空间向量与立体几何课件

能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1

2
1
+
2 1
1

2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1

2
1

2
+ + +
++
1

2
+ 1 =
1

2
=
=
1

3）射影
已知向量 AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。
作点A在l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，
则 A1B1叫做向量 AB在轴l上的或在e方向上的正射影，
简称射影。 A1B1 AB cosa, e a e
B
e
A1
B1
l
A
注意：AB 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代
第二章 《空间向量与立体几何》
一.空间向量的运算
b
OaA
B
b
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A起(x1点, y坐1 ,标z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
立体几何中的向量方法——坐标法
问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,
且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：
平面ADE⊥平面ACE.
z
E
⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？

⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2

(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．