房山2013高三二模数学(理)试题

房山区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科）2013.1本试卷共5页，150分。

考试时间120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则 A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. )2,1[=N M D. ]3,3[-=N M 【答案】C【解析】因为2{|60}{32}M x x x x x =+-<=-<<，所以{12}M N x x =≤<，选C.2. 设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b +的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 4 【答案】B【解析】(1)(2)3a bi i i i +=-+=-,所以3,1a b ==-，所以312a b +=-=，选B.3. “0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】()sin()f x x ϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈,所以“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的充分而不必要条件，选A.4. 设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则 A. c a b << B. a b c << C. a c b << D. b a c << 【答案】D【解析】因为200.31<<，所以01a <<，0.30.3 2>1, log 40b c ==<，所以c a b <<，选D.5. 已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是 A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(1)2x y -+=，圆心为(1,0)，直线恒过定点(1,1)，圆心到定点(1,1)的距离1d =<所以定点(1,1)在圆内，所以直线和圆相交。

房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =- B. tan y x =C. 2y x=-D. 3y x =3.为了得到函数lg10xy =的图象，只需把函数lg y x =的图象上 A. 所有点向右平移1个单位长度 B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变） D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变）4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x y A.都在函数1y x =+的图象上 B.都在函数2y x =的图象上 C.都在函数2xy =的图象上 D.都在函数12x y -=的图象上6.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C. D.1727.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C. 18+D. 98.定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣ 1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y x =上的各点映到这点本身，而把直线3y x =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,p q 的值分别是A. 3,3p q ==B. 3,2p q ==-C. 3,1p q ==D. 1,1p q ==二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 . 10.已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 11.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且3a 是19a a ,的等比中项，则数列{}n a 的通 项公式n a = .12.实数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值为.俯视图侧（左）视图正（主视图）13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .14.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若32111()1326f x x x x =-++，则该函数的对称中心为 ，计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图,ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求证：//AC 平面BEF ；(Ⅲ) 求四面体BDEF 的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ． （Ⅰ）求事件3b a =的概率；（Ⅱ）求事件“点(,)a b 满足22(5)9a b +-≤”的概率．FEDCBA18.（本小题满分13分）已知函数()(2)e x f x ax =-在1x =处取得极值. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，都有12|()()|e f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a）的焦点坐标为(，离心率为3．直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*12()nn nS a n a +=∈N ，其中11,0n a a =≠． （Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n b 满足(21)(21)1n bn a --=，n T 为{}n b 的前n 项和，试比较n T 与2log 的大小，并说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （文科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10. 4,73- 11. n12.25813. 22,y x =14. 1(,1),20122三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x = …………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）因为D BD DE =⋂ …………………3分所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,， 所以，OG //=12DE . …………………5分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， …………………6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , …………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为DE ⊥平面ABCD所以 AB DE ⊥ 因为正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . …………………11分 因为DE AF //,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）由题可知a 的取值为0,1,2,3,4,5，b 的取值为6,7,8,9 基本事件空间：Ω={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),}(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)共计24个基本事件 ……………………3分 满足3b a =的有(2,6),(3,9)共2个基本事件所以事件3b a =的概率为212412= ……………………7分（Ⅱ）设事件B=“点（a,b ）满足22(5)9a b +-≤” 当8b =时，0a =满足22(5)9a b +-≤当7b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤ 当6b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤所以满足22(5)9a b +-≤ 的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7)， 所以7()24P B =……………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）'()(2)(2)x x x f x ae ax e ax a e =+-=+- ……………1分由已知得'(1)0f =即(22)0x a e -= ……………2分 解得：1a = …………………………3分 当1a =时，在1x =处函数()(2)x f x x e =-取得极小值，所以1a = （Ⅱ）()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.所以函数()f x 在(),1-∞递减，在()1,+∞递增. ……………………4分 当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，min ()()f x f m =m e m )2(-=.………………………5分当01m <<时，11m m <<+()f x 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，min ()(1)f x f e ==-.…………………………6分当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[],1m m +单调递减，1min ()(1)(1).m f x f m m e +=+=-…………………………7分综上 ()f x 在[],1m m +上的最小值min 1(2),1,(),01,(1),0.m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.令'()0f x = 得1x =因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-= 所以max min ()0,()e f x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[0,2]x x ∈，都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x -≤-=………………………………………13分19（本小题满分14分）（Ⅰ）由ce a==，2=c ，222c b a += 得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q 则211+=kx y ，222+=kx y将2+=kx y 代入1322=+y x ，整理得0912)13(22=+++kx x k （*） 则121222129,3131k x x x x k k +=-=++ ………………………7分 以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则PD QD ⊥，即0PD QD ⋅=PD QD ⋅=11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++121212()1x x x x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++21214031k k -+==+． ………………………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，所以 存在67=k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ． ……14分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由于11211222S a a a a ===，21232222()3S a a a a a +=== ………………2分 （Ⅱ）由已知可知112n n n S a a +=，故111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-．因为10n a +≠，所以22n n a a +-=*()n ∈N ． ………………4分于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2m a m m =+-=，所以 n a n =*()n ∈N ． ………………6分（Ⅲ）2log n T >…………………………………………7分要比较n T与2log 22,log (21)n n T a +的大小由(21)(21)1n bn a --=，得(21)(21)1,n b n --=2221n b n n =-，故22log 21n nb n =-． …………………………………………8分从而 1222462log 13521n n n T b b b n ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭．2246222log 13521n n T n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭因此22log (21)n n T a -+222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭2log (21)n -+ 22224621log log 1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭ 2224621log []1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭． 设224621()1352121n f n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭， 则22462221(1)135212123n n f n n n n +⎛⎫+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-++⎝⎭， 故22(1)2122(22)()2321(23)(21)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫=⋅=⎪++++⎝⎭224841483n n n n ++=>++， 又()0f n >，所以(1)()f n f n +>．所以对于任意 *n ∈N 都有4()(1)13f n f ≥=>，从而222log (21)log ()0n n T a f n -+=>．所以*22log (21)n n T a n >+∈N ，．即 2log n T >……………………………………………13分。

房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题B. p ∨q 是假命题C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题【答案】A【解析】若﹁p ∨q 是假命题，则p ⌝，q 都为为假命题，所以p 为真命题，q 为为假命题，所以p ∧q 是假命题，选A.2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. 1y x =-B. tan y x =C. 2y x=- D. 3y x = 【答案】D【解析】A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。

选D.3.为了得到函数lg 10x y =的图象，只需把函数lg y x =的图象上 A. 所有点向右平移1个单位长度B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变） D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变） 【答案】B【解析】因为lglg lg10lg 110x y x x ==-=-，所以只需把函数lg y x =的图象上所有点向下平移1个单位长度，所以选B.4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C. 35D. 454.设平面向量(1,2),(2,)a b y ==- ，若a //b ，则2a b - 等于A. 4B. 5C. 35D. 45【答案】D【解析】因为a //b ，所以2(2)0y -⨯-=，解得4y =-。

所以(2,4)b =-- ，即2b a =- 。

所以222441245a b a -==+= ，选D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x yA.都在函数1y x =+的图象上B.都在函数2y x =的图象上C.都在函数2x y =的图象上D.都在函数12x y -=的图象上 【答案】C【解析】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为 x=5＞4，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数2x y =的图象上,所以选C.6.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的 最大值是A. 342B. 17C. 32D. 172【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD ，其中A （1，1），B （5，1），57(,)22C ,D （1，2），因为M 、N 是区域内的两个不同的点，所以运动点M 、N ，可得当M 、N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是22(51)(12)17BD =-+-=|,选 B.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A ．9182+ B. 1893+ C. 1832+ D. 9 【答案】A【解析】视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为32,32,3，其中斜侧面的高为32。

2013年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•房山区二模）若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假命题，则￢p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢q是真命题，故选A．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．（5分）（2013•房山区二模）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．D．y=x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．解答：解：y=x﹣1的图象不过原点，所以y=x﹣1不是奇函数，故排除A；y=tanx在每个区间（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除C；令f（x）=x3，其定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．3．（5分）（2013•房山区二模）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上（）A．所有点向右平移1个单位长度B．所有点向下平移1个单位长度C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=lg=lgx﹣1，把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx﹣1的图象，由此得出结论．解答：解：∵函数y=lg=lgx﹣1，∴把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx﹣1的图象，故选B．点评：本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于基础题．4．（5分）（2013•房山区二模）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4B．5C．D．考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．5．（5分）（2013•房山区二模）执行如图所示的程序框图．则输出的所有点（x，y）（）A．都在函数y=x+1的图象上B．都在函数y=2x的图象上C．都在函数y=2x的图象上D．都在函数y=2x﹣1的图象上考点：程序框图．专题：图表型．分析：开始x=1，y=2，输出（x，y），继续循环，x=x+1，y=2y．x≤4就循环，当x＞4时，循环结束．最后看碟输出（x，y）值适合哪一个函数的解析式即可．解答：解：开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为 x=5＞4，∴退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数y=2x的图象上．故选C．点评：本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．6．（5分）（2013•房山区二模）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划；两点间的距离公式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|==故选：B点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．8．（5分）（2013•房山区二模）定义运算[][]=[]，称[]=[][]为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=[][]把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直线y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点．则p，q的值分别是（）A．p=3，q=3 B．p=3，q=﹣2 C．p=3，q=1 D．p=1，q=1考点：系数矩阵的逆矩阵解方程组．专题：新定义．分析：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，1），再设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣3），得出关于p，q的方程组，从而解决问题．解答：解：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，1），即，即P+q=1①设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣3），∴，即p+3q=﹣3②．由①②得p=3，q=﹣2故选B．点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•房山区二模）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2﹣i）对应的点的坐标．解答：解：∵复数i（2﹣i）=1+2i．∴复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•房山区二模）已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA= ，tan（A+）= ﹣7 ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan （A+）的值．解答：解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）（2013•房山区二模）数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，则数列{a n}的通项公式a n= n ．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为d，则由题意可得（1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，由此求得数列{a n}的通项公式．解答：解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，设公差为d，则有（1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，故数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×1=n，故答案为 n．点评：本题主要考查等比数列的性质，等差数列的通项公式，属于中档题．12．（5分）（2013•房山区二模）实数a，b满足2a+b=5，则ab的最大值为．考点：二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题目给出的等式，把b用含有a的代数式表示，代回ab后化为关于a的一元二次函数，利用配方法求最大值．解答：解：由2a+b=5，得：b=5﹣2a，所以ab=a（5﹣2a）=﹣2a2+5a=﹣2=．所以ab的最大值为．故答案为．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想，训练了利用配方法求函数的最值，解答此题的关键是把要求值的代数式转化为二次函数的最值问题，是基础题．13．（5分）（2013•房山区二模）抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为y2=2x ．考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线y2=2px，可知焦点坐标为（，0），故可求p，从而得到抛物线C的方程．解答：解：由题意，=∴p=1，则抛物线C的方程为 y2=2x．故答案为：y2=2x．点评：本题以抛物线为载体，考查几何性质，属于基础题．14．（5分）（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，计算= 2012 ．考点：导数的概念．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（，1），可知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出所给的式子的值．解答：解：∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•房山区二模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式求出ω，通过函数图象经过的点直接求解φ的值；（Ⅱ）化简的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，所以T=，ω=2，图象过点．所以，0＜φ＜π，所以φ=．（Ⅱ）因为=sin（2x+）sin（2x﹣）=cos2xsin2x=sin4x，由2kπ，k∈Z得，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力．16．（14分）（2013•房山区二模）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意可得DE⊥AC，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，可证AFGO是平行四边形，所以FG∥AO，线面平行的判定定理可得；（Ⅲ）可得AB⊥平面ADEF，结合已知数据，代入体积公式可得答案．解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）因为DE∩BD=D…（3分）由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以OG∥DE，且OG=DE，因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO．…（7分）因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，…（8分）所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）（Ⅲ）解：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AB因为正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）因为AF∥DE，DE=DA=2AF=2，所以△DEF的面积为，所以四面体BDEF的体积==．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判定，涉及四面体体积的求解，属中档题．17．（13分）（2013•房山区二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b．（Ⅰ）求事件b=3a的概率；（Ⅱ）求事件“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9，从而得出基本事件空间数，求出满足b=3a的基本事件数，进而可求事件b=3a的概率；（II）满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24，设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的事件为B．当b=8时，a=0，当b=7时，a=0，1，2，当b=6时，a=0，1，2，利用古典概率的计算公式可求事件“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的概率．解答：解：（Ⅰ）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9基本事件空间：Ω={（0，6），（0，7），（0，8），（0，9），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）}共计24个基本事件…（3分）满足b=3a的有（2，6），（3，9）共2个基本事件所以事件b=3a的概率为…（7分）（Ⅱ）设事件B=“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”当b=8时，a=0满足a2+（b﹣5）2≤9当b=7时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9当b=6时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9所以满足a2+（b﹣5）2≤9的有（0，6），（0，7），（0，8），（1，6），（1，7），（2，6），（2，7），所以…（13分）点评：本题主要考查了古典概率的计算公式的应用，解答（2）的关键是要由a2+（b﹣5）2≤9要对b的值分类讨论．18．（13分）（2013•房山区二模）已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；分类讨论；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f'（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f'（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．19．（14分）（2013•房山区二模）已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a2=b2+c2得b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D （﹣1，0），则，即，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；解答：解：（Ⅰ）由，，a2=b2+c2得，，b=1，所以椭圆方程是：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+2，y2=kx2+2，将y=kx+2代入，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），则，以PQ为直径的圆过D（﹣1，0），则，即，所以=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=．解得，此时（*）方程△＞0，所以存在，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）．点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系等知识，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键是先假设存在，然后把问题转化为向量数量积为0求解．20．（13分）（2013•房山区二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，其中a1=1，a n≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{b n}满足，T n为{b n}的前n项和，试比较T n与的大小，并说明理由．考点：数列递推式；不等式比较大小．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用，其中a1=1，a n≠0，令n分别取1，2即可得出；（II）由已知可知，可得．由于a n+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：a n+2﹣a n=2（n∈N*）．即可得出通项a n．（III）要比较T n与的大小，只需比较2T n与log2（2a n+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2T n，令f（n）=2T n﹣log2（2a n+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，其中a1=1，a n≠0．∴，．（Ⅱ）由已知可知，故．∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=2（n∈N*）．于是数列{a2m﹣1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m﹣1）=2m，∴a n=n（n∈N*）．（Ⅲ）可知．下面给出证明：要比较T n与的大小，只需比较2T n与log2（2a n+1）的大小．由，得，，故．从而．=因此2T n﹣log2（2a n+1）=﹣log2（2n+1）==．设，则，故=，又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．所以对于任意 n∈N*都有，从而2T n﹣log2（2a n+1）=log2f（n）＞0．所以．即．点评：本题考查了数列的通项a n与S n之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．。

2013年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若￢p ∨q 是假命题，则（ ）A p ∧q 是假命题B p ∨q 是假命题C p 是假命题D ￢q 是假命题 2. 下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A y ＝x −1 B y ＝tanx C y ＝x 3 D y ＝log 2x3. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的延长线交于点E ．若∠BCD =110∘，则∠DBE =( ) A 75∘ B 70∘ C 60∘ D 55∘4. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a → // b →，则|2a →−b →|等于（ ） A 4 B 5 C 3√5 D 4√55. 已知M ，N 是不等式组{x ≥1y ≥1x −y +1≥0x +y ≤6所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（ ） A√342 B √17 C 3√2 D 1726. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝a n+1，则S n ＝（ ） A 2n−1 B 2n −1 C 3n−1 D 12(3n −1)7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A 9+18√2B 18+9√3C 18+3√2D 98. 定义运算[a b c d ][x y ]=[ax +cy bx +dy ]，称[x′y′]=[a b c d ][x y ]为将点(x, y)映到点(x′, y′)的一次变换．若[x′y′]=[2p −1q ][x y ]把直线y =kx 上的各点映到这点本身，而把直线y =mx 上的各点映到这点关于原点对称的点．则k ，m ，p ，q 的值依次是（ ）A k =1，m =−2，p =3，q =3B k =1，m =3，p =3，q =−2C k =−2，m =3，p =3，q =1D k =−2，m =1，p =3，q =3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数i(2−i)对应的点的坐标为________．10. 直线l 的参数方程为{x =1+3ty =1−2t （t 为参数），则直线l 的斜率为________．11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.a =3,b =2,A =π6，则tanB =________．12. 若(x 2+1x )n 展开式中的二项式系数和为64，则n 等于________，该展开式中的常数项为________．13. 抛物线C:y 2=2px 的焦点坐标为F(12，0)，则抛物线C 的方程为________，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线x +y +5=0上运动，则|PQ|的最小值等于________． 14. 在数列{a n }中，如果对任意的n ∈N ∗，都有a n+2a n+1−a n+1a n=λ（λ为常数），则称数列{a n }为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{F n }满足F 1=1，F 2=1，F n =F n−1+F n−2(n ≥3)，则该数列不是比等差数列； ②若数列{a n }满足a n =3⋅2n−1，则数列{a n }是比等差数列，且比公差λ=0； ③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则数列{a n b n }是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的最小正周期为π，且图象过点(π6，12)．（1）求ω，φ的值；（2）设g(x)=f(x)f(x −π4)，求函数g(x)的单调递增区间．16. 如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF // DE ，DE =DA =3AF ．（1） 求证：AC ⊥BE ；（2） 求二面角F −BE −D 的余弦值；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM // 平面BEF ，证明你的结论．17. 小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，45．(I)若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；(II)若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；(III)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．18. 已知函数f(x)=(x2+x−a)e x a(a>0)．（I）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（II）当x=−5时，f(x)取得极值．①若m≥−5，求函数f(x)在[m, m+1]上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈[−2, 1]，都有|f(x1)−f(x2)|≤2．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(√2，1)．直线y=√22x+m交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20. 设m>3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3...a k(k≤m)中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2...m(m>3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．(1)若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；(2)是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；(3)是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．2013年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. D5. B6. C7. A8. B9. (1, 2)10. −2311. √2412. 6,1513. y2=2x,9√2414. ①② 15. 解：（1）因为函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的最小正周期为π， 所以T =2πω=π，ω=2，图象过点(π6，12)．所以12=sin(2×π6+φ)，0<φ<π，所以φ=π2． （2）因为g(x)=f(x)f(x −π4)=sin(2x +π2)sin(2x −π2+π2)=cos2xsin2x =12sin4x ，由2kπ−π2≤4x ≤2kπ+π2，k ∈Z 得 kπ2−π8≤x ≤kπ2+π8，所以函数的单调增区间为[kπ2−π8，kπ2+π8]k ∈Z16. 解：（1）∵ DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ DE ⊥AC ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ， 又∵ BD 、DE 是平面BDE 内的相交直线，∴ AC ⊥平面BDE ，结合BE ⊂平面BDE ，得AC ⊥BE ；…（2）因为直线BD 、BC 、BE 两两垂直，所以分别以DADCDE 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所求空间直角坐标系设AD =3，则可得DE =3，AF =1因此，D(0, 0, 0)，A(3, 0, 0)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，E(0, 0, 3)，F(3, 0, 1) ∴ AF →=(0, −3, 1)，EF →=(3, 0, −2)…设平面BEF 的法向量为n →=(x, y, z)，得{n →⋅EF →=3x −2z =0˙，令z =3，得x =2且y =1，可得n →=(2, 1, 3)，…∵ AC ⊥平面BDE ，得AC →=(−3, 3, 0)是平面BDE 的一个法向量∴ 二面角F −BE −D 的大小即为向量n →、AC →所成角的大小（或其补角） ∵ cos <n →，AC →>=|n →|⋅|AC →|˙=√14⋅3√2=−√714∴ 结合图形加以观察，可得二面角F −BE −D 的余弦值为|cos <n →，AC →>|=√714；… （3）点M 是线段BD 上一个动点，根据（2）的结论，设M(t, t, 0)(0≤t ≤3√2)． 则AM →=(t −3, t, 0)．∵ AM // 平面BEF ，∴ AM →⋅n →=0，即2(t −3)+t =0，解之得t =2．… 此时，点M 坐标为(2, 2, 0)，即当BM =13BD 时，AM // 平面BEF ．…P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(12)2=12．(II)由题意可得，X 可能取值为0，1，2． ∴ P(X =0)=(1−34)×(1−45)=120， P(X =1)=34×(1−45)+(1−34)×45=720， P(X =2)=34×45=35． ∴ 随机变量X 的分布列为遇到红灯次数X 的数学期望EX =0×120+1×720+2×35=3120． (III)设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ∼B(3, 12)， ∴ Eξ=3×12=32．∵ Eξ<EX ，∴ 选择路线1上学最好．18. 解：(I)f′(x)=1a (x 2+x −a)e x a +(2x +1)e x a=1a x(x +1+2a)e x a， 当a =1时，f′(x)=x(x +3)e x ，解f′(x)>0得x >0或x <−3，解f′(x)<0得−3<x <0，所以f(x)的单调增区间为(−∞, −3)和(0, +∞)，单调减区间为(−3, 0)．（II ）①当x =−5时，f(x)取得极值，所以f′(−5)=1a (−5)(−5+1+2a)e x a=0，解得a =2（经检验a =2符合题意），f′(x)=12x(x +5)e x 2，当x <−5或x >0时f′(x)>0，当−5<x <0时f′(x)<0， 所以f(x)在(−∞, −5)和(0, +∞)上递增，在(−5, 0)上递减，当−5≤m ≤−1时，f(x)在[m, m +1]上单调递减，f min (x)=f(m +1)=m(m +3)em+12，当−1<m <0时，m <0<m +1，f(x)在[m, 0]上单调递减，在[0, m +1]上单调递增，f min (x)=f(0)=−2，当m ≥0时，f(x)在[m, m +1]上单调递增，f min (x)=f(m)=(m +2)(m −1)e m2， 综上，f(x)在[m, m +1]上的最小值为 f min (x)={m(m +3)e m+12，−5≤m ≤−1−2,−1<m <0(m +2)(m −1)e m2，m ≥0； ②令f′(x)=0得x =0或x =−5（舍），因为f(−2)=0，f(0)=−2，f(1)=0，所以f max (x)=0，f min (x)=−2， 所以对任意x 1，x 2∈[−2, 1]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤f max (x)−f min (x)=2． 19. 解：（1）由题意可得{ ca =√222a 2+1b 2+1a 2=b 2+c 2，解得{a 2=4b 2=c 2=2， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；（2）设B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)．由{y =√22x +m x 24+y 22=1消去y 得到x 2+√2mx +m 2−2=0，∵ 直线与椭圆有两个不同的交点，∴ △=8−2m 2>0，解得−2<m <2． ∴ x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴ |BD|=√[1+(√22)2][(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√32[2m 2−4(m 2−2)] =√3(4−m 2)． 点A 到直线BD 的距离d =√6=√6．∴ S △ABD =12|BD|d =12×√3(4−m 2)√6=√22√m 2(4−m 2)≤√22×m 2+(4−m 2)2=√2．当且仅当m =±√2∈(−2, 2)时取等号．∴ 当m =±√2时，△ABD 的面积取得最大值√2．20. 解：(1)根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n }有： 3，5，1，2，4． 3，5，1，4，2． 3，5，2，1，4． 3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．(2)存在数列{c n}的创新数列为等比数列．设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k (k=1, 2, 3...m−1)，所以q≥1，当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m，当q>1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3...m，又1，2，3...m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．(3)设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，设数列{c n}的创新数列为{e m}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．若{e m}为等差数列，设公差为d，因为e k+1≥e k (k=1, 2, 3...m−1)，所以d≥0．且d∈N∗，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件，即为数列e m=m，m−1个数列，此时数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有A m−1当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3...m，此时数列{c n}是1，2，3...m，有1个，当d≥2时，∵ e m=e1+(m−1)d≥e1+2(m−1)=e1+m+m−2，又m>3，∴ m−2>0，∴ e m>m这与e m=m矛盾，所以此时{e m}不存在，综上满足条件的数列{c n}的个数为(m−1)!+1个．。

市房山区2013年中考数学二模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．（4分）（2012•呼和浩特）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2 C．D．考点：倒数．分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．（4分）（2013•房山区二模）国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展（RD）经费支出10240亿元，比上年增长17.9%，占国内生产总值的1.97%．将10240用科学记数法表示应为（）A．1.0240×104B．1.0240×105C．10.240×104D．0.10240×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将10240用科学记数法表示为1.0240×104．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2006•某某）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据平面直角坐标系的性题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．解答：解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），∴点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2）故选D．点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．（4分）（2013•房山区二模）如图：⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（）A．πB．C．2πD．考扇形面积的计算．点：分析：根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积==π．故选B．点评：考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．5．（4分）（2013•房山区二模）某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为（）A．8、8 B．8、9 C．7、8 D．9、8考点：众数；中位数．分析：根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：将数据从小到大排列为：7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，众数为：8；中位数为：8．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候一定要将数据重新排列．6．（4分）（2013•房山区二模）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切．解答：解：∵两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，5﹣3=2，∴两圆的位置关系是内切．故选A．点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．7．（4分）（2013•房山区二模）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析：利用多边形的内角和公式即可求解．解答：解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选B．点本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公评：式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．8．（4分）（2013•房山区二模）在正方体的表面上画有如图所示的粗线，则其展开后正确的是（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图．分析：具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案．解答：解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合．故选D．点评：考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9．（4分）（2013•房山区二模）图象经过点（﹣1，2）的反比例函数的表达式是．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：待定系数法．分析：先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．解答：解：设反比例函数的表达式是y=，将点（﹣1，2）代入解析式可得k=﹣2，所以y=﹣．故答案为：y=﹣．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．10．（4分）（2013•房山区二模）分解因式：3a2﹣6ab+3b2= 3（a﹣b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：3a2﹣6ab+3b2=3（a2﹣2ab+b2）=3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（4分）（2013•房山区二模）如图，△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD=∠B，若AD=2，BD=，则AC= 3 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先判断△ACD∽△ABC，利用对应边成比例，可求出AC．解答：解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，解得：AC=3．故答案为：3．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△ACD∽△ABC，注意掌握相似三角形的对应边成比例．12．（4分）（2013•房山区二模）观察下列等式：①；②；③；④…；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）．．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察所给的几个等式得到等式左边为a加上a的倒数的倍数，这个倍数为等式的序号数与比它大1的数的积，等式的右边为等式的序号数的2倍加1，即第n个等式为a+=2n+1（n为正整数），然后把n=6代入可得到第6个等式．解答：解：第6个等式为a+=13；第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）．故答案为a+=13；a+=2n+1（n为正整数）．点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．三、解答题（本大题共30分，每小题5分）：13．（5分）（2013•房山区二模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：分别进行二次根式的化简、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．解答：解：原式=2﹣2×+1﹣4=﹣3．点评：本题考查了实数的运算，要求熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记一些特殊角的三角函数值．14．（5分）（2013•房山区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：由①，得x＞﹣1，由②，得x＜2，∴不等式组的解集是﹣1＜x＜2．不等式组的解集在数轴上表示为：点评：本题考查解不等式组和不等式组的解集在数轴上表示的方法．在数轴是表示不等式组的解集时，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．15．（5分）（2013•房山区二模）已知a2﹣a ﹣1=0，求代数式的值．考点：分式的化简求值．分析：首先对所求的式子进行化简，先计算乘法，然后进行加减运算，最后把已知的式子化成a2﹣a=1，代入求解即可．解答：解：原式=﹣•=﹣==﹣，∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1则原式=﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键．16．（5分）（2013•房山区二模）已知：如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE 与CF相交于点O，且AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：DE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先证明AD=BC，然后利用SAS即可证得△ADE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可证得．解答：证明：∵AC=BD，∴AD=BC．∵在△ADE和△BCF中，∴△ADE≌△BCF（ASA），∴DE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三角形全等的条件是关键．17．（5分）（2013•房山区二模）如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若P是直线AB上一点，且⊙P的半径为1，请直接写出⊙P与坐标轴相切时点P的坐标．考点：一次函数综合题．专题：计算题．分析：（1）知道A、B坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）设出P的横坐标，代入函数解析式即可求出P的纵坐标．解答：解：（1）由图可知：A（﹣3，﹣3），B（0，3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）则，解得．∴直线AB的解析式为y=2x+3．（2）①设P1（1，a），代入y=2x+3得，a=2+3=5，则P1（1，5）；②设P2（﹣1，b），代入y=2x+3得，b=﹣2+3=1，则P2（﹣1，1），与两个坐标轴相切；③设P3（﹣2，c），代入y=2x+3得c=﹣4+3=﹣1，则P3（﹣2，﹣1）．综上，P1（1，5），P2（﹣1，1），P3（﹣2，﹣1）．点评：本题考查了一次函数综合题，熟悉待定系数法及圆与直线的位置关系是解题的关键．18．（5分）（2013•房山区二模）据媒体报道，2010年市民到郊区旅游总人数约5000万人，2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人．求这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，则2011年郊区旅游人数为5000（1+x）人，2012年郊区旅游人数为5000（1+x）（1+x）人等于2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人建立方程求出其解即可．解答：解：设这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，由题意，得5000（1+x）2=7200∵增长率不能为负，∴只取x=0.2=20%．答：这两年市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20%．点评：本题考查列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时要验根是否使实际问题有意义是解答容易忽略的过程．四、解答题（本大题共20分，每小题5分）：19．（5分）（2013•房山区二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点E在边AB上，DE∥BC．若CE=CB，且tan∠B=3，求四边形ABCD的面积．考点：平行四边形的判定与性质；解直角三角形．分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F．根据已知条件证得四边形BCDE为平行四边形，则对边BE=CD=4．然后利用等腰△BCE的“三合一”的性质求得BF=2；再通过解Rt△BCF 得到四边形ABCD的边AB上的高CF=6．所以由梯形的面积公式来求该四边形的面积即可．解答：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．∵AB∥CD，DE∥BC∴四边形BCDE为平行四边形∴BE=CD=4．∵CE=CB，CF⊥BE∴BF=BE=2在Rt△BCF中，tan∠B=3，BF=2∴CF=6∴四边形ABCD的面积=×（4+9）×6=39．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、解直角三角形．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．（5分）（2013•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）欲证明直线CP是⊙O的切线，只需证得CP⊥AC；（2）利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5，则⊙O的半径为．如图，过点B作BD⊥AC于点D，构建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．解答：（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP．∵∠CAN+∠A=90°，∴∠BCP+∠A=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O的半径∴CP是⊙O的切线；（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，∴=，∴AC=5，∴⊙O的半径为如图，过点B作BD⊥AC于点D．由（1）得BN==BC=，在Rt△CAN中，AN==2在△CAN和△CBD中，∠ANC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，∴=，∴BD=4．在Rt△BCD中，CD==2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，∵BD∥CP，∴=，=∴CP=，BP=∴△A PC的周长是AC+PC+AP=20．点评：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．（5分）（2013•房山区二模）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；（2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）图①中，“踢毽”部分所对应的圆心角为度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．专题：图表型．分析：（1）由图一和图二可知：这次问卷调查中，喜欢球类的有80人，占40%，据此即可求解；（2）其他所占的百分比为=20%，则跳绳的人数占总人数的比例为1﹣15%﹣40%﹣20%=25%，跳绳的人数为200×25%=50人；（3）图①中，利用“踢毽”部分所对应的百分比即可求出答案；（4）利用样本估计总体即可．解答：解：（1）80÷0.4=200；（2分）（2）补充图：扇形图中补充的跳绳25%；（3分）其它20%；（4分）条形图中补充的高为50；（5分）（3）360×0.15=54°；（7分）（4）1860×40%=744（人）．（9分）答：最喜欢“球类”活动的学生约有744人．（10分）点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（5分）（2013•房山区二模）如图1，在矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在边NP，PQ，QM，MN上，当∠1=∠2=∠3=∠4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．已知：矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E，F分别在BC，CD边上，请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出反射四边形EFGH的周长．（2）在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系．考点：四边形综合题．分析：（1）根据反射四边形的含义和E、F点的位置画出即可；根据勾股定理求出边长，即可求出周长；（2）根据图形可以画出4个反射四边形，根据勾股定理求出四边形的边长，即可求出周长，根据求出的周长结果即可得出矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．解答：解：（1）如图1：∴四边形EFGH即为所求，在Rt△CEF中，CF=2，EC=4，由勾股定理得：EF=2，同理HG=GF=HE=2，即四边形的周长为：4×2=8；（2）如图2，图3：根据勾股定理图2中的反射四边形的边长是：=，=4，则反射四边形的周长是2×+2×4=10；根据勾股定理形图3的反射四边形的边长是：=2，=3，则反射四边形的周长是2×2+2×3=10即矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．点评：本题考查了矩形，勾股定理的应用，此题是一道比较好的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、理解能力和动手操作能力．五、解答题（本大题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•房山区二模）已知二次函数．（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a﹣k2+6k﹣4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）表示出方程：x2+kx+k﹣=0的判别式，即可得出结论；（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y＜0，再由关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值X围，从而得出k的整数值；（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值X 围，继而得出a的整数值．解答：（1）证明：x2+kx+k﹣=0，△1=b2﹣4ac=k2﹣4（k﹣）=k2﹣2k+14=k2﹣2k+1+13=（k﹣1）2+13＞0，∴不论k为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）解：∵二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，∴当x=1时，函数值y＜0，即1+k+k﹣＜0，解得：k＜，∵关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△2=b2﹣4ac=（2k+3）2﹣4k2=4k2+12k+9﹣4k2=12k+9＞0，∴k＞﹣且k≠0，∴﹣＜k＜且k≠0，∴k=1；（3）解：由（2）可知：k=1，∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，根据题意，0＜﹣2a﹣1＜3，∴﹣2＜a＜﹣，∴a的整数值为﹣1．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式、不等式组的整数解，对于此类综合题往往涉及的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．24．（7分）（2013•房山区二模）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF 于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF=∠HDF．考点：四边形综合题．分析：（1）证△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可；（2）过点A作AM∥GE交BC于M，证△ABM≌△BCF，推出AM=BF，根据AM∥GE且AD∥BC推出AM=GE即可；（3）①过点B作BN∥FG，且使BN=FG，连接NG、NE，根据四边形NBFG是平行四边形的性质求出BF=NG，BF∥NG，求出△NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，即NE=BF，即可求出答案；②证G、H、F、D四点共圆，根据圆周角定理得出∠HGF=∠HDF 即可．解答：（1）解：AE=BF且AE⊥BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，∵在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，∵∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BHE=180°﹣90°=90°，∴AE⊥BF．（2）BF=GE，证明：过点A作AM∥GE交BC于M，∵EG⊥BF，∴AM⊥BF，∴∠BAM+∠ABF=90°，∵正方形ABCD，∴AB=BC，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∵在△ABM和△BCF中∴△ABM≌△BCF（ASA），∴AM=BF，∵AM∥GE且AD∥BC，∴AM=GE，∴BF=GE；（3）证明：①：过点B作BN∥FG，且使BN=FG，连接NG、NE，∴四边形NBFG是平行四边形，∴BF=NG，BF∥NG，由（2）可知，BF⊥GE，且BF=GE，∴NG⊥EG且NG=EG，∴△NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，∴NE=BF，当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线，此时，在△BEN中，NB+BE＞NE，即FG+BE＞BF，当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线，此时，NB+BE=NE，即FG+BE=BF；②证明：∵正方形ABCD∴∠ADC=90°以GF为直径作⊙P，则点D在⊙P上∵∠GHF=90°∴点H也在⊙P上∴∠HGF=∠HDF．点评：本题考查了圆周角定理，正方形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．25．（8分）（2013•房山区二模）已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的最低点A 的纵坐标是3，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式．（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE 的值．（3）过B点作x轴的平行线BG，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）先由y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2可以求出抛物线的对称轴，就可以求出顶点坐标，代入解析式就可以求出m的值，将A的坐标及m的值代入一次函数的解析式就可以求出结论；（2）根据旋转的性质就可以求出D、E的坐标，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF 的值根据求锐角三角函数的方法就可以求出结论；（3）根据题意画出图形，分情况讨论运用相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：（1）∵y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的，∴抛物线的对称轴x=﹣=1．∵抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的最低点A的纵坐标是3 ∴抛物线的顶点为A（1，3）∴m2﹣5m+6=0，∴m=3或m=2，∵3﹣m＞0，∴m＜3∴m=2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+4，直线为y=2x+b．∵直线y=mx+b经过点A（1，3）∴3=2+b，∴b=1．∴直线AB为：y=2x+1；（2）令x=0，则y=1，）令y=0，则x=﹣，∴B（0，1），C（﹣，0）将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点F ∴D（1，0），E（0，），∠CFD=90°，∴OB=OD=1 OC=，∴CD=在Rt△BOC中，由勾股定理，得CB=，BD=．∵CD•OB=CB•DF，∴DF=，∴由勾股定理，得BF=，∴Sin∠BDE===；（3）如图2，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°．∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．∵∠AMB+∠ANB=45°，∴∠ANB=∠QAM，∴△AQN∽△MQA，∴．∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，AQ=2，∵MP=6，∴MQ=4．∴，∴QN=2，∴BN=5．∴N（5，1）；如图3，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°．∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．∴∠ANB=∠QAM，∴△AQM∽△NAM，∴．∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，BM=7，AQ=2，∵MP=6，∴MQ=4．AM=2，∴，∴MN=10，∴BN=3．∴N（﹣3，1）；∴N（﹣3，1）或（5，1）．点评：本题考查了运用抛物线的顶点式求顶点坐标的运，运用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式的运用，旋转的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时寻找解答本题的突破口从抛物线的顶点入手，求N的坐标运用相似三角形的性质是关键．。

【13房山二模】北京市房山区2013年高考第二次模拟试卷文科房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则A. p ∧q 是假命题B. p ∨q 是假命题C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题 2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. 1y x =-B. tan y x =C. 2y x =-D. 3y x = 3.为了得到函数lg 10xy =的图象，只需把函数lg y x =的图象上A. 所有点向右平移1个单位长度B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变）D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变）4.设平面向量(1,2),(2,)y==-a b，若a//b，则2-a b等于A. 4B. 5C. 35D. 455.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x yA.都在函数1y x=+的图象上B.都在函数2y x=的图象上C.都在函数2xy=的图象上D.都在函数12xy-=的图象上6.已知,M N是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN的最大值是3417否是开1,2x y==4x≤1,2x x y y =+=结输出C. 32D. 1727.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A ．9182+B. 1893+ C. 1832+ D. 98.定义运算ac x ax cy bd y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y x =上的各点映到这点本身，而把直线3y x=上的各点映到这点关于原点对称的点.则,p q的值分别是 A. 3,3p q == B. 3,2p q ==- C. 3,1p q ==D. 1,1p q ==二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.336俯视图侧（左）视图正（主视图）9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 . 10.已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A =，tan()4A π+=.11.数列{}na 是公差不为0的等差数列，11a =，且3a 是19a a ,的等比中项，则数列{}na 的通项公式na = .12.实数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值为 .13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C的方程为 ，若点P 在抛物线C上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 . 14.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点0(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若32111()1326f x x x x =-++，则该函数的对称中心为 ，计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++=L .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分） 如图,ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ，//AF DE，22DE DA AF ===.(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求证：//AC 平面BEF ； (Ⅲ) 求四面体BDEF 的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的FEDCBA四个面上分别标有数字1,2,3,4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ．（Ⅰ）求事件3b a =的概率； （Ⅱ）求事件“点(,)a b 满足22(5)9a b +-≤”的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()(2)e xf x ax =-在1x =处取得极值.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[],1m m +上的最小值； （Ⅲ）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，都有12|()()|e f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b >>）的焦点坐标为(2±，6．直线2y kx =+交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且*12()nn nS an a +=∈N ，其中11,0na a=≠．（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}nb 满足(21)(21)1n b na--=，nT 为{}nb 的前n项和，试比较nT 与log (21)n a +房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （文科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10. 4,73- 11. n12. 25813.2922,y x = 14.1(,1),20122三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22T πω==，………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=， 又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+ 所以 536ππϕ+=2πϕ=， (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos22f x x x π=+= 所以()cos2sin[2()]cos2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x = …………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+ 得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥. …………………1分因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， …………………2分 因为DE BD D ⋂= …………………3分所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结,FG OG ，所以，OG //=12DE . …………………5分因为//AF DE，2DE AF=，所以GOFEDCBAAF//=OG， …………………6分从而四边形AFGO是平行四边形，//FG AO. ………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , …………………8分所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为DE ⊥平面ABCD所以 DE AB ⊥ 因为正方形ABCD 中，AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面ADEF . …………………11分因为//AF DE ,22DE DA AF ===， 所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF 的体积13DEF S AB ∆=⨯=43. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）由题可知a 的取值为0,1,2,3,4,5，b 的取值为6,7,8,9 基本事件空间：Ω={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),}(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)共计24个基本事件 ……………………3分满足3b a =的有(2,6),(3,9)共2个基本事件所以事件3b a =的概率为 212412= ……………………7分 （Ⅱ）设事件B=“点（a,b ）满足22(5)9a b +-≤”当8b =时，0a =满足22(5)9ab +-≤ 当7b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤ 当6b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤所以满足22(5)9a b +-≤的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7)，所以7()24P B = ……………………13分18（本小题满分13分） （Ⅰ）'()(2)(2)x x xf x ae ax e ax a e =+-=+- ……………1分由已知得'(1)0f =即(22)0x a e -= ……………2分 解得：1a = …………………………3分当1a =时，在1x =处函数()(2)xf x x e =-取得极小值，所以1a =（Ⅱ）()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x ex e =-=-.x (,1)-∞ 1(1,)+∞()f x ' -0 + ()f x减增 所以函数()f x 在(),1-∞递减，在()1,+∞递增. ……………………4分当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，min ()()f x f m =(2)mm e =-.………………………5分 当01m <<时，11m m <<+()f x 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，min ()(1)f x f e==-.…………………………6分 当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[],1m m +单调递减，1min()(1)(1).m fx f m m e +=+=-…………………………7分 综上()f x 在[],1m m +上的最小值min 1(2),1,(),01,(1),0.m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x ex e =-=-.令'()0f x = 得1x = 因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-=所以max min ()0,()ef x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[0,2]x x ∈，都有12maxmin|()()|()()e f x f x f x f x -≤-=………………………………………13分19（本小题满分14分）（Ⅰ）由6ce a ==，2c =222a bc =+ 得3a =1b =，所以椭圆方程是：2213x y += ……………………4分（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y 则112y kx =+，222y kx =+将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(31)1290k x kx +++=（*）则121222129,3131k x x x x k k +=-=++ ………………………7分以PQ 为直径的圆过(1,0)D -，则PD QD ⊥uu u r u u u r，即0PD QD ⋅=u u u r u u u rPD QD ⋅=u u u r u u u r11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++121212()1x xx x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++2121431k k -+==+． ………………………………12分解得76k =，此时（*）方程0∆>， 所以 存在76k =，使得以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -． ……14分20（本小题满分13分） （Ⅰ）由于11211222S a a a a ===，21232222()3S a a a a a +=== ………………2分（Ⅱ）由已知可知112nn n Sa a +=，故111211122n n n n n n n aS S a a a a +++++=-=-．因为1n a +≠，所以22n na a +-=*()n ∈N ． ………………4分于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2ma m m =+-=， 所以 na n =*()n ∈N ． ………………6分（Ⅲ）2log (21)n n T a >+ …………………………………………7分要比较nT 与2log (21)na +的大小，只需比较22,log (21)n nT a +的大小由(21)(21)1n b na --=，得(21)(21)1,nb n --=2221nb nn =-， 故22log 21n nb n =-． …………………………………………8分 从而 1222462log 13521nnn T b b bn ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭L L ．2246222log 13521n n T n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭L 222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭L因此22log (21)n n T a -+222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭L 2log (21)n -+22224621log log 1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭L2224621log []1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭L ． 设224621()1352121n f n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⎪-+⎝⎭L ，则22462221(1)135212123n n f n n n n +⎛⎫+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-++⎝⎭L ，故22(1)2122(22)()2321(23)(21)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫=⋅= ⎪++++⎝⎭224841483n n n n ++=>++，又()0f n >，所以(1)()f n f n +>．所以对于任意 *n ∈N 都有4()(1)13f n f ≥=>， 从而222log (21)log ()0nnT a f n -+=>．所以*22log (21)n nT a n >+∈N ，．即2log (21)n n T a >+……………………………………………13分。

房山区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科）2013.1本试卷共5页，150分。

考试时间120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则A. N M ⊆B. M N ⊆C. )2,1[=N MD. ]3,3[-=N M【答案】C【解析】因为2{|60}{32}M x x x x x =+-<=-<<，所以{12}M N x x =≤< ，选C.2. 设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b +的值为A. 0B. 2C.3D. 4【答案】B【解析】(1)(2)3a bi i i i +=-+=-,所以3,1a b ==-，所以312a b +=-=，选B.3. “0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()sin()f x x ϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈,所以“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的充分而不必要条件，选A.4. 设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则A. c a b <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<【答案】D【解析】因为200.31<<，所以01a <<，0.30.3 2>1, log 40b c ==<，所以c a b <<，选D.5. 已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A.一定相离B.一定相切C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心【答案】C【解析】圆的标准方程为22(1)2x y -+=，圆心为(1,0)，半径为2。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】3：三角函数一、选择题1．（2013北京东城高三二模数学理科）已知3sin()45x π-=,那么sin 2x 的值为 （ ）A ．325B ．725C ．925D ．1825【答案】B 2237sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()244525x x x x πππ=-=-=--=-⨯=,选B.2．（2013北京丰台二模数学理科）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】C因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，sin(2)sin11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选C.（2013北京房山区二模数学理科试题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = .由正弦定理得32sin sin6Bπ=，解得1sin 3B =.因为a b >，所以B A <,即cos B ==,所以sin tan cos B B B ===3．（2013北京顺义二模数学理科）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin __________,ABC ∆的面积=S __________.由1cos 3A =得sin A =.所以s i n s i n ()s i n c o s c o s s iC B C B CB C =+=+13==.由正弦定理sin sin a bA B =得20sin sin 3b a A B =⋅==，所以ABC ∆的面积为1sin2S ab C =120523=⨯⨯=4．（2013北京西城高三二模数学理科）在△ABC 中,2BC =,AC =,3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______.【答案】3由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB=或1AB =-，舍去。