2020年北京市初三一模分类汇编(全)之新定义汇编

23．如图，直线l与⊙O相离，OA l于点A，与⊙O相交于点P，5OA .C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB AC.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若1tan2ACB∠，求线段BP的长.【2020西城一模】23．如图，四边形OABC中，∠OAB=90°，OA=OC，BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD AC，①补全图形；②求证：OF=OB.24．如图，在Rt ABC，分，点D为BC边的中点，以AD为直径作OBAC中，90别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG BC于G．（1）求证：EG是O的切线；（2）若6的半径为5，求BE的长.AF ，O【2020朝阳一模】23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到A B，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．24．在Rt △ABC 中，∠A =90 ，∠B =22.5 ．点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.【2020石景山一模】23．如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ，⊙O 的半径是5，求BD 的长.AB CA22．如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC=2CF，且DF ，求PE的长．【2020房山一模】24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP AD=3时，求⊙O半径．23．已知：如图，在△ABC中，B C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.（1）求证：DE与⊙O相切；，求线段FA的长.（2）延长DE交BA的延长线于点F，若8AB ，sin B=5【2020通州一模】22．已知：ABC为等边三角形．（1）求作：ABC．（不写作法，保留作图痕迹）的外接圆O（2）射线AO交BC于点D，交O的切线EF，与AB的延长线交于于点E，过E作O点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF BC∥；③若2DE ，求EF的长．22．如图，在□ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．【2020延庆零模】22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，B D，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长.23．如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O，1tan2BDC，求AC的长．【2020平谷一模】22．如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交AC的延长线于点F.（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB=6，求CF的长.22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为 BC中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若EF ＝4，sin F ＝35，求⊙O 的半径．【2020 朝阳零模】17．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心O ，交⊙O 于A ，C 两点，BC =1，AD 为⊙O 的弦，连接BD ，∠BAD =∠ABD =30°，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE 交⊙O 于点M ． （1）求证：直线BD 是⊙O 的切线；（2）求线段EM 的长．A。

专题11 新定义一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可． （2）求出两种特殊位置时t 的值即可判断．（3）如图3中，连接OP ，OM ．首先求出POE ∠，根据图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆．故答案为：B ，C ．（2）解：如图，当1D 与y 轴相切时，设切点为M ，则11MD =，可得11t =．当2D 与y x =相切时，设切点为H ，连接2HD ，设直线y x =与直线2y =交于点K ，则2HKD ∆，MOK ∆都是等腰直角三角形， 21KH HD ==，2KD ∴=2OM MK ==，222MD MK KD ∴=+=可得22t =观察图象可知，满足条件的t 的取值范围是122t +．（3）如图3中，连接OP ，OM ．(2P ，，tan POE ∴∠== 60POE ∴∠=︒，观察图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，6090EOM ∴︒∠<︒．2．（2020•燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r <，则称点P 为T 的伴随点． （1）当O 的半径为1时，①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的伴随点是 ；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为(,3)d d+，构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图31FT=时，线段EF-中，设ET是M的切线，当4上的所有点都是M的伴随点．②如图32∠=︒．③如图-中，设ET是M的切线，连接MT，则90MTE-中，当M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可33得出结论．【解答】解：（1）①如图1中，A，B，C，(4,0)∴切线AG的长2，切线BN的长2==，切线CM 的长2<，∴点B ，C 是，O 的伴随点，故答案为：B ，C ．②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD =22(3)5d d ∴++=， 解得12d =-，21d =-．结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d --．（2）由题意(1,0)E ，(0,2)F -．①如图31-中，设ET 是M 的切线，当4FT =时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，此时4m =．观察图象可知：当34m <时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点． ②如图32-中，设ET 是M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===1m =-③如图33-中，当M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ．(1,0)E ，(0,2)F -，1OE ∴=，2OF =，EF ∴==EF 是切线， EF MT ∴⊥，90MTE EOF ∴∠=∠=︒， MET FEO ∠=∠， MTE FOE ∴∆∆∽，∴EM MTEF OF=， ∴22=，EM ∴=此时1m =结合图象可知，当11m -<-时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，综上所述，m 的取值范围是11m -<-34m <．3．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中． （1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠，中，是AB 关于O 的内直角的是 ； ②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【分析】（1）判断点1P ，2P ，3P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD ∆∆∽，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【解答】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，AB ∴=1P A ==1P B =， 1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A ∴=，AB =24P B =，22222P A P B AB ∴+=， 290AP B ∴∠=︒，2AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P A AB +=， 3AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ∠，3AP B ∠；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角， 90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ， (0,5)A -，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ， OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥， EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ∠=∠，90OHB BDA ∠=∠=︒， OAH BAD ∴∆∆∽，∴4182OH BD AH AD ===， 1122OH AH EH ∴==， OH EO ∴=，EOF AOH ∠=∠，90FEO AHO ∠=∠=︒，()EOF HOA ASA ∴∆≅∆， 5OF OA ∴==，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b -<．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD =，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2． 分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =，MN ∴=GMH OMN ∠=∠，GHM NOM ∠=∠，2ON GH ==，()GHM NOM ASA ∴∆≅∆，MN GM ∴==，1OG ∴，1OT ∴=，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是11t <，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM =时，5t =，∴此时t 的取值范围是15t <，综合以上可得，t 的取值范围是15t <．4．（2020•平谷区一模）在ABM ∆中，90ABM ∠=︒，以AB 为一边向ABM ∆的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作A ，我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的绝对友好正方形”， 例如，图1中正方形ABCD 是A 的“关于ABM ∆的友好正方形”．（1）图2中，ABM ∆中，BA BM =，90ABM ∠=︒，在图中画出A 的“关于ABM ∆的友好正方形ABCD ”． （2）若点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>上，它的横坐标是2，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求k 的取值范围．（3）若点A 是直线2y x =-+上的一个动点，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD 为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，则圆的半径AM AC =，故点C 在圆上，即可求解； （2）分2a =、2a >、2a <三种情况，分别探究即可求解；（3）分1m =、01m <<、0m =、0m <、1m >五种情况，通过画图探究即可求解．【解答】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，∴圆的半径AM AC ==，故点C 在圆上，补全图形如图1，（2）设(2,)A a ，当2a =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图2)； 当2a >时，正方形ABCD 的顶点均落在A 内部（如图3)； 当2a <时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图4)； 反比例函数()(0,0)2,ky k x A a x=>>过点，∴当2a 时，则4k ，k ∴的取值范围为：4k ；（3）当1m =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图5)； 当01m <<时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图6)； 当0m =时，ABO ∆ 不存在；当0m <时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图7)；当1m >时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图8)，（当2m =时ABO ∆不存在）；综上分析，点A 的横坐标m 的取值范围为：01m <或0m <．5．（2020•顺义区一模）已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离． （1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ．①与直线35y x =-相离的点是 ； ②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线3y =+、直线3y =+及直线2y =-围成的图形为W ，T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出T 与图形W 相离的t 的取值范围．【分析】（1）①将A ，B ，C ，D 四个点的坐标代入直线35y x =-计算即可判断． ②根据直线3y x b =+经过点A ，和点C 计算b 的值即可得出答案． （2）分三种情形求出经过特殊位置的T 的坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）①点(1,2)A ，∴当1x =时，352-=-， ∴点A 不在直线35y x =-上，同理，点(2,1)C -不在直线35y x =-上，点(0,5)B -，点(3,4)D 在直线上，∴与直线35y x =-相离的点是A ，C ；故答案为：A ，C ；②当直线3y x b =+过点(1,2)A 时，32b ∴+=． 1b ∴=-．当直线3y x b =+过点(2,1)C -时， 61b ∴+=-． 7b ∴=-．b ∴的取值范围是1b >-或7b <-．（2）①如图1，图形W 为ABC ∆，直线3y =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，令0x =，3y =，令0y =，x =3OA ∴=，OD30OAD ∴∠=︒，60ADO ∠=︒，当T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，连接TH ，TH DH ∴⊥，60TDH ADO ∠=∠=︒，1TH =，∴=DT∴=+==，OT OD DT∴，0)，T∴当t>时，T与图形W相离，②如图2，当T位于直线3y=+左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理可得，TE OE=∴=，OT∴，0)，(T∴当t<T与图形W相离，③如图3，当T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，同理可得TD=OD∴=-==，OT OD TDT∴0)，当T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，(T0)，∴当t<<T与图形W相离．综合以上可得，T与图形W相离时t的取值范围是：t<t>或t<<6．（2020•东城区一模）在ABC∆的内部或边上，∆的中线，如果CD上的所有点都在ABC∆中，CD是ABC则称CD为ABC∆的中线弧．（1）在Rt ABC∠=︒，1AC=，D是AB的中点．ACB∆中，90①如图1，若45∆的一条中线弧CD，直接写出ABC∆的中线弧CD所在圆的半径r的最∠=︒，画出ABCA小值；②如图2，若60∆的最长的中线弧CD的弧长l．∠=︒，求出ABCA（2）在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A，(4,0)B，(0,0)C，在ABC∆中，D是AB的中点．求ABC∆的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大．（2）分两种情形：如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小，此时1122r AC==，ABC∴∆的中线弧CD所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大，此时，CD的圆心在BC上，⊥，ND BDNDB∴∠=︒，90ACB∠=︒，∠=︒，90A60∴∠=︒，B30∴==，BN DN CN22∴==，3CN BC∴=CN∴．（2）如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，ABC ∆的中线弧CD 所在的圆的圆心在线段CD 使得垂直平分线上，当中线弧CD 所在圆与BC 相切时，可得(0,5)P ，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5t ．如图4中，若中线弧CD 在 线段CD 的上方时，当中线弧CD 所在圆与AC 相切时，可得5(2P ，5)2-，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标52t -． 综上所述，．中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为：5t 或52t -．7．（2020•石景山区一模）在ABC ∆中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC ∆的C -中线弧．例如，如图中DE 是ABC ∆的C -中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为(2t ，0)(0)t >．（1）当2t =时，①在点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ；②若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）①先确定出点C 的横坐标的范围即可得出结论； ②先确定出分界点点P ，P '的坐标，即可得出结论；（2）表示出点D 的坐标，再分点E 在线段AD 和BD 上，求出AE ，利用02AE t ，且AE t ≠，即可得出结论．【解答】解：（1）当2t =时，点B 的坐标为(4,0)， 点D 是AB 的中点，(2,0)D ∴， ①如图1，过点C 作CE AB ⊥于E ，则90CED ∠=︒， CE AB ∴⊥，即点C 和点E 的横坐标相同，点E 是以CD 为直径与边AB 的交点，04AE ∴，点E 与点D 重合，2AE ∴≠，∴点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C ，∴只有点2C ，4C 的横坐标满足条件，故答案为2C ，4C ；②ABC ∆的中线4CD =，∴点C 在以点D 为圆心4为直径的弧上，由①知，点C 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C 在如图2所示的CC '上（点(2,4)H 除外），点P 是以CD 为直径的圆的圆心，∴点P 在如图2所示的PP '上（点(2,2)G 除外），在Rt OAM ∆中，2AD =，4MD =，根据勾股定理得，AO =(0C ∴，，同理：(4C '，，点P 是DC 的中点，P ∴，同理：点P '，当直线y kx =过点P 时，得k =当直线y kx =过点P '时，得k =， 当直线y kx =过点(2,2)G 时，得1k =，结合图形，可得k 3k 且1k ≠；（2）同（1）①知，点E 的横坐标大于等于0小于等于2t ，且不等于t ， 点D 是AB 的中点，且(2,0)B t ， (,0)D t ∴，当点E 在线段AD 上时，2(2)40AE t t t =--=-+，4t ∴，当点E 在线段BE 上时，2(2)2AE t t t =-+，43t∴， ∴443t 且2t ≠．8．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D -，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段CP 的取值范围是 ； ②在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b +>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r >，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题． ②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，分三种情形：①线段FG 在O 内部，②线段FG 与O 有交点，③线段FG 与O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（2）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据H 和K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，(1,0)D -，E ，1OD ∴=，OE =tan OEEDO OD∴∠== 60EDO ∴∠=︒，当OP DE ⊥时，sin 60OP OD =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP DE ⊥时，CP 的值最小，最小值cos60CD =︒ 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ．②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足2OM ON =， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，当01b <<时，线段FG 在O 内部，与O 无公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为1b -，最大距离为1b +， 线段FG 与O 满足限距关系， 12(1)b b ∴+-，解得13b， b ∴的取值范围为113b <． 当12b 时，线段FG 与O 有公共点，线段FG 与O 满足限距关系， 当2b >时，线段FG 在O 的外部，与O 没有公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为112b -，最大距离为1b +，线段FG 与O 满足限距关系， 112(1)2b b ∴+-，而112(1)2b b +-总成立，2b ∴>时，线段FG 与O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b．（3）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为22r -，最大值为22r +，H 和K 都满足限距关系，222(22)r r ∴+-，解得3r ，故r 的取值范围为03r <．9．（2020•通州区一模）如果MN 的两个端点M ，N 分别在AOB ∠的两边上（不与点O 重合），并且MN 除端点外的所有点都在AOB∠的内部，则称MN是AOB∠的“连角弧”．（1）图1中，AOB∠是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，点(,0)N t在x轴正半轴上，若MN是半圆，也是AOB∠的“连角弧”求t的取值范围．（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，4ON=，MN是AOB∠的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出AOB∠的取值范围．【分析】（1）①利用弧长公式计算即可．如图11-中，作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得劣弧MN．②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MNJ即为最长的弧．（2）求出两种特殊情形ON的长即可判断．（3）如图3中，当MN为直径，且NM AB⊥时，AOB∠的值最大，求出AOB∠的最大值即可．【解答】解：（1）①MN的长9011802ππ==．如图11-中，MN即为所求．②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MNJ 即为最长的弧优弧MN 的长270131802ππ==， 故答案为2π，32π．（2）如图2中，(1,3)M ，tan MOB ∴∠=，60MOB ∴∠=︒，2OM ，当1MN OB ⊥时，可得11ON =，此时1t =， 当2MN OM ⊥时，可得24ON =，此时4t =， 观察图象可知满足条件的t 的值为14t ．（3）如图3中，当MN 为直径，且NM AB ⊥时，AOB ∠的值最大，在Rt OMN ∆中，21sin 42MN AOB ON ∠===， 30AOB ∴∠=︒，观察图形可知满足条件的AOB ∠的值为030AOB ︒<∠︒10．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作P ，使得图形M 上的所有点都在P 的内部（或边上），当r 最小时，称P 为图形M 的P 点控制圆，此时，P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点(2,2)B ．（1）已知点(1,0)D ，正方形OABC 的D 点控制半径为1r ，正方形OABC 的A 点控制半径为2r ，请比较大小：1r 2r ；（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出1r 和2r 的值即可得解．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，分两种情况：①当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，②当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥；分别求得两个切点的坐标，进而得出b 值，则可得答案．【解答】解：（1）由题意得：1r BD CD ====2r AC === 12r r ∴<，故答案为：<．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，则直线OM 的解析式为：y =，设(,)M x ， OM OB =，OM ∴== 2283x x ∴+=，解得：x =x =)，=，(M ∴，将(M 代入y b =+(b =+，解得：b =当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥，同理，设直线BN 的解析式为：y n =+，将(2,2)B 代入得：22n =+，2n ∴=+，∴直线BN 的解析式为：2y =++，设(,2N m +， BN OB =，∴= 2244448333m m m m ∴-++-+=2420m m ∴-+=，2m ∴=)或2m =222+=+++=-(2N ∴+2-，∴将(2N +2-代入y b =+得：2b +，解得：2b =-，∴存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，此时b 的取值范围为：2b -<．11．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．（1）在点(0,0)O ，(2,1)C -，(3,0)D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围； （3）已知点(,1)M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）由两点的距离公式可得AP BP ==分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：1K 、2K 、3K 、4K ，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）先根据直线132y x =+，当0x =和0y =计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线132y x =+相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【解答】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．AP BP ∴==，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点1K 、2K 、3K 、4K ，1OP OG ==，//OE AB ，PE AE ∴==112OE AG ∴==，1(1K ∴--0)，2(1k ，0)，31k ，0)，4(1k 0)，点K 为点P 与线段AB 的共圆点，112k x ∴--或112k x +；（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，当0x =时，3y =，当0y =时，1302y x =+=，6x =-， 3ON ∴=，6OH =，31tan 62ON EF EHF OH FH ∠====，设EF a =，则2FH a =，EH ，6OE ∴=-，Rt OEP ∆中，1OP =，EP a =，由勾股定理得：222EP OP OE =+，∴2221(6)a =+，解得：a =（舍)22(6)3QG OE ∴==-=-+3210m ∴-②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，同理得3QG =+3210m ∴+综上，m 的取值范围是3210m -或3210m +．12．（2020•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意点(P x ，)y ，如果满足(0x y a x +=，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当23a 时，①在点(1,2)A ，(1,3)B ，(2.5,0)C 中，满足此条件的特征点为 ；②W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数1(0)Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W 0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W 0)，结合图象，W 与图中阴影部分有交点时，W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）．【解答】解：（1）①123+=，134+=，2.50 2.5+=， 又23a ，A ∴，C 是特征点．故答案为：A ，C ．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W -0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W +0)，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：232m +．（2）0x >，1y x∴=的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为1(,)x x ，特征点满足(0x y a x +=，a 为常数），1x a x ∴+=，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中），此时交点的坐标为(1,1)，1Z x x∴=+的值最小，最小值为2．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 ；②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ． 【分析】（1）①根据线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义可知2OP AB ==，由此即可解决问题． ②如图2中，当OP AB =时，作PH x ⊥轴于H ．求出点P 的横坐标，利用图象法即可解决问题． （2）如图31-中，作CH y ⊥轴于H ．分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作A ，B ．首先证明30COH ∠=︒，由射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，推出射线OC 与A ，B 只有一个交点，求出几种特殊位置t 的值，利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）①如图1中，由题意(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)C ，点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴==，2OP ABP∴．(0,2)故答案为(0,2)．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．=时，作PH x在Rt POH==OP AB∆中，1==，2PH OC∴，OH观察图象可知：若0n<，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<（3）如图31⊥轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B．-中，作CH y由题意C ，1)，CH ∴=，1OH =，tan CH COH OH ∴∠==， 30COH ∴∠=︒，当B 经过原点时，(2,0)B -，此时4t =-，射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与A ，B 只有一个交点，观察图象可知当42t -<-时，满足条件，如图32-中，当点A 在原点时，60POB ∠=︒，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时0t =，如图33-中，当B 与OC 相切于P 时，连接BP ．OC ∴是B 的切线，OP BP ∴⊥， 90OPB ∴∠=︒，2BP =，60POB ∠=︒，cos60PB OB ∴==︒2t =-，如图34-中，当A 与OC 相切时，同法可得OA t =观察图形可知，满足条件的t 432t-<，综上所述，满足条件t 的值为42t -<-或0t =432t-<．故答案为：42t -<-或0t =432t-<．14．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”． 例如：点(1,3)M 的特征线是2y x =+和4y x =-+；（1）若点D 的其中一条特征线是1y x =+，则在1(2,2)D 、2(1,0)D -、3(3,4)D -三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点(1,2)P -的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线(0)y kx b k =+≠经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使BPA ∆的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点(2,0)C ，(,0)T t ，且T 的半径为1．当T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+，求出PAB ∆的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB 的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，设当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，当T '与直线2y x =-相切于点N 时，分别求出OT ，OT '结合图象即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，点2D 的特征线是1y x =+．故答案为2D ．（2）如图2中，设过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+， 12b ∴+=， 1b ∴=，∴过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为1y x =-+，(1,0)A ∴，当BPA ∆的面积6=时，1262AB =，6AB ∴=，(5,0)B ∴-或(7,0)，当y kx b =+'经过(1,2)P -，(5,0)B -时，250k b k b -+'=⎧⎨-+'=⎩解得12k =， 当直线y kx b =+'经过(1,2)P -，(7,0)B 时，270k b k b -+'=⎧⎨+'=⎩，解得14k =-， 观察图形可知满足条件的k 的值为1142k-且0k ≠．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，连接TM ， 在Rt TCM ∆中，90TMC ∠=︒，45MCT ∠=︒， 1MT MC ∴==，TC ∴=，2OT ∴=，此时2t =当T '与直线2y x =-相切于点N 时，推出法可得2OT '=+2t =结合图象可知满足条件的t 的值为：222-+．15．（2020•大兴区一模）已知线段AB ，如果将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AC ，则称点C 为线段AB 关于点A 的逆转点．点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的示意图如图1: （1）如图2，在正方形ABCD 中，点 为线段BC 关于点B 的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,0)x ，且0x >，点E 是y 轴上一点，点F 是线段EO 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，过逆转点G ，F 的直线与x 轴交于点H ． ①补全图；②判断过逆转点G ，F 的直线与x 轴的位置关系并证明；③若点E 的坐标为(0,5)，连接PF 、PG ，设PFG ∆的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的定义判断即可．（2）结论：GF x ⊥轴．证明()GEF PEO SAS ∆≅∆，推出90GFE EOP ∠=∠=︒可得结论．（3）分两种情形：如图41-中，当05x <<时，如图42-中，当5x >时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意，点A 是线段AB 关于点B 的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF x⊥轴．理由：点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，=，=，EF EO∴∠=∠=︒，EG EPOEF PEG90∴∠=∠，GEF PEO∴∆≅∆，GEF PEO SAS()∴∠=∠，GFE EOPOE OP⊥，∴∠=︒，90POEGFE∴∠=︒，90OEF EFH EOH∠=∠=∠=︒，90∴四边形EFHO是矩形，∴∠=︒，90FHOFG x ∴⊥轴．③如图41-中，当05x <<时，(0,5)E ， 5OE ∴=，四边形EFHO 是矩形，EF EO =，∴四边形EFHO 是正方形，5OH OE ∴==， 21115(5)2222y FG PH x x x x ∴==-=-+． 如图42-中，当5x >时，21115(5)2222y FG PH x x x x ==-=-．。

的最佳内直角.在平面直角坐标系 ⰸᎢ 中.
的内直角，
（1）如图 2， ⰸ 的半径为 ， 䕨 Ꭲ 䕨ᎉ ሺ䕨Ͷ 是 ⰸ 上两点。
①已知 䕨 䕨 䕨Ͷ 䕨 Ͷ Ꭲ 䕨 䕨在∠ ᎉ，∠
ᎉ 关于 ⰸ 的内直角的是
；
ᎉ，∠ Ͷᎉ，中，是
②若在直线 Ꭲ 쳌 쳌 上存在一点 ，使得∠ ᎉ 是 ᎉ 关于 ⰸ 的内直角，求 쳌 的取值范围
（1）在点 O 0, 0 ， C 2,1 ， D 3, 0 中，可以成为点 P 与线段 AB 的共圆点的是
________；
（2）点 K 为 x 轴上一点，若点 K 为点 P 与线段 AB 的共圆点，请求出点 K 横坐标 xK 的
取值范围.
（3）已知点 M m, 1 ，若直线 y 1 x 3 上存在点 P 与线段 AM 的共圆点，请直接
始终满足PQ>0，则称图形M与图形N相离． （1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．
①与直线y=3x-5相离的点是 ； ②若直线y=3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线 y 3x 3 、直线 y 3x 3 及直线y=-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，
(2)点 是以 密䕨 为圆心，ሺ 为半径的圆上一个动点， 与 轴交于点 (点 在点 的右边).现有点 t 䕨 䕨t 䕨ǡ ，对于线段 tt 上每一点 ，都存在点 ，使∠ 是 关于 的最佳内直角，请直接写出 ǡ 的最大值，以及 ǡ 取得最大值时 密 的取值范围.
数海中的小李鱼
2
2020 中考冲刺讲义系列
围；
（3）已知点 C（2，0），T（t，0），且⊙T 的半径为 1. 当⊙T 与点 C 的特征线存在交点时，
直接写出 t 的取值范围.

【关键字】试题目录类型1：圆基础 (2)类型2：圆综合 (4)类型3：新定义问题 (9)类型1：圆基础1.（18延庆一模14）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC=42°，那么∠CDB的度数为____________．2. （18房山一模5）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC=26°，则∠AOB的度数为（）A．26° B．52°C．54° D．56°3.（18西城一模13）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=__________．4.（18朝阳毕业8）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠AOC的度数是（）A.70°B.110°C.140°D.160°5.（18朝阳一模13）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD= 度.6.（18海淀一模14）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D = 72°，则∠BAE = °.7.（18门头沟一模13）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若∠C=32°，则∠A=______ °．8.（18燕山一模10）在平面直角坐标系xoy中，点A(4,3) 为⊙O 上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标9.（18平谷一模14）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，若AB=10，CD=8，则BE= ．10.（18石景山一模13）如图，是⊙的直径，是弦，于点，若⊙的半径是，，则．11.（18大兴一模5）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为（）A．3 B．C．6 D．12.（18丰台一模13）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB的长是．13.（18朝阳毕业10）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.14.（18东城一模4）如图，是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是（）A．π B．C．D．类型2：圆综合1.（18平谷一模24）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB=2∠C ；（2）若AB=6，，求DE 的长．2.（18延庆一模23）如图，是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点是的中点，过点作⊙O 的切线交的延长线于点F ．连接并延长交于点．（1）求证：；（2）如果AB=5，，求的长．3. （18石景山一模23）如图，是⊙的直径，是弦，点是弦上一点，连接并延长交⊙于点，连接，过点作⊥交⊙的切线于点．（1）求证：；（2）若⊙的半径是，点是中点，，求线段的长．4. （18房山一模22）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG.（1）求证：AB⊥CD ；（2）若sin∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.5.（18西城一模24）如图，⊙的半径为，内接于⊙，，，为延长线上一点，与⊙相切，切点为．（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）．（2）作于点，求的度数及的值．6.（18怀柔一模23）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE.（1）求证：BE=CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin∠BCE=，求BE 的长.7.（18海淀一模23）如图，是⊙的直径，弦于点，过点作⊙的切线交的延长线于点.（1）已知，求的大小（用含的式子表示）； （2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.8.（18朝阳一模23）如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE =√2，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长． 9.（18东城一模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点.过点C作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.10.（18丰台一模23）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ．（1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长． 11.（18门头沟一模23）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长E F H B O D A P C 线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cosD =35，请求出AC 的长． 12.（18大兴一模）.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 13.（18顺义一模24）如图，等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝35，求AB 的长．14.（18通州一模24）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧BC 的中点.过点D 作⊙O 的切线，分别交AC ，AB 的延长线于点E 和点F ，连接CD ，BD.（1）求证：∠A =2∠BDF ;（2）若AC =3，AB =5，求CE 的长.15.（18燕山一模25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cos C =52时，求⊙O 的半径． 16.（18朝阳毕业25）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路． 类型3：新定义问题 1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. E O M G F AB C图1 图2则下面叙述中正确的是（ ）A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+． 如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O，点P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；x 图2图1E A（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．3.（18石景山一模28）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________； （2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线3y =-A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （－22 ，－22 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线k y x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．（1）当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围． 7.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围．8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy 中点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2，22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E ),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标； ⋅2③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围． 10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围. 备用图1 备用图212.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ，E 的“平横纵直角”的示意图.图113.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图213.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”． 例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x = 分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．14.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是（2）抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 （3）抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），图2使得∠APB为锐角，若有，请求出y的取值范围.若没有，请说明理由.p,备用图此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

2020初三数学一模分类汇编 新定义（28题）1.（2020东城一模28题）28．在△ABC 中，CD 是△ABC 的中线，如果CD 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则CD 称为△ABC 的中线弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，AC =1，D 是AB 的中点．①如图1，若=45A ︒∠，画出△ABC 的一条中线弧CD ，直接写出△ABC 的中线弧CD 所在圆的半径r 的最小值；②如图2，若60A ∠=，求出△ABC 的最长的中线弧CD 的弧长l ．图1 图2（2）在平面直角坐标系中，已知点A （2，2），B （4，0），C （0，0），在△ABC 中，D 是AB 的中点．求△ABC 的中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围．解析： 28．（1）①如图（答案不唯一）中线弧CD 所在圆的半径r 的最小值为21． -----------------2分 ②当中线弧CD 所在圆与AC ，AB 都相切时，中线弧CD 的弧长l 最大．如图，此时中线弧CD 所在圆的圆心在BC 上，半径为33．所以最大弧长l 1202ππ36039=⨯=． -----------------3分 (2) △ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 在CD 的垂直平分线上． 如图，若中弧线CD 在CD 下方，当中弧线CD 所在圆与BC 相切时，可得圆心P 的坐标为（0,5）．所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5≥t ．如图，若中弧线CD 在CD 上方，当中弧线CD 所在圆与AC 相切时，可得圆心P 的坐标为（25，25-）．所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标25-≤t ． 综上，△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为： 5≥t 或25-≤t ． ……………………………………………………7分2.（2020西城一模28题）28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得AM =2BN ，则称图形W 1和图形W 2 满足限距关系. （1）如图1，点C （1，0），D （-1，0），E （0，，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．① 线段OP 的最小值为 ， 最大值为 ；线段 CP 的取值范围是 ； ② 在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；图1（2）如图2，⊙O 的半径为1，直线(0)y b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）⊙O 的半径为r ( r ＞0 )，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围.28．解：（1）①2；3≤CP ≤2； ② O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ， G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 的内部，与⊙O 无公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1b +．∵ 线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴ 1b +≥2(1)-b ．解得b ≥13． ∴ b 的取值范围是13≤b ＜1． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系. 当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 无公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为112b -，最大距离为1b +． ∵ 线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴ 1b +≥12(1)2b -．而112(1)2b b +>-总成立．∴ 当b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系． 综上，b 的取值范围是b ≥13． （3）0＜r ≤3． 7分3.（2020朝阳一模28题）28．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0) ，B(t+2，0) ，C(n，1) ，若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．(1)如图，t=0，①若n=0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是_____；②若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；(2)若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．28．解：（1）(0,2)；（2）如图，设以O为圆心，AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D，作DE垂直x轴于点E,∴OD=2，DE=1．在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE=3．∴n的取值范围是n＜3-．（3）-4＜t≤-2或4323＜t≤2或t =0或t=433．4.（2020海淀一模28题）28.A,B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部.若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边(含顶点)上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角.如图1,∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角.在平面直角坐标系xOy中.（1）如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5),B(4,3)是⊙O上两点。

2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将m＝1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；（2）根据抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．点A在第一象限，且OA＝，即可求抛物线的解析式；（3）将点B（m﹣，m+1），C（2，2）．分别代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，根据二次函数的性质即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m＝x2﹣2x+2．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，∵m＞0，∴OM＝AM＝m，∴OA＝m，∵OA＝，∴m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2．（3）∵点B（m﹣，m+1），C（2，2）．∴把点B（m﹣，m+1），代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m时，方程无解；把点C（2，2）代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，得m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2，根据函数图象性质：当m≤1或m≥2时，抛物线与线段BC有公共点，∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．【点评】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解；（3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，解得：b＝2a，故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1，故点B的坐标为：（1，0）；（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1，故﹣1＜x2＜0；（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴点D（﹣1，0），∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0，解得：a＜﹣2，故a的取值范围为：a＜﹣2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而求解．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝时，概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）①当a＞0时，由（2）知，当a＝时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞时，区域W内的所有整点数多于3个；当a时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜时，区域W内的所有整点数多于3个；②当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣时，区域W内的所有整点数多于3个；∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据抛物线的对称轴：x＝﹣求解即可．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），可得y c＝11a+1，分a＞0，a＜0两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由对称轴是直线x＝﹣，可求解；（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a和b的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B的坐标为（0，4a），然后∠BAO＝45°，可知4a＝2，从而可以求得a的值；（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2+（b﹣4a），∴该抛物线顶点A的坐标为（﹣2，b﹣4a），∵顶点A在x轴上，∴b﹣4a＝0，即b＝4a；（2）∵b＝4a，∴抛物线为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），∵抛物线顶点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，∴OB＝OA＝2，∴4a＝2，∴；（3）或a＝1．理由：∵点A（﹣2，0），点B（0，4a），设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，，得，即直线AB的解析式为y＝2ax+4a，∵抛物线解析式为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∴或，解得，a＝1或0＜a≤，即a的取值范围是0＜a≤或a＝1．【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可．（2）利用待定系数法把问题转化为一元二次方程即可解决问题．（3）分m≥0，m＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x+m+1＝（x+1）2+m，∴抛物线的顶点（﹣1，m），（2）∵抛物线经过点A（m，m+1），∴m+1＝m2+2m+m+1，解得m＝0或﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1或y＝x2+2x﹣1．（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得0≤m≤﹣1+．当m＜0时，如图2中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得﹣1﹣≤m≤﹣2，综上所述，满足条件的m的值为：0≤m≤﹣1+或﹣1﹣≤m≤﹣2．【点评】本题考查二次函数的图形与系数的关系，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＜0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＞0时，当x＝4，y＜1，即16﹣8m+1＜1，解得m＞2，所以m的范围为m≤0或m＞2．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∴b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，解得≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，解得0＜a≤．∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）x﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∴a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∴0＜a＜4；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴．即．解得（舍去）或（舍）．综上，a的取值范围是0＜a＜4或a＝﹣3﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为x＝2；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y的最小值是﹣1，得顶点坐标为（2，﹣1），把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝2，故答案为：x＝2；（2）解：∵抛物线的对称轴直线为x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵y的最小值是﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1）．∵a＞0，开口向上，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，即x＝5时，y有最大值，∴把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a﹣8a+1＝﹣1，解得a＝，∴y＝x2﹣2x+1，∴当x＝5时，y＝，即y的最大值是；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a+8a+1＝5，解得a＝，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴a+4a+1＝4，解得a＝，∴≤a＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝﹣4a，则解析式为y ＝ax2﹣4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A（1，0），∴a+b+3a＝0，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+3a∴对称轴为x＝2；（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，∴B（0，4），则点D（﹣1，4），∵直线y＝﹣x+4与x＝2交于点C，∴C（2，2），①当a＞0时，如图1，过点D作y轴的平行线交抛物线于点H，当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+3a＝a+4a+3a＝8a，故点H（﹣1，8a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y D，即8a≥4，解得：a；②当a＜0时，如图2，设抛物线的顶点为H（2，﹣a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y，C，即﹣a≥2，解得：a≤﹣2；综上，a的取值范围为：a≥或a≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）先求出点Q坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，利用特殊点可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P，∴点P（0，﹣1），∵PQ＝4，PQ∥x轴，∴点Q（4，﹣1）或（﹣4，﹣1）当点Q为（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴，当点Q（﹣4，﹣1）∴﹣1＝16a﹣4b﹣1，∴＝4；（2）当a＜0时，当抛物线过点（﹣2，2）时，a＝﹣，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∴﹣1≤a＜﹣，当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝，当抛物线过点（﹣1，﹣2）时，a＝，∴＜a≤；综上所述：＜a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并能运用是本题关键．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）直接将点B的坐标代入反比例函数y＝中可得点D的坐标；（2）把m＝1代入可得B和D的坐标，从而得C的坐标，根据两点的距离公式可得BD ＝2CD；（3）根据两点的距离公式，由BD≤CD列不等式，解出即可，因为y＝中m≠0，可得结论．【解答】解：（1）∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象交于点D，∴点D的纵坐标为2m，∴2m＝，x＝2，∴D（2，2m）；（2）当m＝1时，B（0，2），D（2，2），∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象交于点C，∴2m＝x+m，x＝m，∴C（m，2m），∴C（1，2），∴BD＝＝2，CD＝＝1，∴BD＝2CD；（3）∵B（0，2m），C（m，2m），D（2，2m），∴BD＝2，CD＝|m﹣2|，∵BD≤CD，∴|m﹣2|≥2，∴m≥4或m＜0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，学会利用参数解决问题，并熟练掌握两点的距离公式．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m．（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．，（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．第23页（共23页）。

姓名：年级：教师：专题02三角形、新定义一．选择题1.（黄浦区）在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（▲）．（A）50°；（B）60°；（C）70°；（D）80°．【答案】C【解析】【分析】根据已知可以确定；根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题．【详解】解：∵，，∴与是对应角，与是对应角，故．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出和是对应角是解题的关键．2.（黄浦区）在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（▲）．（A）；（B）；（C）；（D）．【答案】B【解析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．【详解】解：由题意，得，，故选：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．3.（长宁、金山区）如果点、、分别在边、、上，联结、，且，那么下列说法错误的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么【答案】C【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【详解】如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4.（崇明区）如图，在中，点、分别在和边上且，点为边上一点（不与点、重合），联结交于点，下列比例式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．【详解】∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．5.（嘉定区）三角形的重心是（）A.三角形三边的高所在直线的交点；B.三角形的三条中线的交点；C.三角形的三条内角平分线的交点；D.三角形三边的垂直平分线的交点.【答案】B【分析】根据三角形重心的概念即可得出答案.【详解】A三角形三边的高所在直线的交点是垂心；B三角形的三条中线的交点是重心；C三角形的三条内角平分线的交点是内心；D三角形三边的垂直平分线的交点是外心.故选B【点睛】本题主要考查三角形的重心，掌握三角形重心的概念是解题的关键.6.（静安区）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是A. B. C. D.【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；则，故B正确；则，故C错误；则，故D错误.故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.7.（闵行区）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值()A.都缩小到原来的n倍B.都扩大到原来的n倍；C.都没有变化D.不同三角比的变化不一致.【答案】C【分析】根据题意易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角比值不变．【详解】∵各边都扩大n倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为n：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角比值不变，故答案为C.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，用到的知识点有：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．8.（浦东新区）如图，点分别在的边、上，下列各比例式不一定能推得的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得答案.【详解】解：A、∵，∴DE∥BC，不符合题意；B、由，不一定能推出DE∥BC，符合题意；C、∵，∴DE∥BC，不符合题意；D、∵，∴DE∥BC，不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行，理解对应线段是解答此题的关键.9.（浦东新区）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（）A.米B.米C.米D.9米【答案】A【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，∵i=BC：AC=1：3∴3：AC=1:3,∴AC=9在Rt△ACB中，由勾股定理得，∴AB=米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.10.（普陀区）如图2，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（）A.4B.6C.D.【答案】C【解析】（1）相似模型——“母子型”；（2）相似的性质：周长之比等于相似比11.（青浦区）如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（）A.1∶2；B.1∶4；C.1∶6；D.1∶8．【答案】A【分析】根据相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比作答即可．【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2，又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，∴它们的对应高之比是：1∶2，故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比．12.（青浦区）如图，DE∥AB，如果CE∶AE=1∶2，DE=3，那么AB等于（）A.6；B.9；C.12；D.13．【答案】B【分析】根据比例的性质得CE∶CA=1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.【详解】∵CE∶AE=1∶2，∴CE∶CA=1∶3，∵DE∥AB，∴∵DE=3，∴AB=3DE=9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.13.（松江区）下列两个三角形不一定相似的是A.两条直角边的比都是的两个直角三角形B.腰与底的比都是的两个等腰三角形C.有一个内角为的两个直角三角形D.有一个内角为的两个等腰三角形【答案】D【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．【详解】解：A.两条直角边的比都是的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B.腰与底比都是的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C.有一个内角为的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D.有一个内角为的两个等腰三角形，内角是的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．14.（徐汇区）如图，，，，，那么下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】∵AB∥CD∥FF，AC=2，AE=5，BD=1.5，即解得：故选：D．【点睛】本题考查是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15.（徐汇区）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为30°的直角三角形都相似B.凡有内角为45°的等腰三角形都相似C.凡有内角为60°的直角三角形都相似D.凡有内角为90°的等腰三角形都相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．【详解】A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选：B．【点睛】题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．16．（虹口区）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15B．10C．7.5D．5【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴＝（）2＝，∴＝，∵△ACD的面积为15，∴△ABD的面积＝×15＝5，故选：D．17.（闵行区）如图，在正三角形中，分别在，上，且，，则有（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE＝BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE＝BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选B．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，其中在解答选择题时，我们可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．二．填空题1.（黄浦区）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果，，，那么线段BC的长是______．【答案】；【解析】【分析】根据DE∥BC可得,再由相似三角形性质列比例式即可求解．【详解】解：，，，又∵，，，，解得：故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，找准对应线段是解题的关键．2.（黄浦区）如图，在Rt△ABC中，，BD⊥AC，垂足为点D，如果，，那么线段AB的长是______．【答案】；【解析】【分析】在中，根据直角三角形边角关系求出，根据勾股定理求出，在在中，再求出即可．【详解】解：在中，，，，，，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．3.（黄浦区）如果等腰△ABC中，，，那么______．【答案】；【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，由于，所以，，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出的长度．【详解】解：过点作于点，过点作于点，，，，AB=AC=3，BE=EC=1，BC=2，又∵，∴BD=,，∵，∴，故答案为：.【点睛】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．4.（黄浦区）在△ABC中，AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______．【答案】8或；【解析】【分析】分类讨论：当，根据相似的性质得；当，根据相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可．【详解】解：，当，则，即，解得；当，则，即，解得，综上所述，的长为8或．故答案为：8或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.5.（黄浦区）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______．【答案】【解析】【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC 的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.．【详解】解：延长AG交BC于D点，∵中线BF、CE交于点G，∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点，∴AG=AD，CG=CE，BG=BF，∵，，∴,.∵CE⊥BF，即∠BGC=90°，∴BC=2DG=5，在Rt△BGC中，CG=，∴，故答案为：.【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键.6.（杨浦区）.已知点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交边AB、AC于点M、N，那么＝．【分析】根据三角形重心和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，，连接AG并延长交BC于点E，∵点G是△ABC的重心，∴，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，故答案为：7.（杨浦区）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 2.4米．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．8．（杨浦区）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝145度．【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠ADC的度数．【解答】解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵对角线BD是它的相似对角线，∴△ABD∽△DBC，∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，∴∠A+∠C＝∠ADC，又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，∴∠ADC＝145°，故答案为：145．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”，利用相似三角形的性质是解题的关键．9．（杨浦区）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或4．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．10.（长宁、金山区）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为_____米．【答案】13．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴，即，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB＝＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．11.（长宁、金山区）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC ＝10．则BE的长等于_____．【答案】6．【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题．【详解】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴,∴,∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．【点睛】本题考查相似三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.（长宁、金山区）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG 的长是_____．【答案】．【分析】延长BG交AC于E．易知AH＝2，根据三角函数计算AB的长，由勾股定理可得BH的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论．【详解】解：延长BG交AC于H．∵G是△ABC的重心，∴AH＝AC＝×4＝2，∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝，∴，∴AB＝6，由勾股定理得：BH＝＝2，∵∵G是△ABC重心，∴BG＝2GH，∴BG＝＝；故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.（长宁、金山区）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于_____．【答案】4﹣4．【分析】设直线l与AB、CD分别交于点E、D，由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，设AE＝AD＝x，证△AED∽△ABC，可求x的值，进一步可求出BC的长．【详解】解：如图，设直线l与AB、CD分别交于点E、D，则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，∴，∵l∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，设AE＝AD＝x，则，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用．14.（崇明区）如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形的最大角为________度．【答案】70【分析】根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵三角形的两个内角分别为50°和60°，∴这个三角形的第三个内角为180°−50°−60°＝70°，根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为70°．故答案为70．【点睛】本题考查三角形内角和定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.（崇明区）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了_________米．【答案】50【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【详解】设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2＋（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．16.（崇明区）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．【答案】54【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴，解得h=54（m）．故答案为54．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．17.（崇明区）如图，在中，，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连结.若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为____.【答案】10【分析】首先利用等腰三角形的性质得到点E是AD的中点，可得EF是△ACD的中位线，则EF∥CD，EF=CD，进而可证明△AEF∽△ADC，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADC的面积，由点E是AD的中点得△BDE和△BAE面积相等，利用即可求解．【详解】解：∵BE平分∠ABC，BD=BA，∴BE是△ABD的中线，∴点E是AD的中点，又∵F是AC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF∥CD，EF=CD，∴△AEF∽△ADC，∴S△AEF：S△ADC=1：4，∴S△AEF：S四边形DCFE=1：3，∵四边形DCFE的面积为3，∴S△AEF=1，∴S△ADC=S△AEF+S四边形DCFE=1+3=4，∵点E是AD的中点，△BDE的面积为3，∴=3，∴=3+3+4=10.故答案为10.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ADC=1：4．18.（奉贤区）已知中，点分别在边和的反向延长线上，若，则当的值是______时，.【答案】【分析】易得：∆ADE~∆ABC，从而得到：，即可得到答案.【详解】∵点分别在边和的反向延长线上，若，则∆ADE~∆ABC，∴，∴=.故答案是：【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键.19.（奉贤区）小明从山脚出发，沿坡度为的斜坡前进了130米到达点，那么他所在的位置比原来的位置升高了__________米．【答案】50【分析】设他所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度为和勾股定理，列出方程，即可求解.【详解】设他所在的位置比原来的位置升高了x米，∵坡度为，∴他所在的位置比原来的位置水平移动了2.4x米，∴，解得：x=50，故答案是：50.【点睛】本题主要考查坡度的定义和应用，根据题意，列出方程，是解题的关键.20.（奉贤区）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，、分别于交于点，那么的面积与的面积之比是__________．【答案】【分析】易证∆A’MN~∆ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.【详解】∵沿边上的中线平移到的位置，∴A’M∥AB，A’N∥AC，∴∠A’MN=∠B，∠A’NM=∠C，∴∆A’MN~∆ABC，∵AD和A’D分别是∆A’MN和∆ABC对应边上的中线，点恰好是的重心，∴，∴的面积与的面积之比是：，故答案是：.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键. 21.（奉贤区）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果是矩形的一个“直角点”，且，那么的值是__________.【答案】【分析】先证明∆BEC~∆EAD，可得：，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，结合AD=BC，可得：，进而可得到答案.【详解】∵是矩形一个“直角点”，∴∠AEB=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠EAD+∠AED=90°，∴∠BEC=∠EAD，∵∠D=∠C，∴∆BEC~∆EAD，∴，∵，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，∴，∵AD=BC，∴，即：，∴=：3x=.故答案是：.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x，用代数式表示线段长，是解题的关键. 22.（嘉定区）如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形面积为原三角形面积的_______倍.【答案】81【分析】利用相似三角形的性质可得出相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方则可得出答案.【详解】相似三角形面积比等于相似比的平方.所以周长扩大9倍，面积扩大81倍故答案为81【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.23.（嘉定区）在某一时刻测得一根高为1.8m的竹竿的影长为0.9m，如果同时同地测得一栋的影长为27m，那么这栋楼的高度为_________m【答案】54【分析】根据题意画出图形，利用相似三角形的性质解题即可.【详解】解：如图∵BE=0.9,DE=1.8，BC=27∴AC=54故答案为54【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.24.（嘉定区）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=2，DB=1，AE=4，EC=2，那么的值为____________【答案】【分析】先利用得出DE//BC，从而得出即可.【详解】∴DE//BC,∴故答案为【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键25.（嘉定区）如图，有一个斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i=1:2.5,那么该斜坡的水平距离AC的长____m【答案】75【分析】根据坡度的定义解题即可.【详解】坡度tanA=i==,解得AC=75故答案为75【点睛】本题主要考查坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键.26.（静安区）在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD=6，那么AG=____．【答案】4【分析】由三角形的重心的概念和性质，即可得到答案．【详解】解：如图，∵AD，BE是△ABC的中线，且交点为点G，∴点G是△ABC的重心，∴；故答案为：4.【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．27.（静安区）如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．【答案】16:25【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，∴这两个三角形的面积比；故答案为：∶.【点睛】本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．28.（静安区）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）【答案】【分析】由解直角三角形，得，即可求出AB的值.【详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴，∴；∴大楼AB的高度为米.故答案为：.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．29．（虹口区）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为4．【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，∴相似比为：＝，∵△ABC的高AD为6，∴△A1B1C1的高A1D1长为：6×＝4．故答案为：4．30.（闵行区）如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为_______cm.【答案】40。

反比例函数和一次函数综合【2020海淀一模23.】在平面直角坐标系xoy 中，直线x=3与直线112y x =+交于点A.·函数(0,0)ky k x x=f f 的图象与真线x=3,直线112y x =+分别交于点B,C. （1）求点A 的坐标（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数(0,0)ky k x x=f f 的图象在点B,C 之间的部分与线段AB,AC 围成的区域(不含边界)为W.①当k=1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数; ②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围.【海淀一模23参考答案】【2020西城一模25】.在平面直角坐标系xOy 中，直线l: y=kx+2k(k>0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数my x=(x>0)的图象的交点P 位于第一象限.(1)若点P的坐标为(1,6),①求m的值及点A的坐标;②PBPA=_________(2)直线h:y=2kx-2与y轴交于点C,与直线L1交于点Q,若点P的横坐标为1,①写出点P的坐标(用含k的式子表示);②当PQ≤PA时，求m的取值范围.【西城一模25参考答案】【2020东城一模22】．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数myx=（m≠0，x＞0）的图象在第一象限交于点A,B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），14 CDCE=．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）若点M为反比例函数图象在A,B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M 的坐标．【东城一模22参考答案】 22.解：（1）将点A （4，1）代入my x =,得 4m = . ∴反比例函数解析式为4y x=. ∵BE ⊥y 轴，AD ⊥y 轴， ∴∠CEB ＝∠CDA ＝90°. ∴△CDA ∽△CEB .∴CD ADCE BE=. ∵14CD CE =， ∴BE ＝4AD . ∵A （1，4），∴AD ＝1.∴BE ＝4.∴x B ＝4.∴y B=1.∴B （4，1）. 将A （1，4），B （4，1）代入y ＝kx +b ， 得， 4,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，k ＝﹣1，b ＝5.∴一次函数的解析式为 y ＝﹣x +5. ………………………………3分（2）当MN 长度最大时，点M 的坐标为（2，2）. ………………………………5分【2020朝阳一模25】．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点A （1，1）与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围． 【朝阳一模25参考答案】【2020石景山一模22】．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与函数 (0)k y x x=>的图象交于点(1,)A m ，与x 轴交于点B . （1）求m ，k 的值；（2）过动点(0,)(0)P n n >作平行于x 轴的直线，交函数 (0)k y x x=>的图象于点C ，交直线3y x =+于点D .①当2n =时，求线段CD 的长； ②若CD OB ≥，结合函数的图象， 直接写出n 的取值范围.【石景山一模22参考答案】．22．解：（1）∵直线3y x =+经过点(1,)A m ， ∴4m =． …………… 1分又∵函数ky x=的图象经过点(1,4)A ，∴4k =． …………… 2分 （2）①当2n =时，点P 的坐标为(0,2)， ∴点C 的坐标为(2,2)， 点D 的坐标为(1,2)-. ∴3CD =． …………… 3分②02n <≤或3n +≥ ………………………………… 5分【2020丰台一模21】．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x +4的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数=ky x的图象的一个交点为M . （1）求点A 的坐标；（2）连接OM ，如果△MOA 的面积等于2，求k 的值．【丰台一模21参考答案】21. 解：（1）令x =0， ∴y =4.∴A （0，4）. ……2分（2）∵S △AOM =2，AO =4， 122M AO x ⨯⨯=，∴M x =1. ……3分① 当M x =1时，M y =5.如下图=ky x过点（1，5）， ∴k =5. ……4分② 当M x =-1时，M y =3.如下图=ky x过点（-1，3），∴k =-3. ……5分 综上所述，k =5或-3.【2020延庆一模23】.在平面直角坐标系x O y 中，将点A （2，4）向下平移2个单位得到点C ，反比例函数xmy =(m ≠0)的图象经过点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B . (1)求m 的值；(2)一次函数y =kx+b (k <0)的图象经过点C ，交x 轴于点D ， 线段CD ，BD ，BC 围成的区域（不含边界）为G ； 若横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ⊥b =3时，直接写出区域G 内的整点个数.⊥若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围.【延庆一模23参考答案】（1）m ＝4；（2）①1个；②1k ≤-． 【分析】（1）求出C （2，2），代入my x=即可得到m 的值； （2）①画出b=3时的函数图象，根据函数图象结合整点的定义判断即可；②根据函数图象判断出当直线CD 过点（3，1）时，区域G 内恰好没有整点，求出此时k 的值即可得到k 的取值范围． 【详解】解：（1）将点 A （2，4）向下平移 2 个单位得到点 C ，则C （2，2）， 将C （2，2）代入my x=，得4m xy ==； （2）①当b=3时，一次函数y=kx+b 过点（0，3），如图1所示， 由图象可得，区域G 内的整点为（3，1），只有一个；MA yxO-1-2-3-1-2-3123-4-6-5465123-4-6-5465x /cm y /cm 123456654321Oxy②由图1可知，当直线CD 过点（3，1）时，区域G 内恰好没有整点， 代入C （2，2）和（3，1）得：2231k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴若区域G 内没有整点，k 的取值范围为：1k ≤-．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，一次函数的图象和性质以及新定义的理解，正确理解整点的定义，熟练掌握属性结合思想的应用是解题的关键． 【2020房山一模21】. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xky =的 图象与一次函数1-2=x y 的图象交于A 、B 两点， 已知A （m ，﹣3）． （1）求k 及点B 的坐标；（2）若点C 是y 轴上一点，且5=ΔABC S ，直接写出点 C 的坐标．【房山一模21参考答案】【2020平谷一模23】.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky x x=>的图象G 与直线:24l y x =-xOy交于点(3,)A a ． （1）求k 的值；（2）已知点(0,)(0)P n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，与图象G 交于点B ，与直线l 交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点，B 之间的部分与线段AC ，围成的区域（不含边界）为．⊥当5n =时，直接写出区域内的整点个数； ⊥若区域内的整点恰好为3个，结合函数图象， 直接写出n 的取值范围.【平谷一模23参考答案】 23.（1）A （3,2）----------1 k=6-----------------2(2)3-----------------------3 (3) 54≤<n 或10<<n【2020顺义一模25】. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，函数ny x=(n ≠ 0，x>0) 的图象过点A (3，2)，与直线l ：y kx b =+交于点C ，直线l 与y 轴交于点B (0,-1)．（1）求n 、b 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数ny x=(n ≠ 0，x>0) 的图象在点A ，C 之间的部分与线段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点（2，0）时，直接写出区域W 内的整点个数，并写出区域W 内的整点的坐标； ②若区域W 内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k 的取值范围． 【顺义一模25参考答案】25．解：（1）∵点A （3，2）在函数ny x=的图象上， ∴n =6．……………………………………………………………… 1分∵点B （0，-1）在直线l ：y kx b =+上，∴b=-1．……………………………………………………………… 2分 （2）①区域W 内的整点个数为 1 ， …………………………………… 3分 区域W 内的整点的坐标为（3，1） ； ……………………………4分②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点（3，0），结合图象，区域W 内有4个整点，此时：3k -1=0， ∴13k =． 当直线l 与x 轴的交点在（3，0）右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，∴ 0<k <13． （ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点（1，4），结合图象，区域W 内有4 个整点， 此时k -1= 4，解得 k = 5．结合图象，可得 k > 5时，区域W 内整点个数不少于5个， 综上，k 的取值范围是0<k <13或k > 5．…………………………………6分 【2020密云一模22】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：的图象与反比例函数 A BC W W W 1y x =-(0)ky x x=>的图象交于点A （3，m ）. （1）求m 、k 的值；（2）点P （x p ，0）是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线l 于点M ，交反比例函数ky x=（0x >）的图象于点N . 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记ky x=（0x >）的图象在点A ，N 之间的部分与线段AM ，MN 围成的区域（不含边界）为W ．① 当x p =5时，直接写出区域W 内的整点的坐标为 ； ② 若区域W 内恰有6个整点，结合函数图象，求出x p 的取值范围．【密云一模22题参考答案】22．（1）解：m =2，k =6 ……………………………2分（2）①（4,2） ………………………………3分② 当x p =1时，与直线l 的交点M （1，0），与反比例函数图象的交点N （1，6） 此时在x =1这条直线上有5个整点：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）； ∴ 01p x <<当x p =6时，与直线l 的交点M （6，5），与反比例函数图象的交点N （6，1）此时在x =6这条直线上有3个整点：（6，2）（6，3）（6，4）∴ 67p x <≤综上所述：01p x <<或 67p x <≤ ………………………………5分【2020通州一模24】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意实数a(a ≠0),直线y=ax+a-2的图象 都经过平面内一个定点A 。

专题01 数与式一．选择题（共42小题）1．（2020•丰台区一模）据报道，位于丰台区的北京排水集团槐房再生水厂，是亚洲规模最大的一座全地下再生水厂，日处理污水能力600000立方米，服务面积137平方公里．将600000用科学记数法表示为( )A ．50.610⨯B ．60.610⨯C ．5610⨯D ．6610⨯2．（2020•丰台区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，3，点A 关于原点O 的对称点为点C ．如果C 为AB 的中点，那么a 的值为( )A ．3−B ．1−C ．1D ．33．（2020•燕山一模）为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台”，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围．将144000用科学记数法表示应为( )A ．314410⨯B ．414.410⨯C ．51.4410⨯D ．61.4410⨯4．（2020•燕山一模）在数轴上，点A ，B 分别表示实数a ，b ，将点A 向左平移1个单位长度得到点C ，若点C ，B 关于原点O 对称，则下列结论正确的是( )A ．1a b +=B ．1a b +=−C ．1a b −=D ．1a b −=−5．（2020•燕山一模）若1a b +=，则代数式2222(1)a b b a b−−的值为( ) A ．2− B ．1− C ．1 D ．26．（2020•海淀区一模）2−的相反数是( )A ．2B ．2−C ．12 D ．12− 7．（2020•海淀区一模）北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为( )A ．80.1910⨯B ．70.1910⨯C ．71.910⨯D ．61910⨯8．（2020•海淀区一模）若实数m ，n ，p ，q 在数轴上的对应点的位置如图所示，且n 与q 互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q9．（2020•平谷区一模）面对突如其来的疫情，全国广大医务工作者以白衣为战袍，义无反顾的冲在抗疫战争的一线，用生命捍卫人民的安全．据统计，全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示为( )A ．50.42610⨯B ．44.2610⨯C ．342.610⨯D ．242610⨯10．（2020•平谷区一模）若已知实数a ，b 满足0ab <，且0a b +>，则a ，b 在数轴上的位置符合题意的是( )A ．B ．C ．D ．11．（2020•平谷区一模）如果30m n −−=，那么代数式2()m n n n m n−+的值为( ) A ．3 B ．2 C ．3− D ．2−12．（2020•顺义区一模）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( )A ．45.510⨯B ．45510⨯C ．55.510⨯D ．60.5510⨯13．（2020•顺义区一模）在数轴上，点A 表示数a ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ，点B 表示数b ．若||||a b =，则a 的值为( )A ．3−B ．2−C ．1−D ．114．（2020•顺义区一模）用三个不等式a b >，c d >，a c b d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．315．（2020•东城区一模）2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为( )A ．51.5212510⨯B ．41.5212510⨯C ．50.15212510⨯D ．60.15212510⨯16．（2020•东城区一模）把228a −分解因式，结果正确的是( )A ．22(4)a −B ．22(2)a −C ．2(2)(2)a a +−D ．22(2)a +17．（2020•东城区一模）点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．(1)a −+B ．(1)a −−C ．1a +D ．1a −18．（2020•石景山区一模）2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV GL −船级社权威认证，成为全球最大静音科考船．“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行15000海里．将15000用科学记数法表示应为( )A ．50.1510⨯B ．41.510⨯C ．41510⨯D ．31510⨯19．（2020•石景山区一模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是( )A ．||3a >B ．0b c −<C ．0ab <D ．a c >−20．（2020•西城区一模）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为( )A ．64510⨯B ．74.510⨯C ．84.510⨯D ．80.4510⨯21．（2020•西城区一模）在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB =则点A ，点B 表示的数分别是( )A ．BC ．0，D ．−22．（2020•通州区一模）在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间，全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为( )A ．50.210⨯B ．60.210⨯C ．5210⨯D ．6210⨯23．（2020•通州区一模）在数轴上，表示实数a 的点如图所示，则2a −的值可以为( )A ． 5.4−B ． 1.4−C ．0D ．1.424．（2020•通州区一模）如果210a a +−=，那么代数式21(1)211a a a a a −−÷+++的值是( ) A ．3 B ．1 C ．1− D ．3−25．（2020•延庆区一模）最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm ，将0.00012用科学记数法表示为( )A ．31.210−⨯B ．41.210−⨯C ．41.210⨯D ．31210⨯26．（2020•延庆区一模）若分式12x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．2x >− B ．2x <− C ．2x =− D ．2x ≠−27．（2020•延庆区一模）数轴上A ，B ，C ，D 四点中，有可能在以原点为圆心，以为半径的圆上的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D28．（2020•延庆区一模）下列实数中，无理数的个数是( )①0.333；②17；；④π；⑤6.18118111811118⋯⋯ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个29．（2020•房山区一模）2019年9月25日正式通航的北京大兴国际机场，为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场．距北京大兴国际机场官方微博显示，2019年北京大兴国际机场共完成旅客吞吐量313.82万人次，保障航班约21000架次，货邮吞吐量7375.53吨，航班放行正点率达96%以上．将21000用科学记数法表示应为( )A ．42.110⨯B ．32110⨯C ．50.2110⨯D ．32.110⨯30．（2020•房山区一模）实数a 、b 、c 、d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论有( )A ．a b >B ．0bc >C ．||||c b >D ．0b d +>31．（2020•房山区一模）如果5a b −=，那么代数式22(2)a b ab ab a b+−−的值是( ) A ．15− B ．15 C ．5− D ．532．（2020•门头沟区一模）2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行．10月3日微博观看互动量累计达到19280000次，将19280000用科学记数法表示为( )A ．41.92810⨯B ．4192810⨯C ．71.92810⨯D ．80.192810⨯33．（2020•门头沟区一模）点A ，B 在数轴上的位置如图所示，如果点C 也在数轴上，且B 和C 两点间的距离是1，那么AC 长度为( )A ．2B ．4C ．2或4D ．0或234．（2020•朝阳区一模）自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113800用科学记数法表示应为( )A ．51.13810⨯B ．411.3810⨯C ．41.13810⨯D ．60.113810⨯35．（2020•朝阳区一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d36．（2020•朝阳区一模）如果1a ，那么代数式21(1)11a a a +÷−−的值为( )A ．3BCD 237．（2020•密云区一模）5G 是第五代移动通信技术，5G 网络下载速度可以达到每秒1300000KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒．将1300000用科学记数法表示应为( )A ．51310⨯B ．51.310⨯C ．61.310⨯D ．71.310⨯38．（2020•密云区一模）下列各式计算正确的是( )A ．326a a a =B ．5510a a a +=C ．339(2)8a a −=−D ．22(1)1a a −=−39．（2020•密云区一模）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是( )A ．55a b −>−B ．a b −>−C ．66a b >D ．0a b −>40．（2020•大兴区一模）中国国家统计局2019年12月6日公布数据显示，2019年我国粮食总产量为1327700000000，创历史最高水平，将1327700000000用科学记数法表示应为( )A ．130.1327710⨯B ．121.327710⨯C ．131.327710⨯D ．1213.27710⨯41．（2020•大兴区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，点A 在原点O 的左侧，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若CO BO =，则a 的值为( )A ．4−B ．3−C ．2−D ．1−42．（2020•大兴区一模）如果240x −=，那么代数式22(1)()7x x x x x x +−+−−的值为( )A ．3−B ．3C ．11−D ．11二．填空题（共30小题）43．（2020a 的取值范围是 ．44．（2020•丰台区一模）当1m n +=时，代数式22231()()m m n m mn m n +−−−的值为 ． 45．（2020•燕山一模）使式子32x −有意义的x 取值范围是 ．46．（2020x 的取值范围是 ．47．（2020•海淀区一模）分解因式：22ab ac −= ．48．（2020•平谷区一模）因式分解2242x x −+= ．49．（2020•平谷区一模）代数式1x x −有意义的x 的取值范围是 ．50．（2020x 的取值范围是 ．51．（2020•顺义区一模）化简分式22231()x y x y x y x y−−÷+−−的结果为 ．52．（2020 那么x 的取值范围是 ．53．（2020•东城区一模）若230x x +−=，则代数式2(2)(2)(1)x x x x −+−−的值是 ．54．（2020小的整数： ．55．（2020•石景山区一模）分解因式：24xy x −= ．56．（2020•石景山区一模）如果2m n +=224(2)24n m m n m n +÷−−的值为 ．57．（2020x 的取值范围是 ．58．（2020•西城区一模）如果21a a +=，那么代数式2111a a a −−−的值是 ． 59．（2020•通州区一模）举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如 ．60．（2020•通州区一模）若(41)(41)41m n K ++=+，则K 可以用含m ，n 的代数式表示为 ．61．（2020•延庆区一模）因式分解：39a a −= ．62．（2020•延庆区一模）如果2a b +=，那么代数式222(1)2b a b a b a ab b −+−++的值是 ．63．（2020x 的取值范围是 ．64．（2020•房山区一模）分解因式：34m m −= ．65．（2020•房山区一模）举出一个m 的值，说明命题“代数式221m −的值一定大于代数式21m −的值”是错误的，那么这个m 的值可以是 ．66．（2020x 的取值范围是 ．67．（2020•朝阳区一模）若分式12x −有意义，则x 的取值范围为 ． 68．（2020•朝阳区一模）分解因式：2288x x ++= ．69．（2020•密云区一模）请写出一个绝对值大于2的负无理数： ．70．（2020•密云区一模）使分式13x x +−有意义的x 的取值范围是 ． 71．（2020•大兴区一模）若124x −在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 72．（2020•大兴区一模）分解因式：32m mn −= ．三．解答题（共15小题）73．（202002cos30(3)|1π︒+−+．74．（2020•燕山一模）计算：114sin30|()2−︒+．75．（2020•海淀区一模）计算：0(2)2sin30|−︒+．76．（2020•平谷区一模）计算：0113tan30(4)()2|2π−︒−−++．77．（2020•顺义区一模）计算：1|tan30−+︒．78．（2020•东城区一模）计算：011|(3)2cos60()2π−−−+︒+．79．（2020•石景山区一模）计算：101()(2020)1|3tan305π−−−+−︒．80．（2020•西城区一模）计算：101()(1|2sin 602−++−︒．81．（2020•通州区一模）计算：011|(4)2sin 60()4π−−−−︒+．82．（202003tan30(1)|1π︒−−+．83．（2020•房山区一模）计算：011|(3)2cos 45()3π−−−+︒+84．（2020•门头沟区一模）计算：011|(2020)2sin 60()3π−−−−︒+． 85．（2020•门头沟区一模）已知0a ≠，0a b +≠且1a b −=，求代数式22222()22a b ab b a a ab a−−÷−+的值．86．（2020•朝阳区一模）计算：011|2cos60(2020)()3π−+︒−−+．87．（2020•大兴区一模）计算：011|(1)2cos30()4π−−−−+︒+．。

一模试题汇编----填空16题海淀16.如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形.下面四个结论中，①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上;②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上;③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上;④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上.所有正确结论的序号是①②③.房山16. ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO 并延长，交CD 于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：①对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是矩形；③若AB＞AD ，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是菱形；④若∠BAC = 45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是正方形.通州答案：①②③④燕山16．已知⊙O．如图，(1)作⊙O的直径AB；(2)以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；(3)连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是①②③．顺义16．如图，在正方形ABCD中，4AB=，E、F是对角线AC上的两个动点，且2EF=，P是正方形四边上的任意一点．若PEF∆是等边三角形，符合条件的P点共有4个，此时AE的长为31-或4231--．密云16. 如图16-1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1．取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图16-2中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图16-3中阴影部分......如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n的面积为14n.16-1 16-2 16-3西城16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表EDACBO根据以上信息，以下四个判断中，正确的是__①④_______(填写所有正确结论的序号)该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10广域网人之间；该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为3 10平谷16. 某公司计划招募10名技术人员，他们对20名面试合格人员进行了测试，测试包括理论知识和实践操作两部分，20名应聘者的成绩排名情况如图所示，下面有3个推断：①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大；②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习；其中合理的是②③.(写序号）朝阳15．某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往所A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同的路线匀速去追甲．乙刚出发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A 村．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．有下列三个说法：①甲出发10分钟后与乙相遇；②甲的速度是400米/分；③乙返回办公室用时4分钟．其中所有正确说法的序号是①②③．朝阳16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有20 人．丰台16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元. 累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；……，经整理形成统计表如下：小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为160元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y=8，x,y均为正整数，那么他一天的最大收入为180元．延庆16.小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有3家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对3家店铺顾客的满意度做了调查：53 28 19小明选择将 C （填“A”、“ B”或“C”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．。

2020年北京市各区数学中考一模试题分类汇编之填选压轴汇编1、海淀8.如图，在平面直角坐标系xಐ中，AB，CD，EF，GH 是正方形Pุಐ边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线M与x轴正半轴的夹角为α，且sಐಐαΣಐಐsα,则点M所在的线段可以是A.AB 和CDB.AB 和EFC.CD 和GHD.EF 和GH2、丰台8.图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij =1，否则a ij =0（i,j 为正整数）.例如：当关键词A1 出现在书B4 中时，a14=1，否则a14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同．时．有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（A）当a21+a51+a61=3 时，选择B1 这本书（B）当a22+a52+a62<3 时，不选择B2 这本书（C）当a2j，a5j，a6j 全是1 时，选择B j这本书（D）只有当a2j+a5j+a6j=0 时，才不能选择B j这本书3、西城8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019 年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019 年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：①表中m 的值为20；②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5 组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（A）①②（B）①③（C）②③④（D）①③④5、房山8. 在关于n 的函数S = an2 + bn 中，n为自然数. 当n=9 时，S< 0；当n=10 时，S> 0. 则当S 的值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68. 据统计表明，2019 年中国电影总票房高达642.7 亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：2014—2019 年中国动画电影影片数量及票房统计表年份国产动画影片数量（单位：部）国产动画影片票房（单位：亿元）进口动画影片数量（单位：部）进口动画影片票房（单位：亿元）2014 21 11.4 18 19.52015 26 19.8 14 24.22016 24 13.8 24 57.02017 16 13.0 21 36.82018 21 15.8 22 25.02019 31 70.95 42 44.09根据上表数据得出以下推断，其中结论不．正．确．的是（）A．2017 年至2019 年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019 年与2018 年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014 年至2019 年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019 年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%7、平谷8、顺义8．小明、小聪参加了100m 跑的5 期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：①这5 期的集训共有56 天；②小明5 次测试的平均成绩是11.68 秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4 期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）②③（D）①④53用户分类人数A：早期体验用户（目前已升级为5G用户）260 人B：中期跟随用户（一年内将升级为5G用户）540 人C：后期用户（一年后才升级为5G用户）200 人9、延庆8.如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿直线BC 折叠后刚好经过弦AB 的中点D．若⊙O 的半径为，AB＝4，则BC 的长是A．2 B．3C. 5 3 2D.65210、燕山8.为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10 元的人数占所有早期体验用户的50%）．下列推断中，不合理的是A.早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10 元，20 元，30 元的人数依次递减B.后期用户中，愿意为5G套餐多支付20 元的人数最多C.愿意为5G套餐多支付10 元的用户中，中期跟随用户人数最多D.愿意为5G套餐多支付20 元的用户中，后期用户人数最多211、通州填空1、海淀16.如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形.下面四个结论中，①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上;②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上;③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上;④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上.所有正确结论的序号是.2、丰台16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1 元，送乙类件每件收入2 元. 累计工作1 小时，只送甲类件，最多可送30 件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；……，经整理形成统计表如下：（1）那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x 小时甲类件，y 小时乙类件，且x+y=8，x,y 均为正整数，那么他一天的最大收入为元．3、朝阳16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：17 人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400 元，该小组共有人．4、西城5、房山、 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是边AB 上的一个动点（不与A、B 重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：①对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是矩形；③若AB＞AD ，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是菱形；④若∠BAC = 45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是正方形.以上所有正确说法的序号是.6、密云16. 如图16-1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1．取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图16-2 中阴影部分；取△A1B1C1 和△D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图16-3 中阴影部分......如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n的面积为.16-1 16-2 16-37、平谷8、顺义16．如图，在正方形ABCD 中，AB = 4 ，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且EF = 2 ，P 是正方形四边上的任意一点．若∆PEF 是等边三角形，符合条件的P 点共有个，此时AE 的长为．19、延庆16.小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有 3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对 3 家店铺顾客的满意度做了调查：合计 美容店 A 53 28 19 100 美容店 B 50 40 10 100 美容店 C65269100小明选择将 （填“A ”、“ B ”或“C ”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．10、燕山16. 已知⊙O ．如图，(1) 作⊙O 的直径 AB ；(2) 以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于 C ，D 两点； (3) 连接 CD 交 AB 于点 E ，连接 AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：CE ＝DE ；②BE ＝3AE ； ③BC ＝2CE ． 所有正确推断的序号是 ．11、通州。

【2020海淀一模28题】28.A,B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部.若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边(含顶点)上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角.如图1,∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角.在平面直角坐标系xOy中.（1）如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5),B(4,3)是⊙O上两点。

①已知P1(1,0),P2(0,3),P3(−2,1),在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围(2)点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0),N(0,n)，对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围.28.如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆.特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆.在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；（2）如果以点D（t,2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；2）的圆为∠EMO的角内相切圆，（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，3直接写出∠EOM的取值范围.28.对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”.例如：点M（1，3）的特征线是y=x+2和y=-x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y=x+1，则在D1（2，2）、D2（-1，0）、D3（-3，4）三个点中，可能是点D的点有；（2）已知点P（-1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y=kx+b（k≠0）经过点P，且与x轴交于点B. 若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1. 当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围.28．已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足PQ >0，则称图形M 与图形N 相离．（1）已知点A （1，2）、B （0，-5）、C （2，-1）、D （3，4）．①与直线y =3x -5相离的点是 ；②若直线y =3x +b 与△ABC 相离，求b 的取值范围； （2）设直线33+=x y 、直线33+-=x y 及直线y =-2围成的图形为W ，⊙T 的半径为1，圆心T 的坐标为（t ，0），直接写出⊙T 与图形W 相离的t 的取值范围．28.对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）.（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=3x+b；若存在正方形OABC的F 点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T (半径为r )外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0<P Q ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点． (1) 当⊙O 的半径为1时，① 在点A (4，0)，B (0，C (1中，⊙O 的伴随点是 ； ② 点D 在直线3y x =+上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围； (2) ⊙M 的圆心为M (m ，0)，半径为2，直线22=-y x 与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m28. 如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB . 若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点.已知点()0,1P ，点()2,1A --，点()2,1B -.（1）在点()0,0O ，()2,1C -，()3,0D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是________； （2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围. （3）已知点(),1M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围.【2020通州一模28题】11/ 11。

1.【2020东城一模】8．党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分.（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是 A ．2018年中部地区农村贫困人口为 597万人 B ．2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少 C ．2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D ．2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低2.【2020西城一模】8．设m 是非零实数，给出下列四个命题：①若10m −<<，则21m m m<<； ②若1m >，则21m m m<<； ③若21m m m <<，则0m <； ④若21m m m<<，则01m <<． 其中命题成立的序号是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）③④3.【2020海淀一模】8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 是正方形OPQR 边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线OM 与x 轴正半轴的夹角为α，且sin cos αα>，则点M 所在的线段可以是A ．AB 和CD B ．AB 和EFC ．CD 和GH D ．EF 和GH4.【2020朝阳一模】8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中3≤x ＜4组的频率a 满足0.20≤a ≤0.30. 下面有四个推断： ①表中m 的值为20；②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x ＜5组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3.所有合理推断的序号是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③④（D ）①③④5.【2020丰台一模】8．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i 出现在书B j 中时，元素ij a =1，否则ij a =0（i ,j 为正整数）．例如：当关键词A 1出现在书B 4中时，a 14=1，否则a 14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时．．有关键词“A 2，A 5，A 6”的书，则下列相关表述错误的是（A ）当a 21+a 51+a 61=3时，选择B 1这本书（B ）当a 22+a 52+a 62<3时，不选择B 2这本书（C ）当a 2j ，a 5j ，a 6j 全是1时，选择B j 这本书（D ）只有当a 2j +a 5j +a 6j =0时，才不能选择B j 这本书6.【2020石景山一模】8．某地区经过三年的新农村建设，年经济收入实现了翻两番（即是原来的倍）．为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如下：建设前年经济收入结构统计图建设后年经济收入结构统计图则下列结论中不正确．．．的是A ．新农村建设后，种植收入减少了 B ．新农村建设后，养殖收入实现了翻两番C ．新农村建设后，第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多D ．新农村建设后，第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半7.【2020门头沟一模】8．随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合．．理．的是A ．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多； B ．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大； C ．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多；D ．9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多；22种植收入 30%养殖收入 30%其他收入 8%第三产业收入 32%微信支付支付宝支付使用手机支付的情况8.【2020房山一模】8．在关于n 的函数2S an bn =+中，n 为自然数．当n=9时，0S <；当n=10时，0S >．则当S 的值最小时，n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69.【2020大兴一模】8．众志成城，抗击疫情．救助重灾区. 某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155. 下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100③这7名同学所捐的零花钱的众数是100④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100 所有合理推断的序号是 A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④10.【2020通州一模】8．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的学生的支付金额a （元）的分布情况如下：下面有四个推断：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A 支付方式的概率大于他使用B 支付方式的概率；②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A ，B 两种支付方式的大约有400人；③样本中仅使用A 种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B 种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是 A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④11.【2020顺义一模】8．小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）②③（D）①④12.【2020延庆零模】8．如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿直线BC折叠后刚好经过弦AB的中点D．若⊙O，AB＝4，则BC的长是A．B．C D13.【2020密云一模】8．据统计表明，2019年中国电影总票房高达642.7亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：2014—2019年中国动画电影影片数量及票房统计表（以上数据摘自《中国电影产业市场前瞻与投资战略规划分析报告》） 根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确．．．的是（ ）A ．2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量 B ．2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上 C ．2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加D ．2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%14.【2020平谷一模】8．某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动，为了了解同学的植树情况，学校抽查了初一年级所有同学的植树情况（初一年级共有两个班），并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表．下面有四个推断：①a 的值为20；②初一年级共有80人；③一班植树棵树的众数是3；④二班植树棵树的是中位数2．其中合理的是 （A ）①③（B ）②④（C ）②③（D ）②③④15.【2020燕山一模】8．为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．下列推断中，不合理的是A．早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B．后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多C．愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D．愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多。

2020年北京市初三一模分类汇编（全）几综汇编1、海淀27.已知∠MON=α,A为射线OM上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O，B不重合)，满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求∠BAD的度数(用含α的代数式表示);,点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BP//OD，并证(3)若tanα=34明.2、丰台27.已知∠AOB =120°，点P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），点C 为∠AOB 内部一点，连接CP，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q 恰好落在射线OB 上，不与点O 重合.（1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO 与∠CQO 的数量关系，并证明；（3）连接OC，写出一个OC 的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明.图1 备用图3、西城4、朝阳27.四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(0︒＜α＜45︒) ,得到线段CE，连接DE，过点B 作BF⊥DE 交DE 的延长线于F,连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1图1 备用图5、房山27．如图 27-1，在等腰 Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点 M 为 BC 中点. 点 P 为 AB 边上一动点，点 D 为 BC 边上一动点，连接 DP ，以点 P 为旋转中心，将线段 PD 逆时针旋转 90°，得到线段 PE ，连接 EC .（1） 当点 P 与点 A 重合时，如图 27-2.根据题意在图 27-2 中完成作图；判断 EC 与 BC 的位置关系并证明.（2） 连接 EM ，写出一个 BP 的值，使得对于任意的点 D 总有 EM EC ，并证明.1 26、密云27.已知∠MCN=45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）.点B 关于CN 的对称点为点D，连接AB、AD 和CD，点F 在直线BC 上，且满足AF=AB. 小明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD 始终成立.（1）如图1，当0°＜∠BAC＜90°时.① 求证：AF⊥AD② 用等式表示线段CF、CD 与CA 之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD 与CA 之间的数量关系是.27.已知，如图，△ABC 是等边三角形.（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC 的平分线交BD 于点E，连接CE.①求∠AED 的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD 之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC 的平分线交DB 的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE、CE、BD 之间的数量关系，并证明.27.如图1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边AB 上取一点D（点D 不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE.把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2.（1）请你在图2 中，连接CE 和BD，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3 中，画出当α=45°时的图形，连接CE 和BE，求出此时△CBE 的面积；（3）若AD=1，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是．图3图1 图210、燕山27. △A B C 中，∠A C B ＝90°，A C ＝B C ＝，M 为B C 边上的一个动点(不与点 B ，C 重合)，连接A M ，以点 A 为中心，将线段 A M 逆时针旋转 135°，得到线段 A N ，连接BN ．(1) 依题意补全图 1；(2) 求证：∠B A N ＝∠A M B ；(3) 点 P 在线段B C 的延长线上，点 M 关于点 P 的对称点为 Q ，写出一个 P C 的值，使得对于任意的点 M ，总有 A Q ＝B N ，并证明．备用图图1211、通州12.东城13.石景山27．如图，点E 是正方形内一动点，满足90AEB ∠=°且45BAE ∠<°，过点D作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段EF ，DF ，BE 之间的数量关系，并证明．（3）连接CE，若AB =段CE 长度的最小值．ABCD E D CB A14.大兴15.门头沟27．在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°，点D 在AB 上，连接CD ，并将CD 绕点D 逆时针旋转60°得到DE ，连接AE .（1）如图1，当点D 为AB 中点时，直接写出DE 与AE 长度之间的数量关系；（2）如图2，当点D 在线段AB 上时，① 根据题意补全图2；② 猜想DE 与AE 长度之间的数量关系，并证明.图1 图2 E D C B A D BA C。

2020年初三上学期期末、新定义1西城．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；2东城． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33,>m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的3朝阳．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ；②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图14石景山．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中DE 是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．5丰台．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线22y x =-.① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．EDCBA6顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3=(x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．7大兴区. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ;(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.，点M（m,4）.若在⨀O上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为（3）若⨀O的半径为3√22等腰三角形，求m的取值范围.8平谷区．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．9昌平区．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P 为线段AB的正可视点．（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．图1 备用图10通州11门头沟．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”．（1）当⊙O 的半径为2时，①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）⊙G 的圆心G 在轴上，半径为1，直线与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．备用图y x b =+x 5y x =-+12房山区如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQAB ，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28- （1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.13密云区．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图14海淀.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 31.西城．解：（1）①2． ② BC 关于△ABC 的内半圆，如图1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．（2）过点E 作EF ⊥OE，与直线y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2． ∴ 当34≤R ≤1时，t 的取值范围是32≤t ≤3．2东城.解：（1）①23，P P .…………………………2分②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ； 当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为 521≤<b ； ②当点B 在y 轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b 的取值范围为 152-<≤-b .综上，b 的取值范围为521≤<b 或152-<≤-b .………………………5分（3）42≤<-t .………………………7分3朝阳．解：（1）①（0，1）；3.②如图，过C 作CM ⊥y 轴于点M ，连接CP ，CQ .∵A （0，2），B （2，0）， ∴C （1，1）. ∴M （0，1）. 在Rt △ACM 中，由勾股定理可得CA =2. ∴CQ =2. ∵P （0，3），M （0，1）， ∴PM=2.在Rt △PCM 中，由勾股定理可得PC =5.在Rt △PCQ 中，由勾股定理可得PQ =22-PC CQ =3.（2）①6.②21222-＜≤-k 或21222k ≤＜+.4石景山．解：（1）2C ，3C ； ………………………… 2分21yxAOB21yxA O B（2）①∵点在直线2y x =-上， 设点的坐标为．当时，过点作轴于点，如图．∴CDB △∽ADC △． ∴．∴．解得，． ∴(4,2)C 或13(,)22C'-．又∵直线2y x =-与y 轴交于点(0,2)-，结合图形，可得点的纵坐标的取值范围是或2C y >． ………………………… 5分 ②． ………………………… 7分 5丰台.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.又∵点D 是22y x =-的上位点，∴点D 在y x =与22y x =-的交点R ，S 之间运动.∵22,.y x y x ⎧=-⎨=⎩ ∴111,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩ …………3分∴点R (1-，1-)，S (2，2).∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分（2）32Hx ->或3+2H x -＜. ………………………………………………7分(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)C C (,2)m m -90BCA ∠=°C CD x ⊥D 2CD BD AD =⋅2(2)(5)m m m -=⋅-14m =212m =C 322C y -<<-55r <≤xy'B DC C A –1123456–1–2–3123图20)图40)图30)0)6顺义．解：（1）① 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分② a 的值为-2 ； ………………………………… 2分 ③直线l 3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分 （2）如图2，设⨀O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2，0）， 与射线x y 3=(x ≥0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1）．4M 关于x 轴的对称点为2M ．当点M 在1M 的位置时，b =-1， 当点M 在2M 的位置时，b =1， 当点M 在3M 的位置时，b =1，当点M 在劣弧12M M 上时（如图3），-1≤b ≤1，当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5），综上，b 的取值范围是-1≤b 5分（3）∵x 轴和直线x y 3=关于直线x y 33=对称， 直线x y 3=和直线y =关于x 轴对称，∠⨀E 只要与直线x y 3=和y =∴t 的取值范围是：-4≤t ≤4. ……………………………………… 7分7大兴.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D （2，1），点E （e ，4）， 点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴33221=⨯-=∆e S DEF 22=-e∴4=e 或0=e ，.……………………………4分（3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为 b x y +=或b x y +-=①当直线MN 为b x y +=时，由于点M 的坐标为（m ，4）,可得m =4－b由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值. 此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点. ∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，O 1N ∴OT 1=22223)223(⎪⎭⎫⎝⎛+=3∴b 的最小值为-3，∴m 的最大值为m =4－b =7………………………………………………5分当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值. 此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点. ∵△2ON 2T 为等腰直角三角形，2ON ∴2OT =22223)223(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是71≤≤m ，…………………………………………6分 ②当直线MN 为b x y +-=时. 同理可得，4-=b m ， 当3=b 时，1-=m 当3-=b 时，-7=m∴m 的取值范围是-17-≤≤m .………………………………………7分 综上所述，m 的取值范围是71≤≤m 或17--≤≤m .8平谷解：（1）A ,B 5 ·············································································· 3 （2）1922t -≤≤； ············································································· 5 （3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；或在以点O 为圆心，3 (7)9昌平．（1）∠线段AB 的可视点是2P ，3P ． ……………………………………………………………… 1分 ∠点P 的坐标：P （0，3）（答案不唯一，纵坐标p y 6≤p y ≤6）． ………………2分（2）如图，直线与⊙1O 相切时，BD 是⊙1O 直径∴BD =25. ∵BE =23， ∴DE =22. ∴EF =︒45cos DE=4.∴F （0，7） 同理可得，直线与⊙3O 相切时，G (0，-8)∠b 的取值范围是：－8≤b ≤7． …………………5分（3）m 的取值范围：22225-≤≤--m 或32253+≤≤m ………………………………………7分 10通州11门头沟．（本小题满分7分）解：（1）① 1，3；…………………………………………………………………………2分② ∵由题意可知直线与⊙O 互为“可及图形”，⊙O 的半径为2， ∴3OE OF ==．……………………………………………………………3分 ∴32OM ON ==∴ 3232b -≤≤．………………………………………………………5分y x b =+xy–7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345FENMO（2）22m -≤≤，522522m -≤≤+…………………………………………7分说明：12房山.（1）① C ， E ； …………2分②由题意直线1+=x y 上满足线段AB 的“限距点”的范围 如图28-1所示.点P 在线段MN 上（包括端点）…………3分易求 2-1-=M x …………4分1=N x …………5分∴点P 横坐标P x 的取值范围为： 图28-11≤≤2-1-P x （2）如图28-2，-8=txy –7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345C D OG G G G…………6分图28-2如图28-3，2-3=t…………7分图28-3综上所述：2-3≤t ≤8-13密云.(1) A ,C ………………………………2分（2）∵点E （4，3）是⊙O 的“随心点”∴OE =5，即d =5若， ∴r =10 ………………………………3分若 ，………………………………4分∴ ………………………………5分125r =352r =103r =10310r ≤≤(3) ………………7分14海淀．（1）解：P 1，3；（2）解：直线ON 与点M 的21倍相关圆的位置关系是相切.证明：设点M 的坐标为（x ，0），过M 点作MP ⊥ON 于点P ，∴ 点M 的21倍相关圆半径为21x .∴ OM =x .∵∠MON ＝30°，MP ⊥ON ,∴ MP ＝2OM =21x .∴ 点M 的21倍相关圆半径为MP .∴直线ON 与点M 的21倍相关圆相切.（3）① 点C 的3倍相关圆的半径是3;② h11b b -≤≤-≤≤或。

28. A ，B 是⊙C 上的两个点，点P 在⊙C 的内部. 若⊙APB 为直角，则称⊙APB 为AB 关于⊙C 的内直角, 特别地, 当圆心C 在⊙APB 边（含顶点）上时, 称⊙APB 为AB 关于⊙C 的最佳内直角.如图1，⊙AMB 是AB 关于⊙C 的内直角，⊙ANB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角. 在平面直角坐标系xOy 中.（1）如图2，已知 ⊙O 的半径为5，(0,5),(4,3)A B -是⊙O 上两点.⊙已知P 1(1,0)，P 2（0,3），3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠中，是AB 关于⊙O 的内直角的是 ；⊙若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得⊙APB 是AB 关于 ⊙O 的内直角，求b 的取值范围.（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）. 现有点(1,0),(0,)M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使⊙DHE 是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围.图 2备用图1备用图 2图 128. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得AM =2BN ，则称图形W 1和图形W 2 满足限距关系.（1）如图1，点C （1，0），D （-1，0），E （0，，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．⊙ 线段OP 的最小值为 ， 最大值为 ；线段 CP 的取值范围是 ； ⊙ 在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；图1 图2（2）如图2，⊙O 的半径为1，直线(0)y b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）⊙O 的半径为r ( r ＞0 )，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围.28．在⊙ABC 中，CD 是⊙ABC 的中线，如果»CD 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则»CD称为⊙ABC 的中线弧． （1）如图，在Rt⊙ABC 中，90ACB ∠=o ，AC =1，D 是AB 的中点．⊙如图1，若=45A ︒∠，画出⊙ABC 的一条中线弧»CD ，直接写出⊙ABC 的中线弧»CD所在圆的半径r 的最小值；⊙如图2，若60A ∠=o ，求出⊙ABC 的最长的中线弧»CD的弧长l ．图1 图2（2）在平面直角坐标系中，已知点A （2，2），B （4，0），C （0，0），在⊙ABC 中，D 是AB 的中点．求⊙ABC 的中线弧»CD所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0) ，B(t+2，0) ，C(n，1) ，若射线OC上存在点P，使得⊙ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．(1)如图，t=0，⊙若n=0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是_____；⊙若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；(2) 若n=3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．28．在中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点（不与点重合），那么称为的C -中线弧． 例如，右图中是的C -中线弧．在平面直角坐标系中，已知存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点重合， 点B 的坐标为(2,0)(0)t t >． （1）当2t =时，⊙在点1(3,2)C -，2(0,C ，3(2,4)C ，中，满足条件的 点是 ；⊙若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是的C -中线弧所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若的C -中线弧所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围. ABC △E D »DE ABC △»DEABC △xOy ABC △O 4(4,2)C C ABC △»DEABC △»DE28.如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆.特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆.在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B 和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；（2）如果以点D（t,2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，32）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围.28. 对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”.例如：点M（1，3）的特征线是y=x+2和y=-x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y=x+1，则在D1（2，2）、D2（-1，0）、D3（-3，4）三个点中，可能是点D的点有；（2）已知点P（-1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y=kx+b（k≠0）经过点P，且与x轴交于点B. 若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1. 当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围.28.在⊙ABM中，⊙ABM=90°，以AB为一边向⊙ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形”.（1）图2中，⊙ABM中，BA=BM，⊙ABM=90°，在图中画出⊙A的“关于⊙ABM的友好正方形ABCD”.（2）若点A在反比例函数k(k0,0)y xx=>>上，它的横坐标是2，过点A作AB⊙y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABO的绝对友好正方形”求k的取值范围.（3）若点A是直线2y x=-+上的一个动点，过点A作AB⊙y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于⊙ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围.图1 图228．已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ始终满足PQ >0，则称图形M 与图形N 相离．（1）已知点A （1，2）、B （0，-5）、C （2，-1）、D （3，4）．①与直线y =3x -5相离的点是 ；②若直线y =3x +b 与△ABC 相离，求b 的取值范围；（2）设直线33+=x y 、直线33+-=x y 及直线y =-2围成的图形为W ，⊙T 的半径为1，圆心T 的坐标为（t ，0），直接写出⊙T 与图形W 相离的t 的取值范围．【2020延庆一模28题】28.对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）.（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=3x+b；若存在正方形OABC的F 点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．【2020燕山一模28题】28．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T (半径为r )外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0<P Q ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点． (1) 当⊙O 的半径为1时，① 在点A (4，0)，B (0，C (1)中，⊙O 的伴随点是 ； ② 点D 在直线3y x =+上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；(2) ⊙M 的圆心为M (m ，0)，半径为2，直线22=-y x 与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．【2020房山一模28题】28.如图，平面上存在点P、点M与线段AB. 若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点.已知点()0,1P，点()2,1A--，点()2,1B-.（1）在点()0,0O，()2,1C-，()3,0D中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是________；（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标Kx的取值范围.（3）已知点(),1M m-，若直线132y x=+上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围.【2020通州一模28题】28．如果¼MN 的两个端点M ，N 分别在⊙AOB 的两边上（不与点O 重合），并且¼MN 除端点外的所有点都在⊙AOB 的内部，则称¼MN是⊙AOB 的“连角弧”． （1）图1中，⊙AOB 是直角，¼MN是以O 为圆心，半径为1 的“连角弧”． ⊙图中¼MN的长是 ，并在图中再作一条以M ，N 为端点，长度相同的“连角弧”； ⊙以M 、N 为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是 ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M (1，点N (t ，0)在x 轴正半轴上，若¼MN是半圆，也是⊙AOB 的“连角弧”，求t 的取值范围．（3）如图3，已知点M ，N 为分别在射线OA ，OB 上，ON ＝4，¼MN 是⊙AOB 的“连角弧”，且¼MN所在圆的半径为1，直接写出⊙AOB 的取值范围．图1N MO BA图2MAON B图3【2020门头沟一模28题】28．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”. （1）当2≤a ≤3时，⊙在点A （1，2），B （1，3），C （2.5，0）中，满足此条件的特征点为__________________； ⊙⊙W 的圆心为W （m ，0），半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值.图1 图2【2020大兴一模28题】28.已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB 关于点A的逆转点，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如下：（1）在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点;（2）如图，在平面直角坐标系x O y中，点P的坐标为（x,0），且x>0, 点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H.⊙补全图;⊙判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；⊙若点E的坐标为（0,5），连接PF、PG，设⊙PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.。