厦门大学高数试卷2010-2011

一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。

2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。

3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。

4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。

5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。

二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。

2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。

3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。

4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。

四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。

2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。

3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。

4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。

2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。

共8小题，每小题2分，共16分）1．2cos limx x tdt x→=⎰2．x →∞-= 03. 极限lim 2sin2n nn x→+∞=x(0x 为不为的常数）4. 函数20 1()2 1 121 2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪+≤⎩的间断点是1x =5．设x y a =，则函数的n 阶导数()n y =(ln )n x a a ；6．若21()11x x f x ax x ⎧≤=⎨->⎩ 当a = 2 时，函数)f x （ 在1x =处可导. 7．已知某工厂生产某种商品，该产品的边际成本函数()3C x '=+，其固定成本为2000（元）则总成本为()20003C x x =++（元）， 8. 1sin dx x =⎰ln csc cot x x c -+二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

共8小题，每小题2分，共16分）1.下列数列中收敛的是（ C ）(A) {}(1)n n - (B) 1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(C)212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ (D) {}(1)n -2.若1lim(21)1x x →-=，则对于任意给定的0ε>，存在（B ）当01x δ<-<时总有(21)1x ε--<成立(A) δε= (B) 2εδ=(C) 3δε= (D) 4δε=3.()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的 （A ）条件(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D)什么都不是4. 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x'=⎰（C ）(A) 1C x-+ (B) ln x C -+(C) 1C x+ (D) ln x C +5. 当0x →时，下列无穷小量中与x 等价的无穷小量是（ C ）(A) ln(12)x + (B) 1cos x - (C) 1x e - (D)1- 6. 下列反常积分收敛的是（ C ）。

厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。

2010年高考福建数学试题（文史类解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>2【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．2．计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B．2 C．3 D．2 【答案】B【解析】原式=2cos 45=,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值．3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2 C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．5。

若x ，y ∈R ，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x ，则z=x+2y 的最小值等于 ( )A.2 B .3 C.5 D.96 . 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A.2B.3 C .4 D.57．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。

2010—2011学年度第二学期第一次调研考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合}0,2|{},02|{2>==>-=x y y B x x x A x，R 是实数集，则()A B C R 等于 A.[]1,0 B.），（0∞- C. ]0，（∞- D.]1,0( 2.已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 （ ） A (1)(1)i i ++-B (1)(1)i i +--C (1)(1)i i +-D11ii+- 3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。

对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+， 则使得nna b 为正偶数时，n 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．3或115. 若函数f （x ）的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ） A ．（0，1）B ．[0，2] C ．（2，3）D ．（2，4）6. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最少坐2人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．707.如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB •的值是（ ）A.8B.4C.2D.18.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 （ ） A.12 B.24 C.36 D.489. 表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （ ） A ．13π B ．23π C ．23π D ．223π 10. 点40(2,)30x y P t x y --≤⎧⎨+-≤⎩在不等式组表示的平面区域内，则点P （2,t ）到直线34100x y ++=距离的最大值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32xf f x =；③(1)1()f x f x -=-，则11()()38f f +等于 （ ）A ．34B ．12C ．1D ．2312.已知数列{}n a 满足：11a =，212a =，且2121n n n n a a a a +++=+(n ∈N *)，则右图中第9行所有数的和为A 90B 9! C1022 D1024第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

10­11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷）2011.1.13一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。

CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 0 b = 时，V 是线性空间； D) 只有当 0 b ¹ 时，V 是线性空间。

2) 已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。

AA) 若向量组 I 线性无关，则s t £ ； B) 若向量组 I 线性相关，则s t > ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t £ ； D) 若向量组 II 线性相关，则s t > 。

3) 设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。

DA) 当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解； C) 当r m < 时，方程组AX b = 有解； D) 当r m = 时，方程组AX b = 有解。

4)设 A 是m n ´ 阶矩阵，B 是n m ´ 阶矩阵，且AB I = ，则____。

AA) (),() r A m r B m == ； B) (),() r A m r B n == ； C) (),() r A n r B m == ；D) (),() r A n r B n == 。

5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 æöç÷ç÷ ç÷ èø，则j 在基123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。

厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是___B____.A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶方阵A 的伴随矩阵*0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；B) 仅含一个非零解向量；C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.下列子集能构成22R⨯的子空间的是___B____.A) 221{|||0,}V A A A R ⨯==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R ⨯==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ⨯==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ⨯'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n ；B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，ϕ和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ϕψ=的充分必要条件是A)ϕ和ψ都是可逆变换； B) Ker ϕ=Ker ψ；C) Im Im ϕψ=； D) ϕ和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设ϕ是线性空间V 到U 的同构映射,则下列命题中正确的有个. (Ⅰ)ϕ为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()ϕW 是U 的s 维子空间； (Ⅲ)ϕ在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))ϕϕϕ⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为.2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ⋃=4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的一组基.5. 已知12K ⨯上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,)a b a ϕ=-，则Ker ϕ=Im ϕ6. 设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则ϕ为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若ϕ是V 上的线性变换且,()i i ϕαβ=1,2,...,i n =，则ϕ在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是8. 设ϕ是线性空间V上的线性变换，ϕ在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中A 为r r ⨯矩阵，则存在V 的一个非平凡ϕ-三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120n x x x +++=L 的解空间. 证明112n KV V ⨯=⊕.证明：法一：一方面，∀1212naaV Va⎛⎫⎪⎪∈⋂⎪⎪⎝⎭M，有1212nna a aa a a===⎧⎨+++=⎩LL，则12na a a====L．故五、(10分) 设m n A K ⨯∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明： 充分性： 由于m rB K⨯∈，r nC K⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性： 由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭．令,(,0)0r r I B P C I Q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ⊆.证明： 充分性： 法一：取V 的一组基12,,,n αααL ，由于Im Im ϕψ⊆，所以()Im i ϕαψ∈，1i n ∀≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ϕαψβ=．定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σαβ=∀≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβϕα==∀≤≤．因此，ψσϕ=．法二：取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,m ηηηL ，W 的一组基12,,,s γγγL ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ϕξξξηηη⨯=L L1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη⨯=L L其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==L L ．由于Im Im ϕψ⊆，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ⊆L L ，即11,sj ij ii j n c αβ=∀≤≤=∑．取()ij s n C c ⨯=，则A BC =．定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=L L ，则ϕψσ=.必要性： 对任意Im βϕ∈，存在V α∈使得()βϕα=．由于ϕψσ=，所以()βϕα=(())Im ψϕαψ=∈ 从而，Im Im ϕψ⊆．附加题: (本部分不计入总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ=.证明： 充分性：法一：由于dim dim V W =且Im Im ϕψ=，所以由维数公式知：dim dim Ker Ker ϕψ=．取Ker ψ的一组基12,,,r ηηηL ；Ker ϕ的一组基12,,,r ξξξL ，将其扩充为V的一组基121,,,,,r r n ξξξξξ+L L ，则1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ϕ的一组基．由于Im Im ϕψ=，所以1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ψ的一组基．设()(),1i i r i n ϕξψη=∀+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以1,,r n ηη+L 线性无关．我们断言，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=L L ，则将ψ作用于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=L ．由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以10r n k k +===L ．于是1122r r k k k ηηη+++L ＝０．又12,,,r ηηηL 是Ker ψ的一组基，故10r k k ===L从而，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 是W 的一组基． 定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σξη=∀≤≤．由于12,,,n ξξξL 是V 的一组基，12,,,n ηηηL 是W 的一组基，故σ可逆．又()()(),1i i i i n ψσξψηϕξ==∀≤≤，从而ϕψσ=．法二： 取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,s γγγL ，W 的一组基12,,,n ηηηL ．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ϕξξξγγγ⨯=L L1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ⨯=L L且dimIm dimIm r ϕψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ⨯∈列满秩．由于Im Im ϕψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11X 是r 阶方阵，则1112112122(,0)(,0)XX A B X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．从而，1111A B X =．又1A 列满秩，所以存在2r sA K ⨯∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --⎛⎫=⎪⎝⎭使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=L L由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且ϕψσ=．必要性： 由于ϕψσ=，所以同上题证明可知Im Im ϕψ⊆．又由:V W σ→可逆可知1ψϕσ-=，所以Im Im ψϕ⊆．从而，Im Im ϕψ=．。