2019-2020学年广东省广州市天河区高一下学期期末数学试卷 (解析版)

广东省名校2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4C ．125-D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a bb⋅，计算求得结果. 【详解】向量a 在向量b 上的投影等于1243a b b⋅-==-. 故选A. 【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 2．下列条件不能确定一个平面的是（ ） A ．两条相交直线 B ．两条平行直线C ．直线与直线外一点D ．共线的三点【答案】D 【解析】 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】解：对选项A ：经过两条相交直线有且只有一个平面，故A 错误． 对选项B ：经过两条平行直线有且只有一个平面，故B 错误． 对选项C ：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故C 错误． 对选项D ：过共线的三点，有无数个平面，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻，属于基础题． 3．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2nn a f =，()22n nnf b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列【答案】C 【解析】令0a b ==,得到()00;1,f a b ===得到()10f =，()()()()(),22,*f ab af b bf a f n N =+=∈.()()()()()()111112222222221122222n n nnnnn n nnn n n n f f f f f f b b b++++++=====+=+，,说明{}n b 为等差数列，故C 正确，根据选项，排除A ，D. ∵()()()()()111122222222222nn nnnn n n n n a f a f f f f a ++++===+=+=+，.显然{}n a 既不是等差也不是等比数列． 故选C.4．已知两点()4,0P -,()3,2Q ,若直线2y kx =-与线段PQ 相交,则实数k 的取值范围是( ) A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．41,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】找出直线2y kx =-与PQ 相交的两种临界情况，求斜率即可. 【详解】因为直线2y kx =-恒过定点()0,2M -，根据题意，作图如下：直线2y kx =-与线段PQ 相交的临界情况分别为直线MP 和直线MQ ， 已知12MP k =-，43MQ k =，由图可知： 当直线绕着点M 向y 轴旋转时，其斜率范围为：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当直线与y 轴重合时，没有斜率；当直线绕着点M 从y 轴至MP 旋转时，其斜率范围为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦综上所述：k ∈14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.5．如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C ． 考点：空间中垂直关系的转化．6．执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ）A ．10B ．34C ．36D ．154【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：2,2,2,q i p ===第二次循环：4,3,6,q i p ===第三次循环：10,4,24,q i p ===第四次循环：34,5,120,q i p ===结束循环，输出34q =，选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．C ．{}0D ．{}2-【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =-，，故{}2A B ⋂=，选B ． 考点：集合的运算．8．将3sin 4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则π3f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．a -B ．3a --C ．3a -+D ．6a --【答案】D 【解析】因为()3sin[4()]33sin[4]3123f x x x ππ=+-=+-，所以3sin[4]33m a π+-=，因此3f m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭53sin[4]33sin[4]333633m m a a ππ--=-+-=---=--，选D. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）A ．,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s sC ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s << 【答案】B 【解析】 【分析】从图形中可以看出样本A 的数据均不大于10，而样本B 的数据均不小于10，A 中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】∵样本A 的数据均不大于10， 而样本B 的数据均不小于10，A B x x ∴<，由图可知A 中数据波动程度较大， B 中数据较稳定，A B s s ∴>.故选B.10．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解. 【详解】 由tan 2x =，根据正切函数图像以及周期可知：arctan 2x k π=+，故选：C 【点睛】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题. 11．用数学归纳法证明不等式111131214n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ） A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +，()121k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项11k + D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项11k +【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别写出n k =和1n k =+时，左边对应的式子，进而可得出结果. 【详解】当n k =时，左边11112=++⋅⋅⋅++++k k k k， 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)=++⋅⋅⋅++++++++k k k k()11111232121=++⋅⋅⋅++++++++k k k k k k ， 所以，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了121k +，()121k +；减少了11k +；故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型. 12．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．二、填空题：本题共4小题13．已知2tan θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=_________. 【答案】45【解析】 由题意可得：22222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos tan tan 2tan 14.5θθθθθθθθθθθθθ+-+-=++-=+= 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．14．已知P 为直线:3120l x y +-=上一点，过P 作圆()22:21C x y -+=的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．【答案】3x =或4330x y --= 【解析】 【分析】利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L，则L =，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为3x =，圆心C 到该直线的距离为1，合乎题意； ②若切线的斜率存在，设切线的方程为()33y k x -=-，即330kx y k -+-=.1==，化简得340k -=，解得43k =， 此时，所求切线的方程为()4333y x -=-，即4330x y --=. 综上所述，所求切线方程为3x =或4330x y --=， 故答案为3x =或4330x y --=． 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题． 15．已知()cot csc f ααα=+，若角α的终边经过点()43P ,-，求()f α的值.【答案】13【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cot α和csc α的值，从而可得()f α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()43P ,-，所以4cot =3α-=x y ， 5csc 3α===r y ，则451()cot csc 333=+=-+=f ααα.故答案为：13【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解.【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 4244∆==≤=ABC S bc A 则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

广东省广州市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷 D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（）A .B .C .D .2. （2分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A .B . a2＜b2C . a2b＜ab2D . a3＜b33. （2分） (2018高三上·信阳期中) 等于（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 24. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A . {x|x＜2或x＞3}B . {x|2＜x＜3}C . {x|x＜2}D . {x|x＞3}5. （2分）(2017·银川模拟) 数列{an}的前n项和为Sn ，满足a1=1，，则S5的值为（）A . 57B . 58C . 62D . 636. （2分） (2016高二下·临泉开学考) 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A . ﹣7B . ﹣6C . ﹣5D . ﹣37. （2分）在中,若,,,则（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，则等比数列的公比（）A . 可以取无数个值B . 只可以取两个值C . 只可以取一个值D . 不存在9. （2分） (2018高二下·四川期中) 若函数的最小值为3，则实数的值为（）A . 4B . 2C . 2或D . 4或10. （2分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别为为锐角，,则为（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题： (共6题；共6分)11. （1分）若tanα= ，则cos2α+sin2α=________．12. （1分） (2016高二上·铜陵期中) 直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是________．13. （1分） (2019高一下·嘉定月考) （1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）=________．14. （1分） (2017高一下·南通期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若S2=7，an+1=2Sn+1，n∈N* ，则S5=________．15. （1分）周长为 +1的直角三角形面积的最大值为________．16. （1分） (2015高三上·舟山期中) 已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为________．三、解答题： (共5题；共30分)17. （5分）已知点O（0，0），A（4，0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．18. （5分） (2018高三上·信阳期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+ cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c= b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）19. （5分） (2016高二上·株洲开学考) 设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．20. （10分） (2016高一下·大连期中) 设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈[0， ]．（1）若| |=| |，求x的值；（2）设函数f（x）= • ，求f（x）的最大值及单调递增区间．21. （5分）(2017·温州模拟) 设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N* ，（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1= 时，n﹣＜Sn＜n．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共5题；共30分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、。

广东省广州市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若直线经过 A（0,1），B（,4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°2. （2分）已知中，，则角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·丽水期末) 经过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·郸城开学考) 在区间[﹣， ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则的大小关系为（）A .B .C .D . 不能确定6. （2分） (2020高一下·吉林期中) 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A . 75°B . 90°C . 135°D . 120°7. （2分）一个直棱柱的对角线长是9cm和15cm，高是5cm，若它的底面是菱形，则这个直棱柱的侧面积是（）A . 160 cm2B . 320 cm2C . 40 cm2D . 80 cm28. （2分）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . 或B . 或C . 或D . 或9. （2分）若P是两条异面直线l,m外的任意一点，则下列命题①过点P有且只有一条直线与l,m都平行；②过点P有且只有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且只有一条直线与l,m都相交；④过点P有且只有一条直线与l,m都异面。

其中假命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）入射光线在直线l1：2x﹣y﹣3=0上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上，则直线l3的方程为（）A . x﹣2y+3=0B . 2x﹣y+3=0C . 2x+y﹣3=0D . 2x﹣y+6=0二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高一上·上海月考) 已知，，若，则实数a的值为________12. （1分）某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________。

2019-2020学年广东省高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．133．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．204．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．119．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.610．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.9512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取名．15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．13【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7＝a3+4d，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝a3+4d＝（﹣1）+2×4＝7；故选：A．3．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】由样本的频数等于样本容量与频率的乘积可得所求．解：频数为50×0.18＝9．故选：A．4．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的一组向量．解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．解：∴0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，b＝（）﹣0.1＞（）0＝1，c＝＜0，∴b＞a＞c．故选：B．6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．解：∵，，∴，且，∴．故选：D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．解：因为A＝，B＝，a＝6，则由正弦定理，可得b＝＝＝2．故选：B．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．11【分析】由题意利用等比数列的性质，对数的运算性质，求得结果．解：因为a6＝3，所以，log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a11＝log3（a1a2a3 (11)＝＝log3311＝11，故选：D．9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.6【分析】设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M ＝{抽到三等奖或幸运奖}，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）．解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．故选：C．10．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解解：由题意可得，＝∴＝＝﹣故选：D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.95【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得n，然后逐一核对四个选项得答案．解：，，∴样本点的中心为（2，），代入＝0.95x+2.6，得，解得n＝4.3．故A正确；∵y关于x的线性回归方程为，∴变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x＝6，则求得，但不能断定y的值一定是8.3，故C错误；若x的值增加1，则y的值约增加0.95，故D正确．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）【分析】由已知利用余弦定理可求c＝，可求cos A＝，由已知可求范围b2∈（12，18），求得范围b2+∈（，），即可得解cos A的范围．解：因为a＝3，a2＝3b cos B+b2cos A，所以9＝3b•+b2•，所以bc＝9，所以c＝，则cos A＝＝．因为b∈（2，3），所以b2∈（12，18），所以b2+∈（，），则cos A∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是10．【分析】直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a＞0，∴5a+≥2＝10（当且仅当5a＝也即a＝1时，等号成立）．故答案为：10．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取28名．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：高三学生人数：3600﹣1280﹣1200＝1120．∴该学校的高三学生中应抽取：1120×15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．【分析】由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，利用三角形内角和定理可求∠ACB＝60°，由正弦定理即可求解AC的值．解：由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝60°，所以由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝＝．故答案为：．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为800000元．【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．写出约束条件，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．需要满足的条件是，作出可行域如图，作直线z＝3000x+2000y，当直线过点A时，z取最大值．联立，解得A（200，100），则z的最大值为800000元．故答案为：800000．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【分析】（1）设＝（x，y），由题意可得，解得x，y的值即可得解．（2）由已知可求，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求•＝0，可得，即可得解．解：（1）设＝（x，y），则，解得，或，于是＝（1，2），或＝（﹣1，﹣2）．（2）△ABC是直角三角形，∠B为直角．证明：∵＝（﹣1，﹣4）﹣（5，2）＝（﹣6，﹣6），＝（3，4）﹣（5，2）＝（﹣2，2），∴•＝﹣6×（﹣2）+（﹣6）×2＝0，∴，即△ABC是直角三角形，∠B为直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．【分析】（1）根据茎叶图的概念和平均数的计算方法即可得解；（2）根据方差的计算分别求出和，而方差越小，农作物长得越齐．解：（1）＝＝30cm，＝＝30cm．∴甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值相等．（2）＝＝，＝＝．∴＜，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．【分析】（1）依题意结合数列的通项公式，能列出两个关于基本量首项a1和公差d的两个方程，解方程即可得数列{a n}的通项公式；（2）将2S n＝23+a2n+4转化为关于n的一元二次方程，解方程即可得答案．解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得，所以，解得，所以a n＝2n﹣1．（2）由（1）得，因为2S n＝23+a2n+4，所以2n2＝23+2×（2n+4）﹣1，化简得n2﹣2n﹣15＝0，解得n＝5或n＝﹣3（舍去）．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9.5求得y值即可．解：（1）由题意可得，＝，，，＝1.8，，≈0.24．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当2020年的年收入为9.5万元时，．∴预测该家庭2020年的年支出金额为7.65万元．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2＝ac，结合a ＝2c，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，结合a＝2c，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．解：（1）因为b sin（A+C）＝a sin C，可得b sin B＝a sin C，所以b2＝ac…因为a＝2c，所以cos B＝＝＝＝，…因为0＜B＜π，所以sin B＝＝＝…（2）因为△ABC的面积为ac sin B＝c2＝4，所以c＝4…因为a＝2c，所以a＝8…因为b2＝ac＝32，所以b＝4…故△ABC的周长为a+b+c＝8+4+4＝12+4…22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知数列递推式直接利用构造新数列的方法证明数列{a n﹣2}是等比数列；（2）利用（1）的结论求得a n，进一步利用裂项相消法分类求出数列{b n}的前n项和为T n，再分类求出T n的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m ≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．。

2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。

广东省广州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高一上·福建期末) 若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A . 115°B . 120°C . 135°D . 150°2. （2分）已知△ABC中，a＝4，b＝4， A＝30°，则角B等于（）A . 30°B . 30°或150°C . 60°D . 60°或120°3. （2分） (2019高二上·安徽月考) 如果直线与直线互相垂直，则实数（）A . 1B .C .D .4. （2分）四面体中，各个面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A . 90°C . 45°D . 30°5. （2分）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论：①；②；③；④.正确命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2018高二上·宾县期中) 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A . 36B . 40C . 487. （2分）有一长为的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长（）m（精确到m）.A . 53B . 52C . 51D . 498. （2分） (2016高二上·重庆期中) 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A . 点P到平面QEF的距离B . 三棱锥P﹣QEF的体积C . 直线PQ与平面PEF所成的角D . 二面角P﹣EF﹣Q的大小9. （2分）(2017·泉州模拟) 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BB1 ， DD1的中点，G为AE的中点且FG=3，则△EFG的面积的最大值为（）A .B . 3C .D .10. （2分）(2020·江西模拟) 已知函数，若，．则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高一上·辽宁月考) 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________，________．12. （1分）(2018·中山模拟) 中, , 为边上的点,且 , ,则的面积最大值为________．13. （1分） (2016高一下·太康开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. （1分） (2020高一下·启东期末) 已知直线x－y＋1＝0与圆相切，则a的值是________15. （1分）直线与平面平行的判定定理为________16. （1分） (2018高二下·磁县期末) 若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为________．三、解答题 (共4题；共20分)17. （5分）(2019高三上·沈阳月考) 在中，角所对的边分别为 ,且.（1）求角C；（2）若的中线CE的长为1，求的面积的最大值.18. （5分）(2017·鄂尔多斯模拟) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？19. （5分） (2016高一下·仁化期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D 是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1 ．20. （5分） (2017高一下·盐城期末) 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B 两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共20分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。

2019-2020学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．“明天是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件2．下列选项的图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m＞3D．m＜34．已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆内C．点A在圆上D．不确定5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（）A．4B．﹣4C．﹣3D．36．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（）A．开口向下B．抛物线过点（0，8）C．抛物线与x轴有两个交点D．对称轴是直线x＝37．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．38．已知点（﹣4，y1）、（4，y2）都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定9．设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（）A．﹣18B．21C．﹣20D．1810．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（）A．1：4B．1：5C．2：D．1：二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．12．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．13．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为．14．如图，已知A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为．15．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝30°，∠APD＝65°，则∠B＝．16．若抛物线y＝x2﹣4x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），则关于x的方程x2﹣4x+m＝k（x﹣1）﹣11的解为．三、解答题（共9小题，满分0分）17．解方程：x+3＝x（x+3）18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF ＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．19．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为4．（1）求m的值；（2）请结合图象求关于x的不等式2x≤的解集．20．根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．21．已知在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过A，C两点；（2）在（1）中所作的图中，求证：BC是⊙O的切线．22．2019年非洲猪瘟疫情暴发后，猪肉价格不断走高，据统计：2019年9月20日猪肉价格比年初上涨了60%，上涨后购买1千克猪肉需要80元．（1）填空：年初的猪肉价格是每千克元；（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按80元价格出售，平均一天能销售100千克；经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，分别与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）若将线段BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，问：点D在该抛物线上吗？请说明理由．24．已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．25．已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为1：2，求∠BCD的度数；（2）若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长；（3）若⊙O的半径为1，AC+BD＝3，且AC⊥BD．求线段OE的取值范围．2019-2020学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【解答】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：根据题意得m﹣3＞0，解得m＞3．故选：C．4．【解答】解：∵OA＜R，∴点A在圆内，故选：B．5．【解答】解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．故选：A．6．【解答】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．B、x＝0时，y＝﹣，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．C、△＝62﹣4×1×8＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．故选：C．7．【解答】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴BD＝＝＝4，∴AB＝2BD＝8．故选：A．8．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴对称轴为x＝2，∵a＞0，∴x＞2时，y随x增大而增大，点（﹣4，y1）关于抛物线的对称轴x＝2对称的点是（8，y1），∴y1＞y2，故选：B．9．【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，∴a2+2a＝20，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝20﹣2＝18则a2+3a+b的值为18．故选：D．10．【解答】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：4，∴AP＝4P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝4x，∴PP'＝＝x，∴P'B＝PB＝x，∴P′A：P′B＝2：，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12．【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，∴此扇形的弧长＝＝2π．故答案为：2π13．【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，解得，a＝16．故答案为：16．14．【解答】解：∵A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作▱OABC，∴BC＝AO＝5，BE＝4，EO＝4，∴EC＝1，故C（﹣1，4），若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为：y＝﹣．故答案为：y＝﹣．15．【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∴∠C＝65°﹣30°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故答案为35°．16．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），∴﹣9＝22﹣4×2+m，﹣9＝2k﹣13，解得，m＝﹣5，k＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，直线y＝2x﹣13，∴x2﹣4x﹣5＝2（x﹣1）﹣11，解得，x1＝2，x2＝4，故答案为：x1＝2，x2＝4．三、解答题（共9小题，满分0分）17．【解答】解：方程移项得：（x+3）﹣x（x+3）＝0，分解因式得：（x+3）（1﹣x）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3．18．【解答】证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF，∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF，在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；19．【解答】解：（1）当y＝4时，2x＝4，解得x＝2，则正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象的一个交点坐标为（2，4），把（2，4）代入y＝得m＝2×4＝8；（2）∵正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点坐标为（2，4），∴正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣4），如图，当x≤﹣2或0＜x≤2时，2x≤，∴关于x的不等式2x≤的解集为x≤﹣2或0＜x≤2．20．【解答】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．21．【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求．（2）证明：连接OC．∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵MN垂直平分相对AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．22．【解答】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（1+60%）x＝80，解得：x＝50．答：今年年初猪肉的价格为每千克50元．故答案是：50；（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，依题意，得：（80﹣65﹣y）（100+10y）＝1560，整理，得：y2﹣5y+6＝0，解得：y1＝2，y2＝3．∵让顾客得到实惠，∴y＝3．答：猪肉的售价应该下降3元．23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝﹣2；（2）当x＝0时，y＝3，因此点C（0，3），即OC＝3，当y＝0时，即﹣x2+bx+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，因此OB＝1，OA＝3，如图，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由旋转得，CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°＝∠BCO+∠ECD，∴∠OBC＝∠ECD，∴△BOC≌△CDE（AAS），∴OB＝CE＝1，OC＝DE＝3，∴D（﹣3，2）当x＝﹣3时，y＝﹣9+6+3＝0≠2，∴点D不在该抛物线上．24．【解答】解：（1）当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．（2）当a＝2时，y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4因为该抛物线与坐标轴有两个交点，所以△＞0，即16﹣4m＞0，解得m＜4，m﹣4＞﹣9，解得m＞﹣5∴﹣5＜m＜4∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+m+k此时△＜0，即16﹣4（m+k）＜0解得m+k＞4∴0＜k＜9．（3）当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．25．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A：∠C＝1：2，∴设∠A＝x，∠C＝2x，则x+2x＝180°，解得，x＝60°，∴∠C＝2x＝120°．（2）如图2中，∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∵点C为弧BD的中点，∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，如图2所示：则∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°﹣180°＝180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC＝CE，∴AM＝EM＝AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，在Rt△AMC中，AC＝＝＝．（3）∵∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，∴∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∵∠CBD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，∴∠ADB+∠CAD＝∠ACD+∠CDB，∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CED，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）设AC＝m，则BD＝3﹣m，∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，∴1≤m≤2，OE2＝2﹣[（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，∴≤OE2≤，∴≤OE≤．。

2019-2020学年广东省广州市二中、广雅、执信、六中四校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x2﹣3x+2＜0}，B＝{x|}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩∁R B＝∅D．A∩B＝∅2．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y＝﹣x﹣2B．y＝ln|x|C．y＝x3﹣3D．y＝﹣e|x|3．已知cos（α+）＝，则＝（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）＝sin x，，将f（x）的图象经过下列哪种变换可以与g（x）的图象重合（）A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若3a6＝6+a4，则S13的值等于（）A．26B．39C．52D．656．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻两对称轴间的距离等于，若∀x∈R．f （x）≤，则正数φ的最小值为（）A．B．C．D．7．设a＝2﹣1.5，b＝log23，，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且，若b5b6＝2，则a11＝（）A．16B．21C．31D．329．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区城面积是（）A．B．C．D．10．设O是△ABC的外接圆圆心、且，则∠BOC＝（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝3f（x+2），且设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且数列{a n}的前n项和为S n，若S n＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知＝（2，﹣1），＝（1，t），若（2﹣）⊥，则＝．14．已知数列{a n}的前项和为S n，S n＝4n﹣3．则数列{a n}的通项公式为．15．已知三角形ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为．此时四面体A﹣BCD外接球的表面积．16．函数在区间[﹣4，8]上的所有零点之和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17．设函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）+cos2ωx最小正周期为π．（1）求ω；（2）求函数f（x）区间上的值域．18．设数列{a n}前n项和为S n且2a1＝a2＝2，等差数列{b n}满足b1＝1，b2+b5＝b8且b2S n+1+b5S n＝b8S n（n≥2，n∈N*）．﹣1（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且b sin B﹣a sin A＝2R（sin B﹣sin C）sin C．（1）求角A；（2）若AD是BC边上的中线AD＝，求△ABC的面积．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD＝，点P在底面ABCD上的投影落在AB边上．（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB‖平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．21．某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备（改设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，设添加回收净化设并投产后n个月的累计收入为g（n），据测算，当1≤n≤5（n∈N*）时，g（n）＝n2+kn（k是常数），且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元．（1）求添加回收净化设备后前7个月的累计收入；（2）从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入（累计收入连同奖励减去改造设备费）多于不改造的纯收入（累计收入减去罚款）？22．设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f．（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）设g（x）＝log2（x﹣2+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈都成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x2﹣3x+2＜0}，B＝{x|}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩∁R B＝∅D．A∩B＝∅解：∵A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|log8x＞log82}＝{x|x＞2}，∴∁R B＝{x|x≤2}，A∩∁R B≠∅，A∩B＝∅．故选：D．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y＝﹣x﹣2B．y＝ln|x|C．y＝x3﹣3D．y＝﹣e|x|解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣x﹣2＝﹣，是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不符合题意；对于B，y＝ln|x|＝，是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不符合题意；对于C，y＝x3﹣3，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝﹣e|x|＝，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，符合题意；故选：D．3．已知cos（α+）＝，则＝（）A．B．C．D．解：因为﹣α＝﹣（α），所以sin（﹣α）＝sin[﹣（α+）]＝cos（α+）＝，故选：A．4．已知函数f（x）＝sin x，，将f（x）的图象经过下列哪种变换可以与g（x）的图象重合（）A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍解：将函数f（x）＝sin x的图象向左平移个单位，再将函数上各点的横坐标缩短为原来的，得到的图象．故选：A．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若3a6＝6+a4，则S13的值等于（）A．26B．39C．52D．65解：等差数列{a n}中，3a6＝6+a4，∴a4+a8+a6＝6+a4，∴a8+a6＝6，S13＝＝＝39．故选：B．6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻两对称轴间的距离等于，若∀x∈R．f （x）≤，则正数φ的最小值为（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象相邻两对称轴间的距离等于，∴•＝，∴ω＝4．若∀x∈R，f（x）≤，∴4×+φ＝kπ+，k∈Z．故当k＝1时，正数φ取得最小值为，故选：D．7．设a＝2﹣1.5，b＝log23，，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a解：∵2﹣1.5＜20＝1，，，∴a＜c＜b．故选：B．8．已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且，若b5b6＝2，则a11＝（）A．16B．21C．31D．32解：∵数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且，∴b1•b2•b3…b10＝••…＝＝a11．∵b5b6＝2，∴b1•b2•b3…b10＝＝25，∴a11＝25＝32，故选：D．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区城面积是（）A．B．C．D．解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，则EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME＝，即六边形EFGHNM是边长为的正六边形，则其面积S＝．故选：C．10．设O是△ABC的外接圆圆心、且，则∠BOC＝（）A．B．C．D．解：因为，所以，两边平方得：＝，（设θ＝∠BOC），∵，∴7＝4+4cosθ+1，∴，∵，∴．故选：B．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．解：由题意可知几何体的直观图是正四棱柱的一部分，如图A﹣BCD所示，因为AD＝4，AB＝2，所以三棱锥的体积为：﹣＝．故选：D．12．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝3f（x+2），且设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且数列{a n}的前n项和为S n，若S n＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．解：当x∈[0，2）时，且，可得0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（0）＝2；1＜x≤2时，f（x）的最大值为f（）＝，即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为；当2≤x＜4时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；当4≤x＜6时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；…可得{a n}为首项为，公比为的等比数列，可得S n＝＝（1﹣）＜，由S n＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．即k的最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知＝（2，﹣1），＝（1，t），若（2﹣）⊥，则＝．解：已知＝（2，﹣1），＝（1，t），若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝2﹣•＝2×5﹣（2﹣t）＝0，∴t＝﹣8，则＝＝，故答案为：．14．已知数列{a n}的前项和为S n，S n＝4n﹣3．则数列{a n}的通项公式为a n＝．解：根据题意，数列{a n}的前项和S n＝4n﹣3，①则当n≥2时，S n﹣1＝4n﹣1﹣3，②①﹣②可得：a n＝S n﹣S n﹣1＝3×4n﹣1，（n≥2）当n＝1时，a1＝S1＝4﹣3＝1，不符合a n＝3×4n﹣1，故a n＝；故答案为：a n＝15．已知三角形ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为．此时四面体A﹣BCD外接球的表面积8π．解：因为AB＝AC＝，BC＝2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为．所以可得BD＝CD＝1，AD＝＝＝2，在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BCD＝＝＝﹣，所以sin∠BDC＝，设△BCD的外接圆的半径为r，则2r＝＝，所以r＝1；因为BD⊥AD，CD⊥AD，BD∩CD＝D，所以AD⊥面BCD，将此三棱锥放在直棱柱AB1C1﹣DBC中，设其外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π•2＝8π，故答案为：8π．16．函数在区间[﹣4，8]上的所有零点之和为16．解：由题意函数y＝sin x﹣，x∈[﹣4，8]的零点，即sin x﹣＝0的根；作出函数y＝sin x与y＝，如下图所示：由图可得：两个函数的图象有8个不同的交点，且两两关于点（2，0）对称，故8个点横坐标之和为16，即函函数在区间[﹣4，8]上的所有零点之和为16，故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17．设函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）+cos2ωx最小正周期为π．（1）求ω；（2）求函数f（x）区间上的值域．解：（1）因为f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）+cos2ωx＝sin2ωx+sinωx cosωx+cos2ωx＝+sin2ωx+cos2ωx＝sin（2ωx+）+，所以最小正周期T＝＝π，所以ω＝±1；（2）当ω＝1时，f（x）＝sin（2x+）+，x∈[，]，则2x+∈[，]，令t＝2x+∈[，]，因为t∈[，]，f（t）＝sin t+，单调递减，所以f（t）min＝f（）＝+＝0，f（t）max＝f（）＝•1+＝，而t∈[，），f（t）单调递增，f（t）min＝f（）＞f（），所以函数f（x）区间上的值域为[0，]．当ω＝﹣1时，f（x）＝﹣sin（2x﹣]+，x∈[，]，则2x﹣∈[﹣，]，令t＝2x﹣∈[﹣，]，所以f（t）＝﹣sin t+，当t∈[﹣，]，f（t）单调递减，f（t）min＝f（）＝﹣+＝；f（t）max＝f（﹣）＝﹣•sin（﹣）+＝+＝+＝+＝，t∈（，]，f（t）单调递增，f（t）max＝f（）＝+＝1，所以函数f（x）区间上的值域为[，1]．综上所述ω＝1时函数f（x）区间上的值域[0，]；ω＝﹣1时函数f（x）区间上的值域[，1]．18．设数列{a n}前n项和为S n且2a1＝a2＝2，等差数列{b n}满足b1＝1，b2+b5＝b8且b2S n+1+b5S n＝b8S n（n≥2，n∈N*）．﹣1（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．解：（1）设公差为d的等差数列{b n}满足b1＝1，b2+b5＝b8，则b1+d+b1+4d＝b1+7d，解得d＝，所以．数列{a n}前n项和为S n且2a1＝a2＝2，且b2S n+1+b5S n﹣1＝b8S n，整理得，即（S n+1﹣S n）＝3（S n﹣S n﹣1），n≥2，即S n+1﹣S n＝2（S n﹣S n﹣1），即a n+1＝2a n，n≥2，∵2a1＝a2＝2，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2n﹣1；（2）a n b n＝（n+1）2n﹣1＝（n+1）2n﹣2，∴T n＝2×2﹣1+3×20+4×21+…+（n+1）2n﹣2，①，2T n＝2×20+3×21+4×22+…+（n+1）2n﹣1，②，∴﹣T n＝1+20+21+22+…+2n﹣2﹣（n+1）2n﹣1＝1+﹣（n+1）2n﹣1＝﹣n×2n﹣1，∴T n＝n×2n﹣1．19．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且b sin B﹣a sin A＝2R（sin B﹣sin C）sin C．（1）求角A；（2）若AD是BC边上的中线AD＝，求△ABC的面积．解：（1）∵由正弦定理＝2R，可得b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴由已知可得：b sin B﹣a sin A＝（b﹣c）sin C，∴b2﹣a2＝c（b﹣c）＝bc﹣c2，即b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵BC边上的中线AD＝，b＝2，又，两边平方，可得：2＝（++2），∴＝（c2+22+2×c×2×cos），整理可得：c2+2c﹣3＝0，解得c＝1，或﹣3（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD＝，点P在底面ABCD上的投影落在AB边上．（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB‖平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．解：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝F，∵AB∥CD，∴△DFC∽△BFA，又AB＝2DC，∴DF：FB＝1：2，连接FE，∵PE＝2ED，∴DE：EP＝1：2，则EF∥PB．∵EF⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE；（2）∵点P在底面ABCD上的投影落在AB边上，设O为P在AB上的投影，则PO⊥平面ABCD，取AD中点G，连接PG，OG，∵PA＝PD，∴PG⊥AD，OG⊥AD，则∠PGO为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在梯形ABCD中，∵BC＝CD＝1，∠BCD＝，∴三角形BCD为等边三角形，得BD＝1，且∠ABD＝，又AB＝2，∴AD＝．∴∠BAD＝，则OG＝．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝，得PG＝．在Rt△POG中，可得cos∠PGO＝．∴二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．21．某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备（改设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，设添加回收净化设并投产后n个月的累计收入为g（n），据测算，当1≤n≤5（n∈N*）时，g（n）＝n2+kn（k是常数），且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元．（1）求添加回收净化设备后前7个月的累计收入；（2）从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入（累计收入连同奖励减去改造设备费）多于不改造的纯收入（累计收入减去罚款）？解：（1）据题意g（4）＝42+4k＝416，解得k＝100，∴g（n）＝n2+100n，（n≤5）第5个月的收入为g（5）﹣g（4）＝525﹣416＝109万元，∴g（7）＝g（5）+2×109＝743万元．（2）g（n）＝，即g（n）＝﹒若不投资改造，则前n个月的总罚款7n+×2＝n2+6n，令g（n）﹣600+200＞75n﹣（n2+6n），得：g（n）+n2﹣69n﹣400＞0．显然当n≤5时，上式不成立；当n＞5时，109n﹣20+n2﹣69n﹣400＞0，即n（n+40）＞420，又n∈N*，解得n≥9．故从第9个月投资开始见效．22．设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f．（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）设g（x）＝log2（x﹣2+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈都成立，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f，可得c＝1且﹣＝，即b＝﹣2，又f（1）＝1，可得a+b+c＝1，解得a＝2，则f（x）＝2x2﹣2x+1；（2）g（x）＝log2（x﹣2+2）＝log2[（﹣1）2+1]，当x∈[，4]可得g（x）的最小值为g（1）＝0，最大值为g（4）＝1，g（x3）﹣g（x4）的最大值为1﹣0＝1，所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥1．设f（x）＝ax2﹣2x+1在[t﹣1，t+1]上最大值为M（t），最小值为m（t），f（x）的对称轴为直线x＝，令h（t）＝M（t）﹣m（t），则对任意的实数t，h（t）≥1．①当≤t﹣1时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，可得M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（t﹣1），则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝4at﹣4，此时h（t）≥4a（+1）﹣4＝4a≥1，∴a≥；②当t﹣1＜≤t时，M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（）＝1﹣，h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（+1）﹣（1﹣）＝a（+1）2﹣2（1+）+1﹣（1﹣）＝a≥1，∴a≥1．③当t＜＜t+1时，M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（）＝1﹣，h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（﹣1）﹣（1﹣）＝a（﹣1）2﹣2（﹣1）+1﹣（1﹣）＝a≥1，∴a≥1；④当≥t+1时，f（x）在[t﹣1，t+1]递减，可得M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（t+1），则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣4at+4，此时h（t）≥﹣4a（﹣1）+4＝4a≥1，∴a≥，综上，a的取值范围是[1，+∞）．。