同济高数(二)第八章 空间解析几何(1)——基本概念

第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何得基本思想就是用代数得方法来研究几何得问题,为了把代数运算引入几何中来,最根本得做法就就是设法把空间得几何结构有系统得代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观得几何意义,所以为了更好得学习多元函数微积分,空间解析几何得知识就有着非常重要得地位、本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量得基础知识,以向量为工具讨论空间得平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线得部分内容、第1节 空间直角坐标系1、1 空间直角坐标系用代数得方法来研究几何得问题,我们需要建立空间得点与有序数组之间得联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、1、1、1 空间直角坐标系过定点,作三条互相垂直得数轴,这三条数轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),它们都以为原点且具有相同得长度单位、 通常把x 轴与y 轴配置在水平面上,而z 轴则就是铅垂线;它们得正方向要符合右手规则:右手握住轴,当右手得四指从x 轴得正向转过角度指向y 轴正向时,大拇指得指向就就是z 轴得正向,这样就建立了一个空间直角坐标系(图81),称为直角坐标系,点叫做坐标原点、图81在直角坐标系下,数轴Ox ,,Oz 统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为,,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图82),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、图821、1、2 空间点得直角坐标设为空间中得任一点,过点分别作垂直于三个坐标轴得三个平面,与轴、轴与轴依次交于、、三点,若这三点在轴、轴、轴上得坐标分别为,,,于就是点就唯一确定了一个有序数组,则称该数组为点在空间直角坐标系中得坐标,如图83.,,分别称为点得横坐标、纵坐标与竖坐标.图83反之,若任意给定一个有序数组,在轴、轴、轴上分别取坐标为,,得三个点、、,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴得平面,这三个平面只有一个交点,该点就就是以有序数组为坐标得点,因此空间中得点就与有序数组之间建立了一一对应得关系.注:、、这三点正好就是过点作三个坐标轴得垂线得垂足.1、2 空间中两点之间得距离设两点,,则与之间得距离为(811) 事实上,过点与作垂直于平面得直线,分别交平面于点与,则∥,显然,点得坐标为,点得坐标为(如图84).图84由平面解析几何得两点间距离公式知,与得距离为:.过点作平行于平面得平面,交直线于,则∥,因此得坐标为,且,在直角三角形中,,所以点与间得距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=.例1 设与为空间两点,求与两点间得距离. 解 由公式(811)可得,与两点间得距离为.例2 在轴上求与点与等距得点.解 由于所求得点在轴上,因而点得坐标可设为,又由于,由公式(811),得.从而解得,即所求得点为.习题811.讨论空间直角坐标系得八个卦限中得点得坐标得符号.2.在坐标轴上得点与在坐标平面上得点得坐标各有何特点？3.在空间直角坐标系中,画出下列各点: ;;;.4.求点关于各坐标平面对称得点得坐标.5.求点关于各坐标轴对称得点得坐标.6.求下列各对点间得距离: (1) 与; (2) 与.7.在坐标平面上求与三点、与等距得点.8.求点与原点、各坐标平面与各坐标轴得距离.9、 证明以为顶点得三角形△ABC 就是一等腰三角形、第2节 空间向量得代数运算2、1 空间向量得概念在日常生活中,我们经常会遇到一些量,如质量、时间、面积、温度等,它们在取定一个度量单位后,就可以用一个数来表示.这种只有大小没有方向得量,叫做数量(或标量).但有一些量,如力、位移、速度、电场强度等,仅仅用一个实数就是无法将它们确切表示出来,因为它们不仅有大小,而且还有方向,这种既有大小又有方向得量,叫做向量(或矢量).在数学上,我们用有向线段来表示向量,称为向量得起点,称为向量得终点,有向线段得长度就表示向量得大小,有向线段得方向就表示向量得方向.通常在印刷时用黑体小写字母,,,…来表示向量,手写时用带箭头得小写字母来记向量、向量得长度称为向量得模,记作或,模为得向量叫做单位向量,模为得向量叫做零向量,记作0,规定:零向量得方向可以就是任意得.本章我们讨论得就是自由向量,即只考虑向量得大小与方向,而不考虑向量得起点,因此,我们把大小相等,方向相同得向量叫做相等向量,记作、规定:所有得零向量都相等、与向量大小相等,方向相反得向量叫做得负向量(或反向量),记作. 平行于同一直线得一组向量称为平行向量(或共线向量).平行于同一平面得一组向量,叫做共面向量,零向量与任何共面得向量组共面、 2、2 向量得线性运算 2、2、1 向量得加法我们在物理学中知道力与位移都就是向量,求两个力得合力用得就是平行四边形法则,我们可以类似地定义两个向量得加法.定义1 对向量,,从同一起点作有向线段、分别表示与,然后以、为邻边作平行四边形,则我们把从起点到顶点得向量称为向量与得与(图85),记作.这种求与方法称为平行四边形法则.图85 图86若将向量平移,使其起点与向量得终点重合,则以得起点为起点,得终点为终点得向量就就是与得与(图86),该法则称为三角形法则.多个向量,如、、、首尾相接,则从第一个向量得起点到最后一个向量得终点得向量就就是它们得与 (图87).图87对于任意向量,,,满足以下运算法则:(1)(交换律).(2) (结合律).(3).2、2、2 向量得减法定义2向量与得负向量得与,称为向量与得差,即.特别地,当时,有、由向量减法得定义,我们从同一起点作有向线段,分别表示,,则.也就就是说,若向量与得起点放在一起,则,得差向量就就是以得终点为起点,以得终点为终点得向量(图88).图882、2、3数乘向量定义3 实数与向量得乘积就是一个向量,记作,得模就是,方向: 当时,与同向;当时,与反向;当时,.对于任意向量,以及任意实数,,有运算法则: (1) . (2) . (3) .向量得加法、减法及数乘向量运算统称为向量得线性运算,称为,得一个线性组合.特别地,与❒a 同方向得单位向量叫做❒a 得单位向量,记做,即、上式表明:一个非零向量除以它得模得结果就是一个与原向量同方向得单位向量、 例1 如图89,在平行六面体中,设,试用来表示对角线向量图89解 ; 、由于向量与平行,所以我们通常用数与向量得乘积来说明两个向量得平行关系、即有, 定理1 向量与非零向量平行得充分必要条件就是存在一个实数,使得、 2、3 向量得坐标表示2、3、1向量在坐标轴上得投影设为空间中一点,过点作轴得垂线,垂足为,则称为点在轴上得投影(图810).图810若为空间直角坐标系中得一点,则在轴、轴、轴上得投影为、、,如图811所示.图811设向量得始点与终点B在轴u得投影分别为、,那么轴u上得有向线段得值叫做向量在轴u上得投影,记作,轴u称为投影轴、图812当与轴同向时,投影取正号,当与轴反向时,投影取负号.注 (1) 向量在轴上投影就是标量.(2)设为空间直角坐标系中得一个向量,点得坐标为,点得坐标为,显然,向量在三个坐标轴上得投影分别为,,.2、3、2向量得坐标表示取空间直角坐标系,在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向得单位向量,依次记作,它们称为坐标向量.空间中任一向量,它都可以唯一地表示为数乘之与.事实上,设,过、作坐标轴得投影,如图813所示..由于与平行,与平行,与平行,所以,存在唯一得实数,使得,,,即. (821)图 813我们把(821)式中系数组成得有序数组叫做向量得直角坐标,记为,向量得坐标确定了,向量也就确定了.显然,(821)中得就是向量分别在轴、轴、轴上得投影.因此,在空间直角坐标系中得向量得坐标就就是该向量在三个坐标轴上得投影组成得有序数组.例2 在空间直角坐标系中设点,,求向量及得直角坐标.解 由于向量得坐标即为向量在坐标轴上得投影组成得有序数组,而向量得各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量得差.所以向量得坐标为,向量得坐标为.例3(定比分点公式) 设与为两已知点,有向线段上得点将它分为两条有向线段与,使它们得值得比等于数,即,求分点得坐标、图814 解 如图814,因为与在同一直线上,且同方向,故,而 ,所以 ,, 解得当λ=1, 点得有向线段得中点, 其坐标为, , 、2、3、3向量得模与方向余弦得坐标表示式向量可以用它得模与方向来表示,也可以用它得坐标式来表示,这两种表示法之间得就是有联系得、设空间向量与三条坐标轴得正向得夹角分别为,规定: ,称为向量❒a 得方向角、 图815因为向量❒a公式(8、2、2)中出现得cos ,cos αβ❒a 得方向余弦、而就是与向量❒a 同方向得单位向量、而❒a =, ,故向量得模为(823)从而向量得方向余弦为cos a αβγ===(824)并且 、例4 已知两点与,求向量得模、方向余弦与方向角、 解; ; 、例5 已知两点与,求与同方向得单位向量、 解 因为所以 于就是2、4 向量得数量积在物理中我们知道,一质点在恒力得作用下,由点沿直线移到点,若力与位移向量得夹角为,则力所作得功为.类似得情况在其她问题中也经常遇到.由此,我们引入两向量得数量积得概念. 定义1 设,为空间中得两个向量,则数叫做向量与得数量积(也称内积或点积),记作,读作“点乘”.即(825)其中表示向量与得夹角,并且规定.两向量得数量积就是一个数量而不就是向量,特别地当两向量中一个为零向量时,就有、由向量数量积得定义易知: (1) ,因此.(2) 对于两个非零向量,,与垂直得充要条件就是它们得数量积为零,即.注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用. 数量积得运算满足如下运算性质: 对于任意向量,及任意实数,有 (1) 交换律:. (2) 分配律:.(3) 与数乘结合律:.(4) 当且仅当时,等号成立. 例6 对坐标向量,,,求, ,,,,.解 由坐标向量得特点及向量内积得定义得, .例7 已知,,,求,,.解 由两向量得数量积定义有..,因此.在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,.则.由于,,所以.(826)也就就是说,在直角坐标系下,两向量得数量积等于它们对应坐标分量得乘积之与.同样,利用向量得直角坐标也可以求出向量得模、两向量得夹角公式以及两向量垂直得充要条件,即设非零向量,向量,则. (827). (828). (829) 例8在空间直角坐标系中,设三点,,.证明:就是直角三角形.证明由题意可知,,则,所以.即就是直角三角形.2、5向量得向量积在物理学中我们知道,要表示一外力对物体得转动所产生得影响,我们用力矩得概念来描述.设一杠杆得一端固定,力作用于杠杆上得点处,与得夹角为,则杠杆在得作用下绕点转动,这时,可用力矩来描述.力对得力矩就是个向量,得大小为.得方向与及都垂直,且,,成右手系,如图816所示.图8162、5、1向量积得定义在实际生活中,我们会经常遇到象这样由两个向量所决定得另一个向量,由此,我们引入两向量得向量积得概念.定义2 设,为空间中得两个向量,若由,所决定得向量,其模为. (8210) 其方向与,均垂直且,,成右手系(如图817),则向量叫做向量与得向量积(也称外积或叉积).记作,读作“叉乘”.注 (1) 两向量与得向量积就是一个向量,其模得几何意义就是以,为邻边得平行四边形得面积.(2)这就是因为夹角θ=0,所以图817(3)对两个非零向量与,与平行(即平行)得充要条件就是它们得向量积为零向量.∥.向量积得运算满足如下性质:对任意向量,及任意实数λ,有(1) 反交换律:.(2) 分配律:,.(3) 与数乘得结合律:.例9对坐标向量,,,求,,,,,.解 .,,.2、5、2向量积得直角坐标运算在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,,因为.,,,,,.则121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i .为了便于记忆,借助于线性代数中得二阶行列式及三阶行列式有.注 设两个非零向量,,则∥,.若某个分母为零,则规定相应得分子为零.例10 设向量,,求得坐标. 解 .因此得直角坐标为.例11 在空间直角坐标系中,设向量,,求同时垂直于向量与得单位向量. 解 设向量,则同时与,垂直.而,所以向量得坐标为.再将单位化,得,即与为所求得向量.例12 在空间直角坐标系中,设点,,,求得面积.解 由两向量积得模得几何意义知:以、为邻边得平行四边形得面积为,由于,,因此,所以.故得面积为.2、6向量得混合积定义3 给定空间三个向量,如果先作前两个向量与得向量积,再作所得得向量与第三个向量得数量积,最后得到得这个数叫做三向量得混合积,记做或、说明:三个不共面向量得混合积得绝对值等于以为棱得平行六面体得体积、定理 如果,,,那么习题821.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b5、设为单位向量,且满足,求6、7、已知三点得坐标、模、方向余弦与方向角、8、一向量得终点在点B(2,1,7),它在x轴、y轴与z轴上得投影依次为4,4与7、求这向量得起点A得坐标、9.设,,,求,,.10.设向量,,两两垂直,且,,,求向量得模及.11.在空间直角坐标系中,已知,,求:(1); (2) ;(3) ;(4).12、已知向量,计算(1)(2)(3)、13.设向量,得直角坐标分别为与,若,求得值.14.设向量,,求以为邻边构造得平行四边形面积.15.求同时垂直于向量与纵轴得单位向量.16.已知三角形三个顶点,,,求得面积.第3节空间中得平面与直线方程在本节我们以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论最简单得曲面与曲线——平面与直线、3、1平面及其方程首先利用向量得概念,在空间直角坐标系中建立平面得方程,下面我们将给出几种由不同条件所确定得平面得方程.3、1、1平面得点法式方程若一个非零向量垂直于平面,则称向量为平面得一个法向量.显然,若就是平面得一个法向量,则 (为任意非零实数)都就是得法向量,即平面上得任一向量均与该平面得法向量垂直.由立体几何知识知道,过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面.设为平面上得任一点,由于,因此.由两向量垂直得充要条件,得,而,,所以可得. (831) 由于平面上任意一点都满足方程(831),而不在平面上得点都不满足方程(831),因此方程(831)就就是平面得方程.由于方程(831)就是给定点与法向量所确定得,因而称式(831)叫做平面得点法式方程.图818例1 求通过点且垂直于向量得平面方程.解由于为所求平面得一个法向量,平面又过点,所以,由平面得点法式方程(614)可得所求平面得方程为,整理,得.例2 求过三点,, 得平面得方程.解所求平面得法向量必定同时垂直于与.因此可取与得向量积为该平面得一个法向量.即.由于,,因此,因此所求平面得方程为,化简得一般地,过三点得平面方程为称为平面得三点式方程。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

高数同济第七版-第八章重点内容接下来你将看到的是由我个人整理的各章重点，不保证都是最终考试的考点，也可能会有缺失，如果你也有类似的整理，并且愿意向大家分享，希望你在公众号内回复我们，我们会在第一时间联系你，期待你的分享本次的内容为第八章的重点，所有内容均为本人个人根据老师画的重点总结，仅供参考。

本文最终解释权归本人所有。

一．向量及其运算（基本概念）1.向量的模、方向余弦、方向角2.两向量的数量积3.两向量的向量积（1-3点详细概念见书P9起，在此不再赘述）4.特殊情景：两向量若垂直，则点乘机为零，若平行，则叉乘机为零。

二．空间解析几何1.平面及其方程（1）点法式设一平面通过已知点),,(0000z y x M 且垂直与非零向量N=(A ，B ，C)，则该平面方程可表示为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A（2）一般式)0(0222≠++=+++C B A D z C y B x A（3）两平面的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.设平面一的法向量为：),,(1111C B A n =，平面二的法向量为：),,(2222C B A n =。

则两平面夹角的余弦为： 2121cos n n n n ?=θ（4）点到平面的距离公式：222000C B A D z C y B x A d +++++=2.空间直线：对称式：m x x 0-ny y 0-=p z z 0-= 参数式：设m x x 0-n y y 0-=p z z 0-== t,则参数式为： t m x x +=0t n y y +=0t p z z +=03.旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。

该定直线叫做旋转轴。

例：求坐标面xoz 上的双曲线12222=-cz a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解绕 x 轴旋转所成曲面方程为122222=+-cz y a x 绕 z 轴旋转所成曲面方程为122222=-+cz a y x （绕那个轴旋转，那个坐标不变。

高等代数与解析几何(同济版)引言高等代数与解析几何是大学数学中的重要基础课程之一，主要包括高等代数和解析几何两个部分。

本文档将重点介绍《高等代数与解析几何(同济版)》这本教材的内容和特点。

该教材是由同济大学数学系编写的，经过多年的教学实践和改进，已经成为国内高等院校广泛使用的教材。

内容概述《高等代数与解析几何(同济版)》一共分为七章，每章都涵盖了高等代数和解析几何的相关内容，具体如下：第一章张量代数本章介绍了张量代数的基本概念及性质。

包括张量的定义、张量的运算、张量积和对称性、张量的指标变换等内容。

通过学习本章，可以帮助读者建立起张量代数的基本框架。

第二章线性代数初步本章主要介绍了线性代数的基础内容，包括线性空间、线性变换、矩阵及其运算等。

还介绍了线性方程组及其解的存在唯一性，以及线性方程组的解的结构等内容。

通过学习本章，可以深入理解线性代数的基本概念和基本技巧。

第三章解析几何初步本章主要介绍了解析几何的基础内容，包括向量的概念和运算、直线和平面的方程以及空间中几何体的性质等。

通过学习本章，可以掌握解析几何的基本技巧和方法。

第四章线性空间本章进一步深入讨论了线性空间的性质和结构，包括线性空间的基和维数、线性变换的矩阵表示、线性空间的子空间等内容。

通过学习本章，可以对线性空间有更加深入的理解。

第五章矩阵的特征值和特征向量本章主要介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质和计算方法等内容。

通过学习本章，可以理解矩阵的特征值和特征向量在线性代数中的重要意义和应用。

第六章矩阵的相似和对角化本章主要介绍了矩阵的相似和对角化的概念、性质和判定条件等。

通过学习本章，可以理解矩阵相似和对角化在线性代数中的作用和应用。

第七章线性空间的变换和相似本章涉及线性空间的变换和相似的概念、性质和判定条件等内容。

通过学习本章，可以进一步深入理解线性空间和线性变换的关系。

教材特点《高等代数与解析几何(同济版)》具有以下几个特点：1.全面的知识点覆盖：教材内容涵盖了高等代数和解析几何的重要知识点，内容全面而系统。

（完整版）⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼋章解答习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平⾯上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。

2.设已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M u u u u u u r的模、⽅向余弦和⽅向⾓。

3. 设向量r r的模是4，它与u 轴的夹⾓是3π，求r r在u 轴上的投影。

4. 设358m i j k =++r r r r ，247n i j k =--r r r r 和54p i j k =+-r r r r ，求向量43a m n p =+-r r r r在 x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。

5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-rr r r⽅向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。

解设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-u u u r，且AB a λ=u u u r ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-， ()()()()()()222222342178912AB x y z λλλ==-+++-=++-u u u r从⽽2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积向量积1. 设32a i j k =--r r r r，2b i j k =+-r r r r ，求（1）a b r r g 及a b ?r r ；（2）(2)3a b -r r g 及2a b ?r r ；（3）a r 、b r的夹⾓的余弦。

2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M u u u u u u r 、23M M u u u u u u r 同时垂直的单位向量。

3.求向量(4,3,4)a =-r在向量(2,2,1)b =r 上的投影。

4. 已知3OA i k =+u u u r r r 、3OB j k =+u u u r rr ，求OAB ?的⾯积。

高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。

第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。

使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。

在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。

在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4． 量的模：向量的大小，记为a。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。

零向量的方向是任意的。

5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。

零向量与如何向量都平行。

6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。

设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。