点，过点M 作圆222x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：PM PN =．20．（本小题满分12分）2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技＋佛山智造＋全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛士市某工厂统筹各类资源，进行了积PABCDMN极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量(520)x x ≤≤（件）与相应的生产总成本（万元）的四组对照数据．x57811y 200 298 431 609 y x 利用计算机得近似结果如下：模型①：31733x y =+； 模型②：68160y x =-． 其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析，判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x q 1402x -1302x -1002x -P0.50.40.1结合你对（1）的判断，当产量为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 21．（本小题满分12分）已知函数()sin ()f x x a x x a =--≥．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若14a <-，证明：()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一的极值点0x ，且0001()2f x x x π>--． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()2cos 15,R f x x a a a =+-+-∈． （1）若(0)8f >，求实数a 的取值范围；（2）证明：对R x ∀∈，1()51f x a a--+≥恒成立．。

禅城区2019届高三统一调研考试（二）理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知复数ii z 212019-=，则复数z 的虚部为（ ）A.52-B.i 52-C.51-D.i 51- 2.已知集合A={-2，-1,0,1,2}，B={x|（x-1）（x+2）<0},则A ∩B=（ ） A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}3.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若463a a =，且410a S λ=，则λ的值为（ ）A.15B.25C.13D.234.已知命题p ：命题“01,02>+->∀x x x ”的否定是“01,00200≤+-≤∃x x x ”；命题q ：在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“B A sin sin >”是“a>b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A.q p ∧⌝）（B.）（q p ⌝∧C.q p ∧D.）（）（q p ⌝∧⌝5.已知函数151)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则y=f(x)的大致图像为（ ）6.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（ ）A. 8.3B. 8C. 8.1D. 8.27. 如图所示的阴影部分是由x 轴和x y sin =围成的，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）8.已知=+=ααα2cos 2sin ,2tan 则（ ）A.53 B.53- C.53-或1 D.1 9.定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.若函数)8(log )(2ax x x f a -=在区间）（22,41a a上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A.），（122 B.），（123 C.]413，（ D.（1,2] 12.若关于x 的方程0=+++m e x e e x x xx 有三个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中m ∈R ，e 为自然对数的底数，则)1)(1(13213221+++x x x ex e x e x ）（的值为（ ）A.1+mB. eC.m-1D.1第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题--第22题为必考题，每个考生都必须作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13.等边△ABC 中，边长为2，则=14.8))((y x y x +-的展开式中，72y x 项的系数为15.若函数⎩⎨⎧≥<-=-0),(0,22)(x x g x x f x 为偶函数，则))2((-f g =16.定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，0)()()1(>-'-x f x f x 恒成立，)2(f a =，)2()12(),3(21f c f b +==，则a,b,c 的大小关系为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=ty tx 34（t为参数），曲线1C 的方程为1)1(22=-+y x 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 1的极坐标系方程； （2）曲线C 2：）（20,0παραθ<<>=分别交直线l 和曲线C 1交于A 、B ，求22OBOA +的最大值.18.（本小题满分12分）已知)(x f 是定义在（-1,1）上的奇函数，当x ∈（0,1）时，142)(+=x xx f .（1）求)(x f 在（-1,1）上的解析式；（2）若)(x g 是周期为2的函数，且x ∈（-1,1）时)(x g =)(x f ，求)(),12,2(N n n n x ∈+∈时的解析式.19.(本小题满分12分)△ABC 的对边分别为a,b,c ，满足B c C b a sin cos +=. （1）求角B ； （2）若53cos =A ，试求C cos 的值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，且)(23*1N n S a n n ∈+=+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nn a b 2log )1(-=，求{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图（I ）求样本平均株长x 和样本方差2S （同一组数据用该区间的中点值代替）；（II ）假设幼苗的株长X 服从正态分布),(2σμN ,其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2S ，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；22.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈-=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 有两个零点21,x x ，证明2ln 1ln 121>+x x .。

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学参考答案123456789101112B ADCDAC ADC CB1302001(0,),12x x e x ∃∈+∞+≤144153，31531.617(1)(2)nn a =-(2)111(2)1n n T +=---+18(1)取PA 中点E ，连接,BE EN ，则EN 为PAD △的中位线，12EN AD ，又因为12BM AD ，所以EN BM ，所以四边形BENM 是平行四边形，所以//MN BE ，又因为MN ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．(2)6919(1)22163x y +=(2)设直线MP 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，证明12120OM OP x x y y ⋅=+=20(1)模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程(2)即产量为11件时，月利润的预报期望值最大，最大值是774.8万元21(1){|22,}Z a k a k k πππ-∈≤≤(2)证明过程略22(1)曲线1C 是以(0,2)为圆心，半径为2的圆，极坐标方程为4sin ρθ=(2)1tan 2α=23(1)(,0)(6,)-∞+∞ (2)证明过程略1．答案：B解析：2{|2}{|0A x x x x x =>=<或2},{|13}x B x x >=≤≤，所以A B = {|0x x <或1}x ≥．2．答案：A 解析：3i (3i)(1i)42i222i,11i (1i)(1i)2z z ++--=-=-=-=-∴=++-．3．答案：D 解析：10(1)x -的二项展开式中，含x 的项为2221010()C x C x -=，含4x 的项为88841010()C x C x -=，因为281010C C =，所以x 的系数与4x 的系数之差为04．答案：C解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由6z x y =+得1166y x z =-+，表示斜率为16-，纵截距为16z 的直线，作出直线16y x =-并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点(0,3)A 时，纵截距最大，此时z 取得最大值，最大值为18．5．答案：D解析：2()(sin cos )cos 21sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 正确；当8x π=时，242x ππ+=，选项B 正确；()f x 1+，选项C 正确；当78x π=时，()1f x =，故选项D 错误，所以选D ．6．答案：A解析：3log 2(0,1)∈ ，所以2333333log (log 2)log 10,(log 2)(0,1),2log 2log 41a b c =<==∈==>，所以a b c <<．7．答案：C 解析：由题可知2,42pp -=-∴=，抛物线方程为28x y =，设2(4,2)(0)B t t t >，由28x y =可得4xy '=，所以切线斜率k t =，又22243t k t +=-，所以22243t t t +=-，整理得22320t t --=，(21)(2)0t t ∴+-=，2t ∴=，(8,8)B ∴，8210BF ∴=+=．8．答案：A解析：若从盒中取出一个红色球（概率为25），则第二次取球时盒中有6个红色球，3个黄色球，取出黄色球的概率为39；若从盒中取出一个黄色球（概率为35），则第二次取球时盒中有2个红色球，7个黄色球，取出黄色球的概率为79；由全概率公式，可知第二次取球时取出黄色球的概率23372735959455P =⨯+⨯==．9．答案：D解析：设2019年3月份的居民消费价格为a ，则6月份的居民消费价格为2(10.001)(10.001)(10.001)a a a +-=-<，所以2019年6月份的居民消费价格全年最低，故D 不正确．10．答案：C解析：因为2OP OF =，所以点P 在以O 为圆心，2OF 为半径的圆上，所以1290F PF ∠=︒，所以1212tan 3PF PF F PF ∠==，不妨设21PF =，则13PF =，1210F F =，所以121222,210a PF PF c F F =-===，离心率21022c c e a a ===．11．答案：C解析：AOB △和AOC △都是边长为R 的等边三角形，显然当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -的体积取得最大值，最大值为23133113428R R R ⎛⎫⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2R =，所以球O 的表面积2416S R ππ==．12．答案：B解析：在曲线C 上任取一点(,)P x y ，则根据题意可得2PA PB a ⋅=，即224PA PB a ⋅=，所以22224()()x a y x a y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，整理得4222422(22)20x y a x y a y +-++=（1），在（1）式中同时将x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；在（1）中，由222422422(22)4(2)4160y a y a y a a y ∆=--+=-≥，得224a y ≤，22a a y ∴-≤≤，故②正确；②解法二：12120121211sin 22PF F S F F y PF PF F PF =⋅=⋅∠△，212012sin sin 222a F PF a a y F PF a ∠∴==∠≤，022a ay ∴-≤≤，故②正确；满足12PF PF =的点P 都在y 轴上，在（1）中，令0x =，得42220y a y +=，解得0y =，即(0,0)P ，所以③错误；由22224()()x a y x a y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，得2222224()4x y a a x a ++-=，即2222224()4cos a a a ρρθ+-=，42222224cos 0a a ρρρθ+-=，2222cos 22a a ρθ=≤，2aρ≤所以④正确13．答案：02001(0,),12xx e x ∃∈+∞+≤14．答案：4解析：2(1sin )1sin 11()22222x x x x x f x x x +++==+++，设sin 1()222x x g x x=++，则()g x 为奇函数，177171()()3,(),(),()()4222222f ag a g a g a f a g a =+=-∴=--=-=-++=．15解析：设,AB a AD b ==，则1sin 1,262ABCD S ab ab ab π===∴=，则cos 6AB BC ab π⋅== 在PBC △中，由余弦定理得222222cos 2BC PB PC PB PC BPC PB PC PB PC =+-⋅∠=+-⋅ ，2222PB PC PB PC BC PB PC b PB PC ∴+-⋅=+⋅=+⋅ ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，设BQ x =，则CQ b x =-，()()221()4PB PC PQ QB PQ QC PQ QB QC a x b x ⋅=+⋅+=+⋅=--，2222222221()4111344442PB PC PB PC b a x b x b a b a ∴+-⋅=+--+-+= =≥≥．16．答案：31.6解析：如图，设CD h =，因为53,37CAD CBD ∠=︒∠=︒，34tan 37,tan 5343︒≈︒≈，所以34,43AC h BC h ==，所以4371.7531017.533412AB BC AC h h h =-=-==⨯=，1217.5330.057h ∴=⨯≈米所以该建筑物的高度约为30.05 1.5531.6+=米17．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由123,,S S S -成等差数列，得2132S S S =-，即2111122a a q a q a q +=--，所以2320q q ++=，(1)(2)0q q ++=，解得1q =-或2q =-，又因为0n S ≠，所以1q ≠-，故2q =-，由123a a a =，得2211a q a q =，得12a q ==-，所以11(2)n n n a a q-==-．（2）111133(2)[(2)1][(2)1](1)(1)[(2)1][(2)1][(2)1][(2)1]n n n n n n n n n n n a b a a ++++--⋅--+--+===++-+⋅-+-+⋅-+111(2)1(2)1n n +=--+-+，所以12n nT b b b =+++ 12231111111(2)1(2)1(2)1(2)1(2)1(2)1n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111111(2)1(2)1(2)1n n ++=-=---+-+-+．18．解析：（1）解法一：取PA 中点E ，连接,BE EN ，则EN 为PAD △的中位线，12EN AD ，又因为12BM AD，所以EN BM ，所以四边形BENM 是平行四边形，所以//MN BE ，又因为MN ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．解法二：取AD 中点E ，连接,ME EN ，因为E M 、分别为AD BC 、的中点，所以//ME AB ，又ME ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//ME 平面PAB ；因为EN 是PAD △的中位线，所以//EN PA ，又EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EN 平面PAB ；又因为,,ME EN E ME EN =⊂ 平面EMN ，所以平面//EMN 平面PAB ，而MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面PAB ．解法三：取PC 中点E ，连接,NE ME ，则NE 是PCD △的中位线，所以//NE CD ，又因为//CD AB ，所以//NE AB ，又NE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//NE 平面PAB ；ME 是PBC △的中位线，所以//ME PB ，又ME ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以//ME 平面PAB ；又因为,,ME EN E ME EN =⊂ 平面EMN ，所以平面//EMN 平面PAB ，而MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面PAB．（2）解法一：设平面PAB 平面PCD l =，因为//,AB CD AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =，则//AB l ，过P 作PF AB ⊥于F ，PG CD ⊥于点G ，连接FG ，过P 作PO FG ⊥于点O ，连接OM ，则,PF l PG l ⊥⊥，所以FPG ∠即为平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以90FPG ∠=︒，由,,AB PF AB PG PF PG P ⊥⊥= ，可得AB ⊥平面PFG ，所以AB PO ⊥，又PO FG ⊥，AB FG F = ，所以PO ⊥平面ABCD ，经计算得3,2,2,1AB CD PF PG FG AF DG =======，所以O 为FG 中点，以O 为原点，,,OM OG OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则111(0,0,1),(2,1,0),(1,1,0),(2,0,0),,,222P C D M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则511,,,(2,1,1),(3,0,0)222MN PC CD ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = ，则2030n PC x y z n PD x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取(0,1,1)n = ，所以6cos ,93322MN n MN n MN n ⋅===⋅⨯．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值69．解法二：可将此四棱锥还原成如图所示的直三棱柱BCF ADE -，因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以90AED ∠=︒，经计算可得2AE DE ==，1EP =，3AB =，以E 为坐标原点，,,EA ED EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则2221,3,(0,0,1),(0,2,0),0,2222M P D N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25,0,22MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，显然平面PCD 的一个法向量(1,0,0)n = ，所以262cos ,92MN n MN n MN n -⋅===-⋅ ，所以直线MN 与平面PCD所成角的正弦值9．解法三：取PA 中点E ，连接,BE EN ，由（1）的证明可知//MN BE ，设平面PAB 平面PCD l =，因为//,AB CD AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，又AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =，则//AB l ，过P 作PF AB ⊥于F ，则PF l ⊥，又因为平面PAB ⊥平面PCD ，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面PCD ，所以PF即为平面PCD 的法向量，在平面PAB 中，以F 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则12(1,0),(2,0),(0,22A B P E ⎛-- ⎝⎭，52,,22BE FP ⎛=-= ⎝⎭，6cos ,9BE FP BE FP BE FP ⋅===⋅，所以直线MN 与平面PCD所成角的正弦值9．19．解析：（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率22c e a ==，且222a b c =+，可得222a b =，将点(2,1)代入椭圆方程222212x y b b +=，得224112b b +=，解得23b =，从而2226a b ==，所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）当直线MP 的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线MP的方程为x =，则(M P N，则PM PN ==当直线MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，则圆心(0,0)O 到直线MP的距离d ==所以2222m k =+，因为圆在椭圆内部，所以圆的切线与椭圆一定会有两个交点，将y kx m =+代入22260x y +-=，整理得：222(21)4260k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y P x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k --+==++，22121212121212()()(1)()OM OP x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++22222222222222264428(1)(1)(1)2(1)21212121m k m k k k k m k k k k k k --+=+-+=+-++++++22222(1)(42842)021k k k k k +--++==+，OM OP ∴⊥，因为点O 为线段MN 的中点，所以PM PN =．20．解析：（1）模型②的残差数据如下表：x 57811y200298431609ˆe 2018-21-21模型②的残差图如图所示．…………………………2分（只要算出残差或残差绝对值，或直接画出残差图，即给2分）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程，因为：……………3分理由1：模型①这4个样本点的残差的绝对值都比模型②小．理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄．理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴．（写出一个理由即可得分）………………………………………………………………………5分（2）设月利润为Y ，由题意知Y qx y =-，则Y 的分布列为：Y 2314017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2313017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2310017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭P0.50.40.1232323121()1401731301731001732322352310x x x x x x E Y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯+--⨯---⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3213217332x xx =--+-．………………………………………………………………………………9分设函数322()132173,(0,),()13232x x f x x x f x x x '=--+-∈+∞=--+．……………………9分令()0f x '=，解得11x =或12x =-（舍去），当(0,11)x ∈时，()0,()f x f x '>单调递增；当(11,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减．则函数()f x 的最大值为4649(11)6f =，即产量为11件时，月利润的预报期望值最大，最大值是774.8万元．…………………………………………………………………………………………………………12分21．解析：（1）由()0f a ≥，得sin 0a -≥，即sin 0a ≤，解得22,Z k a k k πππ-∈≤≤……1分以下证明，当22()Z k a k k πππ-∈≤≤时，()0f x ≥sin (0)x x ≥．若1x ≥1sin x ≥；若01x <≤，x ，令()sin (0)g x x x x =-≥，可知()1cos 0g x x '=-≥，故()(0)0g x g =≥，即sin (0)x x x ≥≥sin (0)x x ≥．…………………………………………………………3分若22()Z k a k k πππ-∈≤≤，则当2a x k π≤≤时，sin 0x ≤，0sin x ≥，即()0f x ≥；当2x k π≥sin (0)x x ≥sin(2)sin x k x π-=．故当22()Z k a k k πππ-∈≤≤时，()0f x ≥．综上，所求a 的取值范围是{|22,}Z a k a k k πππ-∈≤≤．…………………………………………5分（2）()cos f x x '=，令()cos g x x =，则321()sin 4()g x x x a '=+-，………6分1,()4a g x '<-∴ 是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，又321(0)0,10242g g a ππ⎛⎫''<=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，故存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0g t '=，当0(0,)x t ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增．………………………………………………………………………………7分又14a <-，则11,,142a ->>，11(0)10,10,03222g g g ππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪∴=<==<= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎭，故存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使00()cos 0g x x ==．………………………………8分所以在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点0x，且极小值为00()sin f x x =……………………9分又由00()cos 0g x x ==000011,()sin 2cos 2cos f x x x x =∴=-，又00000011()(sin )2cos 2cos f x x x x x x +=+->．………………………………………………10分以下只需证明00112cos 2x x π>-，即证0002cos 2x x π<<-．000000,,2cos 2sin 22222x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴=-<-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………………………………11分则0000000111()(sin )2cos 2cos 2f x x x x x x x π+=+->>-，所以0001()2f x x x π>--………12分22．解析：（1）曲线1C 是以(0,2)为圆心，半径为2的圆，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=，即224x y y +=，又由222,sin x y y ρρθ+==，可得曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）将θα=代入4sin ρθ=，得4sin A ρα=，将θα=代入4cos ρθ=，得4cos B ρα=，又因为4AMB π∠=，2ABM π∠=，所以ABM △是等腰直角三角形，所以4cos 4sin BM AB OB OA αα==-=-，所以4cos 4sin tan 1tan 4cos BM OB ααααα-===-，解得1tan 2α=．23．解析：（1）由(0)8f >，得156a a -+->，当1a <时，156a a -+->，解得0a <，所以0a <；当15a ≤≤时，156a a -+->，无解；当5a >时，156a a -+->，解得6a >，所以6a >．综上可知，实数a 的取值范围是(,0)(6,)-∞+∞ ．（2）11()512cos 110f x a x a a a--+⇔+-++≥≥，111111(1)12a a a a a a a a-++-++=+=+ ≥≥，而2cos 2x -≥，所以12cos 11220x a a +-++-+=≥恒成立，所以对R x ∀∈，1()51f x a a--+≥恒成立．。