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近世代数 环同态的性质 ppt课件

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《近世代数》课件

《近世代数》课件

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

代数结构与数理逻辑-环同态基本定理

代数结构与数理逻辑-环同态基本定理
❖ 例:复数域[C;+,]是实数域[R;+,]的扩 张,(1, i)是它的一组基
C={a+ib|a,bR,i2=-1}, [C:R]=2
❖ 引进线性空间的目的是为了方便表示扩 域中的元素。
❖ 例:Z5[x]是域Z5上的多项式环, K=Z5[x]/(x3+x+1) ={(x3+x+1)+a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2Z5} K为Z5上的线性空间,基为(1,x,x2), [K:Z5]=3。
❖ 因时间关系，14.5整环与分式域不做介 绍
第十五章 域
❖ 方程x2-2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张
§1 扩域
❖ 一、扩域
❖ 1. 扩域
❖ 定义15.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中
的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域; 也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张。
?
L K( 2 )
K( 2 )是包含 2的最小域
❖ 推广到一般情况:当F的扩域L为在F上添加 k≥1 个 元 素 1 , , k 得 到 的 , 我 们 就 把 它 记 为 L=F(1,,k)=F(1)(k-1)(k)。 这 k个 元 素 作扩张的先后次序不影响最终结果。
❖ 二、素域
❖ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ❖ 设p为素数,则Zp是素域. ❖ 域F的特征数 ❖ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或
❖ [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, ❖ R是Q的扩域, ❖ 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有

近世代数课件 第11节 子环与理想

近世代数课件 第11节 子环与理想

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近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
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近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
4/27
近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
2/27
近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
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近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。

近世代数课件--3.1. 加群、环的定义

近世代数课件--3.1. 加群、环的定义

1.1 加群及符号的转换
( m+n)a=?? n(a+b)=?? n(ma)=?? 加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要 条件是 : ??
1.2 环的定义及基本性质
定义： 一个集合R叫做一个环，假如 1．R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的
代数运算来说作成一个交换群； 2．R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； 3． 这个乘法适合结合律：
它一些子集也可以构成环
多项式环: F[x]
F[x]
它一些子集也可以构成环 • 剩余类环: Zn {[0],[1],[2] [n 1]}
a(bc) (ab)c
4.两个分配律都成立：
a b c ab ac b c a ba ac
1.2 环的定义及基本性质
基本性质: (7) a(b-c)=??, (b-c)a=?? (8) 0a=a0=??, 这里0是零元素
(9) (a)b a(b) ab
(10)
(a)(b) ab
(2)
a-a=??
(3)
-(-a)=??
1.1 加群及符号的转换
(4) a+b=c b=a-c
(5) –(a+b)=??
由于加群的加法适合结合律，n个元 的和有意义，
这??
表n 示ai： i 1
i 1
??, n 0 na ??, n 0
??, n 0
i 1
j 1
i1 j1
1.2 环的定义及基本性质
(13) (na)b a(nb) n(ab)
这里:n是任何整数
规定:
n个
an aa a
这里:n是正整数 ,它有下面的性质:
(14)

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
二、同态的性质
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从 而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是 在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时 也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求： 了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用 的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方 法是难点。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义 二.环同态的性质 三.同态象和同态核的定义
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
作业：P83第1,4题
2020/4/27
2020/4/27
说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
2020/4/27
二、同态的性质
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核

近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质

近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质

,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.

4：环同态PPT课件


.
11
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映象 σ-1(0′)叫σ的核。
定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象
σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明： 因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的 一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一 个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个 剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
.
23
事实上，根据定理6.7.8和定理6.7.9，R∕N是一 个域，必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单 纯环，又根据定理6.7.7，对于有壹的环R∕N（ 环R∕N有壹,则R∕N中至少有两个元素,因之N<R ）,其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理 想.
规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态 映射，其核为N。
R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中 （4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实是
说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类中 的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素的 特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法两 种运算，就与环R同态。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N，
即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N， 即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单纯 环。
定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。 于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极 大理想。
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定理 3.4.1 设 R,,• 和 R, , • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a b, a • b a • b，
则当 R,,• 是环时, R, , • 也必是环.
7
证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
O R a O R a O R a O R
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
1
上课啦！பைடு நூலகம்
The class is begin!
2
3
第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
4
他们同态吗？
5
一 环 同 态 定 义
6
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1 R a 1 R a a a ,
同理,
a 1 R a 1 R 1 R .
8
③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
a
a
O R
,
所以 aa.
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
则 a b a b a b b a b a b a
,则
, 所以
.
.
如果 ( f (x)) f (i) ，所以
, 则有
,而
.由此得
从而由同态基本定理, 有同构
.
14
四、环的扩张定理（挖补定理）
定理 3.3.6 (环的扩张定理)
设: 的子环, 且
为环的单同态, 且 . 则存在环 , 使得 为环 .
证明 (1) 构作集合
.
15
(2) 令 :
,
单同态. 于是由定理 3.3.6 的
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
11
作
f : R R,其中
xS
x S
,
x x
12
三、环同态基本定理
定理 3.3.5 (环同态基本定理)
设:
为环的满同态, 则有环同构
且
. 其中, 为自然同态:
.
证明 令: :
,
.
13
如果 于是
, 则 为环的
证明, 环
为
的扩环, 且
.
(3)如果
, 则易知, :
,
, 也是环单同态,
于是知, 环
16
因此 ab ba ，故R 是交换环.
9
例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
10
引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双