江苏省灌云县四队中学 选修1-1教案 2.5《圆锥曲线的共同性质》

2.5圆锥曲线的共同性质教学过程一、问题情境我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?二、数学建构问题1试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.方案1利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案2利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.问题2由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.问题3以上的结论是否正确呢?如何证明?解当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4当0<e<1时,如何建立平面直角坐标系,才能使轨迹方程为标准方程呢?解建立适当的平面直角坐标系,使定点F(c,0),定直线l的方程为x=.设点P(x,y),则==e,化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为e=∈(0,1),所以a2-c2>0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(a>b>0).这就证明了,当0<e<1时,点P的轨迹为椭圆.由此可见,当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(a>b>0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a>0,b>0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(a>b>0)的焦点、准线;点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)或双曲线-=1(a>0,b>0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=. 三、数学运用【例1】求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400;(2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.解(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c==3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,±3),准线方程为y=±.(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的焦点在x轴上,且a=4,b=2,所以c==6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(±6,0),准线方程为x=±.(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.解由题意可知,a2=m(m>9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.【例2】已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.解法一由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).【例3】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.解设直线l为椭圆的右准线,e为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E.由圆锥曲线的共同性质得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cos∠BAE====,所以sin∠BAA1=,所以tan∠BAA1=,即k=.(例3)【例4】若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.提示因为椭圆的离心率为,则2MF就等于点M到右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.先用圆锥曲线的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=±16x.提示由题意知椭圆的准线方程为x=±=±4,所以=±4,即p=±8.2. 已知椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为12,则点P到右准线的距离为10.提示由题意知点P到左准线的距离为=15,两准线间的距离为2×=25,故点P到右准线的距离为10.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,曲线C的两条准线分别与x轴交于点A,B.若A,B为线段F1F2的三等分点,则此双曲线C的离心率为.提示由题意得=3,即e2=3.4.已知P为椭圆C:+=1上一点,且P到曲线C的右焦点F的距离为3,求点P的坐标.解法一椭圆C:+=1的右焦点为F(2,0),设P(x,y),则由题意可知解得即点P的坐标为(2,±3).解法二椭圆C:+=1的右准线的方程为x=8,离心率e=.因为P到曲线C的右焦点F的距离为3,所以P到右准线的距离为6.设P(x,y),则8-x=6,解得x=2,代入+=1,得y=±3,所以点P的坐标为(2,±3).五、课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.。

2．5圆锥曲线的共同性质教学目标：（1）掌握圆锥曲线的共同性质，理解离心率、焦点、准线的意义（2）通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力重点：圆锥曲线第二定义的推导难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用一．知识回顾二．数学探究问题1：圆锥曲线有什么共同性质？它们的离心率有什么联系？从抛物线的定义出发来研究：1．抛物线22(0)y px p=>离心率e=1:准线方程：2．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率0<e<1：准线方程：3．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率e>1：准线方程：三．数学应用例1：已知动点P(,)x y满足到定直线l的距离和它到定点F，那么动点P的轨迹是_________________.例2：若椭圆22141x ym+=+的一条准线为5y=，则m=________.例3：已知动点P (,)x y 那么动点P 的轨迹是什么？问题2：椭圆22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的准线方程各是什么？练习：求下列曲线的准线方程：（1）2222153x y += （2）22416x y += （3）22832x y -= （4）224x y -=-（5）216y x = （6）23x y =-例4．在椭圆22143x y +=内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求这个最小值.1.双曲线22145y x -=的准线方程是____________.2.已知平面内动点P 到一条定直线l 的距离和它到定点F 的距离的比等于12，则点P 的轨迹是__________.3.椭圆221259x y +=上一点到其左准线的距离等于52，则P 到右焦点的距离等于_______4.以椭圆2212x y +=的右准线为准线的抛物线的标准方程是___________.问题探究：设A 11(,)x y ，229(4,),(,)5B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“AF,BF,CF 成等差数列”是“128x x +=”的____________条件.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：1. 双曲线22134x y +=的准线方程为____________,两准线间的距离为_____________. 2. 椭圆2255x ky +=的一条准线方程为52y =，那么k =__________. 3. 若抛物线28y x =的准线是椭圆221(0)2x y m m+=>的一条准线，则m =_______. 4. 已知点P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若点P 到椭圆右准线的距离是172，则点P 到左焦点的距离是__________.5. 若双曲线的一条准线与两条渐近线交点确定的线段长恰好等于双曲线的实半轴长，则双曲线的离心率为__________________.6. 已知定点F （-4,0），动点P (,)x y 到F 的距离是P 到定直线25:4l x =-的距离的45倍，则点P 的轨迹方程为___________.7. 若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为_____.8. 3x y =+-表示的曲线是________________.9. 求圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切的圆的方程.10.已知椭圆221259x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上，且1()2OQ OP OF =+u u u r u u u r u u u r ,4OQ =u u u r ,求点P 到椭圆左准线的距离d .。

2.5 圆锥曲线的共同性质华罗庚说过，“就数学本身而言，是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的……”圆锥曲线有着独特和奇异的一面，其中蕴藏着奥妙和魅力，也蕴藏着规律和道理.但“天得一以清，地得一以宁，……，万物得一以生”，圆锥曲线的共同性质又体现了圆锥曲线的“统一美”，这“统一美”使圆锥曲线充满了勃勃生机.教学目标：知识目标：掌握圆锥曲线的统一定义和共同性质，了解圆锥曲线的联系和区别，能利用圆锥曲线的有关知识解决有关的问题.能力目标：通过对圆锥曲线的统一性的研究，进一步培养观察能力和探索能力，同时达到进行运动变化、对立统一的辩证唯物主义思想教育.情感目标：通过学习圆锥曲线的统一定义，体验和感受数学的整体之美、统一之美、和谐之美，进一步激发学习数学的主动性和积极性.教学重点：圆锥曲线的统一定义和共同性质.教学难点：圆锥曲线的共同性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教学过程：一、问题情境回忆抛物线定义，并在此基础上提出问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？（以抛物线的定义作为新知识的生长点）二、学生活动阅读课本P47，初步感知当比值大于1和比值小于1时动点P的轨迹.三、建构数学1.圆锥曲线的统一定义（1）多媒体演示；（2）引导学生回忆椭圆标准方程的推导过程，思考课本P47的“思考”，并在此基础上讲解例1，引导得出椭圆的第二定义，再类比得出双曲线的第二定义.2.圆锥曲线的共同性质（1）圆锥曲线的共同性质给出了三个量：定点F，定直线l，常数e.其中要求定点F 不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线的距离的比值，两者顺序包括颠倒.（2）圆锥曲线的共同性质揭示了曲线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的关系，规律是：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，上焦点对应上准线，下焦点对应下准线.具体如下：①对于22221(>>0)x ya ba b+=而言，左焦点1(,0)F c-对应左准线2axc=-，右焦点2(,0)F c对应右准线2axc =.②对于22221(>>0)y x a b a b +=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. ③对于22221(>0,>0)x y a b a b -=而言，左焦点1(,0)F c -对应左准线2a x c=-，右焦点2(,0)F c 对应右准线2a x c=. ④对于22221(>0,>0)y x a b a b -=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. 四、数学应用例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程（1）22144x y +=； （2）22221125x y -=； （3）224936y x -=； （4）22y x =-； （5）240x y +=.一般思路：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数a 、b 、c 或p ，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标和准线方程.应注意的是：椭圆和双曲线分别有两条准线，而抛物线只有一条准线；若题中含有参变量，则应分类讨论.练习：课本P48 练习 第1题. 例2 已知双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离. 引导学生审清题意，寻找解题思路.可先求出22||(PF F 为焦点)，再利用统一定义进行求解，也可利用两准线间的距离是22a c进行求解. 解：（略） （答案：24）练习：1，求该椭圆的离心率.五、本节小结：（略）六、板书设计：（略）七、布置作业：八、教后反思：。

椭圆中的一类定值问题一、【学习目标】〔1〕进一步稳固椭圆的方程与几何性质;〔2〕熟练掌握与椭圆有关的定值的求解方法;〔3〕通过对椭圆中定值的求解进一步提高学生的运算及探究能力;〔4〕进一步掌握数形结合、特殊到一般、设而不求等数学思想方法。

二、【前置性训练】1．椭圆分别为左右两焦点，为以椭圆长轴为直径的圆上任一点，那么 ．2． 椭圆，其中长轴两端点分别为为椭圆上除外任意一点，那么 ．变式：〔1，那么是否是定值？〔2〕设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点， 那么是否还是定值？三、【例题】在问题2的根底上再探讨下面几个问题问题1：假设直线与轴分别交于，那么是否为定值？并说明理由．问题2于，那么是否还是定值呢？问题3：在平面直角坐标系中，过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设点的坐标为，试求直线的方程；〔3〕记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由四、【小结】五、【课后稳固】1、椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点假设的中点坐标为,那么的方程为2、椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是3、是椭圆长轴上异于顶点的任意一点，过且与轴不垂直的直线交椭圆于两点〔点在轴上方〕，点关于轴的对称点为,设直线交轴于点,试判断是否为定值？并证明你的结论．4、是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求点的坐标；〔3〕设动点在椭圆上〔异于点〕，且直线，分别交直线于，两点，证明：为定值，并求出该定值。

2.5圆锥曲线的共同性质圆锥曲线的共同性质抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0) x ＝±a 2cy 2a 2＋x 2b 2＝1 (a ＞b ＞0) y ＝±a 2cx 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) x ＝±a 2cy 2a 2－x 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) y ＝±a 2cy 2＝2px (p ＞0) x ＝－p 2x 2＝2py (p ＞0) y ＝－p 2y 2＝－2px (p ＞0)x ＝p 2x 2＝－2py (p ＞0)y ＝p 21．关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0<e <1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e >1时为双曲线．(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．2．圆锥曲线共同特征的应用设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AFd ＝e 变形可得d ＝AFe.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应学生用书P36]利用圆锥曲线的定义求轨迹[例1] 已知动点M (x ，y )到点F (2,0)与到定直线x ＝8的距离之比为12，求点M 的轨迹．[思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．[精解详析] 法一：由题意得(x －2)2＋y 2|x －8|＝12，整理得x 216＋y 212＝1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭圆．c ＝2，a 2c ＝8，则a 2＝16，∴a ＝4，∴e ＝24＝12，与已知条件相符，∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x ＝±8，b 2＝12， 其方程为x 216＋y 212＝1.[一点通](1)解决此类题目有两种方法：①直接列方程，代入后化简整理即得方程．②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．1．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解：如图，作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于N . ∵PF －PM ＝2.∴PF ＝PM ＋2. 又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN .∴P 到定点F 与到定直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y .∴动点P 的轨迹是抛物线．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )， 则有MF 1＝(x ＋4)2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|， 故(x ＋4)2＋y 2＝2|x ＋2|，化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8. (2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22， 此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ， 代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8， 即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0， 化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－(8k 2－8)|k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.最值问题[例2] 若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．[思路点拨] 利用定义把QF 转化成到准线的距离，然后再求它与12PQ 的和的最小值．[精解详析] 在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′， 则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2. ∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.[一点通] 利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握．3．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线的动点，求MA ＋35MF 的最小值．解：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线的共同性质知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.即MA ＋53MF 的最小值为365.4．已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．解：∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d .∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23，3).圆锥曲线的准线、离心率的应用[例3] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a ，c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3，e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253.设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′，离心率为e ′. 则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.双曲线方程为81y 215 625－729x 2250 000＝1.[一点通] 在圆锥曲线中，a ，b ，c ，e ，p 是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．5．过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．解析：设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝F A ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2.由题意知R ＞d ，则e ＞1，故圆锥曲线为双曲线．答案：双曲线6．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝11．圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a 、c 或p ，然后写出其准线．2．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．[对应课时跟踪训练(十四)]1．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意和已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝2，a 2＝8，⇒⎩⎨⎧c ＝4，a ＝2 2，⇒e ＝ 2.答案：22．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是________．解析：曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，解得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－ 3.又F 1F 2＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得cos ∠F 1PF 2＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3)＝13.答案：133．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,124．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝⎛⎭⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ， 由圆锥曲线定义知MF d ＝22，∴d ＝2MF .∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值． MA ＋d ≥2 2－1. 答案：2 2－16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，求此双曲线离心率e 的最大值．解：设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得：e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c ，把PF 1＝4PF 2.代入则有：x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎫x 0－a 2c .整理得5a 2c ＝3x 0≥3a (∵x 0≥a )．∴e ＝c a ≤53.∴离心率e 的最大值为53.7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －2 2|＝22.整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1.k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线的方程．解：(1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)，∴k PF ＝abc －0a 2c－c ＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b·ba ＝－1.∴PF ⊥l .(2)∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，∴b ＝3.又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516.∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.[对应学生用书P38]一、圆锥曲线的意义 1．椭圆平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆． (1)焦点：两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点． (2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．双曲线平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率0<e<12．双曲线的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R顶点 (±a,0) (0，±a )对称性 关于x 轴、y 轴、坐标原点对称 轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b 渐近线方程 y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝c a>13. 抛物线的标准方程和几何性质 类型y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p 2)(0，－p 2)准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Rx ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0对称轴 x 轴y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下三、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的共同性质1．圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e .这个常数e 叫值圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．2．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e ＝1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32. 答案：323．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝2－x . ∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程为________． 解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2. 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫522a 2＋⎝⎛⎭⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|(x －1)2＋3|5， ∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)． 答案：(1,1)9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①， 在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3a a ＝ 3.答案：310．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为______________________．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：取P 在双曲线的右支上，则⎩⎨⎧ PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0 ∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝m m ＋n .又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm ＝ 2. 答案：214．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：22二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4. ∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．(本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．(本小题满分16分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k 2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 故k 2>32.由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－32或32.20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积． 解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故 S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2， 由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。

圆锥曲线的统一定义主备人： 熊慧 审核人：杨鹤飞学 案一、学生自主学习阅读课本P 51--52中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。

二、结合学习的内容思考如下问题： 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的________, 定点F 叫做圆锥曲线的________, 定直线l 就是该圆锥曲线的__________.三、自主解答几道题目1.填空:(书本P 53习题1)2. 如果双曲线 上一点P 到右焦点 的距离等于 ，那么点P 到右准线的距离是_______3.椭圆 上一点P 到其右准线的距离为10，则该点到其左焦点的距离是_____ 教 案一、教学内容：圆锥曲线的统一定义二、教学目标：知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。

能力目标1．分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。

2．利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。

3．解题过程中，培养学生运算与思维能力。

情感目标（1） 在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。

（2） 讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。

三、教学重难点：教学重点：圆锥曲线的统一定义的理解与运用教学难点：圆锥曲线的统一定义的运用（一）课前自主学习检查1121322=-y x 1313610022=+y x2. 513 3. 12 （二）导入(创设情景)1．复习：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 L ( F 不在L 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2．思考：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？3．思考：将推导椭圆标准方程中得到的方程： ()222y c x a cx a +-=-变形为 ()a c x ca y c x =-+-222 你能解释这个式子的几何意义吗？（三）分析（互动对话）:讨论以上问题,并解答以下问题。