最新离散数学第2章关系
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
31
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学 关系
R={(a1, a1), (a1, a2), (a2, a3),
(a3, a4), (a4, a1), (a4, a5), (a5, a3)}。
求R的关系图。
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来 【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R
是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij)
数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元
组。字段是n元组的数据项。
6
例 设R是A×N×S×D×T 的子集，其中A是所有 航空公司的集合，N是航班号的集合，S是出发地的 集合，D是目的地的集合，T是起飞时间的集合。则R 是由5元组(a, n, s, d, t)组成的表示飞机航班的关系。 例如，设R表示由国内航空公司飞机航班构成的关 系，如果南方航空公司在15:00有从广州到北京的 2963航班，那么
2) 当R＝A×A=A2时, 称R为集合A上的全域关系, 用EA表示。显然EA ＝{(x,y)|x∈A 且 y∈A}
3) 若R＝｛(x, x)|x∈A｝, 则称R是A上的恒等关系, 用ＩA表示。
12
【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的二元关系，其
定义为：当a，b ∈A且a能整除b时，(a, b) ∈R（R
23
2.1.5 函数的关系定义 函数如何转换成关系? 【例2-15】A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, f: A B, f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
f ( x) y ( x, y) f . f {( a,2), (b,3), (c,3)}.
注意： 一般来说, A到B的关系不是A到B的函数.
{( a,2), (a,3), (c,3)} ?
(a3, a4), (a4, a1), (a4, a5), (a5, a3)}。
求R的关系图。
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来 【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R
是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij)
数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元
组。字段是n元组的数据项。
6
例 设R是A×N×S×D×T 的子集，其中A是所有 航空公司的集合，N是航班号的集合，S是出发地的 集合，D是目的地的集合，T是起飞时间的集合。则R 是由5元组(a, n, s, d, t)组成的表示飞机航班的关系。 例如，设R表示由国内航空公司飞机航班构成的关 系，如果南方航空公司在15:00有从广州到北京的 2963航班，那么
2) 当R＝A×A=A2时, 称R为集合A上的全域关系, 用EA表示。显然EA ＝{(x,y)|x∈A 且 y∈A}
3) 若R＝｛(x, x)|x∈A｝, 则称R是A上的恒等关系, 用ＩA表示。
12
【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的二元关系，其
定义为：当a，b ∈A且a能整除b时，(a, b) ∈R（R
23
2.1.5 函数的关系定义 函数如何转换成关系? 【例2-15】A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, f: A B, f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
f ( x) y ( x, y) f . f {( a,2), (b,3), (c,3)}.
注意： 一般来说, A到B的关系不是A到B的函数.
{( a,2), (a,3), (c,3)} ?
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
第二章 二元关系 2007年8月20日
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
《离散数学关系》课件
表示元素之间的顺序关系，如 大小关系、前后关系等。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学-关系-2
3-7 关系的性质
例 设R，S是X上的二元关系，证明 ⑴ 若R,S是自反的，则R∪S和R∩S也是自反的。 ⑵ 若R,S是对称的，则R∪S和R∩S也是对称的。 ⑶ 若R,S是传递的，则R∩S也是传递的。 证明：⑴ 设R,S是自反的,由定理4.3.1知,IX⊆R,IX⊆S,所以 IX⊆R∪S,IX⊆R∩S,再由定理4.3.1知,R∪S和R∩S也是自反的。 ⑵ 设R,S是对称的，由定理4.3.3知，R=RC，S=SC，根据定理4.2.8， R∪S=RC∪SC=(R∪S)C，R∩S=RC∩SC=(R∩S)C,再由定理4.3.3知,R∪S 和R∩S也是对称的。 ⑶ 设R,S是传递的,由定理4.3.5知,R∘R⊆R,S∘S⊆S,据定理4.2.4, (R∩S)∘(R∩S)⊆(R∘R)∩(R∘S)∩(S∘R)∩(S∘S)⊆(R∘R)∩(S∘S)⊆R∩S 即(R∩S)∘(R∩S)⊆R∩S，再由定理4.3.5，R∩S是传递的。
Байду номын сангаас
3-7 关系的性质
设R是X上的反对称关系，由定义4.3.4知，在R的关系矩 阵MR中以主对角线为轴的对称位置上不能同时为1(主对角线 除外)。在R的关系图中每两个不同的结点间不能有方向相反 的两条边。 设X=⎨1,2,3⎬，X上的二元关系 R=⎨<1,2>,<2,3>,<3,3>⎬，R是反对称的。它的关系图如图 4.8所示，关系矩阵如下：
⎛0 ⎜ M R= ⎜ 1 ⎜0 ⎝
1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
3-7 关系的性质
例 设A=⎨1,3,5,7⎬，定义A上的二元关系如下： R=⎨<a,b>|(a－b)/2是整数⎬ 试证明R在A上是自反的和对称的。 证明：∀a∈A，(a-a)/2=0，0是整数，所以 <a,a>∈R。即R是自反的。 ∀a∈A，∀b∈A，<a,b>∈R，(a-b)/2是整数，因为整数的相反数也是 整数，所以(b-a)/2=-(a-b)/2是整数，<b,a>∈R。即R是对称的。 定理3-7.3 设R是X上的二元关系, R是对称的当且仅当R=RC。 证明：设R是对称的，下证R =RC。 <x,y>∈R⇔<y,x>∈R⇔<x,y>∈RC , 所以 R =RC。 设R =RC，下证R是对称的。 <x,y>∈R⇒<y,x>∈RC⇒<y,x>∈R, 所以R是对称的。
离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学关系2PPT课件
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>},
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
2
定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
5
定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
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2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
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定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
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定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
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《集合论与图论》第6讲
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《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
二元关系(离散数学)
第二章二元关系习题2.11.a)R = {<0, 0>, <0, 2>, <2, 0>, <2, 2>}b)R = {<1, 1>, <4, 2>}2.R1⋃ R2 = {<1, 2>, <2, 4>, <3, 3>, <1, 3>, <4, 2>}R1⋂ R2 = {<2, 4>}dom R1= {1, 2, 3}dom R2= {1, 2, 4}ran R1= {2, 3, 4}ran R2= {2, 3, 4}dom (R1⋃ R2) = {1, 2, 3, 4}ran (R1⋂ R2) = {4}3.证明：（根据定义域和值域的定义进行证明）因为x ∈ dom (R1⋃ R2) 当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ (R1⋃ R2)当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ R1或<x, y> ∈ R2当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ R1或有y ∈ B使得<x, y> ∈ R2当且仅当x ∈ dom (R1) 或x ∈ dom (R2)当且仅当x ∈ dom (R1) ⋃ dom (R2)所以，dom (R1⋃ R2) = dom (R1) ⋃ dom (R2) 。
因为若x ∈ ran (R1⋂ R2)，则有x ∈ A使得<x, y> ∈ (R1⋂ R2) ；有x ∈ A使得<x, y> ∈ R1且<x, y> ∈ R2 ；有x ∈ A使得<x, y> ∈ R1且有x ∈ A使得<x, y> ∈ R2 ；x ∈ ran (R1) 且x ∈ ran (R2)；x ∈ ran (R1) ⋂ ran (R2)。
所以，ran (R1⋂ R2) ⊆ ran (R1) ⋂ ran (R2)。
离散数学第2章 关系
值域: 设R AB, ran R = {y | y B, 存在 x A, 使得(x, y) R}
◦ 即R中所有有序对中第二位置元素组成的集合, ◦ 它是B的子集. ◦ 在上例中, ran R = {1, 2, 3, 4}.
2.1.4 关系的表 (除集合表示外)
示 1、关系图
情形1 R是 A 到 B (包括A上)的关系
例 实数集合R上的大于“>”关系:
{ ( x ,y ) |x ,y R , x y } .
例 整数集合Z上的模k同余关系k:
x ky k |(x y ).
k | (x - y) x 除以k的余数 = y 除以k的余数.
定义：A上的恒等关系: IA { (x ,x )|x A } .
123
a 0 1 1
M
R
b c
0
0
0 1
0
0
d
0
1
0
2.1.5 函数的关系(集合)定义
例 A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, f: A B, f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
f( x ) y ( x ,y ) f f { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) , ( c , 3 ) } .
R A 1 A 2 ... A n .
n
◦ 特别地, 若 RAA...A, 则称 R 为 A 上的n元关系. ◦ n = 2: 2元关系.
例 设 A = {0, 1, 2, 3, 4}, A上的关系R = {(x, y)|x = y+1 或 y = x/2}, 试用列举法求出R.
解 R = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3)
◦ 即R中所有有序对中第二位置元素组成的集合, ◦ 它是B的子集. ◦ 在上例中, ran R = {1, 2, 3, 4}.
2.1.4 关系的表 (除集合表示外)
示 1、关系图
情形1 R是 A 到 B (包括A上)的关系
例 实数集合R上的大于“>”关系:
{ ( x ,y ) |x ,y R , x y } .
例 整数集合Z上的模k同余关系k:
x ky k |(x y ).
k | (x - y) x 除以k的余数 = y 除以k的余数.
定义：A上的恒等关系: IA { (x ,x )|x A } .
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a 0 1 1
M
R
b c
0
0
0 1
0
0
d
0
1
0
2.1.5 函数的关系(集合)定义
例 A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, f: A B, f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
f( x ) y ( x ,y ) f f { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) , ( c , 3 ) } .
R A 1 A 2 ... A n .
n
◦ 特别地, 若 RAA...A, 则称 R 为 A 上的n元关系. ◦ n = 2: 2元关系.
例 设 A = {0, 1, 2, 3, 4}, A上的关系R = {(x, y)|x = y+1 或 y = x/2}, 试用列举法求出R.
解 R = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3)
离散数学 第二章 关系 (Relation)
例1 设R是实数集合，S={(x,y) | xR ∧ yR ∧ x≤y} 由实数的性质知，当x≤y且 y≤x时，有x=y，由反对称关系 的定义知S是R上的反对称关系。
定义5 设R是非空集合X上的二元关系。若对于任意的x,y,zX， 当 (x,y)R 且 (y,z)R 时，有 (x,z)R ，则称R是X上的传递 关系。
例3 设N是自然数集合， R= { (a,b)∣ aN ∧ bN ∧ a｜b } N×N 称R是自然数集合上的整除关系。
例4 设 X = {风，马，牛}， R = { (风,马)，(马,牛) } X×X 称R是X上的二元关系。
定义2 设A, B是两个非空集合，R A×B 1）若R = ，则称R为空关系 ； 2）若R = A×B，则称R为全关系 ； 3）若A=B 且 R = { (a,a)∣aA}，则称R是幺关系。
例1 A={ a,b,c }, B={0,1} AB={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)} BA={(0,a), (0,b), (0,c), (1,a), (1,b), (1,c)} 例2 A={张三,李四}，B={白狗,黄狗} AB={(张三,白狗), (张三,黄狗), (李四,白狗), (李四,黄狗)} BA={(白狗,张三), (白狗,李四), (黄狗,张三), (黄狗,李四)}
第四节
二元关系的基本性质
定义1 设R是非空集合X上的二元关系。若对X中的每个元素x， 都有(x,x) R，则称R是X上的自反关系。 例1 设X={a,b,c,d}，R={(a,b),(a,a),(b,b),(c,d),(c,c),(d,d)} 由自反关系的定义知R是X上的自反关系。 若R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}，则R是X上的幺关系。 由此可知幺关系一定是自反关系，但自反关系不一定是幺 关系。
离散数学 ch2.二元关系1
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合(构成线、 面)。
2.关系的定义域与值域
定义域(domain) ：设RA×B，由所有(x,y)R 的第一个元素组成的集合，称为R的定义域， 记作dom R，即 dom R={x|y使(x,y)R} 值域(range) ：设RA×B，由所有(x,y)R的第 二个元素组成的集合，称为R的值域， 记作ran R，即 ran R={y|x使(x,y)R} 上述 R2={ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3), (2,4), (3,3), (3,4),(4,4)} dom R2 ={1,2,3,4} ran R2 ={1,2,3,4}
rij=
(1≤i≤m,1≤j≤n)
R3={ (1,a),(1,c),(2,b),(3,a),(4,c)} R4={ (1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2)}
abc
上例中 MR3 =
1 2 3 4
101 010 100 001
4×3
1 MR4= 2 3 4
1234 1001 0010 1001 1100
证明（2）对（ｘ，ｙ）∈（Ｒ·Ｓ）C，有 （ｙ，ｘ）∈Ｒ·Ｓ ｚ∈Ｂ，使（ｙ，ｚ）∈Ｒ， （ｚ，ｘ）∈Ｓ 即：（ｚ，ｙ）∈ＲC， （ｘ，ｚ）∈ＳC （ｘ，ｙ）∈ＳC·ＲC 证明（3）: (1)任意 (ｘ，ｙ)∈（Ｒ∪Ｓ）C (ｙ，ｘ)∈(Ｒ∪Ｓ) (ｙ，ｘ)∈Ｒ 或 (ｙ,ｘ)∈Ｓ (ｘ，ｙ)∈ＲC 或 (ｘ,ｙ)∈ＳC (ｘ,ｙ)∈ＲC∪ＳC
如RA×A,即R是集合A中关系时,可能有 (x,x)R,则从x到x画一条有向环(自回路)。 例 设A={1,2,3,4},B={a,b,c}， R3 A×B， R3={ (1,a),(1,c),(2,b),(3,a),(4,c)} 则R3的关系图如下：
离散数学 关系
求R的关系图。
A
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来
【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij) m×n叫R的 关系矩阵, 其中:
mij 10,,
if (xi,yj)R if (xi,yj)R
A
21
【例】 设A＝{1,2,3,4,5}, B＝{a,b,c}, 求下面两 个关系的关系矩阵。
( 南方航空，2963，广州，北京，15:00) 属于R。
A
7
2.1.2 二元关系
定义
设有两个集合A和B，其笛卡儿积A×B的任意 一个子集R称为从A到B的一个二元关系 （relation from A to B）。即:
R A×B 特别地，当A＝B时，R称为A上的关系 （relation on A ）, 这时
A
4
2.1 关系的概念 2.1.1 n元关系
定义2-1
设A1, A2 ,… An是集合，则称 A1×A2×…×An的任意一个子集R为A1, A2 ,… An间的n元关系。
集合A1, A2, …, An叫做关系的域, n叫做它的阶。
若R An, 则称R为A上的n元关系。
A
5
可以利用n元关系表示计算机的数据库: 数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元 组。字段是n元组的数据项。
示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来, 并加上从 结点a到结点b方向的箭头。
A
17
例如： A={a1, a2, a3, a4} B={b1, b2, b3, b4, b5} R={(a1, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a4, b4), (a4, b5)}
A
20
2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来
【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij) m×n叫R的 关系矩阵, 其中:
mij 10,,
if (xi,yj)R if (xi,yj)R
A
21
【例】 设A＝{1,2,3,4,5}, B＝{a,b,c}, 求下面两 个关系的关系矩阵。
( 南方航空，2963，广州，北京，15:00) 属于R。
A
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2.1.2 二元关系
定义
设有两个集合A和B，其笛卡儿积A×B的任意 一个子集R称为从A到B的一个二元关系 （relation from A to B）。即:
R A×B 特别地，当A＝B时，R称为A上的关系 （relation on A ）, 这时
A
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2.1 关系的概念 2.1.1 n元关系
定义2-1
设A1, A2 ,… An是集合，则称 A1×A2×…×An的任意一个子集R为A1, A2 ,… An间的n元关系。
集合A1, A2, …, An叫做关系的域, n叫做它的阶。
若R An, 则称R为A上的n元关系。
A
5
可以利用n元关系表示计算机的数据库: 数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元 组。字段是n元组的数据项。
示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来, 并加上从 结点a到结点b方向的箭头。
A
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例如： A={a1, a2, a3, a4} B={b1, b2, b3, b4, b5} R={(a1, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a4, b4), (a4, b5)}
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或a Rb ； 当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二
元关系。
14
离散数学
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A
于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。 例2 . 设N是自然数集合。
R= { (a,b) : aNbNa|b } N×N 则R就是自然数集合上的整除关系。
11
离散数学
定理2 . 设A,B,C是三个非空集合。则 (1)左分配律：A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (2)左分配律：A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (3)右分配律：(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) (4)右分配律：(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
12
•空关系和全关系都是平凡关系；
18
离散数学
3°幺关系或单位关系(identical relation)： 关系R= {(a, a): aA} AA称为A上的幺关
系；
例7 . 设A={1,2,3,4}，则 R1 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }是幺关系； R2 = {(1,1) , (2,3) , (3,4) , (4,4) }不是； R3 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,(1,2) }也不是；
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
[证]. )：（采用逻辑法）对任何的元素a,b (a,b)A×B (a,b)C×D (条件： A = C B = D ）
所以 A×B = C×D 。
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离散数学
)：（采用逻辑法）对任何的元素a,b aAbB
(a,b)A×B (a,b)C×D (条件：A×B = C×D ） aCbD 所以 A = C B = D 。
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a Rb
离散数学
§2 .关系 一. 关系的基本概念 定义1 . 二元关系(binary relation)
设A, B是两个非空的集合。 二重叉集A×B 的任何一个子集R都称为是从集
合A到集合B的一种二元关系。即 RA×B ； 当 (a,b)R 时，称a与b有关系R ，记为 aRb ； 当 (a,b)R 时，称a与b没有关系R ，记为 a R b
长 的 时 间 隧 道，袅
离散数学第2章关系
离散数学
第二章 关系 (relation)
§1 . 集合的叉积 n元组 §2 .关系 §3 .关系的表示 关系的性质 §4 .关系的运算 §5. 等价关系 §6. 半序关系
2
离散数学
(6) 利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义 集合的叉积幂如下：
A2= A×A
A3 = A2 ×A
An = An-1 ×A
(7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集 。 即 A× = = ×A
由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就
没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集
是合理的。
9
离散数学
定理1. 设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
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离散数学
例4 . 设Ｉ是整数集合。 R= { (a,b) : aIbI(kI)(a-b =km)} II 则R就是整数集合上的(模m)同余关系。
例5 . 设A是某一大型FORTRAN程序中诸程序块 的集合。
R= { (a,b) : aAbAa调用(call)b }AA
则R就是程序块集合上的调用关系。
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离散数学
例3 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A
于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。
例6 . 设A = {风，马，牛}，
R = { (风,马)，(马,牛) }AAຫໍສະໝຸດ 则R是A上的一个二元关系。
17
离散数学
关于关系概念，我们还有如下的几个定义和 说明：
1°全关系(full relation)： 关系R=AB称为全关系；
2°空关系(empty relation)： 关系R= 称为空关系；
离散数学
[证]. 只证(1)（采用逻辑法） 对任何的元素a,b (a,b)A×(B∪C) aAb B∪C aA(bBbC) (aAbB)(aAbC) (分配律：p(qr)(pq)(pr)) (a,b)A×B(a,b)A×C (a,b)(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 。
元关系。
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离散数学
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A
于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。 例2 . 设N是自然数集合。
R= { (a,b) : aNbNa|b } N×N 则R就是自然数集合上的整除关系。
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离散数学
定理2 . 设A,B,C是三个非空集合。则 (1)左分配律：A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (2)左分配律：A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (3)右分配律：(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) (4)右分配律：(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
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•空关系和全关系都是平凡关系；
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离散数学
3°幺关系或单位关系(identical relation)： 关系R= {(a, a): aA} AA称为A上的幺关
系；
例7 . 设A={1,2,3,4}，则 R1 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }是幺关系； R2 = {(1,1) , (2,3) , (3,4) , (4,4) }不是； R3 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,(1,2) }也不是；
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
[证]. )：（采用逻辑法）对任何的元素a,b (a,b)A×B (a,b)C×D (条件： A = C B = D ）
所以 A×B = C×D 。
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离散数学
)：（采用逻辑法）对任何的元素a,b aAbB
(a,b)A×B (a,b)C×D (条件：A×B = C×D ） aCbD 所以 A = C B = D 。
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a Rb
离散数学
§2 .关系 一. 关系的基本概念 定义1 . 二元关系(binary relation)
设A, B是两个非空的集合。 二重叉集A×B 的任何一个子集R都称为是从集
合A到集合B的一种二元关系。即 RA×B ； 当 (a,b)R 时，称a与b有关系R ，记为 aRb ； 当 (a,b)R 时，称a与b没有关系R ，记为 a R b
长 的 时 间 隧 道，袅
离散数学第2章关系
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第二章 关系 (relation)
§1 . 集合的叉积 n元组 §2 .关系 §3 .关系的表示 关系的性质 §4 .关系的运算 §5. 等价关系 §6. 半序关系
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(6) 利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义 集合的叉积幂如下：
A2= A×A
A3 = A2 ×A
An = An-1 ×A
(7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集 。 即 A× = = ×A
由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就
没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集
是合理的。
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定理1. 设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
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例4 . 设Ｉ是整数集合。 R= { (a,b) : aIbI(kI)(a-b =km)} II 则R就是整数集合上的(模m)同余关系。
例5 . 设A是某一大型FORTRAN程序中诸程序块 的集合。
R= { (a,b) : aAbAa调用(call)b }AA
则R就是程序块集合上的调用关系。
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例3 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A
于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。
例6 . 设A = {风，马，牛}，
R = { (风,马)，(马,牛) }AAຫໍສະໝຸດ 则R是A上的一个二元关系。
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关于关系概念，我们还有如下的几个定义和 说明：
1°全关系(full relation)： 关系R=AB称为全关系；
2°空关系(empty relation)： 关系R= 称为空关系；
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[证]. 只证(1)（采用逻辑法） 对任何的元素a,b (a,b)A×(B∪C) aAb B∪C aA(bBbC) (aAbB)(aAbC) (分配律：p(qr)(pq)(pr)) (a,b)A×B(a,b)A×C (a,b)(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 。