等比数列前n项和导学案

等比数列的前n 项和导学案一．学习目标：1、熟练掌握等比数列的求和公式，提高分析解决问题的能力；2、自主学习，合作交流，探究等比数列的求和公式应用的规律和方法；3、激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。

重点：等比数列求和公式；难点：等比数列求和公式的推导二、问题导学：自学课本26—29页思考下列问题:1. 等比数列的前n 项和公式是如何推导的？（两种方法）2. 试写出等比数列的前n 项和公式思考：1.已知哪些量时用第一组公式？第二组公式？2、,,,,n n q S 1n 等比数列中已知a a 五个量中的任意三个，能否求出其余两个？三、合作探究探究1：等比数列前n 项和公式 例1、等比数列}{n a 的公比21=q ，18=a ，求前8项的和8S 。

拓展：1. 求等比数列11,,1,42-从第6项到第10项的和为__________;2.在等比数列{}n a 中，3339,,22a S ==则q= . 探究2：等比数列前n 项和公式的应用 例2、求和：999999999999个n ++++拓展：求和1、2(1)(2)();n a a a n -+-++- （a ≠0）四、深化提高1、等比数列的首项为1-，前n 项和为n S ，如果1053132S S =，求8S 。

2、已知等比数列的公比为2，且前5项之和为1，求前10项之和。

3、某工厂去年一月份的产值为a 元，月平均增长率为)0(>p p ，求这个工厂去年全年产值的总和。

4、已知数列}{n a 是公比不为-1的等比数列，n S 是其前n 项和，试问：,,,,34232n n n n n n n S S S S S S S ---成等比数列吗？证明你得结论。

相关训练：在等比数列}{n a 中，已知,60,482==n n s s 求n s 3五 、课堂检测1.等比数列{}n a 中，73=a ，213=S ，则公比q 的值为 （ ） A.1 B.21-C. 1或21- D.211或-2. 等比数列{}n a 中，公比q 是整数，12,183241=+=+a a a a ，则此数列前8项和为（ ）A. 514B. 513C. 512D.5103. 等比数列{}n a 中,,40,8,2161346==-=-n S a a a a 则公比q=4．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数5.等比数列{}n a 中，2019181784,3,1a a a a S S +++==求五、我的学习总结：（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结。

等比数列前n项和公式教案教学目标: 学会推导等比数列前n项和的公式。

教学步骤:1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，即Sn = n(a1+an)/2。

提问学生是否了解等差数列的概念和公式。

2. 引入等比数列：告诉学生等比数列的定义是每一项都是前一项乘以同一个常数r。

例子：1, 2, 4, 8, 16, ... （公比为2）3. 推导等比数列前n项和公式：a) 令Sn表示等比数列的前n项和。

b) 当n=1时，Sn=a1。

c) 当n>1时，Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an。

d) 将每一项除以a1得到 Sn/a1 = a1/a1 + a2/a1 + ... + an-1/a1 + an/a1。

e) 因为等比数列的每一项都是前一项乘以同一个常数r，可以简化为：Sn/a1 = 1 + r + r^2 + ... + r^(n-2) + r^(n-1)。

f) 将 r^(n-1) 与 r 相乘得到：r^(n-1) * (Sn/a1) = r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1) + r^n。

g) 用等式r^(n-1) * (Sn/a1) = r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1) + r^n 减去 Sn/a1 =1 + r + r^2 + ... + r^(n-1)，得到：r^n * (Sn/a1) - Sn/a1 = r^n - 1。

h) 将 Sn/a1 提取出来得到： Sn/a1 * (r^n - 1) = r^n - 1。

i) 因为 r^n - 1 不能为0，所以可以除以 (r^n - 1) 得到：Sn/a1 = (r^n - 1)/(r - 1)。

j) 最后可以得到 Sn = a1 * [(r^n - 1)/(r - 1)]。

4. 举例验证公式的正确性：a) 例子1: a1 = 1, r = 2, n = 5。

代入公式得到 Sn = 1 * [(2^5 - 1)/(2 - 1)] = 31。

《等比数列的前 n 项和》学历案一、学习目标1、理解等比数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等比数列前 n 项和公式。

2、能够运用等比数列前 n 项和公式解决简单的实际问题。

3、体会从特殊到一般、分类讨论、转化与化归等数学思想方法。

二、学习重难点1、重点（1）等比数列前 n 项和公式的推导及应用。

（2）等比数列前 n 项和公式的特点及应用条件。

2、难点（1）错位相减法推导等比数列前 n 项和公式。

（2）对 q ＝ 1 和q ≠ 1 两种情况的讨论及综合应用。

三、知识回顾1、等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠ 0）。

2、等比数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 q^｛n 1}＼）（＼（n ∈N^＼）），其中\（a_1\）为首项，＼（q\）为公比。

四、新课导入我们已经知道了等比数列的定义和通项公式，那么如何求等比数列的前 n 项和呢？这就是我们今天要学习的内容。

例如，一个等比数列\（＼｛ a_n\｝＼），首项\（a_1 ＝ 1\），公比\（q ＝ 2\），求它的前\（n\）项和\（S_n\）。

五、公式推导1、当\（q ＝ 1\）时，等比数列\（＼｛ a_n\｝＼）为常数列，＼（a_n ＝ a_1\），则前\（n\）项和\（S_n ＝ na_1\）。

2、当\（q ≠ 1\）时，我们来推导等比数列的前\（n\）项和公式。

设等比数列\（＼｛ a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公比为\（q\），前\（n\）项和为\（S_n\）。

＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋… ＋ a_n\）＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋… ＋ a_1q^｛n 1}＼）①＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋… ＋ a_1q^n\）②①②得：＼＼begin{align}S_n qS_n&＝a_1 a_1q^n\＼（1 q)S_n&＝a_1(1 q^n)＼＼S_n&＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼end{align}＼综上，等比数列的前\（n\）项和公式为：＼（S_n ＝＼begin{cases}na_1, ＆ q ＝ 1\＼＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}，＆q ≠ 1\end{cases}＼）六、公式理解1、当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\），这是一个关于\（n\）的一次函数。

等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。

2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。

2. 等比数列前n项和的公式推导。

3. 等比数列前n项和公式的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。

2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。

2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。

3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。

4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。

5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。

7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。

2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。

七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。

2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。

第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。

等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念及其特点。

2. 掌握等比数列的前n项和公式的推导过程。

3. 能够运用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容1. 等比数列的概念及其特点等比数列的定义等比数列的通项公式等比数列的性质2. 等比数列的前n项和公式的推导过程利用数学归纳法推导等比数列的前n项和公式理解等比数列前n项和公式的意义三、教学方法1. 讲授法：讲解等比数列的概念、特点和前n项和公式的推导过程。

2. 案例分析法：通过具体案例，让学生运用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

3. 互动教学法：引导学生积极参与课堂讨论，提问回答，增强学生的理解和记忆。

四、教学准备1. 教学PPT：制作等比数列的概念、特点和前n项和公式的PPT课件。

2. 教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用等比数列的前n项和公式。

五、教学步骤1. 导入新课：介绍等比数列的概念和特点，引导学生回顾等差数列的前n项和公式。

2. 讲解等比数列的前n项和公式：通过PPT课件，详细讲解等比数列的前n项和公式的推导过程。

3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生运用等比数列的前n项和公式进行解答。

4. 课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固等比数列的前n项和公式的应用。

教学反思：本节课通过讲解等比数列的概念、特点和前n项和公式的推导过程，让学生掌握了等比数列的前n项和公式的应用。

在案例分析环节，通过实际问题的解答，让学生更好地理解了等比数列的前n项和公式的应用。

在课堂练习环节，布置了一些练习题，让学生巩固了所学知识。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

在今后的教学中，可以进一步增加课堂互动，引导学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣。

可以增加一些拓展问题，培养学生的思维能力和创新能力。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解和掌握情况。

2. 练习题解答：检查学生课堂练习题的完成情况，评估学生对等比数列前n项和公式的应用能力。

等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。

2. 引导学生探索等比数列前n项和的计算方法，推导出等比数列前n项和公式。

3. 培养学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 等比数列的概念及基本性质。

2. 等比数列前n项和公式的推导及应用。

三、教学难点1. 等比数列前n项和公式的推导过程。

2. 灵活运用等比数列前n项和公式解决实际问题。

四、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。

2. 相关练习题及答案。

五、教学过程1. 导入新课通过复习等差数列的概念和性质，引导学生思考等比数列的概念和性质。

2. 知识讲解讲解等比数列的定义、通项公式、求和公式等基本知识。

3. 公式推导引导学生分组讨论，探索等比数列前n项和的计算方法，推导出等比数列前n 项和公式。

4. 公式应用举例讲解等比数列前n项和公式的应用，让学生独立完成相关练习题。

5. 课堂小结对本节课的主要内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的意义和应用。

6. 布置作业布置一些有关等比数列前n项和公式的练习题，巩固所学知识。

7. 课后反思对本节课的教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学拓展1. 引导学生思考等比数列的极限性质，探讨等比数列前n项和的极限值。

2. 介绍等比数列在实际问题中的应用，如贷款利息计算、人口增长模型等。

七、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，分享等比数列前n项和公式的推导过程。

2. 邀请学生上台展示解题过程，鼓励其他学生提出疑问和不同见解。

八、教学评价1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行简短的测验，检验学生对课堂内容的吸收情况。

九、教学改进1. 根据学生的作业和测验成绩，针对性地讲解重难点，帮助学生克服学习障碍。

2. 调整教学方法，增加课堂实践环节，让学生在实际问题中运用等比数列前n 项和公式。

高二数学导学案 编 制 人： 审核人： 姓 名： 编号：第 1 页课题： 等比数列的前n 项和（一）学习目标：1．掌握等比数列的前n 项和公式；2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题． （二）重点：能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题． 要点梳理1．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).2．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为____. 课堂探究探究1：等比数列的前n 项和公式推导 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-=当1q ≠时，n S = 当q =1时，n S =探究2 等比数列的前n 项和公式应用 例1．已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.变式1．（1）已知13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和. （2）在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .探究3等比数列的前n 项和的性质例３．在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .变式3 设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和、前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －Y )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a +--D. 以上都不对2、在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或123. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 244. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 95. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .6. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .7. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .高二数学导学案 编 制 人： 审核人： 姓 名： 编号：第 3 页基 础 巩 固一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．5102．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 6＝63，则S 4＝( ) A ．33 B ．18 C ．15D ．123．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0D ．14．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168D ．1925．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.8．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________.三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和．能 力 提 升一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．32．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63D ．7或633．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )二、填空题5．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.6．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是_____________________________________________．三、解答题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .。

等比数列及其前n项和考纲要求1. 理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．考情分析1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．3.题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.教学过程基础梳理一、等比数列的相关概念二、等比数列的性质1．通项公式的推广：a n＝a m q m n2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s，则有.3．若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n }，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．4．三个数成等比数列且积一定，通常设为比较方便．双基自测1．在等比数列{an }中，a 2012＝8a 2009，则公比q 的值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．82．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·6a 等于 ( )A ．4B ．8C ．16D ．323．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝ ( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23nC ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1 D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －14．(2012·广州调研)已知等比数列{an }的公比是2，a 3＝3，则a 5的值是________．5．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.典例分析考点一、等比数列的判断与证明例1.(2011·绵阳二模)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ， a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和 S n ＝________.变式1.(2012·长安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．等比数列的判定方法有：1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．2．中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)， 则数列{a n }是等比数列．考点二、等比数列的基本运算[例2] (2011·全国高考)设等比数列{an }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,a 61＋a 3＝30，求a n 和S n变式2.（2012·金华联考)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为 ( ) A.3312B ．31 C.314D ．以上都不正确1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的 情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式. 考点三、等比数列的性质[例3] (2012·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为________．变式3.(2012·成都模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为 ( )A.12B.32C ．1D ．－32变式4.(2012·巴中模拟)已知等比数列{an }中，an >0，若a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5等于 ()A ．16B ．27C ．36D ．82等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．考题范例(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， 解得a ＝5.(2分)所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，由(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．(4分)故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(6分)(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54S n ＋54n －2.(8分)所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.(10分) 因此⎩⎨⎧⎭⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q(q ≠1)．两个防范(1)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．本节检测1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1 D.1 22．(2011·辽宁高考)若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为()A．2 B．4C．8 D．163．已知数列{a n}，则“a n，a n＋1，a n＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝a n a n＋2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．165．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S6＝() A．63 B．64C．31 D．326．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.7．在等比数列{a n}中，若a1＝1，a4＝－8，|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝127，则n＝________.自我反思。

等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。

S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。

问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。

等比数列的前n 项和公式（1）教学目标 1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题.教学重点 1.等比数列的前n 项和公式；2.等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题. 教学过程 一.复习回顾(1) 等比数列定义： (2) 等比数列通项公式：二.探索与研究：采用印度国际象棋发明者的故事，你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？即求636264228421+++++= s ①用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：② ②－①： 这是一个庞大的数字以小麦千粒重为40g 计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。

三、一般公式推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()n n qa a S q -=-11，1≠q 时：()qq a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=11111111=q 时：1na S n = 公式与公式说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，（2）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。

（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

1(1)(1)1n n a q S q q-=≠-1=q 时，)1(1==q na S n（4）另一种表示形式 qq a a S n n --=11（1≠q ） 1=q 时，)1(1==q na S n总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q q q a S n n 或⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q q q a a S n n 注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。

等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。

2. 通过探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。

3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容：1. 等比数列的概念及其性质。

2. 等比数列的前n项和的定义。

3. 等比数列前n项和公式的探究。

4. 等比数列前n项和公式的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导过程，以及公式的应用。

2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究等比数列前n项和公式。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解。

3. 实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等比数列前n项和公式的应用。

五、教学过程：1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，引导学生思考等比数列的前n项和能否也有类似的公式。

2. 等比数列的概念复习：回顾等比数列的定义及其性质。

3. 等比数列的前n项和的定义：引导学生理解等比数列前n项和的含义。

4. 探究等比数列前n项和公式：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列前n项和公式。

5. 公式验证与应用：利用多媒体展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解公式。

并通过实例分析，让学生掌握公式的应用。

6. 总结与评价：对本节课的内容进行总结，对学生的学习情况进行评价。

7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考过程，评估他们的合作能力。

3. 练习题解答：收集学生的练习题答案，评估他们对等比数列前n 项和公式的掌握情况。

七、教学拓展：1. 等比数列的极限：引导学生思考等比数列前n项和的极限值，为后续学习数列极限奠定基础。

例3等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是 ， ， ，求证： ， ， 也成等比.
【训练案】
1.数列1， ， ， ，…， ，…的前n项和为（）.
A. B.
C. D.以上都不对
2.等比数列中，已知 ， ，则 （）.
A. 30 B.60 C. 80 D. 160
3.设 是由正数组成的等比数列，公比为2，且 ，那么 （）.
2.3.2等比数列的前n项和导学案
编者：邹茂鹏审核：肇胜
【学习目标】
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式；能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式；
情感态度与价值观：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力．【重点难点】公式的推导方一：则当 时， ①
或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
由等比数列的定义， ，
有 ，
即 .
∴ （结论同上）
公式的推导方法三：
＝
＝ ＝ .
∴ （结论同上）
【探究案】
例1已知a1=27，a9= ，q<0，求这个等比数列前5项的和.
例2一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）
【课后作业】
1.数列 的前n项和 （a≠0，a≠1），试证明数列 是等比数列.
2.已知数列 的前n项和 ，且 ， ，设 ，求证：数列 是等比数列.
.
3.求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n项和Sn.
重点：等比数列前n项和公式的理解、推导及应用

第3课时 等比数列的前n 项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n 项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n 项和.2.掌握等比数列前n 项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n 项的问题.在应用时，特别要注意q =1和q ≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n 项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n 项和公式解决有关问题. 难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n 项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n 项和公式（1）设等比数列{a n }，其首项为a 1，公比为q ，则其前n 项和公式为 na 1 (q =1) S n = .qq a n --1)1(1 (q ≠1)也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q =1处.因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是不等于1，如果q 可能等于1，则需分q =1和q ≠1进行讨论.（2）等比数列{a n }中，当已知a 1,q (q ≠1)，n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1，当已知a 1,q (q ≠1)，a n 时，用公式S n =qqa a n --11.2.等比数列前n 项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法 由等比数列的定义知：12a a =23a a =…=1-n n a a =q . 当q ≠1时，12132-++++++n n a a a a a a =q ,即nn n a S a S --1=q .故S n =qq a a n --11=q q a n --1)1(1.当q =1时，S n =na 1. (2)拆项法S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q (a 1+a 1q +…+a 1q n-2)=a 1+qS n-1=a 1+q (S n -a n )当q ≠1时，S n =qq a a n --11=q q a n --1)1(1.当q =1时，S n =na 1.(3)利用关系式S n -S n-1=a n (n ≥2)∵当n ≥2时，S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+q (a 1+a 2+…+a n-1)=a 1+qS n-1 ∴S n =a 1+q (S n -a n ) 即(1-q )S n =a 1(1-q n )当q ≠1时，有S n =qq a n --1)1(1,当q =1时，S n =na 1. 注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及a n 与S n 的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求{a n ·b n }的前n 项和. 3.等比数列前n 项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a 1,q,n,a n ,S n .由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q 是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q =1和q ≠1的讨论. 4.等比数列前n 项和公式与函数的关系 (1)当公比q ≠1时，令A =qa -11，则等比数列的前n 项和公式可写成S n =-Aq n +A 的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q =1时，因为a 1≠0，所以S n =na 1是n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q ≠1时，数列S 1,S 2,S 3,…,S n ,…的图像是函数y =-Aq x +A 图像上的一群孤立的点.当q =1时，数列S 1,S 2,S 3,…,S n ,…的图像是正比例函数y =a 1x 图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n 项和公式（1）等比数列{a n }的前n 项和为S n ,当公比q ≠1时，S n ==;当q=1时，S n =.(2)推导等比数列前n 项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列{a n }的前n 项和S n =p (1-q n )(p 为常数)，且q ≠0,q ≠1，则数列{a n }为 . （2）在等比数列的前n 项和公式中共有a 1,a n ,n,q,S n 五个量，在这五个量中知求.［答案］ 1.（1）q q a n --1)1(1 qq a a n --11 na 1 (2)错位相减法2.（1）等比数列 （2）三 二思路方法技巧命题方向 等比数列前n 项和公式的应用［例1］ 设数列｛a n ｝是等比数列，其前n 项和为S n ,且S 3=3a 3,求此数列的公比q .［分析］ 应用等比数列前n 项和公式时，注意对公比q 的讨论. ［解析］ 当q =1时，S 3=3a 1=3a 3,符合题目条件；当q ≠1时，qq a --1)1(31=3a 1q 2,因为a 1≠0,所以1－q 3=3q 2(1-q ), 2q 3-3q 2+1=0,(q -1) 2(2q +1)=0, 解得q =-21. 综上所述，公比q 的值是1或－21. ［说明］ （1）在等比数列中，对于a 1,a n ,q,n,S n 五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量. （2）等比数列前n 项和问题，必须注意q 是否等于1，如果不确定，应分q =1或q ≠1两种情况讨论.（3）等比数列前n 项和公式中，当q ≠1时，若已知a 1,q,n 利用S n =qq a n --1)1(1来求；若已知a 1,a n ,q ,利用S n =qqa a n --11来求.变式应用1 在等比数列{a n }中,已知S 3=27,S 6=263,求a n . ［解析］ ∵S 6=263,S 3=27,∴S 6≠2S 3，∴q ≠1.qq a --1)1(31=27①∴qq a --1)1(61=263 ② ②÷①得 1+q 3=9,∴q =2. 将q =2代入①，得a 1=21, ∴a n =a 1q n-1=2n-2.命题方向 等比数列前n 项的性质［例2］ 在等比数列{a n }中，已知S n =48,S 2n =60,求S 3n . ［分析］ 利用等比数列前n 项的性质求解.［解析］ ∵{a n }为等比数列，∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列， ∴(S 2n -S n ) 2=S n (S 3n -S 2n )∴S 3n =nn n S S S 22)(-+S 2n =48)4860(2-+60=63.［说明］ 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2 等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91,求S 4.［解析］ 解法一：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4-S 2，S 6-S 4也为等比数列， ∴（S 4-7）2=7×（91-S 4），解得S 4=28或-21.∵S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+a 2+a 1q 2+a 2q 2=S 2+S 2q 2=S 2(1+q 2)>0, ∴S 4=28.解法二：∵S 2=7,S 6=91,∴q ≠1.qq a --1)1(21=7 ①∴qq a --1)1(61=91 ②①②得q 4+q 2-12=0,∴q 2=3, ∴q =±3. 当q =3时，a 1=2)13(7-, ∴S 4=qq a --1)1(41=28.当q =-3时，a 1=-2)13(7+, ∴S 4=qq a --1)1(41=28.探索延拓创新命题方向 等比数列前n 项和在实际问题中的应用［例3］ 某公司实行股份制，一投资人年初入股a 万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x 万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和； （2）写出第n 年年底，此投资人的本利之和b n 与n 的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a 万元恰好翻两番的目标，若a =395,则x 的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)［解析］ (1)第一年年底本利和为a+a ·25%=1.25a ,第二年年底本利和为（1.25a-x ）+(1.25a-x )×25%=1.252a -1.25x ,第三年年底本利和为（1.252a -1.25x-x ）+(1.252a -1.25x-x )25%=1.253a -(1.252+1.25)x . (2)第n 年年底本利和为b n =1.25n a -(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x . (3)依题意，有395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x =4×395,∴x =125.1)125.1(25.1)425.1(3951920---=25.125.1)425.1(39525.02020--⨯⨯. ① 设1.2520=t ,∴lg t =20lg （810）=20(1-3lg2)=2. ∴t =100,代入①解得x =96.变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？［解析］ 第1次还款x 元之后到第2次还款之日欠银行 20000（1＋10％）－x =20000×1.1－x ,第2次还款x 元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x ］(1+10%)-x =20000×1.12-1.1x-x , …第10次还款x 元后，还欠银行20000×1.110－1.19x -1.18x -…-x , 依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得 20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x =0,解得x =11.11.01.1200001010-⨯⨯≈3255(元). 名师辨误做答［例4］ 求数列1，a+a 2,a 3+a 4+a 5,a 6+a 7+a 8+a 9,…的前n 项和. ［误解］ 所求数列的前n 项和S n =1+a +a 2+a3+…+a 12)1(-+n n=aa n n --+112)1(.［辨析］ 所给数列除首项外，每一项都与a 有关，而条件中没有a 的范围，故应对a 进行讨论. ［正解］ 由于所给数列是在数列1,a,a 2,a 3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n 项和中共含有原数列的前（1+2+…+n ）项.所以S n =1+a+a 2+…+a12)1(-+n n .①当a =0时，S n =1.②当a =1时，S n =2)1(+n n .③当a ≠0且a ≠1时，S n =aa n n --+112)1(.课堂巩固训练一、选择题1.等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则24a S =（ ） A.2 B.4 C.215D.217 ［答案］ C［解析］ 由题意得24a S =221)22(141⋅--⋅a a =215.故选C. 2.等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ） A.-2B.1C.-2或1D.2或-1［答案］ C［解析］ 由题意可得，a 1+a 1q +a 1q 2=3a 1, ∴q 2+q -2=0,∴q =1或q =-2.3.等比数列{2n }的前n 项和S n =（ ） A.2n -1B.2n -2C.2n +1-1D.2n+1-2［答案］ D［解析］ 等比数列｛2n ｝的首项为2，公比为2.∴S n =q q a n --1)1(1=21)21(2--n =2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列{a n }满足：a 1=1,a n+1=2a n （n ∈N +），则a 5=;前8项的和S 8=.（用数字作答）［答案］ 16 255［解析］ 考查等比数列的通项公式和前n 项和公式. q =nn a a 1+=2,a 5=a 1·q 4=16, S 8=qq a --1)1(81=28-1=255.5.在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q =.［答案］ 3［解析］ ∵a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1, 两式相减，得a 3-a 4=-2a 3, ∴a 4=3a 3,∴q =3. 三、解答题6.在等比数列{a n }中，已知a 6-a 4=24，a 3·a 5=64，求数列{a n }的前8项和.［解析］ 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n =a 1q n-1，由已知条件得 a 6-a 4=a 1q 3(q 2-1)=24, ① a 3·a 5=(a 1q 3) 2=64,②∴a 1q 3=±8.将a 1q 3=-8代入①式，得q 2=-2,没有实数q 满足此式，故舍去. 将a 1q 3=8代入①式，得q 2=4,∴q =±2.当q =2时，得a 1=1,所以S 8=q q a --1)1(81=255;当q =-2时，得a 1=-1，所以S 8=qq a --1)1(81=85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24=a 3·a 5=64,∴a 4=±8,a 6=24+a 4=24±8. 因为{a n }是实数列，所以46a a ＞0, 故舍去a 4=-8,而a 4=8，a 6=32，从而a 5=±64a a ∙=±16. 公比q 的值为q =45a a =±2, 当q =2时，a 1=1,a 9=a 6q 3=256, ∴S 8=q a a --191=255; 当q =-2时，a 1=-1，a 9=a 6q 3=-256, ∴S 8=qa a --191=85. 课后强化作业一、选择题1.等比数列{a n }中，a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为（ ） A.81B.120C.168D.192［答案］ B ［解析］ 公式q 3=25a a =9243=27,q =3,a 1=qa2=3, S 4=31)31(34--=120.2.已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则a =（ ） A.-4B.-1C.0D.1［答案］ B［解析］ 设等比数列为｛a n ｝，由已知得a 1=S 1=4+a,a 2=S 2-S 1=12, a 3=S 3-S 2=48,∴a 22=a 1·a 3, 即144=(4+a )×48，∴a =-1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（ ）A.31B.33C.35D.37［答案］ B［解析］ 解法一：S 5＝qq a --1)1(51=21)21(51--a =1∴a 1=311∴S 10=q q a --1)1(101=21)21(31110--=33,故选B.解法二：∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1∴a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)·q 5=1×25＝32 ∴S 10＝a 1+a 2+…+a 9+a 10=1+32=33.4.已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为（ ） A.514B.513C.512D.510［答案］ Da 1+a 1q 3=18 ［解析］ 由已知得 ，a 1q +a 1q 2=12解得q =2或21. ∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=21)21(28--=29-2=510.5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1,S 3=7，则S 5=（ ） A.215 B.431 C.433 D.217 ［答案］ B［解析］ 设公比为q ,则q >0,且a 23=1, 即a 3=1.∵S 3=7,∴a 1+a 2+a 3=21q +q1+1=7, 即6q 2-q -1=0, ∴q =21或q =-31 (舍去)， ∴a 1=21q=4.∴S 5=21121145--）（=8（1-521）=431. 6.在等比数列｛a n ｝（n ∈N +）中，若a 1=1,a 4=81,则该数列的前10项和为（ ） A.2－821 B.2－921C.2－1021 D.2－1121 ［答案］ B ［解析］ ∵a 1=1,a 4=81, ∴q 3=14a a =81,∴q =21.∴S 10=211211110--］）（［=2［1-（21）10］=2-921,故选B.7.已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S 3=3,S 6=27,则此等比数列的公比q 等于（ ） A.2B.-2C.21 D.-21 ［答案］ AS 3=qq a --1)1(31=3, ①［解析］S 6=qq a --1)1(61=27, ②①②得3611qq --=9,解得q 3=8. ∴q =2,故选A.8.正项等比数列｛a n ｝满足a 2a 4=1,S 3=13,b n =log 3a n ,则数列｛b n ｝的前10项和是（ ） A.65B.-65C.25D.-25［答案］ D［解析］ ∵{a n }为正项等比数列，a 2a 4=1, ∴a 3=1,又∵S 3=13,∴公比q ≠1. 又∵S 3=qq a --1)1(31=13,a 3=a 1q 2,解得q =31.∴a n =a 3q n-3=(31)n-3=33-n, ∴b n =log 3a n =3-n . ∴b 1=2,b 10=-7. ∴S 10=2)(10101b b +=2)5(10-⨯＝－25.二、填空题 9.等比数列31，-1，3，…的前10项和为.［答案］ -314762［解析］ S 10=31)3(13110+--］［=-314762.10.（2011·北京文，12）在等比数列｛a n ｝中，若a 1=21,a 4=4,则公比q = ;a 1+a 2+…+a n =.［答案］ 2,2n-1-21 ［解析］ 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n 项和公式可解得.14a a =q 3=24=8，所以q =2，所以 a 1+a 2+……+a n =21)21(21--n =2n-1-21.2n-1 (n 为正奇数) 11.已知数列{a n }中，a n = ，则a 9=.2n -1 （n 为正偶数）设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9=.［答案］ 256 377 ［解析］ a 9=28=256，S 9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列{a n }中，已知对于任意n ∈N +,有a 1+a 2+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =.［答案］31×4n -31 ［解析］ ∵a 1+a 2+…+a n =2n -1, ∴a 1+a 2+…+a n -1=2n-1-1(n ≥2),两式相减，得a n =2n -1-2n-1+1=2n -2n-1=2n-1, ∴a 2n =(2n-1) 2=22n -2=4n-1,∴a 21+a 22+…+a 2n =4141--n =31×4n -31. 三、解答题13.在等比数列{a n }中，已知a 3=121，S 3=421，求a 1与q . S 3=q q a --1)1(31=421 ［解析］ （1）若q ≠1,则 ，a 3=a 1q 2=121 从而解得q =1或q =-21. q =-21 ∵q ≠1,∴ .a 1=6S 3=3a 1=421 q =1 （2）若q =1,则 ，∴ .a 3=a 1=121 a 1=121 q =-21 q =1 综上所述得 ，或 . a 1=6 a 1=121 14.(2011·大纲文科，17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n .［分析］ 设出公比根据条件列出关于a 1与q 的方程.求得a 1与q 可求得数列的通项公式和前n 项和公式.［解析］ 设{a n }的公比为q ，由已知有：a 1q =6 a 1=3 a 1=2.解得 或6a 1+a 1q 2=30 q =2 q =3(1)当a 1=3,q =2时，a n =a 1·q n-1=3×2n-1S n =qq a n --1)1(1=21)21(3--⨯n =3×(2n -1) (2)当a 1=2,q =3时，a n =a 1·q n-1=2×3n-1S n =qq a n --1)1(1=31)31(2--⨯n =3n -1. 综上，a n =3×2n-1,S n =3×(2n -1)或a n =2×3n-1,S n =3n -1.15.已知实数列｛a n ｝是等比数列，其中a 7=1,且a 4,a 5+1,a 6成等差数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；(2)数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,证明：S n <128(n =1,2,3,…).［解析］ (1)设等比数列｛a n ｝的公比为q (q ∈R 且q ≠1),由a 7=a 1q 6=1,得a 1=q -6,从而a 4=a 1q 3=q -3,a 5=a 1q 4=q -2,a 6=a 1q 5=q -1,因为a 4,a 5+1,a 6成等差数列,所以a 4+a 6=2(a 5+1)即q -3+q -1=2(q -2+1),q -1 (q -2+1)=2(q -2+1).所以q =21. 故a n =a 1q n-1=q -6·q n-1=q n-7=（21）n-7. (2)证明：S n =q q a n--1)1(1=2121164--］）（［n =128［1-（21）n ］<128. 16.2011年暑期人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出了工资标准：大学生王明被A 、B 两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A 公司，你知道为什么吗？.［解析］。

等比数列前n项和公式教案一、教学目标1.理解等比数列的定义和性质。

2.掌握等比数列前n项和公式的推导过程。

3.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。

二、教学重难点1.等比数列前n项和公式的推导。

2.等比数列前n项和公式的应用。

三、教学准备1.教学课件。

2.等比数列前n项和公式推导过程的相关资料。

3.练习题。

四、教学过程（一）导入1.复习等比数列的定义和性质。

2.提问：等比数列的前n项和如何计算？（二）新课1.等比数列前n项和公式的推导（1）引导学生回顾等差数列前n项和公式的推导过程。

（2）讲解等比数列前n项和公式的推导过程。

设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：S_n=a_1+a_1q+a_1q^2++a_1q^{n-1}两边同时乘以q得：qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3++a_1q^n将两式相减得：S_nqS_n=a_1a_1q^n化简得：S_n=a_1(1q^n)/(1q)当q=1时，等比数列退化为等差数列，此时S_n=na_1。

S_n=a_1(1q^n)/(1q)，q≠12.等比数列前n项和公式的应用（1）讲解等比数列前n项和公式的应用，如求等比数列的前n项和、通项公式等。

（2）举例讲解：例1：已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求前5项和。

解：由等比数列前n项和公式得：S_5=2(13^5)/(13)=242例2：已知等比数列{an}的前3项和为14，第4项为6，求公比q。

解：由等比数列前n项和公式得：S_3=a_1(1q^3)/(1q)=14又已知a_4=a_1q^3=6联立两式得：q=2或q=-1/2（三）课堂练习1.求等比数列{an}的首项为3，公比为4，前7项和。

2.已知等比数列{an}的前4项和为30，第5项为12，求公比q。

2.鼓励学生提出疑问，共同探讨。

五、课后作业1.复习等比数列前n项和公式，掌握推导过程。

2.完成课后练习题。

六、教学反思本节课通过等比数列前n项和公式的推导和应用，让学生更好地理解等比数列的性质，培养学生的数学思维能力。

（知 3 求 2 应用）
检
测
案
1． a1 3, q 2, n 6, 求等比数列{ an }的前 n 项和 sn
2.
1 1 a1 2.7, q , an , 求等比数列{ an }的前 n 项和 sn 3 90
3. 在等比数列 a n 中，已知 a 3 =
3 ， 2
s 3 = 2 ，求 a 与 q
1 （1）已知等比数列{ a n }中，
a1 2 .
q =3 .求 S n
1 1 1 。。。的前 10 项和。 （2）求等比数列 1， 2 ， 4 ， 8 。。。
二 、 预 习 自 测
2．课本 P28 页练习 1，做在导学案上。
3. 求数列 a a
2
a n 的和。
No.9 神木七中 2012---2 13 学年度数学必修五导学案 学生姓名：____ 班级：___ 第___ 组
No.9 神木七中 2012---2 13 学年度数学必修五导学案 学生姓名：____ 班级：___ 第___ 组
第
周
课题 编写
等比数列前 n 项和
屈永军 审 核 李婵平 1,识记并会应用等比数列前 n 项和公式。 目标 2 等比数列前 n 项和公式推导的理解。 重点 难点 等比数列前 n 项和公式的识记与应用 等比数列前 n 项和公式的推导 使 用 时 间
第
周
探
一 、 基 础 知 识 探 究
究
案
5 , 求a4 和S5 4
例 1：在等比数列 a n 中，若 a1 识 应 用 探 究
例2 （ ） 1 ,已知a1 1, a k 243, S k 364 , 求q, k （2）若S n 189 , q 2, a n 96, 求a1和n ,

等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。

2. 推导并记忆等比数列前n项和的公式。

3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等比数列前n项和公式的推导。

2. 等比数列前n项和公式的应用。

三、教学难点1. 等比数列前n项和公式的记忆与运用。

四、教学准备1. 教学PPT。

2. 教案。

3. 教学素材。

五、教学过程1. 引入：通过回顾等差数列的知识，引导学生思考等比数列的概念及其性质。

2. 讲解：讲解等比数列的定义，引导学生掌握等比数列的基本性质。

3. 推导：引导学生通过小组合作，共同推导等比数列前n项和的公式。

4. 总结：对等比数列前n项和公式进行总结，强调公式的记忆与运用。

5. 练习：布置课堂练习，让学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题。

6. 反馈：对学生的练习情况进行反馈，解答学生的疑问。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的重点和难点。

8. 作业布置：布置课后作业，巩固学生对等比数列前n项和公式的掌握。

六、教学反思在课后对教学效果进行反思，分析学生的学习情况，针对学生的掌握情况调整教学策略，以提高学生对等比数列前n项和公式的理解和应用能力。

七、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习情况，评价学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。

六、教学活动设计1. 活动一：等比数列的概念辨析教师提出等比数列的定义，学生尝试解释。

教师给出几个例子，学生判断是否为等比数列。

2. 活动二：等比数列性质探索学生通过小组讨论，探索等比数列的性质。

每个小组汇报他们的发现，教师进行点评和总结。

3. 活动三：等比数列前n项和公式推导教师引导学生使用归纳法或数学归纳法推导等比数列前n项和公式。

学生在教师的引导下，通过数学运算和逻辑推理得出公式。

七、教学方法1. 讲授法：教师讲解等比数列的概念、性质和前n项和公式的推导过程。

2. 讨论法：学生在小组内讨论等比数列的性质，分享各自的想法。