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2016年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三）一、选择题1．设U=R，A={x|y=x}，B={y|y=﹣x2}，则A∩（∁U B）=（）A．∅B．R C．{x|x＞0} D．{0}2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．203．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．y=x2 B．y=e﹣x C．y=x﹣sinx D．y=﹣4．已知a，b＞0，若圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（1，]C．（1，）D．（，2）5．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．7．已知，为同一平面内两个不共线的向量，且=（1，2），=（x，6），若|﹣|=2，向量=2，则=（）A．（1，10）或（5，10）B．（﹣1，﹣2）或（3，﹣2）C．（5，10） D．（1，10）8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．3 D．9．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．10．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC．若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）A．B．C．12πD．11．若函数f（x）=﹣m有零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．二、填空题13．已知复数z满足|z|﹣=2﹣4i，则z=_______．14．在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于_______（用文字表述）15．函数f（x）=（﹣tanx）cos2x，x∈（，π]的单调减区间是_______．16．已知F1，F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1与椭圆交于点P，则△QF1F2与△PF1F2的面积的比值是_______．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）（1）设b n=a n+3（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B﹣MOC的体积．19．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5销售收益y（单位：万元） 2 3 2 7表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．20．已知圆O：x2+y2=9及点C（2，1）．（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给予证明；（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．21．设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+x2﹣a＞0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m ∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．2016年山西省高考考前质检数学试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题1．设U=R，A={x|y=x}，B={y|y=﹣x2}，则A∩（∁U B）=（）A．∅B．R C．{x|x＞0} D．{0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据描述法表示集合的意义得集合A为函数y=x的定义域，集合B为函数y=﹣x2的值域，求出集合B的补集，然后与集合A进行交集运算可答案．【解答】解：∵函数y=x的定义域为{x|x≥0}，∴A={x|x≥0}；∵函数y=﹣x2的值域为{y|y≤0}，∴B={y|y≤0}，∴C U B={y|y＞0}，∴A∩（∁U B）={x|x＞0}．故选：C．2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．20【考点】系统抽样方法．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从200个零件中抽取10个样本，∴组距是20，∵第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是5+20=25．故选：A．3．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．y=x2 B．y=e﹣x C．y=x﹣sinx D．y=﹣【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可得到答案．【解答】解：y=x2在（﹣∞，0）单调递减，在[0，+∞）上单调递增，并不是在其定义域是增函数．故A不符合题意；y=e﹣x在（﹣∞，+∞）上单调递减，故B不符合题意，y=x﹣sinx，所以y′=1﹣cosx≥0恒成立，所以y=x﹣sinx在R上单调递增，故C符合，y=﹣在[0，+∞）上单调递减，故D不符合题意；故选C．4．已知a，b＞0，若圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（1，]C．（1，）D．（，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得b≥a，由b2=c2﹣a2和离心率公式e=，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，可得b≥a，即有b2≥a2，即c2﹣a2≥a2，即有c2≥2a2，由e=，可得e≥．故选：A．5．若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），由z=x﹣2y得：y=x﹣，显然直线过A（1，1）时，z最小，z的最小值是﹣1，故选：B．6．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断．【解答】解：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B．7．已知，为同一平面内两个不共线的向量，且=（1，2），=（x，6），若|﹣|=2，向量=2，则=（）A．（1，10）或（5，10）B．（﹣1，﹣2）或（3，﹣2）C．（5，10） D．（1，10）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算﹣的坐标，根据|﹣|=2列方程解出x，利用向量不共线进行验证，再计算的坐标．【解答】解：=（1﹣x，﹣4），∴||=，解得x=﹣1或x=3．∵不共线，∴x≠3．即x=﹣1．∴=（﹣1，6），∴=（2，4）+（﹣1，6）=（1，10）．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．3 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的c，a，b，k的值，由题意当i=9时，满足条件i＞8，退出循环，输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1，S=0执行循环体，a=，S=，i=2不满足条件i＞8，执行循环体，a=﹣1，S=﹣，i=3不满足条件i＞8，执行循环体，a=2，S=，i=4不满足条件i＞8，执行循环体，a=，S=2，i=5不满足条件i＞8，执行循环体，a=﹣1，S=1，i=6不满足条件i＞8，执行循环体，a=2，S=3，i=7不满足条件i＞8，执行循环体，a=，S=，i=8不满足条件i＞8，执行循环体，a=﹣1，S=，i=9满足条件i＞8，退出循环，输出S的值为．故选：B．9．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得sin2α、cos2α的值，可得tan2α的值．【解答】解：∵==（cosα﹣sinα）=﹣，且α∈（，），∴cosα﹣sinα=﹣，∴平方可得sin2α=．结合2α∈（，π），可得cos2α=﹣=﹣，则tan2α==﹣，故选：B．10．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC．若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）A．B．C．12πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．【解答】解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC外接圆半径AC=，∵S△ABC=×2×2=2，三棱锥S﹣ABC的体积为，∴S到底面ABC的距离h=2，∴球心O到平面ABC的距离为|2﹣R|，由平面SAC⊥平面ABC，利用勾股定理可得球的半径为：R2=（2﹣R）2+（）2，∴R=球的体积：πR3=π．故选：A．11．若函数f（x）=﹣m有零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用．【分析】由题意可得，可得奇函数y==的图象（图中红色曲线）和直线y=m有交点，数形结合可得实数m的取值范围．【解答】解：根据函数f（x）=﹣m有零点，可得奇函数y==的图象和直线y=m有交点，如图所示：数形结合可得，﹣1＜m＜1，故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC 关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．【解答】解：∵acosA=bsinA，∴，又由正弦定理得，∴sinB=cosA=sin（），∵B，∴π﹣B=．∴B=A+．∴C=π﹣A﹣B=．∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+．∵0，，∴0，∴0＜sinA．∴当sinA=时，sinA+sinC取得最大值．故选：B．二、填空题13．已知复数z满足|z|﹣=2﹣4i，则z=3﹣4i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足|z|﹣=2﹣4i，可得﹣（a﹣bi）=2﹣4i，利用复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足|z|﹣=2﹣4i，∴﹣（a﹣bi）=2﹣4i，∴，解得b=﹣4，a=3．∴z=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．14．在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于其表面积的与其内切球半径之积（用文字表述）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，把三棱锥的体积转化为四个三棱锥的体积，可得三棱锥的体积等于其表面积的与其内切球半径之积．【解答】解：如图，设三棱锥A﹣BCD的内切球球心为O，连接OA，OB，OC，OD，则O到三棱锥四个面的距离为球的半径r，∴=．故答案为：其表面积的与其内切球半径之积．15．函数f（x）=（﹣tanx）cos2x，x∈（，π]的单调减区间是[，π]．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】使用三角函数恒等变换化简f（x），根据余弦函数的单调性求出f（x）的单调减区间，与定义域取交集即可．【解答】解：f（x）=cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）+．令2kπ≤2x+≤π+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ．∴（，π]∩[﹣，]=[，π]．故答案为：[，π]．16．已知F1，F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O （O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1与椭圆交于点P，则△QF1F2与△PF1F2的面积的比值是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作图，结合图象可得c+=2a，从而可得椭圆C的方程为+=1，再直线方程联立消元可得y2﹣2cy﹣c2=0，从而可得点Q的纵坐标为c，点P的纵坐标为﹣，从而解得．【解答】解：由题意作图如右图，∵△QF1O（O为坐标原点）为正三角形，∴△QF1F2是直角三角形，∴c+=2a，∴a=c，b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆C的方程为+=1，设直线PQ的方程为y=（x+c），故x=y﹣c，代入消x化简可得，y2﹣2cy﹣c2=0，即（y﹣c）（y+）=0，故点Q的纵坐标为c，点P的纵坐标为﹣，故△QF1F2与△PF1F2的面积的比值为=，故答案为：．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）（1）设b n=a n+3（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）首先对数列的递推关系式进行恒等变换，进一步求出数列是等比数列．（2）利用等比数列进一步求出数列的通项公式，在求出数列的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）则：a n+1+3=2（a n+3），即：（常数），由于设b n=a n+3（n∈N+），所以：，数列{b n}是等比数列；（2）由（1）得：数列{b n}是等比数列，所以：，由于：a1=1，所以：则：S n=a1+a2+…+a n=22﹣3+23﹣3+…+2n+1﹣3=22+23+...+2n+1﹣（3+3+ (3)==2n+2﹣3n﹣418．如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B﹣MOC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可得BC⊥AC，再由PA垂直圆O所在的平面，得PA⊥BC，最后结合线面垂直的判定得答案；（2）由点M到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离的，把三棱锥B﹣MOC的体积转化为三棱锥M﹣BOC的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵C为圆O上的一点，AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又PA垂直圆O所在的平面，∴PA⊥BC，则BC⊥平面PAC；（2）解：∵AB=2，BC=AC，∴在Rt△ABC中，可得，又PA=AB=2，点M为PC的中点，∴点M到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离的，∴．19．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5销售收益y（单位：万元） 2 3 2 7表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；（3）空白处填5．由题意，=3，=3.8，x i y i=69，=55，∴b==1.2，a=3.8﹣1.2×3=0.2，∴y关于x的回归方程为y=1.2x﹣0.2．20．已知圆O：x2+y2=9及点C（2，1）．（1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给予证明；（2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）OC的中点为（1，），设OC的垂直平分线为y=﹣2x+，代入圆x2+y2=9，得=0，由韦达定理及中点坐标公式得到AB的中点为（1，），再由OC⊥AB，推导出四边形OACB为菱形．（2）当直线l的斜率不存在时，S△OPQ=2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k），圆心到直线PQ的距离为d=，由平面几何知识得|PQ|=2，推导出当且仅当d2=时，S△OPQ 取得最大值，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）四边形OACB为菱形，证明如下：OC的中点为（1，），设A（x1，y1），B（，y2），设OC的垂直平分线为y=﹣2x+，代入圆x2+y2=9，得=0，∴，=﹣2×=，∴AB的中点为（1，），∴四边形OACB为平行四边形，又OC⊥AB，∴四边形OACB为菱形．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，则P、Q的坐标为（2，），（2，﹣），∴S△OPQ==2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣1=k（x﹣2），（k），则圆心到直线PQ的距离为d=，由平面几何知识得|PQ|=2，∴S△OPQ==d=≤=，当且仅当9﹣d2=d2，即d2=时，S△OPQ取得最大值，∵，∴S△OPQ的最大值为，此时，由=，解得k=﹣7或k=﹣1．此时，直线l的方程为x+y﹣3=0或7x+y﹣15=0．21．设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+x2﹣a＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（2）g（x）=f（x）+x2﹣a，求出函的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（1）=0，f′（x）=（4x﹣4）lnx+（2x﹣4），f′（1）=﹣2，∴切线方程是：y=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0；（2）设g（x）=f（x）+x2﹣a=（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a，x∈[1，+∞），则g′（x）=4（x﹣a）（lnx+1），（x≥1），a≤1时，g（x）在[1，+∞）递增，∴对∀x≥1，有g（x）≥g（1）=1﹣a＞0，∴a＜1；a＞1时，g（x）在[1，a）递减，在（a，+∞）递增，∴g（x）min=g（a）=a2（1﹣2lna）﹣a，由a2（1﹣2lna）＞a，得：a（1﹣2lna）﹣1＞0，设h（a）=a（1﹣2lna）﹣1，a＞1，则h′（a）=﹣1﹣2lna＜0，（a＞1），∴h（a）在（1，+∞）递减，又h（1）=0，∴h（a）＜h（1）=0与条件矛盾，综上：a＜1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的判定；弦切角．【分析】（1）根据已知和切割线定理可得AC2=AD•AE，即=，又∠CAD=∠EAC，即可证明△ADC∽△ACE．（2）由F，G，E，D四点共圆，可得∠CFG=∠AEC，利用三角形相似可得∠ACF=∠AEC，通过证明∠CFG=∠ACF，即可得解FG∥AC．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）根据题意，可得：AB2=AD•AE，∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即=，又∵∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE．…5分（2）∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG=∠AEC，又∵∠ACF=∠AEC，∴∠CFG=∠ACF，∴FG∥AC．…10分[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m ∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆心坐标为（1，1），半径r=．m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．∴圆心C到直线l的距离d==＜r．∴直线l与圆C相交．（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，∴t1=，t2=﹣．当t=时，，当t=﹣时，．∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）去掉绝对值，可求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，则3+2|a﹣2|≤3，即可求实数a的值．【解答】解：（1）由|y﹣2|≤1，可得﹣1≤y﹣2≤1，∴1≤y≤3．（2）|x﹣2y+2a﹣1|=|x﹣1﹣2y+4+2a﹣4|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2|a﹣2|≤1+2+2|a﹣2|，∴3+2|a﹣2|≤3，∴|a﹣2|≤0，∴a=2．2016年9月9日。
2016年高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. D2. D3. B4. A5. B6. C7. D8. B9. D 10. D 11. A 12. C 二、填空题（每小题5分）13. 60 14. ∈15.18+ 16. 215三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD =a ，则AC，CD =2a ，则222CD AD CA =+.∴90,60,120.CAD CDA ADB ∠=︒∠=︒∠=︒又2,,CD BD DB a =∴=∴ADB ∆为顶角为120︒的等腰三角形，30B ∴=︒. ………………6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由21sin 2AD aa B ===a =3, 3.AC AB ∴==且120.CAB ∠=︒1332ABC S ∆∴=⨯⨯=. (12)分18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =. …………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分(Ⅲ) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.8121.2555310b -⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230.2a =-⨯=，即回归直线的方程为 1.20.2y x =+. ……………………………………………………12分19．(Ⅰ)证明：连接CO ，由AD =13DB 知，点D 为AO 的中点．C 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径，AC BC ⊥∴。
山西省2016届高考数学考前质量检测三（理附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为虚数单位）满足，则（）A．B．C．D．2.用给个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（）A．B．C．D．3.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．4.为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（）A．B．C．D．5.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）6.设是等比数列的前项和，若，在（）A．B．C．D．7.实数满足若的最小值为，则实数的值为（）A．B．C．D．9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A．B．C．D．10.已知为同一平面内的两个向量，且，若与垂直，则与的夹角为（）A．B．C．D．11.在体积为的三棱锥中，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．12.函数的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需人工作，第二天需人工作，第三天需人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答）14.已知集合，则___.（用填空）15.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且为坐标原点）为正三角形，若射线与椭圆分别相交于点，则与的面积的比值为______.16.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足，则数列的前项的和为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点是的边上一点，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的外接圆的半径为，求的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 19.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点为圆上的一点，且，点为线段上一点，且，垂直圆所在的平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）为抛物线的焦点，过点的直线与交于两点，的准线与轴的交点为，动点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形的面积最小时，求直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当时，恒成立，求正实数的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的切线，是⊙的割线，，连接，分别于⊙交于点，点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程.（Ⅰ）当时，判断直线与的关系；（Ⅱ）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数，成立，求实数的值.2016年高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每小题5分）1.D2.D3.B4.A5.B6.C7.D8.B9.D10.D11.A12.C二、填空题（每小题5分）13.6014.15.16.三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD=a，则AC=a，CD=2a，则.∴又∴为顶角为的等腰三角形，.………………6分（Ⅱ）在中，由得.且 (12)分18．解：(Ⅰ)设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.…………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为.………8分(Ⅲ)空白栏中填5.由题意可知，，，，，根据公式，可求得，，即回归直线的方程为.……………………………………………………12分19．(Ⅰ)证明：连接CO，由AD=13DB知，点D为AO的中点．为圆上的一点，为圆的直径，。
2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题一、选择题1．复数ii ++-31014的共轭复数为（ ） A ．i +5 B ．i -5 C ．i +-5 D ．i --5【答案】B【解析】试题分析：4104(1)10(3)13(1)(1)(3)(3)i i i i i i i i +-+=+-+-++-2(1)35i i i =++-=+，共轭复数为5i -．故选B ．【考点】复数的运算，复数的概念．2．若集合2{|15}A x x x =<<，},3|{A x x y y B ∈-==，则=B A Y （ ） A ．)2,1( B ．)2,2(- C ．)5,1(- D ．)5,2(- 【答案】D【解析】试题分析：{|15}A x x =<<，{|22}B y y =-<<，则{|25}A B x x =-<<U ．故选D ．【考点】集合的运算．3．),(11y x P 、),(22y x Q 分别为抛物线x y 42=上不同的两点，F 为焦点，若||2||PF QF =，则（ ）A ．1212+=x xB ．122x x =C ．1212+=y yD ．122y y = 【答案】A【解析】试题分析：在抛物线24y x =中焦参数为2p =，因此11PF x =+，21QF x =+，所以2112(1)x x +=+，即2121x x =+．故选A ．【考点】抛物线的定义．4．设D C B A ,,,四点都在同一个平面上，且BC DC AC 54=+，则（ ） A ．BD AB 4= B ．BD AB 5= C ．BD AC 4= D ．BD AC 5= 【答案】A【解析】试题分析：由BC DC AC 54=+得4()AC BC BC DC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，即4AB BD =u u u r u u u r．故选A ．【考点】向量的线性运算． 5．将函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后得cos[3()]183y ππ=++cos(3)2x π=+ sin3x =-，图象为D 。
2016山西考前质量监测理科数学试题（1）设集合{}{}1,ln(2)A x x B x y x =≥-==-则R AC B =A ．[一1，2）B ．[2，+∞）C ．[一l ，2]D ．[一1，+∞） 解：202B x x ⇒->⇒>)11,22R x A C B x x ≥-⎧=⇒∈-⎡⎨⎣≤⎩ （2）下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）内单调递减的是A. ()fx cosx =- B. ()22x x f x -=+ C ()21f x x= D. ()f x =解：∵偶函数 ∴定义域关于原点对称排除D A.()()000157.31,257.3,114.6rad =∴=在该区间y=cosx 是减函数∴()f x cosx =-是增函数B. ()2221xx x t f x y t t -⎧=⎪=+⎨=+⎪⎩2x t =是增函数222111t y t t -'=-=，区间（1，2）上0y '>，y 是增函数∴根据同增异减可知在区间（1，2）上()22x x f x -=+是增函数C. ()32f x x'=-在区间（1，2）上()0f x '< ∴在区间（1，2）上f （x ）是减函数故选C（3）在242)x x +-（的展开式中，各项系数和是A. 0 -B. 1C. 16D. 256 解：令242801282)x x a a x a x a x +-=++++（X=1时可得012380a a a a a =+++++即各项系数和是0.（4）已知抛物线C 1：x 2=2py(p>0)的准线与抛物线C 2:x 2=-2py(p>0)交于A 、B 两点，C 1的焦点为F ，若∆FAB 的面积等于1，则C 1的方程是A.x 2=2yB.x 2c.x 2=y D.x 2解：抛物线C 1的准线是2py =-，与抛物线C 2:x 2=-2py(p>0)联立得x p =± 2AB P ∴=C 1的焦点为F 0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴12112FAB P S P P ∆==⇒= ∴212C ：x y = (5)某同学用计算器产生了两个[0，1]之间的均匀随机数，分别记作x ，y ，当y<x 2时，12x >的概率是 A ．724 B ． 12 C ．712 D ．78解：由题意可得右图： 令(){}()221,0,1,0,1,,,,1,0,12A x y x y B x y y y x y x x ⎧⎫⎡⎤=∈∈=∈∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢<⎥⎣⎦⎩⎭<，则13130211[10]333A xd S x x ==-==⎰ 1331311222117[1]33224B x x x S d ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭=⎰ ∴7724183B A S P S ===（6）在四棱锥P-ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数i R b a bi a z ,,(∈+=为虚数单位）满足12-=z ，则=b （ ）A ．iB ．i ±C ．1D ．1±2.用199,,1,0⋅⋅⋅给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．253.曲线x x y 23-=在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A ．0=-y xB ．02=--y xC ．0=+y xD ．02=-+y x4.P 为双曲线1322=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．15.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）6.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4,262==S S ，在=4S （ ） A ．22 B ．3 C ．51+ D ．310 7.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+,0,0,0y y x a y x 若y x z 2-=的最小值为1-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．213 B ．6 C ．211D ．510.已知,为同一平面内的两个向量，且a ),2,1(==，若b a 2+与b a -2垂直，则与的夹角为（ ） A ．0 B ．4π C ．32π D ．π 11.在体积为3的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,120,2 ，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A ．π3520 B ．π328 C ．π20 D ．π8 12.函数116)(243++++=x x xx x f 的最大值与最小值的乘积为（ ） A ．2 B ．97 C ．1615 D ．1617 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答）14.已知集合{}{}A x xB A ⊆==,1,0，则A ___B .（用∉∈⊇⊆,,,填空）15.已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线QO QF ,1与椭圆分别相交于点R P ,，则O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为______.16.已知数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1)(11=+++n n n n n a a a a b ，则数列{}n b 的前32项的和为______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，且AD AC 3=，BD CD AC CD 2,23==.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABD ∆的外接圆的半径为3，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.19.（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点C 为圆O 上的一点，且AC BC 3=，点D 为线段AB 上一点，且DB AD 31=，PD 垂直圆O 所在的平面. （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAB ；（Ⅱ）若BD PD =，求二面角A PB C --的余弦值.20.（本小题满分12分）F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 的直线l 与C 交于B A ,两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足+=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数xe xf =)(.（Ⅰ）当1->x 时，证明：2)1()(2+>x x f ；（Ⅱ）当0>x 时，1)1(ln 2)1(+-≤+-x a x x f 恒成立，求正实数a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，AB AC =，连接CE CD ,，分别于⊙O交于点F ，点G .（Ⅰ）求证：ACE ADC ∆∆~； （Ⅱ）求证：AC FG ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,sin 21,cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.（Ⅰ）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；（Ⅱ）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12,11≤-≤-y x . （Ⅰ）求y 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数y x ,，3122≤-+-a y x 成立，求实数a 的值.2016年高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. D2. D3. B4. A5. B6. C7. D8. B9. D 10. D 11. A 12. C 二、填空题（每小题5分） 13. 60 14. ∈15.18+ 16. 215三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD =a ，则AC，CD =2a ，则222CD AD CA =+.∴90,60,120.CAD CDA ADB ∠=︒∠=︒∠=︒又2,,CD BD DB a =∴=∴ADB ∆为顶角为120︒的等腰三角形，30B ∴=︒. ………………6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由21sin 2AD aa B ===a =3, 3.AC AB ∴==且120.CAB ∠=︒1332ABC S ∆∴=⨯⨯=. …………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =. …………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.163⨯+⨯+⨯+⨯+. ………8分(Ⅲ) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.8121.2555310b -⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为1.20.2y x =+. ……………………………………………………12分 19．(Ⅰ)证明：连接CO ，由AD =13DB 知，点D 为AO 的中点．C 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径，AC BC ⊥∴。
2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）（2016•河南模拟）已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）（2016•河南模拟）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）（2016•河南模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．C．D．6．（5分）（2016•河南模拟）已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=68.26%，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=95.44%，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.47727．（5分）（2016•河南模拟）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π8．（5分）（2016•河南模拟）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．306910．（5分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．（5分）（2016•河南模拟）已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．1612．（5分）（2016•河南模拟）某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．二、填空题13．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=______．14．（5分）（2016•河南模拟）已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=______．15．（5分）（2016•河南模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为______．16．（5分）（2016•河南模拟）已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为______．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2016•河南模拟）已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•河南模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．（12分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•河南模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O 于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2016•河南模拟）已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可确定出交集的子集个数．【解答】解：∵A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，∴A∩B={2，4}，则集合A∩B的子集个数为22=4，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•河南模拟）已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由=4+2i，得，∴复数z在平面上的对应点的坐标为（），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2016•河南模拟）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p∧q真￢q∧p 假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．5．（5分）（2016•河南模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．C．D．【分析】设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（0，b），若AF与双曲线C的一条渐近线y=x垂直，可得•=﹣1，即为ac=b2，由b2=c2﹣a2，即有c2﹣ac﹣a2=0，由e=可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2016•河南模拟）已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=68.26%，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=95.44%，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772【分析】根据二项式定理求出a，进而根据正态分布的对称性，结合已知中的公式，得到答案．【解答】解：（+x6）4展开式中通项为：x﹣2（4﹣r）•x6r=x8r﹣8，令8r﹣8=0，则r=1，故a==4，∵X～N（1，1），则P（﹣1＜X＜3）=95.44%，则P（﹣2＜X＜4）=99.74%，∴P（3＜X＜4）=（99.74%﹣95.44%）=0.0215，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线表示的几何意义，二项式定理的应用，难度中档．7．（5分）（2016•河南模拟）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R ﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．8．（5分）（2016•河南模拟）若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，考查对数的运算性质，属中档题．9．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．3069【分析】由a1=1，a n a n+1=2n，可得：n=1时，a2=2．n≥2时，==2，数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n a n+1=2n，∴n=1时，a2=2．n≥2时，==2，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．则S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=3×1023=3069．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（﹣，）时，sin（x+φ）＞恒成立，可得﹣+φ≥，且+φ≤，由此求得φ的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，∵=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．当x∈（﹣，），即x+φ∈（﹣+φ，+φ）时，f（x）＞1恒成立，∴sin（x+φ）＞恒成立，∴﹣+φ≥，且+φ≤．求得≤φ≤，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．11．（5分）（2016•河南模拟）已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．16【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x1+x2及x1x2进而求得y1y2和y1+y2，由•=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，M（﹣2，4），═（x1+2，y1﹣4），=（x2+2，y2﹣4），•=（x1+2，y1﹣4）•（x2+2，y2﹣4）=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2﹣4（y1+y2）+16=0，整理得：k2﹣2k+1=0，解得k=1，∴x1+x2=12，x1x2=4．|AB|=•=•=16，故答案选：D．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积公式、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•河南模拟）某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=，则该截面为AMNF．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=，则该截面为AMNF．连接MN，并延长交CC1的延长线于点E，交CB的延长线于点D，三棱柱的体积为×2×4=4，设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V1，V2，EC1=2，BD=1，∴=×2=．V M﹣ABD=×2=．V A﹣DCE==3．∴V1=3﹣﹣=，V2=﹣=，∴=．【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．（5分）（2016•河南模拟）已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100= 383．【分析】由数列{a n}、{b n}均为等差数列，可得数列{a n+b n}是等差数列，由已知求出数列{a n+b n}的公差，代入等差数列的通项公式求得a100+b100．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d1，数列{b n}的首项为b1，公差为d2，∴a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=a1+b1+（d1+d2）n﹣（d1+d2），∴数列{a n+b n}是以d1+d2为公差的等差数列．由a5+b5=3，a9+b9=19，得，∴a100+b100=a5+b5+95（d1+d2）=3+95×4=383．故答案为：383．【点评】本题考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题．14．（5分）（2016•河南模拟）已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．（5分）（2016•河南模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为13．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC的三边及其内部部分：联立⇒得：A（4，3）．联立⇒得：B（2，0）．令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，直线过B（2，0）时，a最小，此时a=﹣4，故z=|a|，故z的最大值是13，故答案为：13．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．也可以转化为点到直线的距离公式求解．16．（5分）（2016•河南模拟）已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【分析】分离参数a=x，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x﹣交点个数判断即可．【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0，a=x，令y=x，y′=，x3+x﹣2=0，x=1x＜0时y′＞0，x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1∴y=a，与y=x交点为1个时，a＜1，故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的思想，运用求解零点问题，关键构造函数，利用图象交点问题求解，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016•河南模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB ≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016•河南模拟）已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，甲每次所取的两球颜色相同的概率为=，乙每次所取的两球颜色相同的概率为，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=++×=，P（X=3）=+=，P（X=4）==，0 1 2 4EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2016•河南模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC 1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．21．（12分）（2016•河南模拟）已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a x=x在（0，+∞）上有2个解，即xlna=lnx⇔lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，F′（x）=，∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减，故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0，故F（x）的最大值是F（e）=，要使方程lna=有2个解，需满足0＜lna＜，解得：1＜a＜；（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna，作差得：ln=（x1﹣x2）lna，即lna=，故原不等式等价于＞恒成立，∵0＜x1＜x2，∴ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意，λ＞1时，t∈（0，）上大致，在t∈（，1）上递减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去，综上，若不等式lna＞恒成立，只需0＜λ≤1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•河南模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O 于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=•；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=•；（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴AD2=AB•AC﹣AD•DE=AB•AC﹣BD•DC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴•=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时，+≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016年高考考前质量检测考试（三）理科综合参考答案及评分标准评分说明：1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分参考中相应的规定评分。
2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分。
一、选择题1. C2. B3. C4. D5. D6. A7. C8. D9. B 10. C 11. B 12. B 13. D二、选择题14. D 15. A 16. B 17. C 18. A 19. AD 20. BD 21. AC 三、非选择题 （一）必考题 22．（6分）（1） < （2分）（2）光电门A 、B 之间的距离x （2分） （3）kg bx 2（2分）23.（9分）（1） 2.5 （2分） 0.15 （2分） 1.5 （2分） （2） 5500 （3分） 24．（12分）解：（1）圆环从M 点运动到N 点的过程中，弹力做功为零…………………（2分）设圆环经过N 点时的瞬时速度为N v ，由动能定理221)(N mv ON OM mg =+………………………………………………（2分）解得 4m /s N v =………………………………………………………（2分） （2）圆环经过P 点时速度最大，此时圆环所受的合力为零。
设轻质弹簧的劲度系数为k ，此时弹簧的弹力为F ，弹簧的伸长量为Δx ，弹簧与竖直方向夹角为θ2cos F mg θ=……………………………………………………………（2分）l OP x -=∆θcos …………………………………………………………（1分）0.3cos ==0.60.5θ…………………………………………………………（1分） 解得 =2.5N /mFk x =∆………………………………………………（2分） 25．（20分）解：（1）设带电粒子匀速运动时速度为0v ，带电粒子在电场中做类平抛运动加速度为a ，在电场中运动时间为t ，离开电场时水平方向速度为x v ，竖直方向速度为y v0=x v v ……………………………………………………………………（1分）=y v at ……………………………………………………………………（1分）tan 45y xv v =……………………………………………………………（1分）t v l 0=……………………………………………………………………（2分）=qE ma …………………………………………………………………（2分）解得0v =………………………………………………………（1分）（2）设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，圆形匀强磁场区域的最小半径为r200v qv B m R=…………………………………（2分）由几何关系2r R =…………………………………（2分） 圆形匀强磁场区域的最小半径r =…………………………………………………………（2分）圆形匀强磁场的圆心坐标cos 45x r = ……………………………………………………………（2分）sin 45y l r =+ …………………………………………………………（2分）圆心坐标 l +………………………………（2分）26．（15分）I （1）D →E →C →E →A （或 D →E →C →A ） （2分） （2）分液漏斗 浓硫酸 （2分）（3）第二个E 中品红溶液不褪色，A 中澄清石灰水变浑浊（或C 中KMnO 4溶液不褪色，A 中澄清石灰水变浑浊） （2分）II （1）没有尾气处理装置，CO 排到空气中会造成污染。
2016年高考前质量监测试题（卷）理科数学试题参考答案A 卷选择题答案一、选择题（1）C （2）B （3）A （4）A （5）D （6）D（7）B （8）C （9）D （10）C （11）C （12）B B 卷选择题答案一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）D（7）C （8）C （9）D （10）B （11）B （12）CA 、B 卷非选择题参考答案二、填空题（13） 4-3i （14） -12 （15） 11 （16）m ≥-1三、解答题（17）解：（Ⅰ）∵CD 为铅垂线方向，点D 在顶端，∴CD ⊥AB ．又∵α=45°，∴CD =AC ，∴CD =4；……………………………………5分 （Ⅱ）在△ABD 中，α+β=53︒+30︒=83︒，AB =AC +CB =4+6=10， ∴∠ADB =180︒－83︒=97︒． ∴由ADB AB AD ∠=sin sin β，得AD =ADB AB ∠sin sin β=97sin 30sin 10= 97sin 5≈5． 在△ACD 中，CD ²=AD ²+AC ²-2AD ·AC cos α=5²+4²-2×5×4×cos53°≈17．………12分（18）(Ⅰ) 根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格， 从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：学员编号补测项目 项数 （1）（2）②③⑤ 3 （1）（4）②③④⑤ 4 （1）（6）③④⑤ 3 （1）（9）①③⑤ 3 （2）（4）②④⑤ 3 （2）（6）②③④⑤ 4 （2）（9）①②⑤ 3 （4）（6）②③④ 3 （4）（9）①②④⑤ 4 （6）（9） ①③④⑤ 4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3， 由古典概型可知，所求概率为=10635；……………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为.5332109111=⨯⨯⨯⨯（ⅰ）由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为.62516524=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故该学员通过“科二”考试的概率为；625609625161=-………………………8分 （ⅱ）根据题意，X =150当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测，其他情况时均有X =450，而P （X =150）=2521535253=⨯+，故X 的分布列为 X150 450 P 2521 254 故EX =198721262544502521150=+=⨯+⨯（元）. ………………………12分 （19）(Ⅰ)证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则NQ =21AC ，NQ ∥AC . 又MF =21AC ，MF ∥AC ，所以MF =NQ ，MF ∥NQ ，则四边形MNQF 为平行四边形，即MN ∥FQ .⊂FQ 平面FCB ，⊄MN 平面FCB ，∴MN ∥平面FCB .…………………………………………………………5分 (Ⅱ)解：由AB ∥CD ，1===CB DC AD ，︒=∠60ABC 可得︒=∠90ACB ，3=AC ，1=BC ，2=AB .因为四边形ACFE 为矩形，所以⊥AC 平面FCB ，则AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即AFC ∠=︒30，∴3=FC . 10=FB ，∴BC FC ⊥.则可建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -， 所以)3,0,23(),0,1,0(),0,0,3(M B A . ∴)3,1,23(),3,0,23(--=-=MB MA . 设),,(z y x =m 为平面MAB 的法向量， 则⎩⎨⎧=⋅=⋅00m m MB ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-03230323z y x z x . 取32=x ，则)1,6,32(=m 为平面MAB 的一个法向量. 又)0,0,3(=n 为平面FCB 的一个法向量，73237332cos =⨯⨯=⋅=n m n m n m ,.则平面MAB 与平面FCB 所成角的余弦值为732．………………………12分 （20）解：（Ⅰ）S ∆BAN ＝12S ∆BAC ＝12S ∆ABC ＝12×12×2b ×a =2,∴ab =22①．又ac ＝22,②,解①②得a =2,c =b =2, ∴椭圆E 的方程为2422y x +＝1．……………………………………………5分 （Ⅱ）直线AB ：y =b -b a x ，直线CF :y=-b +c b x ,联立方程解得M 2,ac ab bc a c a c -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 设CM →=λCP →（λ＞0），P (x,y )，则2,+b ac ab bc a c a c -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=λ(x,y+b ), ∴x =2ac λ(a+c )，y =2ab -λb (a+c ) λ (a+c )． 把上式代入椭圆方程得4c 2 λ2(a+c )2＋[2a -λ (a+c )]2 λ2(a+c )2＝1,即4c 2+[2a -λ(a+c )]2=λ2(a +c )2． ∴λ＝a 2+c 2a (a+c )＝1+e 21+e ＝（e +1）+2e +1－2．∵0<e <1,∴1< e +1<2,∴λ≥22-2，当且仅当e +1=2,即e =2-1时，等号成立. λ取到最小值22-2．即|CM ||CP |的最小值为22-2．………………………………………………12分 （21） 解:（Ⅰ）假设直线l 与函数图像的切点为（x 0，f (x 0)），∵b ax a x f +='e )(，则根据题意可得⎩⎨⎧+=='.1)(,1)(000x x f x f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++.e1,1e 000b ax b ax x a ∴.110-=a x ∴.1e 1=+-b a a ① 又.e e e,)1(=∴='+b a a f ②由①②可得1,0a b ==.………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为点))(,()),(,(2211x mf x B x mf x A 关于y 轴的对称点))(,()),(,(2211x mf x x mf x -- 在直线l 上,所以211e ,1e 21x m x m x x -=-=. 两式相加得)(2)e (e 1212x x m x x +-=+,两式相减得)()e (e 1212x x m x x --=-.由以上两式可得)()(2e e e e 12121212x x x x x x x x --+-=-+， 所以)(1e 1e )(e e e e 212121212121212x x x x x x x x x x x x x x --+=--+=-+--， 即2)(1e 1e 12121212+--+=+--x x x x x x x x ，不妨设210t x x =->. 要证214x x +>.即证)1(e 2))(1(e 121212->-+--x x x x x x .即证0)1(e 2)1(e >--+t t t . 设0)1(e 2)1(e )(>--+=t t t g t t ，.1e -e )(+='t t t t g .0e )(>=t t t 'g',所以'()g t 在(0,)+∞单调递增,又g ′(0)=0,∴当),0(+∞∈t 时,'()0g t >恒成立,所以()g t 在(0,)+∞上单调递增,g (0)=0.所以()0g t >,2)(1e 1e 121212>--+--x x x x x x . 即42)(1e 1e 12121212>+--+=+--x x x x x x x x . ……………………………………12分 选考题（22）证明：（Ⅰ）∵A ，C ，D ，B 四点共圆，∴∠FBA =∠FCD ．又∵∠AFB =∠DFC ，∴△F AB ∽△FDC ． ………………………………5分 （Ⅱ）如图，在,FBE FMD ∆∆中，90FBE FMD ∠=∠=，BFE MFD ∠=∠(公共角)，由三角形内角和定理，可知12∠=∠又四边形ABDC 为圆的内接四边形，故32∠=∠，于是13∠=∠，故F ，E ，A ，B 四点共圆，且MEF 与MAB为该圆的两条割线.由割线定理知ME MF MA MB ⋅=⋅.……………………10分（23）解：（Ⅰ）C 1：ρsin 6+πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=32,C 2：ρ2＝61+2sin 2θ．……………………5分 （Ⅱ）M (3,0),N (0,1),∴P 12,⎫⎪⎪⎝⎭,∴OP 的极坐标方程为θ=π6,把θ=π6代入ρsin 6+πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=32得ρ1=1,P 1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 把θ=π6代入ρ2＝61+2sin 2θ得ρ2=2,Q 2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴|PQ |=|ρ2-ρ1|=1．即P ，Q 两点间的距离为1. ………………………10分（24）解：（Ⅰ）当a =2时，原不等式为：|x +1|－|2x －2|<0，即|x +1|<|2x －2|，化简得（3x －1）（x －3）>0,解得x ＜13，或x ＞3． 故解集为133|x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ………………………………………………5分 （Ⅱ）∵a ＞0，∴2a ＞0． ∴原函数可以化为：f (x )= (1)(2),1,(1)(2),1,2(1)(2),.2x x a x a x x a x a x x a x ⎧⎪-++-≤-⎪⎪++--<≤⎨⎪⎪+-->⎪⎩即f (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-≤<--+-≤--.2,1,21,13,1,1a x a x a x a x x a x ∴f (x )max =f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2a +1．所以2a +1≤3，∴a ≤4． 综上可得a 的取值范围为{a |0<a ≤4}．…………………………………10分。
2016届 山西省高三高考考前质量检测（三）理数试题 （解析版）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设{}{}2,,xy y B x x y x A R U -=====，则=)(B C A U（ ）A ．φB ．RC ．{}0>x x D ．{}0 【答案】C考点：集合运算．2.用199,,1,0⋅⋅⋅给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】D 【解析】试题分析：将编号199,,1,0⋅⋅⋅分为10段，分别为199~180,59~40,39~20,19~0 ，若第一段中编号为5，则第二段中同等位置上应取25. 考点：系统抽样．3.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．2x y = B ．xe y -= C ．x x y sin -= D ．x y -=【答案】C【解析】试题分析：2x y =在)0,(-∞递减，),0(+∞递增；xey -=与x y -=均在定义域内递减，对于函数x x y sin -=，其导函数为0cos 1'≥-=x y ，可知在定义域内，函数单调递增.考点：函数单调性．4.已知0,>b a ，若圆222b y x =+与双曲线12222=-by a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．]2,1(B ．)3,1(C ．)2,2(D ．),2[+∞ 【答案】D考点：双曲线离心率．5.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+,0,0,02y y x y x 若y x z 2-=的最小值是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由不等式组作出对应可行域，令0=z ，画出直线02=-y x ，可知当直线y x z 2-=经过点)1,1(P 时，z 取得最小值，且121min -=-=z .考点：简单线性规划．6.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）+x【答案】B 【解析】试题分析：由所截几何体可知，1FC 被平面E AD 1遮挡，可得B 图. 考点：三视图．7.已知,为同一平面内两个不共线的向量，且)6,(),2,1(x ==52=，向量+=2，则=（ ）A ．)10,1(或)10,5(B ．)2,1(--或)2,3(-C ．)10,5(D ．)10,1( 【答案】D考点：向量坐标运算．8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ） A ．25 B ．3 C ．27 D ．29【答案】A考点：程序框图．9.若552)4sin(2cos -=+παα，且)2,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ）A ．34-B ．43- C ．43 D ．34【答案】B 【解析】 试题分析：552)sin (cos 2)sin (cos 22)sin )(cos sin (cos )4sin(2cos -=-=+-+=+ααααααααπαα，则510sin cos -=-αα，两边平方，得532sin =α，由于)2,4(ππα∈，可得),2(2ππα∈，所以542cos -=α，则432tan -=α. 考点：三角函数求值． 10.在体积为34的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,90,2 ，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A ．π29 B ．π227 C ．π12 D ．π328 【答案】A考点：三棱锥外接球．【思路点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积.通过对等腰直角三角形ABC ，可知ABC ∆外接圆为球体的小圆，且以AC 中点D 为圆心，连接SD ，由平面⊥SAC 平面ABC 及SC SA =，知⊥SD 平面ABC ，由此可知球心必在SD 上，又三棱锥体积为34，即3431=⨯∆SD S ABC ，解得2=SD ，最后结合勾股定理，在ODB Rt ∆中，222)()2(OS SD AC OB -+=，即222)2()2(R R -+=，进而求得R .11.若函数m xxx f -+=1)(有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.]1,0( B.)1,0( C.)1,1(- D.]1,1(- 【答案】C考点：函数的零点．【思路点睛】本题主要考查函数的零点.若函数)(x f 有零点，可知存在R x ∈，使得01=-+m xx，即x x m +=1，则等式右边xx y +=1的取值范围与m 的取值范围应一致，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=+=0,10,11x xx x xxx x y ，分情况分析xx+1的取值范围，本题采用分离常数法得x x x +-=+1111，x x x -+-=-1111，从而通过自变量x 的范围，求出x x +1及xx-1的范围. 12. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.若A b A a sin cos =，且2π>B ，则C A sin sin +的最大值是（ ） A ．2 B ．89 C ．1 D ．87 【答案】B 【解析】试题分析：由A b A a sin cos =得B A sin cos =，又)2sin(cos π+=A A ，由2π>B ，得B A =+2π，所以89)41(sin 2sin 21sin )22sin(sin )sin(sin sin sin 22+--=-+=++=++=+A A A A A B A A C A π，)1,0(sin ∈A ，所以当41sin =A 时，C A sin sin +取得最大值，且为89.考点：正弦定理、诱导公式、二倍角公式、二次函数最值．【思路点睛】本题主要考查正弦定理、三角函数恒等变换及二次函数的应用，综合性较强.通过边角互化，将A b A a sin cos =转化为A B A A sin sin cos sin =，可得B A sin cos =，由诱导公式)2sin(cos π+=A A ，结合2π>B ，可进而得出B A =+2π，故89)41(sin 2sin 21sin sin sin 22+--=-+=+A A A C A ，由)1,0(sin ∈A 知，当41sin =A 时，C A sin sin +取得最大值，且为89.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数z 满足i z z 42-=-，则=z _______. 【答案】i 43+ 【解析】试题分析：设bi a z +=，则4,222==-+b a b a ，解得=z i 43+. 考点：复数运算．14.在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中， 三棱锥的体积等于______.（用文字表述） 【答案】其表面积的13与其内切球半径之积考点：类比推理．15.函数),2(,cos )tan 3()(2ππ∈-=x x x x f 的单调减区间是_________.【答案】]127,2(ππ 【解析】试题分析：),2(,23)32sin(cos sin cos 3cos )tan 3()(22πππ∈++=-=-=x x x x x x x x f ，由)37,34(32πππ∈+x ，所以当]23,34(32πππ∈+x ，即]127,2(ππ∈x 时，函数)(x f 单调减. 考点：三角函数性质．【思路点睛】本题主要考查三角函数化简和性质.由xxx cos sin tan =，可得x x x x f cos sin cos 3)(2-=，进而利用辅助角公式将解析式化简为23)32sin()(++=πx x f ，由),2(ππ∈x ，可得)37,34(32πππ∈+x ，结合正弦曲线，可知，当]23,34(32πππ∈+x 时，正弦值随着x 增大而减小，此时]127,2(ππ∈x .另本题也可令]223,22[32πππππk k x ++∈+，（Z k ∈），求出x 的取值范围，结合),2(ππ∈x ，从而确认函数)(x f 的单调递减区间.16.已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线QO QF ,1与椭圆分别相交于点R P ,，则O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为______.【答案】813+O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为813+. 考点：椭圆的定义、椭圆与直线的位置关系.【思路点睛】本题主要考查椭圆的定义、方程和性质，通过对直线：)(3c x y +=及椭圆方程1232)32(2222=++cy c x 的联立，可求得直线QP 与椭圆的两交点纵坐标，利用椭圆定义将椭圆方程中的2a 及2b 进行替换，从而将QPR ∆的面积表达为关于c 的关系式，结合O QF 1∆面积为243c ，进而求出两三角形的面积之比.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足*+∈+==N n a a a n n ,32,111. （Ⅰ）求证：数列{}3+n a 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）423232)1(22+--⋅-=+n n n S n n.考点：等比数列定义；分组求和；错位相减法求和． 18.（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，点C 为圆O 上的一点. （Ⅰ）求证：⊥BC 平面PAC ；（Ⅱ）若AB PA AC BC AB ===,3,2，点M 为PC 的中点，求三棱锥MOC B -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）123. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）将所求三棱锥MOC B -的体积转换为以M 为顶点，MOC ∆为底面进行体积计算，由于点M 为PC 的中点，故点M 到平面ABC 的距离等于点P 到平面ABC 的距离的21，由此可计算三棱锥MOC B -的体积.考点：空间中垂直关系的证明；三棱锥体积计算．19.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回 归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）5；（Ⅲ）5， 1.20.2y x =+.考点：频率分布直方图；样本特征数；线性回归方程. 20.（本小题满分12分）已知圆9:22=+y x O 及点)1,2(C .（Ⅰ）若线段OC 的垂直平分线交圆O 于B A ,两点，试判断四边形OACB 的形状，并给与证明；（Ⅱ）过点C 的直线l 与圆O 交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）菱形，证明见解析；（Ⅱ）03=-+y x 或0157=-+y x.(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =2，则P ，Q的坐标为，(2,，所以122OPQ S ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y -1=k (x -2) 12k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,则圆心到直线PQ的距离为d =考点：圆与直线的位置关系．【思路点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系.由已知联立直线AB 与圆的方程，可得弦AB 的中点坐标，由于AB OC ⊥且OC 中点坐标与AB 中点坐标一致，可知四边形OACB 两对角线互相垂直且平分，故四边形OACB 为菱形；对于第二问，圆心到直线PQ 的距离为d ，进而可写出OPQ ∆的面积的表达式，即d d S OPQ ⨯-⨯=∆29221，由基本不等式可求得面积最大值，进而确认直线的斜率，另外在求解过程中，应注意直线斜率不存在的特殊情况. 21.（本小题满分12分）设函数R a x ax x x f ∈-=,ln )42()(2.（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意0)(),,1[2>-++∞∈a x x f x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）022=-+y x ；（Ⅱ）1a <. 【解析】试题分析：（Ⅰ）当1a =时，(1)0f =，'(1)2f =-，由此可求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）“对任意0)(),,1[2>-++∞∈a x x f x 恒成立”等价于“函数a x x f x g -+=2)()(在),1[+∞内最小值大于0”，由此构造函数)(x g ，分1≤a 、1>a 两种情况讨论)(x g 的最小值min )(x g ，且0)(min >x g ，进而确认a 的取值范围.考点：导数的几何意义、导数的应用．【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数的应用.由曲线在切点出的导数值为切线的斜率，可知当(1)0f =，'(1)2f =-时，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(2--=x y ；对于第二问可将问题转化为函数a x x f x g -+=2)()(在),1[+∞内最小值大于0，由于R a ∈，故需分情况对函数)(x g 的最小值进行讨论，进而确认最值，从而得出a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，AB AC =，连接CE CD ,，分别于⊙O 交于点F ，点G .（Ⅰ）求证：ADC ∆∽ACE ∆； （Ⅱ）求证：AC FG ∥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.考点：相似三角形、两线平行的证明．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,sin 21,cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.（Ⅰ）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；（Ⅱ）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标. 【答案】（Ⅰ）相交；（Ⅱ）)0,2(和)2,0(. 【解析】考点：极坐标与直角坐标方程互化、参数方程、圆与直线的位置关系． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12,11≤-≤-y x . （Ⅰ）求y 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数y x ,，3122≤-+-a y x 成立，求实数a 的值. 【答案】（Ⅰ）31≤≤y ；（Ⅱ）2=a . 【解析】试题分析：（Ⅰ）解绝对值不等式，得31≤≤y ；（Ⅱ）由42421122-++--≤-+-a y x a y x ，结合绝对值三角不等式，可知42||42||142421-+-+-≤-++--a y x a y x ，可知，3|2|23≤-+a ，即0|2|≤-a ，故2=a .试题解析：（Ⅰ）由|y －2|≤1，得－1≤y －2≤1，1≤y ≤3.所以实数y 的取值范围是：{y |1≤y ≤3}.…………………………………………………4分 （Ⅱ）22112424x y a x y a -+-=--++-Q12222x y a ≤-+-+-1222a ≤++- 3223,a ∴+-≤即20.a -≤2.a ∴= ……………………………………………………………………………………10分考点：绝对值不等式，绝对值三角不等式．。
