3.5 相似三角形的应用

相似三角形的性质在教育教学中的应用相似三角形是数学中的基础概念之一，具有广泛的应用价值。

在教育教学中，相似三角形的性质不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

本文将以几个具体案例，探讨相似三角形的性质在教育教学中的实际应用。

1. 求解高难度几何问题相似三角形的性质使得我们能够解决一些高难度的几何问题。

例如，给定一个复杂的几何图形，我们需要求解其中一些未知的边长或角度，这时我们可以利用相似三角形的性质进行推断和计算。

通过观察和比较各个三角形的边长比例或角度比例，我们可以利用相似三角形的比例关系得出所需的答案。

通过这种方法，我们能够辅助学生解决一些复杂的几何难题，提高他们的问题解决能力和思维灵活性。

2. 计算高度和距离在实际生活中，我们经常需要计算高度和距离，例如估算一座高楼的高度、测量不可达之处的距离等。

相似三角形的性质可以帮助我们快速并准确地计算这些值。

以估算高楼的高度为例，我们可以利用相似三角形的性质，在合适的位置测量楼影的长度和角度，然后通过相似三角形的比例关系，计算出楼的高度。

这种方法不仅简单高效，而且准确度也比较高，为我们提供了一种实用的计算手段。

3. 测量不可达之处的高度相似三角形的性质还可以应用在测量不可达之处的高度上。

例如，我们常常遇到需要测量河流宽度的情况，但由于河流宽度过大或者无法直接测量，我们无法使用传统的测量工具。

此时，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。

我们可以选择在河岸上找到一个能够直接测量的高度，再找到一个与之成相似三角形的目标物体，通过相似三角形的比例关系计算出目标物体的高度，从而间接得到河流的宽度。

这种方法充分利用了相似三角形的性质，解决了实际测量中的困难。

4. 做图形缩放和设计相似三角形的性质在图形缩放和设计中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要根据实际建筑比例进行设计，但我们又无法在纸上或电脑屏幕上直接按实际比例绘图。

课题相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识框架相似三角形相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数），相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC（2）对称性：若△ABC∽△ABC，则△ABC∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△ABC并且△ABC∽△ABC则△ABC∽△ABC3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法AB CDE①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的应用》是湘教版数学九年级上册3.5节的内容。

本节主要让学生掌握相似三角形的性质及应用，进一步培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

教材通过实例引入相似三角形的概念，接着介绍了相似三角形的性质，最后列举了一些应用实例。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等基础知识，对几何图形有了一定的认识。

但学生对相似三角形的理解及应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方法，逐步掌握相似三角形的性质及应用。

三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的性质。

2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。

3.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的概念及性质。

2.相似三角形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，主动探索相似三角形的性质。

2.运用实例讲解法，让学生在实际问题中体验相似三角形的应用。

3.采用分组合作法，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关教学课件、图片、例题等教学资源。

2.准备教案、学案、作业等教学资料。

3.准备几何画板等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的相似图形，如古建筑的窗花、玩具模型等，引导学生观察并提出问题：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考相似图形的性质，从而引出相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的定义及性质，通过举例让学生理解相似三角形的判定方法。

同时，引导学生发现相似三角形在实际问题中的应用，如测量身高、计算物体面积等。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板绘制相似三角形，并观察它们的性质。

每组选取一个实例，运用相似三角形的性质解决问题，如计算未知边长、面积等。

相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。

相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。

即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。

这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。

3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。

例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。

总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。

相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。

例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。

此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。

2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。

例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。

此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。

3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。

例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。

此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。

4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。

例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。

另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。

总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。

通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。

章节测试题1.【答题】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是______毫米．【答案】【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CA＝DE：AB，∴20：60＝DE：10，∴DE毫米，∴小管口径DE的长是毫米．故答案为.2.【答题】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是______米．【答案】54【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴，∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，∴，∴，解得BD＝52，∴，解得AB＝54，即建筑物的高是54m．故答案为54．3.【答题】如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC 与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为______cm．【答案】100【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB＝∠DBC．∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB．∴，∴BC2＝AC•BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，∴10BD＝1000．∴BD＝100（cm）．故答案为100．4.【题文】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE ＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【答案】4 m.【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，∴，解得x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．5.【题文】如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？【答案】矩形的长为cm，宽为cm．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N.∵∠BAC＝90°，∴∠BNA＝∠BAC，BC20（cm）.又∵∠B＝∠B，∴△ABN∽△CBA，∴，∴AN（cm）.∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥HG，∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C，∴△AHF∽△ABC，∴.设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x，，解得x，∴2x.答：截得的矩形的长为cm，宽为cm．6.【答题】如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为______米．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．∴小明的影长为5米．7.【答题】如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、在一条直线上，且直线与河垂直，在过点且与垂直的直线上选择适当的点，与过点且与垂直的直线的交点为，如果，，，则荆河的宽度为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度.由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度．【解答】由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，∴.设PQ=x，∴，解得x=120.故PQ=120m.选B．8.【答题】数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量这棵树的影长为米，则树高为______米．【答案】4【分析】本题考查了相似三角形的运用；熟记同一时刻的物高与影长成比例是解答此题的关键．设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．【解答】设这棵树的高度是x米，根据题意得1：0.8=x：3.2，解得x=4；即这棵树的高度为4米．故答案为4．9.【答题】如图，小明用2m长的标杆测量一棵树的高度．根据图示条件，树高为______m．【答案】7【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．【解答】这棵树高是x米，2：6=x：（6+15），6x=21×2，x=7．故答案是7．10.【题文】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．【答案】90m.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．【解答】根据题意得出QR∥ST，则△PQR∽△PST，故，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴，解得PQ=90（m），∴河宽度为90米．11.【题文】如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC 上．若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积．【答案】2000平方米或1920平方米.【分析】利用矩形的性质得出△ADG∽△ABC，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】∵矩形DEFG中DG∥EF，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∴．①若DE为宽，则，∴DG=50，此时矩形的面积是50×40=2000平方米；②若DG为宽，则，∴DE=48，此时矩形的面积是48×40=1920平方米．12.【答题】在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A. B. C. 2倍 D. 3倍【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【解答】如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的．故选A．13.【答题】如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是______米．【答案】24【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABP∽△CDP是解题关键．由已知得△ABP∽△CDP，根据相似形的性质可得=，解答即可．【解答】由反射的性质可得∠APB=∠CPD，又∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∴CD===24（米）．故答案为24．14.【题文】如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．【答案】30mm.【分析】【解答】作出示意图.连接AB，同时连结OC并延长交AB于E，∵夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，∴OE⊥ABAE＝BE，∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴，而，即，∴AB＝2AE＝30（mm）.答：AB两点间的距离为30mm．15.【题文】小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．【答案】10米．【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可【解答】过点C作CH⊥AB.设AH=x米，，解得x=8，AB=8+2=10米.答：AB的高度为10米．16.【题文】数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH ＝3米；③计算树的高度AB；【答案】15米．【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．【解答】设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，∴，∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，∴△ABF∽△GHF，∴，∴，∴，解得y＝20，把y＝20代入中，得x＝15，∴树的高度AB为15米．17.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．18.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．19.【题文】20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．【答案】30m．【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明△CAB∽△CPQ是本题的关键．通过证明△CAB∽△CPQ可得，可求解．【解答】设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为x m，21.6km/h＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．20.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．过点B 作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．。

(应用版)相似三角形在实际生活中的应用相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍几个常见的应用场景。

建筑与设计在建筑与设计领域，相似三角形的应用相当普遍。

我们常常会看到大楼、桥梁、摩天轮等建筑物的结构呈现出相似的形状。

设计者利用相似三角形的原理，可以快速计算出各个部分的比例关系，从而保证结构的稳定性和美观性。

此外，相似三角形的使用还能够在建筑设计中实现适当的缩放，使得设计更加灵活。

地图与导航在地图与导航领域，相似三角形也有着重要的应用。

当我们使用导航软件或地图上查找路线时，软件会根据起点、终点以及途径的地点，计算出最优路线。

这其中涉及到大量的地理信息和距离计算。

而相似三角形的原理可以帮助我们快速估算出两个地点间的距离，为导航系统提供准确的路径规划。

影视与摄影在影视与摄影领域，相似三角形的应用也十分常见。

通过使用透视原理和相似三角形的关系，摄影师可以在拍摄时选择不同的角度和焦距，创造出不同的视觉效果。

例如，在电影中经常会出现飞跃的镜头，通过利用相似三角形的比例关系，使得物体的大小和远近产生错觉，给人一种身临其境的感觉。

倾斜物体的测量在工程测量中，当我们无法直接测量到某个物体的高度时，可以利用相似三角形的原理进行测量。

通过测量物体的阴影长度和阴影的角度，以及我们所站立的位置与物体的距离，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的高度。

这种方法在测量高楼、山脉等高度较难测量的物体时十分有效。

综上所述，相似三角形在实际生活中有诸多应用，无论是建筑与设计、地图与导航、影视与摄影，还是工程测量，相似三角形的原理都能够提供便利和准确的解决方案。

我们应当充分了解和利用相似三角形的特性，以应用于实际问题中，为我们的生活和工作带来更多的便利和创造力。

相似三角形的实际问题在数学中，相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形的概念在实际问题中常常得到应用，包括地理测量、建筑设计以及工程计算等领域。

本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用。

问题一：高楼建设在高楼建设过程中，经常会遇到需要测量高楼的高度的问题。

然而，由于高楼的高度较高，直接测量比较困难。

这时，可以利用相似三角形的原理进行测量。

解决方法：选择一个相对安全的地方，远离高楼底部。

然后，使用测量仪器（比如测距仪）测量出站立点到高楼底部某一固定点的距离，记为a。

接着，可以使用测量仪器对站立点到高楼顶部的角度进行测量，记为α。

利用三角函数的知识可以计算出高楼的高度h。

解决思路：在测量三角形底边上选择一个已知的点（即测量仪器的位置），根据已知的距离和角度，可以通过相似三角形的性质计算出高楼的高度。

具体计算公式如下：h = a × tan(α)问题二：航空导航在航空导航中，飞行员需要根据当前位置和目标位置之间的距离、方向等信息进行导航。

相似三角形的原理可以帮助飞行员计算出正确的航线。

解决方法：假设飞行员需要从A地飞行到B地，但由于天气等原因无法直接导航。

这时，飞行员可以选择一个C点，使得ABC和ABD两个三角形是相似的。

通过测量AC的距离和角度，以及AB的距离，飞行员可以使用相似三角形的性质计算出BD的距离。

进而，飞行员可以根据反向推导的方法确定正确的航线。

解决思路：根据相似三角形的性质，在已知的线段AC与线段AB所对应的两个角度相等的情况下，可以通过线段AC的长度和线段AB的长度的比值来计算出线段BD的长度。

具体计算公式如下：BD = AB × (BD/AC)问题三：地图比例尺在地图上，我们常常会看到一个比例尺，它告诉我们地图上的距离与实际距离之间的比例关系。

这个比例尺就是通过相似三角形的原理确定的。

解决方法：在绘制地图时，测量某一地区的实际距离，例如100米。

湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》是本学期的重要内容。

本节内容通过引入实际问题，引导学生利用相似三角形的性质进行问题求解。

教材以生活中的实例为背景，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的判定和性质，具备了一定的数学思维能力和问题解决能力。

但学生在实际应用中，可能会对一些复杂问题进行分析遇到困难，因此需要通过实例引导学生分析问题，逐步提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的应用，能运用相似三角形的性质解决实际问题。

2.培养学生的分析问题、解决问题的能力。

3.增强学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的应用，解决实际问题。

2.难点：对复杂问题进行分析，运用相似三角形的性质进行求解。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实例引入，引导学生自主探究，小组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的实例问题。

2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在一条直线上，有一点A和两个相似的三角形ABC 和DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF。

问：点A到直线BC的距离是多少？2.呈现（10分钟）呈现类似的几个问题，让学生尝试解决。

引导学生发现这些问题都可以通过相似三角形的性质来解决。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例问题，运用相似三角形的性质进行求解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取几组学生解决问题的结果，进行讲解和分析，巩固学生对相似三角形应用的理解。

5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些更复杂的问题，引导学生运用所学知识进行问题分解和求解。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形在实际问题中的应用。