量子力学复习题

量子力学复习题一．计算题 1.能级与波函数()()0()()x r U x r x r x r ∞>-⎧⎪=-≤≤⎨⎪∞>⎩解：粒子在这种无限深方势阱中运动时，定态波函数为 (1) 边界条件()0E x ψ=；x r ≥，阱内定态方程和自由粒子类比为：2+0k ψψ''=，-r x r ≤≤（2）其中2mEk =，阱内波函数的边界条件()()0r r ψψ-==，于是（2）式成立的特解可取,cos ,sin ikx e kx kx ±，考虑到宇称，当()cos x A kx ψ=，得到偶宇称态的解：22212En=(),1,3,5......222k n m m rπ==，归一化条件22-1rr dx dr ψψ∞∞-==⎰⎰，得1r A =，1()cos ,1,2,3......2n n xx n r r πψ==，当()sin x kx ψ=，得到奇宇称态的解：12(),2,4,6......22En n m r π==，1()sin ,2,4,6......2n n x x n r r πψ==2.能级与波函数00U(x)=(0)0x ru u r x rx r<-⎧⎪-≥-≤≤⎨⎪>⎩解：粒子在有限平底势阱中，定态波函数为：(,)()iEtE E x t x e ψψ-=⋅ (1)定态薛定谔方程为：2+0k ψψ''= (2)， 对于势阱内：022()m E k hu += 阱外:22mEk =(2)式中两个基本解为coskx,sinkx 在-0u <E<0的情况，即为束缚态下令20mE-β=>（2）式简化为2-=0ψψ"β， X r ∣∣≥ （3）/E (,)()iEt E x t x eψψ-=求解微分方程（3）在保证(x)ψ有限的条件下取'xxce x r c ex rββψ-⎧≥⎨≤-⎩（x)=阱外波函数为指数衰减型，在偶宇称下cos x xce x r kx r x rce x r ββψ-⎧>⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩（x)= （4）利用2222m k βμ+=；tan k kr β=得到能级方程22202tan 2mv r ξςηξη=⎧⎪⎨+=⎪⎩（5）波函数中的系数c=cos cos r n c kre e βξ==同理可得到奇宇态下的波函数''sin x x c e x r kxr x r c e x rββψ-⎧≥⎪-<<⎨⎪-≤-⎩（x)= （6）能级方程'cot sin nc eξξηξ=-⎧⎨=⎩ （7） 3)本征值及其归一化本征函数并将其对角化010********x L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦4.本征值及其归一化本征函数并将其对角化.0020200y i L i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦二．简答题1.量子力学中关于状态力学量全同粒子的基本假定是什么？答：量子力学的基本假定①波函数假定（波函数满足：连续性，单值性，有限性）②力学量算符的假定③本征值概率及平均值假定④全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子互相调换不改变体系的状态。

[注]全同粒子是指内禀性质，例如静电荷、质量、自旋等完全相同的一类微观粒子。

例如所有的电子都是全同粒子。

2.证明+++ˆˆˆˆAB =B +A（） 3.什么是正常塞曼效应，反常塞曼效应和斯塔克效应？答：①将一个原子放入磁场B 中它的能级会因受到磁矩而产生分裂，从而引起了谱线的分裂。

从垂直于磁场B 方向观察，原来谱线分裂为三条，且相邻两条谱线之间的间隔相等，均为一个洛伦磁单位，这样的现象称为正常塞曼效应，②如果谱线中分裂条数超过三条，或者有的谱线即使只分裂成三条，但相邻两谱线之间的间隔不等于一个洛伦磁单位，这样的现象称为反常塞曼效应，③原子和分子由于强外电场的作用而引起能级和谱线的分裂的现象称为斯塔克效应。

4. 证明ˆd x p vdt x ∂=-∂证明：由ˆ1ˆ,dA A H dt i ⎡⎤=⎣⎦，则[]ˆˆ11ˆ,,x x x x dp dp v p H p v dti dt i x ∂⎡⎤====-⎣⎦∂ 5.简述德布罗意物质波的概念，德布罗意关系和波函数的概率诠释，写出厄密算符的定义（不是A A +=)并证明=-x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭解：6.计算ˆˆ,x y L L ⎡⎤⎣⎦(详细过程)解：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,()x y z y y y z y y y x y z L L yp L zp L y p L z L p i yp xp i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦7.自旋角动量s 和自旋算符σ之间的关系？Sz 的本征方程？泡利矩阵？ 三．填空题1.经典物理学不能解决的问题 光电效应 、黑体辐射、 电子轨道的量子化 。

2.普朗克提出了量子论概念，其能量是h ν，光子的能量2h mcν光子的动量h 1p==h c νλ3.波函数满足的条件连续 、单值 、有限 。

4.厄密算符的定义式：+ˆˆA=A 厄密算符属于不同本征值的两个本征函数时，当力学量对易时，它们有完备的共同本征态 在其中测量共同的力学量都有共同的本征值5.当两个力学量对易时他们有完备的，共同的本征态 在这些共同的本征态中测量共同的本征量，它们具有共同的确定的值。

6.热辐射问题的解决标志着量子力学的产生，该问题的内容是由普朗克提出量子概念的以成功解决。

7.物质波的概念说明了物质的波粒二象性它的能量是hv ω，动量p=h λ，描述自由粒子的波是德布罗意波（物质波）。

8.量子力学基本方程22i (,,)2V x y z tm ψψψ∂=-∇+∂推导薛定谔方程中使用的两个算符是拉普拉斯算符（2∇），梯度算符（∇）8.表象理论中状态用态矢表示，在选择了具体表象后用表象中的波函数表示。

一．计算题1.质量为m 的粒子，沿半径为r 的圆环运动，能量算符为2222ˆH=-2d mr d ϕ,求能级和归一化波函数并讨论其简并度。

2.22()exp()22x x iA x ψω∂=--一维谐振子处于基态，求①A ②概率最大的位置 ③求x 的平均值<x>。

3.粒子做一维自由运动，求①能级 ②归一化波函数 ③简并度。

4.定义投影算符ˆp=φφ，给定一个归一化的态矢量φ，求ˆpφ作用在任一态时，φ的结果。

二．简答题 1.力学量的完全集。

2.一维运动时，位置算符ˆx的本征函数及其正交归一性和完备性。

3.升降算符法求解一维谐振子时的哈密顿算符？所引入的无量纲算符以及无量纲算符与升降算符表示的哈密顿算符的对易关系。

4.证明x x ˆˆˆˆxp-p x=i5.直角坐标系中角动量三个分量的算符定义和球坐标系中角动量平方算符的定义（四个式子）6.厄密算符的本征值是实数。

7.一维谐振子的能级和波函数以及ˆxn 和ˆpn 在x 表象中的波函数形式。

三．填空题1.真空中自由传播的电磁波满足波动方程222210c t ψψ∂∇-=∂其平面波特解为ˆˆ()i k r t k Ae ωψ⋅-=光子的相对论力学基本方程222E c p =2.薛定谔方程分离变量形式的特解为()()()r t r f t ψψ⋅=其中空间部分满足的方程ˆH()()r E r ψψ=叫做 定态薛定谔方程 3.波函数的归一化条件*1d ψψτ⎰=全势能和动能的平均值？4.一维谐振子问题无量纲化过程中选取的长度单位0x m ω=能量单位是2ω求解方程所用的方法级数展开法。

5.连续谱本征函数正交归一化条件*()aa d a a ψψτζ''=-⎰完备性条件*()()()a ar r da r r ψψζ''⋅=-⎰平均值公式*()()A aC a C a da=⎰6.质量为0.01kg ，运动速度为100m/s ，德布罗意波长？7.粒子能量E 小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象称为隧道贯穿效应。

8.三维动量ˆp 的本征方程是？本征函数？9.厄密算符本征函数具有正交 归一 完备性。

10.平均值公式是ˆFψψ10.中心立场问题，力学量的完全集ˆH 、ˆL 、zˆL ？11.康普顿实验证实了①光子能量动量公式正确性 ②微观基元过程中能量守恒定律和动量守恒定律成立11.++c =c ψψ（），++c =c ψψ（） ++++ˆˆˆABC=C B A （）。