寒假七年级培优练习之动点动角问题

7年级数学动角问题一、基础类动角问题（1 - 10题）题1。

已知∠AOB = 120°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。

解析。

因为OD平分∠AOC，所以∠AOD = ∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC；因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠EOC = \frac{1}{2}∠BOC。

∠DOE=∠DOC + ∠EOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB。

因为∠AOB = 120°，所以∠DOE=\frac{1}{2}×120° = 60°。

题2。

如图，∠AOB=90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。

解析。

1. 先求∠AOC的度数：- 因为∠AOC=∠AOB + ∠BOC，∠AOB = 90°，∠BOC=30°，所以∠AOC = 90°+30° = 120°。

2. 然后求∠MOC和∠NOC的度数：- 因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×120° = 60°。

- 因为ON平分∠BOC，所以∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×30° = 15°。

3. 最后求∠MON的度数：- ∠MON = ∠MOC-∠NOC = 60° - 15°=45°。

题3。

已知∠AOB=150°，∠AOC = 30°，射线OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的角平分线，求∠MON的度数。

解析。

1. 当OC在∠AOB内部时：- 因为OM平分∠AOB，所以∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×150° = 75°。

北师陕西 七年级上册
第四章
培优拔高练
基本平面图形
线段和角中的动态问题
培优拔高练
1. 【2024宁波江北区模拟】如图，长方形纸片 ABCD ，点
E ， M ， N 分别是边 AB ， AD ， BC 上的动点，将∠ A ，
∠ B 分别沿 EM ， EN 折叠，点 A ， B 的对应点分别是点
F，G.
解：(3)存在，分三种情况：①当 OA4和 OA3都不从 ON 回
弹时，如图②，
根据题意得3α＋4α＝28°，
解得α＝4°；
1
2
②当 OA4在 OA2的右边时，如图③，
根据题意得3α－28°＋2(180°－6α)＝4α，
解得α＝


°；
1
2
③当 OA4在 OA2的左边时，如图④，
根据题意得4α－2(180°－6α)＝3α＋28°，
1
2
2. 【2024上海黄浦区模拟】如图①，点O是弹力墙MN
上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置
顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，
继续向OM位置旋转.按照这种方式将魔法棒进行如下
步骤的旋转.
第1步，从 OA0(OA0在 OM 上)开始旋转α至 OA1；
第2步，从 OA1开始继续旋转2α至 OA2；
(1)如图①，若∠ MEF ＝30°，∠ GEN ＝
20°，求∠ FEG 的度数.
1
2
பைடு நூலகம்
解：(1)由折叠，可得∠ MEA ＝∠ MEF ＝30°，
∠ BEN ＝∠ GEN ＝20°，
所以∠ AEF ＝30°×2＝60°，∠ BEG ＝20°×2
＝40°.

培优专题12 角中的动态问题类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°∴15t ＝180，解得t ＝12．综上，t ＝2，3，4，9，12．【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB ）的顶点，与60°角（∠COD ）的顶点互相重合，且边OA ，OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB 第一次落在射线OF 上时停止，是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时，当OA 在∠DOE 外部时，利用角之间的关系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°，故答案为：①④；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由如下：由题意得：=5AOE t °∠，=45AOB а，60COD Ð=°，∴=180=1355BOC AOE AOB t °--°-°∠∠∠，=180=120DOE COD °-°∠∠，分两种情况：当OA 在∠DOE 内时，如图2-1所示，∴1205AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135531205t t °-°=°-°，解得22.5t =，∵22.55120´°<°，∴22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时，如图2-2所示∴5120AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135535120t t °-°=°-°，解得24.75t =，∵24.755120´°>°，∴24.75t =符合题意；∴当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45°，∠A ＝90°和∠D ＝30°，∠COD ＝60°，∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO 与OD 重合时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t＝10时，∠AOD＝°．(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，理由是：在旋转过程中，当OB在OC右侧时，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°∴∠AOD=23×15°=10°，综上：t的值为21秒或27【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．．（福建三明七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t （秒）（1）当5t=秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t=秒时，边PB平分CPDÐ;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1o的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分CPDÐ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得:3:2BPD APC ÐÐ=.若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由.综上所述：18t =秒或25.2秒时，:3:2BPD APC ÐÐ=．【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点，若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图②，设旋转时间为t 秒（045££t ）．（1）POA Ð=__________度，QOB Ð=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中，当AOB Ð等于60°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð (AOQ Ð，AOP Ð均为小于180°的角)？如果存在，直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2POA t Ð=度，4QOB t Ð=度；（2）当AOB Ð等于60°时，t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð时，t=18或36.【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间，∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，和OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t 的等式，解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况，列出关于t 的等式，解出即可.【详解】（1）22POA t t Ð=´=度，44QOB t t Ð=´=度；（2）①OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，2604180t t ++=6120t =20t =；②OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，2460180t t +-=6240t =40t=，综上，当AOBÐ等于60°时，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ时，∠AOQ=2∠BOQ，-=´t t180224-=-t10180t=；18②OB平分∠AOP时，∠AOP=2∠BOP，()=´-t t221804t t=-23608t=10360t=，36综上，射线OB平分AOQÐ时，t=18或36.Ð或AOP【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；（1）当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案为60°，（30+5t）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝1∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的2伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠AOD，称射线OD是射∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC 的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA 重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．Q 同理，若∠AOB 的度数是11BON AOB a \Ð=Ð=故答案为：40,6a°OC是OA的伴随线时，则OC是OD的伴随线时，OD是OC的伴随线时，OD 是OA 的伴随线时，则的上方．MON 为直角三角板，O 为直角顶点，30M Ð=°，ON 在射线OC 上．将三角板MON 绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t 秒，（1）旋转开始前，∠MOC ＝°，∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时，OM 转动了°，t 为 秒时，OC 与OM 重合；（3）t 为何值时，∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90°，60°；（2）108°，18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC Ð=°，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上，即可得出答案；（2）根据MON 为直角三角板，得90MON Ð=°，构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上\90MOC MON Ð=Ð=°Q 30AOC Ð=°\30AON Ð=°，\18060BOM MON AON Ð=°-Ð-Ð=°；故答案为：90°；60°.（2）Q 90MON Ð=°由题意得：90611t t °+=，18t =，故OM 转动：186108´°=°；故答案为：108°；18.（3）35MOC Ð=°Q ，由题意：()1206301135t t °+-°+=°或()3011120635t t °+-°+=°，解得：11t =或25，\11t s =或25s 时，35MOC Ð=°.【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。

P O N M B A 2017寒假七年级培优练习之动点动角问题22、如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起(1) 若∠DCE ＝25°，∠ACB= ；若∠ACB ＝150°，则∠DCE= __ (2) 猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由； (3) 如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A 重合在一起，则∠DAB 与∠CAE 的大小又有何关系，请说明理由 23、已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，A 、B 之间的距离记作，定义︰|AB|＝|a －b |，且|a ＋2|＋(b －5)2＝0 (1) 求线段AB 的长|AB|(2) 设点P 在数轴上对应的数为x ，当|PA|＋|PB|时，求x 的值(3) 如图，M 、N 两点分别从O 、B 出发以v 1、v 2的速度同时沿数轴负方向运动（M在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M 、N 运动到任一时刻时，总有|PM|为定值，下列结论：①的值不变；②的值不变． 其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．1、已知：如图，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动射线⑴当OB 、OC 运动到如图的位置时，∠AOC +∠BOD =110°，∠AOB +∠COD =50°，求∠AOD 的度数；ODCBAA B C D⑵在⑴的条件下，射线OM 、ON 分别为∠AOB 、∠COD 的平分线，当∠COB 绕着点O 旋转时，下列结论：①∠AOM －∠DON 的值不变；②∠MON 的度数不变.可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.2、已知线段AB =m ，CD =n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 左侧，C 在D 左侧），若2)6(2n n m --=-.⑴求线段AB 、CD 的长；⑵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，若BC =4，求MN ；⑶当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，下列两个结论:①PC PB PA -是定值；②PCPBPA +是定值，请选择正确的一个并加以证明.22．（10分）如图，直线EF ∥GH ，点B 、A 分别在直线EF 、GH 上，连接AB ，在AB 左侧作三角形ABC ，其中∥ACB = 90°，且∥DAB =∥BAC ，直线BD 平分∥FBC 交直线GH 于D ． （1）若点C 恰在EF 上，如图1，则∥DBA =________．（2分）（2）将A 点向左移动，其它条件不变，如图2，则（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，说明你的理由．（6分）（3）若将题目条件“∥ACB = 90°”，改为：“∥ACB = 120°”，其它条件不变，那么∥DBA = _________．(直接写出结果，不必证明) （2分） 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足，过C 作CB ∥x 轴于B ．2(2)20a b ++-=CABDFHEGCBFEGADH图1 图2图③（1）求三角形ABC 的面积．（4分）（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∥CAB ，∥ODB ，如图2，求∥AED 的度数．（4分）（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（6分）24.（本题满分10分） 如图24-1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°)的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方.（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图24-2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ．①求t 的值；②此时ON 是否平分∠AOC ？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒６°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图24-3，那么经过多长时间OC 平分∠MON ？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画图并说明理由； yACxOByACxO BEDyA CxO B图1图2备用图A BCNMO 24-1MNABC O 24-2C ABMNO 24-3CN 60AB25-125．（本题满分12分）如图25-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ， AB=60，点A 对应的数是40．（1）若 ，求点C 到原点的距离； （2）如图25-2,在（1）的条件下，动点P 、Q 两点同时从C 、A 出发向右运动，同时动点R 从点A 向左运动，已知点P 的速度是点R 的速度的3倍，点Q 的速度是点R 的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 之间的距离相等，求动点Q 的速度；（3）如图25-3,在（1）的条件下，O 表示原点，动点P 、T 分别从C 、O 两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A 出发向右运动，点P 、T 、R 的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M 为线段PT 的中点，点N为线段OR 的中点，证明 的值不变．若其它条件不变，将R 的速度改为3个单位长度/秒，10秒后，的值为_________．ABAC 2=25-225-3MNOT PR +。