炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

长沙市一中2019届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设1i x yi i=++（,,x y R i ∈为虚数单位），则||x yi -=（ ）A. 1B. 12C.D. 【答案】D【解析】 ∵(1)111(1)(1)22i i i i x yi i i i -==+=+++-， ∴12x y ==，∴1122x yi i -=-2=．选D ． 2.已知集合{}3{1,2,3,9},|log ,A B y y x x A ===∈，则A B =I （ ）A. {1,2}B. {1,3}C. {1,2,3}D. {1}【答案】A【分析】先根据集合A 化简集合B ，再求两个集合的交集.【详解】因为集合{1,2,3,9},=A所以{}{}332,1,|log ,,lo 20g ==∈=B y y x x A所以A B =I {1,2}故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调査，5家商场该商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是$$3.2y x a=-+，则$a 的值为（ ）A. 38.4B. 39.4C. 40.4D. 40.6 【答案】B【分析】先求,x y 再利用样本中心在回归直线上求解.【详解】8.599.51010.59.55x ++++== 121197695y ++++== 3.239.4a y x =+=故选：B【点睛】本题主要考查了线性回归方程，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则2z y x =-的最大值为（ ）A. 2B. 1C. 4D. 8【答案】C【分析】 先根据约束条件，画出可行域，然后平移目标函数所在的直线，找到最优点，将其坐标代入目标函数求解.【详解】根据约束条件，画出可行域如图所示：平移目标函数所在的直线2y x z =+，找到最优点(2,0)A -，所以()max 0224=-⨯-=z故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x y +的值是（ ）A. 5-B. 3-C. 1-D. 0【答案】C【分析】 按照循环结构，先赋值0,1,1i x y === 进入循环，第一次循环此时13≤ 成立，进入第二次循环，此时23≤ 成立，进入第三次循环，此时33≤ 成立，进入第四次循环，此时43≤不成立，结束.。

2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1x y ==- B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-【答案】D【解析】解对应方程组，即得结果 【详解】 由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，复数()21i ω=+，则ω=（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】B【解析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案. 【详解】因为22(1)122i i i i ω=+=++=，所以||2ω==.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，属基础题.3．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题“2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>”的否定是“2000 (1,),168∃∈+∞+≤x x x ”.故选C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.4．设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．【考点】充分条件与必要条件的判定．5．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】A【解析】由()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期，可以求出ω，从而可以简单的判断出其相关性质 【详解】2(0)T ππωω==>，所以2ω=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,()32x k f x πππ+=+⇒关于()122k x k Z ππ=+∈对称，可判断A 正确，B 错误；2,()3x k f x ππ+=⇒关于(,0)()62k k Z ππ-+∈对称，可判断C 、D 错误. 【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.【考点】程序框图.7．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-，则角C =（ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】先利用正弦定理对已知等式化简，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-， 所以由正弦定理知，()()()a c a c a b b +-=-， 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得，222cos 122a b c C ab +-==，又(0,180)C ∈︒︒，所以60C =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求角的问题.8．已知函数,(=ln ,x e x ef x x x e⎧≤⎨>⎩），则函数()y f e x =-的大致图象是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令()()g x f e x =-，则(),ln(),,e x e e x eg x e x e x e -⎧-≤=⎨-->⎩，化简得(),0ln(),0,e x e x g x e x x -⎧≥=⎨-<⎩，因此()g x 在()()0,,,0+∞-∞上都是增函数.又()0ln 0e e e ->-，故选B.9．设曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a =（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用函数()ln 1axy e x =-+求导后，代入0x =，由结果等于切线的斜率，即可得到本题答案. 【详解】因为()ln 1axy e x =-+，所以11axy ae x '=-+， 令0x =时，得切线的斜率为1a -，又因为曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=,所以12a -=，得3a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用曲线在某点的切线方程求参数的问题. 10．长度都为2的向量OA u u u v ，OB uuu v的夹角为3π，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v=+，则m n +的最大值是（ ） A．B．3CD．【答案】B【解析】∵OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r ，∴OC u u u r 2=（m OA u u u r +n OB uuu r）2，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅u u u v u u u v ，即224442223m n mn cos π=++⨯⨯⨯，即m 2+n 2+mn=1，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m=n 时，等号成立）；故243m n +≤（），故m n +3=，故答案为3． 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =，()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题，可得()()f x g x x=是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设120x x <<，由题，得()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因此()()0.20.20.24.1 4.1(1)4.1f a gg ==<，()()()2.1 2.122.10.40.40.4(0.5)0.4f b gg g ==>>，()()()0.20.250.2log 4.1log 4.1log 4.1((1),(0.5))log 4.1f cg g g g ===∈，即a c b <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A．eBC ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、填空题13．已知()212'3f x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则1'3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】23【解析】对函数()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭求导，然后代入13x =-，即可得到本题答案. 【详解】由()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭，得1()223f x x f ⎛⎫'=+'- ⎪⎝⎭，令13x =-，得11122333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=⨯-+'- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得，1233f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭. 故答案为：23【点睛】本题主要考查抽象函数的求导问题.14．已知()24,21,3,1,x x f x x e x⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩则()2e f x dx -=⎰__________．【答案】43332π+ 【解析】由题，得122213()4ef x dx x dx dx x--=-+⎰⎰⎰ò，1224x dx --⎰由定积分的几何意义可得，13edx x⎰由微积分基本定理可得. 【详解】 因为122()4f x x dx -=-⎰表示的是，如下图阴影部分的面积S ，且21143213323S ππ=⨯+⨯⨯=+， 所以121221343433()43ln 33eee f x dx x dx dx x ππ--=-+=++=+⎰⎰⎰.故答案为：43332π+ 【点睛】本题主要考查利用定积分的几何意义和微积分基本定理求定积分. 15．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________． 【答案】()1,+∞【解析】设()()f x g x x =，由2()()()()()0x x x xf x e f x e f x f xg x e e'-'-'==<，得()g x在R 上单调递减，并且不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <，根据函数的单调性，即可得到本题答案. 【详解】 设()()xg x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '-'-'==， 因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)g e=， 所以不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <， 由()g x 在R 上单调递减，得1x >，所以()1xf x e e<的解集为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数的运用.16．化简000001cos201sin10tan52sin20tan5+⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为__________．【解析】原式22cos 10cos5sin5cos102cos10sin10sin104sin10cos10sin5cos52sin10sin10⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭o o o o oo o o o o o o o ()1cos102cos10cos102sin 301022sin102sin102sin102⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====oo oo o oo oo o ，三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin a b A =. （1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.【答案】（1）6B π=（2）322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）角C 用角A 表示，由和差公式及辅助角公式，得cos sin 3A C A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又由ABC ∆为锐角三角形，可确定角A 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得，sin 2sin sin A B A =， 所以1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得，6B π=；（2）cos sin cos sin()6A C A A ππ+=+--1cos sin()cos cos )6223A A A A A A ππ=++=++=+.由ABC ∆为锐角三角形知，22B A ππ-<<，2263B ππππ-=-=，25336A πππ<+<，所以1sin()23A π<+<3)32A π<+<=，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角转化的应用以及三角函数的图象与性质，其中涉及三角函数的值域问题，主要考查了转化和化归的数学思想.18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，2AB AC AE === ，12ED AB =，P 是BC 的中点.（1）求证：//DP 平面EAB ；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）由四边形EFPD 是平行四边形，得//DP EF ，从而//DP 平面EAB ； （2）通过建立空间直角坐标系，套用求二面角的公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）证明：取AB 的中点F ，连结,PF EF ， 因为P 是BC 的中点，所以//FP AC ，12FP AC =， 因为//ED AC ，且1122ED AB AC ==， 所以//ED FP ，且ED FP =，所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以//DP EF ，因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，所以//DP 平面EAB ； （2）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则z 轴在平面EACD 内.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,3E ，()0,2,3D .所以()2,1,3EB =--u u u r ，()0,1,0ED =u u u r，设平面EBD 的法向量为(),,n x y z =r， 由0,0.n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2300x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，取2z =，所以()3,0,2n =r ，又因为平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =u r，所以27cos ||||n m n m n m ⋅<⋅>==r u rr u r r u r ，即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为27. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及用向量法求二面角的余弦值.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过右焦点()2,0F c 的直线l ：x my c =+与椭圆C 交于M ，N 两点.当33m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，直线AM 、AN 分别与直线4x =交于P 、Q 点，证明：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由x my c =+与椭圆C 交于,M N 两点.当3m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6，得226a c +=，b =，解得,,a b c ，即可得到本题答案;（2）联立直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=，得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，先求得,P Q 两点的坐标，然后可以表示出以线段PQ 为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意知，226a c +=，∴3a c +=①又当3m =时，直线l的方程为3x y c =+，∴()0,M ，∴b =② 联立①、②有2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l ：1x my =+代入22143x y +=中有()2234690m y my ++-=，∴122634my y m -+=+，122934y y m -=+， 此时AM l ：1122x x y y -=+，AN l ：2222x x y y -=+， ∴112(4,)2y P x -、222(4,)2y Q x -， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为()21212224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.化简得：()()()2224391x y m m -++=+，又圆心()4,3m -到直线l ：1x my =+的距离为222311d m m ==++.∴以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及到转化和化归思想的运用，主要考查学生的分析能力与运算能力.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重；当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻；身高大于或等于170cm 的我们说身高较高；身高小于170cm 的我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图所示，请根据所得信息，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响；身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示： 编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高x （cm ）166167160173178169158173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为$0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R （保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差（绝对值）最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. （参考公式）µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x xy y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$a y bx =-$，$i ie y bx a =--$$， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.（参考数据）8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821320i i i x y =-=∑，()()81256i i i x x y y =--=∑，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）见解析，没有（2）①见解析，2R 约为0.91②$0. 67555. 9y x =-【解析】（1）根据散点图即可完成列联表；套用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），算出观测值，与3.841作比较，即可得到本题答案；（2）①把169,158,173x =分别代入$0.875.9y x =-，即可完善下列残差表；然后套用公式µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，即可得到本题答案；②由①可知，第八组数据的体重应为58，套用1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，即可得到本题答案. 【详解】 （1）由于()2232656151602.0783.8411220211177K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此没有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响. （2）①$()()()()()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.521.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑$()()2212121.2204.8110.91226226ni ii n i i y y R y y ==-=-=-=≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496i ii x y==-⨯=∑，又821226112ii x==∑，168x =，57.5y =，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii i i x y x ybx x ==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为$0. 67555. 9y x =-.【点睛】本题主要考查独立性检验以及线性回归方程的应用. 21．已知函数()ln x af x x-=，其中a 为实数. （1）当1a =时，判断函数()f x 在其定义域上的单调性；（2）是否存在实数a ，使得对任意的()(0,11),x ∈+∞U ，()f x >存在，请说明理由；若存在，求出a 的值并加以证明.【答案】（1）()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增（2）存在，1a =，证明见解析 【解析】（1）求导得，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，设()ln 1g x x x x =-+，由()0g x ≥恒成立，即可得到本题答案；（2）当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>，求()p x x x =的最大值，可确定a 的取值范围；当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<，求()p x x x =的最小值，可确定a 的取值范围，综上，即可得到本题答案. 【详解】（1）当1a =时，()1ln x f x x-=，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，令()ln 1g x x x x =-+，()ln g x x '=.当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >. ∴()()min 10g x g ==， ∴()0g x ≥恒成立，∴()()0,11,x ∈+∞U 时，()'0f x >恒成立. ∵()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增.（2）①当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>-，令()p x x x =，则()'p x =，再令()2ln h x x =-，则()11'0h xxx=-=<， 故当01x <<时，()'0h x <，所以()h x 在()0,1上单调递减， 所以当01x <<时，()()10h x h >=，所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()0,1上单调递增，()()11p x p <=，所以1a ≥.②当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<. 由①知当1x >时，()'0h x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，当1x >时，()()10h x h >=， 所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11p x p >=，所以1a ≤. 综合①②得：1a =. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及导数与不等式的综合应用问题，涉及到分类讨论思想以及转化和化归思想的运用，主要考查学生的推理分析能力和计算能力. 22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的最值.【答案】（1）60x y -+=（22. 【解析】（1）根据和差公式展开，由sin ,cos y x ρθρθ==，即可得到本题答案；（2）由点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，再利用点到直线公式及辅助角公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=.（2）点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，其中[0,2)απ∈，则P 到直线l 的距离5cos 6d αϕ++==，其中4cos 5ϕ=，∴当()cos 1αϕ+=时，d； 当()cos 1αϕ+=-时，d的最小值为2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值问题.23．已知函数()2|1|||f x x x a =++-，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若函数()f x 的最小值为3 ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4(,2][,)3-∞-+∞U （2）2a =或4a =-【解析】（1）分1x ≥，11x -<<和1x ≤-三种情况，解不等式即可得到本题答案； （2）分1a =-，1a >-和1a <-三种情况，考虑()f x 的最小值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）若1a =，则()31,1,2113,11,31, 1.x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩当1x ≥时，315x +≥，解之得43x ≥； 当11x -<<时，35x +≥，无解； 当1x ≤-时，315x --≥，解之得2x -≤.综上，不等式()5f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .（2）当1a =-时，()3|1|f x x =+的最小值为0，不满足题意；当1a >-时，()32,,2,1,32,1,x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩所以()()min 113f x f a =-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,1,2,1,32,,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩所以()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-.第 21 页 共 21 页 综上所述，2a =或4a =-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，涉及到分类讨论思想的运用.。

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

2019届湖南长沙市第一中学高三月考试题（三）数学（理）试题一、单选题 1．复数1z ii=+的共轭复数在复平面上对应的点在( ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】通过计算可得1122z i =-，则 【详解】 解：()()()11111122i i i z i i i i -===+++-， 则1122z i =-，其在复平面上对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，是基础题. 2．下列命题中：①“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【解析】试题分析：对于①，命题“2000,10x R x x ∃∈-+≤”为假命题，所以其否定为真命题；对于②，命题“若260x x +-≥，则2x >”的否命题为“若260x x +-<，则2x ≤”的是真命题；对于③；命题“若，则2x =”是假命题，所以其逆否命题为假命题；所以应选C. 【考点】逻辑联结词与命题.3．定义在R 上的函数()f x 在()4,∞+上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则A ．()()23f f >B ．()()36f f >C ．()()35f f >D ．()()25f f >【答案】B【解析】首先可以通过函数()4y f x =+为偶函数对一些函数值进行化简，在通过函数单调性进行比较大小。

【详解】因为函数()4y f x =+为偶函数，所以()()()()441414f x f x f f +=-++=-+，，即()()35f f =， 因为()f x 在()4,∞+上为减函数， 所以()()65f f <， 所以()()36f f >。