人教A版高中数学选修2-3课件：第三章 3.1 (共90张PPT)

[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这 项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为 零的方法求得常数项．
[例 5] (1)在(x－ 3)10 的展开式中，求 x6 的系数． (2)求(1＋x)2·(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
[解析] (1)(x－ 3)10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10x10－k(－ 3)k. 令 10－k＝6，∴k＝4. 由通项公式可知含 x6 项为第 5 项，即 T4＋1＝C140x10－4(－ 3)4＝9C410x6. ∴x6 的系数应为 9C410.
[解析]
原
式
＝
C
0 n
·2n·10
－
C
1 n
2n
－
1·11
＋
…
＋
(
－
1)k·C
k n
2n
－
k
＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
[点评] 解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指 数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于 二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项 式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展 开式的形式．
[例 2] 设 n 为自然数，化简 Cn0·2n－C1n·2n－1＋…＋(－ 1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①展开式中“＋”与“－”相间隔； ②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求 解．
展开．
[解析] 解法 1：(直接法)
3
x＋
1 x

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

+
11.9
=
10,
������
=
6.2
+
7.5
+
8 5
+
8.5
+
9.8
=
8,
∴ ���^��� = ������ − 0.76������ = 8 − 0.76 × 10 = 0.4.
∴ ���^��� = 0.76������ + 0.4.
当 x=15时, ���^��� = 0.76 × 15 + 0.4 = 11.8.
1234
真题放送
2.(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关
系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程^������
=
^
b������
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
综合应用
应用2考察小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察, 得到数据如下表:
黑穗病 无黑穗病 总计
种子灭菌
26 50 76
种子未灭菌
184 200 384
总计
210 250 460
试分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为种子灭菌 与小麦是否发生黑穗病有关.
8
x
yw
∑ (������������
i=1
− x)2
46.6 563 6.8 289.8
8
8
∑ (������������ − w)2
∑ (������������ − x)(������������

知识建构 专题一 专题二 专题三
综合应用
真题放送
应用2乒乓球比赛用球的直径为40.00 mm,一种乒乓球筒高200 mm,现有4个乒乓球筒(除颜色不同外其他相同),要将5个比赛用球 放到4个乒乓球筒里(乒乓球筒可以空着),共有多少种不同的放法? 提示:由题意,一个乒乓球筒最多可放5个比赛用球.本题属于相同 元素分组的问题,可分类讨论也可用隔板法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
二项式定理
对称性 “杨辉三角”与二项式系数的性质 增减性、最大值
0 1 2 ������ 各二项式系数的和:C������ + C������ + C������ + … + C������ = 2������
知识建构 专题一 专题二 专题三
综合应用
真题放送
专题一 重复元素的排列、组合问题 常见的排列、组合问题,其中的元素通常是不可重复的,那么遇 到有重复元素的排列、组合问题时,该如何求解呢? (1)一般地,从n个不同元素里有放回地取出m(m≤n)个元素(允许重 复出现),按一定顺序排成一列,那么第1次、第2次、……、第m次 选取元素的方法都有n种,由分步乘法计数原理得,从n个不同元素 里有放回地取出m个元素(允许重复出现)的排列数为 N=n· n· n·…·n=nm(m,n∈N*,m≤n). (2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题 的一种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简洁明了,富有创 意性和趣味性.这类问题的类型就是把n(n≥1)个相同的元素分配到 m(1≤m≤n)个不同的组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多 少种不同的分法的问题.

1． 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座， 每名 同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种类是( A．56 5×6×5×4×3×2 C. 2 B．65 D．6×5×4×3×2 )
• (2)特殊优先，一般在后 • 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般 应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考 虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主 次思想． • (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 • 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划 分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计 数问题的基本思想． • 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象 为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思 想方法，对解决计数问题至关重要．
两个计数原理在解决计数问题中的方法
应用两个计数原理应注意的问题
• 1．分类要做到“不重不漏 ____________”，分类后再 对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求 和，得到总数． 步骤完整 • 2．分步要做到“ ________”——完成了所有步 骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独 立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分 步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘， 得到总数．
• [提示] 分六类，每类又分两步，从一班、二 班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、 三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、 四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从 二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选 法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同 的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋ 7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
这样要求的抛物线的条数可由 a，b，c 的取值来确定： 第一步：确定 a 的值，有 3 种方法； 第二步：确定 b 的值，有 3 种方法； 第三步：确定 c 的值，有 1 种方法. 10 分

[一题多变] 1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数， 那么这样的两位数有多少个．
解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个． 当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个． 当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个． 同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个， 当个位数字是 0 时，共 9 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1＋3＋5 ＋7＋9＝25(个)．
用计数原理解决涂色(种植)问题
[ 典例 ] 如图所示，要给“优”、
“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色， 有多少种不同的涂色方法？
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第 1 步，涂“优”区域，有 3 种选择． 第 2 步，涂“化”区域，有 2 种选择．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
分步乘法计数原理的应用
[典例]
从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整
数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数．
[解] (1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位
故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步， 排十位， 从剩下的 3 个数字中选 1 个， 有 3 种方法；
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2，则称这样的 三位数为凸数(如 120,342,275 等)，那么所有凸数个数是多少？ 解：分 8 类，当中间数为 2 时，百位只能选 1，个位可选 1、0， 由分步乘法计数原理，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，百位可选 1,2，个位可选 0,1,2，由分步乘法计 数原理，有 2×3＝6 个；同理可得： 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个． 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个．

在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽 取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3) 在 第 1 次 抽 到 理 科 题 的 条 件 下 ， 第 2 次 抽 到 理 科 题 的 概 率．
解析： 设第 1 次抽到理科题为事件 A，第 2 次抽到理 科题为事件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 AB.
1．求离散型随机变量的分布列有三个步骤： (1)明确随机变量X取哪些值； (2)计算随机变量X取每一个值时的概率； (3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列 与组合知识．
2．求离散型随机变量的分布列，要解决好两个问题： (1)根据题意，明确随机变量X取值，切莫疏忽大意多解或漏 解； (2)一般来说，求相应的概率时有时数字会很大，同学们要 有信心，不要半途而废．
(1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试 的次数为X，求X的分布列及X的数学期望． 解析： (1)记“该生考上大学”为事件 A，其对立事件 为A， 则 P( A )＝C5113234＋235. ∴P(A)＝1－C5113234＋235＝123413.
5．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义．
1．以应用题为背景命题，考查离散型随机变量的分布列、 均值及某范围内的概率．相互独立事件同时发生的概率，某事 件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算，二项分布和离 散型随机变量的均值与方差是高考的重点，考查的题型以解答 题为主，有时也出现选择、填空题．
(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D. P(D)＝P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] ＝P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) ＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) ＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 ＝0.254 016≈0.254. 所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.

解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

数学 选修2-3
第三章 统计案例
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2．已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系 有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好 坏．
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身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
数学 选修2-3第三章Leabharlann 统计案例自主学习 新知突破
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(1)试建立y与x之间的回归方程； (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生体重是否正常？ (3)求相关指数R2.
试建立y与x之间的回归方程．
刻画回归效果的方式
样本编号 体重估计值
残差 身高数据
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越小
解释
预报
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残差图的缺点 (1)残差e受许多条件的影响，也受我们所选用的线性模 型的影响． (2)作残差图有时不够精确，也难于区分拟合效果的好 坏，因此多数情况下，选用计算相关指数R2来说明拟合．
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3．在吸烟与患肺病是否有关旳判断中，有下面旳说 法：
①若K2旳观察值k>6.635，则在犯错误旳概率不超出0.01 旳前提下，以为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟旳人 中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误旳概率不超出0.01旳前提 下，以为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%旳 可能患有肺病；
8分
此时，K2 的观测值 k＝861×4×5×722×2－555×0×3192≈5.785.10 分
由于 5.785＞5.024，
所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该种疾病
与饮用不干净水有关．
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第三章 统计案例
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两个样本都能统计得到传染病与饮用不洁净水有关这一
∵54.21＞10.828，所以拒绝 H0. 因此在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为这种传染
病与饮用不干净水有关.
6分
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(2)依题意得 2×2 列联表：
得病 不得病 合计
干净水
5
50
55
不干净水 9
22
31
合计
14
72
86
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第三章 统计案例
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[规律方法] 1.判断分类变量及其关系的方法： (1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变 量是否相关是判断变量相关的常见方法； (2)一般地，在等高条形图中，a＋a b与c＋c d相差越大，两个 分类变量有关系的可能性就越大．