概率论与数理统计复习资料要点总结--学生

《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。

考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。

7、 掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。

9、 会求分布中的待定参数。

会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。

12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。

18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

20、 会求单正态总体均值与方差的置信区间。

21、 会求单正态总体均值的假设检验。

二、各章知识要点 第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B BA =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C ABC B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）(可列可加性)性质:（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃，因此, P (A ⋃B ),P (A ),P (B ),P (AB )这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.特别的若A 与B 互不相容, 则P (A⋃B )=P (A ) +P (B )；若A 与B 独立, 则P (A ⋃B )=P (A ) +P (B )-P(A)P(B)= )()(1B P A P -；（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =, 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（2） 乘法公式：)()|()(B P B A P AB P =若n B B B,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni i i B P B A P A P 1)()|()(（4） Bayes 公式：∑==ni iik k kB P B A P B P B A P A BP 1)()|()()|()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用,求相互独立的多个事件的和的概率）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x XP ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X aP )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3． 几个常用随机变量4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调不减；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X aP -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=x dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)1,0(~N x σμ- ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>正态分布的概率密度具有如下性质：1°)(x f 的图形是关于μ=x 对称的；2° 当μ=x 时，σπμ21)(=f 为最大值；3°)(x f 以ox 轴为渐近线。

6． 随机变量的函数 )(X g Y=随机变量Y 是随机变量X 的函数)(X g Y =，若X的分布函数)(x F X 或密度函数)(x f X 知道，则如何求出)(X g Y =的分布函数)(y F Y 或密度函数)(y f Y 。

（1）X 是离散型随机变量 已知X 的分布列为,,,,,,,,)(2121n n i p p p x x x x X P X=， 显然，)(X g Y=的取值只可能是 ),(,),(),(21n x g x g x g ，若)(i x g 互不相等，则Y的分布列如下：,,,,),(,),(),()(2121n n i p p p x g x g x g y Y P Y=，若有某些)(i x g 相等，则应将对应的i P 相加作为)(i x g 的概率。

（2）X 连续，)(x g 在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 多维随机变量1、二维随机变量的基本概念（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量ξ（X ，Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则称ξ为离散型随机量。

理解：（X=x,Y=y ）≡（X=x ∩Y=y ）设ξ=（X ，Y ）的所有可能取值为),2,1,)(,( =j i y x j i ，且事件{ξ=),(j i y x }的概率为p ij,,称 ),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i为ξ=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里p ij 具有下面两个性质： （1）p ij ≣0（i,j=1,2,…）； （2）.1=∑∑ij ijp对于随机向量（X ，Y ），称其分量X （或Y ）的分布为（X ，Y ）的关于X （或Y ）的边缘分布。

上表中的最后一列（或行）给出了X 为离散型，并且其联合分布律为),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i ，则X 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑∙j i p x X P P ij ji i ；Y 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑∙j i p y Y P P ij ii i。

（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布联合概率密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≣0; （2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=.1),(dxdy y x f一般来说，当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为.),()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，注意：联合概率分布→边缘分布，同时注意计算方法(3) ⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P .),()),（（（4）常见的二维分布 ①均匀分布设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=其他,0),(1),(D y x S y x f D其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为（X ，Y ）～U （D ）。

②正态分布 记为（X ，Y ）～N （).,,,2221,21ρσσμμ由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。

即X ～N （).(~),,22,2211σμσμN Y（5）二维随机向量联合分布函数及其性质设（X ，Y ）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件})(,)(|),{(2121y Y x X ≤<-∞≤<-∞ωωωω的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）;1),(0≤≤y x F（2）F （x,y ）分别对x 和y 是非减的，即当x 2>x 1时，有F （x 2,y ）≣F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≣F(x,y 1); （3）F （x,y ）分别对x 和y 是右连续的，即);0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F（4）.1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞F x F y F F2、随机变量的独立性（1）一般型随机变量 F(X,Y)=F X (x)F Y (y) （2）离散型随机变量j i ij p p p ∙∙=例3．5：二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布及边缘分布为因66)0(1(0)01(⨯===≠===Y P X P Y X P ），,所以X 、Y 不独立（3）连续型随机变量 f(x,y)=f X (x)f Y (y)联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)直接判断，充要条件： ①可分离变量②正概率密度区间为矩形例3．7：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy（4）二维正态分布独立等价于ρ=0 （5）随机变量函数的独立性若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h （X ）和g （Y ）独立。