12月学力测试九年级数学试卷

江苏省盐城市大丰区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．20°B．3A ．B ．C ．D ．7．将一条抛物线向左平移5个单位后得到了23y x =的函数图象，则这条抛物线是（）A ．235y x =+B ．235y x =--C ．()235y x =-D ．()235y x =+8．若二次函数y ＝（x -m ）2-1，当x ≤3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m ＝3B ．m ＞3C ．m ≥3D ．m ≤3二、填空题13．抛物线2y x =-14．如图，在Rt ABC △中，斜边AB 的中点，则OD 长是15．已知二次函数2y ax =+值为.16．在矩形ABCD 中，AB =的中点，点M 运动过程中线段三、解答题17．（1）解方程：22510x x --=；（2）()()23430x x x -+-=18．如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，求图中阴影部分（弧BC 、线段BD 及CD 围成的图形）的面积．19．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及111A B C △及222A B C △；点A 、C 的坐标分别为(30)(23)--，，，(1)画出ABC 关于y 轴对称再向上平移(2)以图中的点D 为位似中心，将11A B △222A B C △．20．如图，用18米长的木方条做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽米．为使透进的光线最多，求：(1)则窗子的长多少米？(2)并求出最大透光面积．（横柱遮光忽略）21．如图1，Rt ABC △两直角边的边长为(1)如图2，O 与Rt ABC △的边AB 相切于点X ，出并标明O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)P 是这个Rt ABC △上和其内部的动点，以P 为圆心的AB BC 、相切．设P 的面积为S ，能否求出最大值是多少？22．三（1）班为奖励期中考试的优秀学生，派小明到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1600元买回了奖品，求小明购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30件单价50元(1)求证：ABD ECA ∽△△(2)若86AC CE ==，，求24．如图，已知抛物线y (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P 为抛物线上一点，若S 25．如图，在平面直角坐标系中，点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着秒和1个单位长度/秒的速度匀速运动，长为半径的P 与AB OA 、的另一个交点分别为点(1)设QCD 的面积为S ，试求(2)若P 与线段QC 只有一个交点，请写出26．如图，已知二次函数y =-交于点4(0)C ，．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ．①连接AP CP ，，当三角形ACP 的面积最大时，求此时点P 的坐标；②探究是否存在点P 使得以点P ，C ，Q 为顶点的三角形与ADQ △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．27．有一副直角三角板，在三角板ABC 中，907BAC AB AC Ð=°==，，在三角板DEF 中，9068FDE DF DE Ð=°==，，，将这副直角三角板按如图(1)所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动．(1)如图（2），在三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长；(2)在三角板DEF 运动过程中，当D 在BA 的延长线上时，设BF x ，两块三角板重叠部分的面积为y ．求：y 与x 的函数关系式，并求出对应的x 取值范围．。

2022~2023学年度上期学情调研九年级数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个实数中，最小的数是（ ） A ．-3B ．-2C ．0D ．342．下列计算错误的是（ ） A ．123252a a a ⋅＝ B ．2363412a a a a ⋅⋅（-）＝C ．45a a a -⋅（-）＝-D ．233212a a a ⋅（）（﹣）＝3．如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体从三个方向看的视图中面积最大的是（ ）A ．从上面看的视图B ．从左面看的视图C ．从正面看的视图D ．从正面看和从左面看的视图4．ABC 的顶点A 的坐标为(-2，4)，先将ABC 沿x 轴对折，再向左平移两个单位，此时A 点的坐标为( ) A ．(2，-4)B ．(0，-4)C ．(-4，-4)D ．(0，4)5．下列说法正确的是（ ）.①抛一枚硬币，正面一定朝上；②“明天的降水概率为80%”，表示明天会有80%的地方下雨．③为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；④掷一颗骰子，点数一定不大于6． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，四边形ABCD 和A B C D ''''是以点O 为位似中心的位似图形，若12OB OB '=：：，则四边形ABCD 与A B C D ''''的周长比是（ ）A．12： B ．14： C ． D ．13：7．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第⑧个小房子用了（ ） 块石子．A ．72B ．80C ．96D ．978．如图，⑧O 中的弦BC 等于⑧O 的半径，延长BC 到D ，使BC ＝CD ，点A 为优弧BC 上的一个动点，连接AD ，AB ，AC ，过点D 作DE⑧AB ，交直线AB 于点E ，当点A 在优弧BC 上从点C 运动到点B 时，则DE+AC 的值的变化情况是（ ）A ．不变B ．先变大再变小C ．先变小再变大D ．无法确定9．如图，在四边形ABCD 中，60,90,2,3,A B D BC CD ∠=∠=∠===则AB ＝（ ）A ．4B ．5C ．D 10．若关于x 的方程3202x x -=-的解是6x =，则关于y 的方程223202y y -=+的解是（ ） A ．14y =，24y =- B ．12y =，22y =- C ．114y =，214y =- D ．112y =，212y =- 11．如图，矩形ABCD 的顶点(),4D m 在反比例函数(0,0)ky k x x=≠<的图象上，顶点B 、C 在x 轴上，对角线AC 的延长线交y 轴于点()0,2E -，连结BE ，若BCE 的面积是6，则k 的值为( )A ．12-B ．9-C ．8-D ．6-12．如图，BD 为菱形ABCD 的一条对角线，E 、F 在BD 上，且四边形ACEF 为矩形，若EF=12BD ，则AEAD的值为（ ）A B ．25C ．12D ．2二、填空题；本题共6小题，每小题5分，共30分 13．若|a |＝3，|b |＝2，且a +b ＞0，那么a ﹣b 的值是_____14．上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立300亿元人民币等值专项贷款.将300亿元用科学记数法表示为___________________元.15．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，4AO =，将扇形AOB 绕点B 旋转，使得点O 落在AB 上，旋转后的扇形为扇形''A O B ，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，点P 是某个函数图象上的一点，请你写出一个符合条件的函数关系式______________．17．早上，甲、乙、丙三人在同一条路上不同起点朝同方向以不同的速度匀速跑:6点30分时，乙在中间，丙在前，甲在后，且乙与甲、丙的距离相等:7点时，甲追上乙；7点10分时，甲追上丙；当乙追上丙时，若从6点30分起计时，丙跑的时间为___________分钟.18．“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸．”炎炎复日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A 、B 、C 三种品种的水果．两位老板一共购进A 、B 、C 三种水果数量之比为5：6：6，其中甲店老板购进A 、B 、C 三种水果数量之比为3：7：4，并且乙老板购进B 、C 两种水果数量之比为5：8．他们决定A 、B 、C 三种水果的每千克售价分别比其成本高50%，40%，30%，则甲店老板销售完A 和C 两种水果的利润与乙店老板销售完A 和C 两种水果的利润之比为 _____．三、解答题；本题共8个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．先化简，再求值：2344111x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x = 20．已知反比例函数12my x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m 的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABCO 的顶点B ，点,A C 的坐标分别为()2,0，1,2，求出m 的值；（3）将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在C '处，判断点C '是否落在该反比例函数的图象上？21．为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下（未完成），解答下列问题：（1）若A 组的频数比B 组小24，求频数分布直方图中的a 、b 的值；（2）扇形统计图中，D 部分所对的圆心角为n°，求n 的值并补全频数分布直方图； （3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优异的学生有多少名？22．已知b 是立方根等于本身的负整数，且a 、b 满足()21202a b c +++=，请回答下列问题： （1）请直接写出a 、b 、c 的值：=a ________，b =________，c =__________；（2）a 、b 、c 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C ，点D 是B 、C 之间的一个动点（不包括B 、C 两点），其对应的数为m ，化简1|2||1|2m m m +--++； （3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点B 以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A 、点C 都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离为AB ，点B 与点C 之间的距离为BC ，请问：AB BC -的值是否随着t 的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出AB BC -的值．23．【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l 的函数关系式y kx b =+，()111,P x y 、()222,P x y 是直线l 上任意两个不同的点，过点1P 、2P 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，则线段()()21112y y kx b G kx b P -=+-+=1212kx kx k x x =-=⋅-，于是有1212121212y y k x x PG k P G x x x x --===--，即12PG P G 的值仅与k 的值有关，不妨设12PG k P G =为直线l ：y kx b =+的“纵横比”．【直接应用】（1）直线21y x =+的“纵横比”为________，直线112y x =-+的“纵横比”为________．【拓展提升】（2）如图2，已知直线l ：()0y kx b k =+>与直线l '：()0y mx n m =+<互相垂直，请用“纵横比”原理及相关的几何知识分析k 与m 的关系，并加以证明．【综合应用】（3）如图3，已知()8,0A ，P 是y 轴上一动点，线段PA 绕着点P 按逆时针方向旋转90︒至线段PB ，设此时点B 的运动轨迹为直线l ，若另一条直线m l ⊥，且与20y x=有且只有一个公共点，试确定直线m 的函数关系式．24．某商场经销-种进价为每千克50元的水产品，据市场分析，每千克售价为60元时，月销售量为500kg ，销售单价每涨1元时，月销售量就减少10kg ，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为65元时，计算销售量和月销售利润；（2）若想在月销售成本不超过12000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 25．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.⑧当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；⑧点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在⑧的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.26．在Rt ABC 中， 90,,BAC AB AC P ∠==是直线AC 上的一点，连接,BP 过点C 作,CD BP ⊥交直线BP 于点D ．()1当点P 在线段AC 上时，如图⑧，求证：BD CD -=；()2当点P 在直线AC 上移动时，位置如图⑧、图⑧所示，线段,CD BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．参考答案：1．A正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解：根据题意，得：3 3204-<-<<，⑧最小的数是−3，故选：A．本题考查了实数比较大小，解题的关键是熟练掌握实数比较大小法则．2．B直接利用单项式乘单项式以及幂的乘方运算法则分别计算，进而判断得出答案．解：A．123252a a a⋅＝，选项正确，不符合题意；B．236412a a a a⋅⋅（-3）＝-，选项错误，符合题意；C．45a a a-⋅（-）＝-，选项正确，不符合题意；D．233212a a a⋅（）（﹣）＝，选项正确，不符合题意；故选：B．此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．A从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次，2，2，1，依此画出图形即可判断．解：如图所示从正面看的视图和从左面看的视图都是由4个正方形组成，从上面看的视图由5个正方形组成，所以从上面看的视图的面积最大．故选：A．本题主要考查从不同方向看几何体，正确画出从不同方向看得到的图形是解答本题的关键．4．C先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出将⑧ABC沿x轴对折后顶点A的坐标，再根据平移中点的变化规律即可求出向左平移两个单位后A 点的坐标．⑧ABC 的顶点A 的坐标为（−2，4），将⑧ABC 沿x 轴对折后顶点A 的坐标是（−2，−4），再向左平移两个单位，此时A 点的坐标为（−2−2，−4），即（−4，−4）， 故选：C ．本题考查了坐标与图形变化−平移，关于x 轴对称的点的坐标特点．用到的知识点：平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，−y ）． 5．A⑧也有可能背面朝上；⑧只能说明明天降水的可能性比较大；⑧因为检查有破坏性，只能用抽查的方式；⑧骰子有6面，分别标有数字1，2，3，4，5，6，所以点数一定不大于6.正确的只有⑧. 故选A. 6．A根据位似性质：位似比等于相似比，根据相似的性质：相似多边形的周长比等于相似比，结合这两个性质即可得到结论．解：⑧四边形ABCD 和A B C D ''''是以点O 为位似中心的位似图形，12OB OB '=：：， ⑧12BC OB B C OB =='''， ⑧四边形ABCD 和A B C D ''''的周长之比等于相似比，即12：， 故选A ．本题考查位似图形的性质以及相似图形的性质，理解位似比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比是解决问题的关键． 7．C把房子所需的石子分为2部分，上面一部分，下面一部分分别找到规律再相加即可． 把房子所需的石子分为2部分，第一个房子的上面的石子个数为1，第二个房子的上面的石子个数为3，第三个房子的上面的石子个数为5，第四个房子的上面的石子个数为7，故第n 个房子的上面的石子个数为2n -1； 第一个房子的下面的石子个数为4=22，第二个房子的下面的石子个数为9=32，第三个房子的下面的石子个数为16=42，第四个房子的下面的石子个数为25=52，第n 个房子的下面的石子个数为(n +1)2，⑧第n 个小房子用了2n -1+(n +1)2=n 2+4n 个石子， ⑧第8个图形的石子数为284896+⨯=，故C 正确． 故选：C ．此题主要考查图形规律探索，解题的关键是根据题意分开求出规律．8．B如图，连接OA，OC，OB，EC，作OF⑧AC于F，根据直角三角形斜边中线的性质可得EC ＝CD＝CB，根据等腰三角形的性质可得⑧CBE＝⑧CEB，⑧AOF＝⑧COF，根据圆周角定理可得⑧AOC＝2⑧ABC，利用外角性质可得⑧DCE＝2⑧CBE，即可证明⑧AOC＝⑧DCE，利用SAS可证明⑧AOC⑧⑧DCE，可得AC=DE，即可得出DE+AC=2AC，根据AC的变化即可得答案.如图，连接OA，OC，OB，EC，作OF⑧AC于F．⑧DE⑧AB，⑧⑧DEB＝90°，⑧DC＝BC，⑧EC＝CD＝CB，⑧BC＝OC＝OB＝OA，CD＝BC，⑧OA＝OC＝CD＝CE＝CB，⑧⑧CBE＝⑧CEB，⑧OF⑧AC，OA=OC，⑧⑧AOF＝⑧COF，⑧⑧AOC＝2⑧ABC，⑧DCE＝⑧CEB+⑧CBE＝2⑧CBE，⑧⑧AOC＝⑧DCE，⑧⑧AOC⑧⑧DCE（SAS），⑧AC＝DE，⑧AC+DE＝2AC，观察图象可知AC的值先变大再变小，故AC+DE的值先变大再变小，故选B．本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键.9．D延长AD ，BC 交于点E ，则⑧E=30°，先在Rt⑧CDE 中，求得CE 的长，然后在Rt⑧ABE 中，根据⑧E 的正切函数求得AB 的长如图，延长AD ，BC 交于点E ，则⑧E=30°，在Rt⑧CDE 中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边的一半），⑧BE=BC+CE=8，在Rt⑧ABE 中，3833. 故选D.本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解此题的关键在于构造一个直角三角形，然后利用锐角三角函数进行解答.10．B 设22y a +=，则关于y 的方程可化为3202a a -=-，从而可得6a =，然后解方程226y +=，再一步计算解答即可．设22y a +=，则关于y 的方程可化为3202a a -=- 方程3202x x -=-的解是6x =， ∴6a =，检验：当6a =时，(2)0a a -≠∴6a =是原方程的根，∴226y +=∴12y =，22y =-故选：B ．本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握换元法是解决本题的关键．11．A根据题意和反比例函数的图象可以求得点D 的坐标，从而可以求得k 的值，本题得以解决． 解：⑧点E （0，-2），△BCE 的面积是6，⑧OE=2， ⑧•62BC OE ＝，⑧•22BC ＝6， 解得，BC=6，⑧⑧BCA=⑧OCE ，⑧CBA=⑧COE ，⑧⑧ACB⑧⑧ECO ， ⑧OC AB BC EO＝， 即264OC ＝， 得OC=3，⑧点D 的坐标为（-3，4），⑧点D 在反比例函数y=k x（k≠0，x ＜0）的图象上， ⑧4=3k ，得k=-12， 故选A ．本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．A由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平分且相等，再加上EF=12BD ，可以得到OA=OC=OE=OF=12OB=14BD ，设OA=x ，用勾股定理可以表示出AE 、AD ，进而求出他们的比值，再做出选择．连接AC 交BD 于点O ，⑧菱形ABCD ，⑧AC⑧BD ，AB=BC=CD=DA ，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ，⑧AFCE 是矩形，⑧AC=EF=2OF=2OE ，又⑧EF=12BD ，⑧OA=OF ，OB=2OA ，设OA=x ，则OE=x ，OB=2x ，在Rt △AOE 和Rt △AOB 中，2222210255AE x AE OA OF x AB OA OB x AD x=+==+=∴=；， 故选A ． 考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．13．1或5##5或1先根据绝对值的性质，判断出a 、b 的大致取值，然后根据a +b ＞0，进一步确定a 、b 的值，再代入求解即可．解：⑧|a |=3，|b |=2，⑧a =±3，b =±2；⑧a +b ＞0，⑧a =3，b =±2．当a =3，b =-2时，a -b =5；当a =3，b =2时，a -b =1．故a -b 的值为5或1．故答案为：1或5．此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a 、b 的值是解答此题的关键．14．10310⨯科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时用原数的整数位数减1，由此即可解答．⑧300亿=30 000 000 000，⑧30 000 000 000=3×1010.故答案为3×1010.本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．15．4433π+如图，连接OO '，过点O '作O C OB '⊥于点C ，根据旋转的性质可得OBO '∆为等边三角形，进而可得60BOO '∠=︒以及O C '的长，然后根据S 阴影=S 扇形A O B ''－(S 扇形BOO '－S △BOO ')代入数据计算即可．解：如图，连接OO '，过点O '作O C OB '⊥于点C ，⑧扇形A O B ''是由扇形AOB 绕点B 旋转得来，⑧OB O B '=，又⑧OO OB '=，⑧OB O B OO ''==，⑧OBO '∆为等边三角形，⑧60BOO '∠=︒．⑧4OA OB ==，⑧O C '=⑧'142BOO S ∆=⨯⨯=⑧S 阴影=S 扇形A O B ''－(S 扇形BOO '－S △BOO ') 2290460443603603πππ⎛⨯⨯⨯⨯=--=+ ⎝故答案为：43π+本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算，属于常见题型，明确求解的方法、熟练掌握上述基本知识是解答的关键．16．y=x 2-x+1．试题分析：⑧点P （n ，n 2-n+1），⑧符合条件的函数关系式为y=x 2-x+1．考点：二次函数图象上点的坐标特征．17．60设6点30分时，乙与甲、丙的距离都为S ，根据7点时甲追上乙和7点10分时甲追上丙列出方程组求出v 乙和v 丙的关系v 乙=v 丙+160S ⑧. 设t 分钟后乙追上丙，可得v 乙t=v 丙t+S⑧，把⑧代入⑧整理即可.设6点30分时，乙与甲、丙的距离都为S ，由题意得由7点时甲追上乙得，30v 甲=30v 乙+S ，⑧v 甲=v 乙+30S . 由和7点10分时甲追上丙得，40v 甲=40v 丙+2S ，⑧v 甲=v 丙+20S ， ⑧v 乙=v 丙+160S ⑧. 设t 分钟后乙追上丙，则v 乙t=v 丙t+S⑧，⑧代入⑧，得(v 丙+160S )t= v 丙t+S ， ⑧t=60.故答案为：60.本题考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数，根据题目提供的数量关系列出方程是解答本题的关键.18．27：59设甲店老板购进A 、B 、C 三种水果的数量分别为3x 、7x 、4x ，乙老板购进B 、C 两种水果的数量分别为5y 、8y ，根据两位老板一共购进A 、B 、C 三种水果数量之比为5：6：6，可得7x +5y ＝4x +8y ，即x ＝y ，可得乙老板购进A 种水果的数量为7x ，再根据A 、C 两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%即可求解．解：设甲店老板购进A 、B 、C 三种水果的数量分别为3x 、7x 、4x ，乙老板购进B 、C 两种水果的数量分别为5y 、8y ，⑧两位老板一共购进A 、B 、C 三种水果数量之比为5：6：6，⑧7x +5y ＝4x +8y ，即x ＝y ，⑧乙老板购进A 种水果的数量为7x ，⑧A 、C 两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%，⑧甲店老板销售完A 和C 两种水果的利润为3x ×50%+4x ×30%＝2.7x ，乙店老板销售完A 和C 两种水果的利润为7x ×50%+8x ×30%＝5.9x ，⑧甲店老板销售完A 和C 两种水果的利润与乙店老板销售完A 和C 两种水果的利润之比为2.7x ：5.9x ＝27：59．故答案为：27：59．本题主要考查了应用类问题，列代数式，关键是根据题意正确表示出乙老板购进A 种水果的数量．19．12x -2 由分式的混合运算，先把分式进行化简，然后把22x = 解：2344111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭=213121()x x x x +-⎛⎫÷ ⎪++⎝⎭- =2211(2)x x x x +-⨯+- =12x -；当2x =原式； 本题考查了分式的混合运算，实数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．20．（1）12m <；（2）12m =-；（3）点()1,2C '--在反比例2y x=图象上 （1）根据反比例函数图象在第一、三象限，列不等式即可；（2）根据平行四边形的性质求出BC 长，再求出点B 坐标代入解析式即可；（3）根据翻折求出C '坐标，代入解析式即可．解：（1）反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限， ⑧120m ->， 解得12m <； （2）⑧ABCO 是平行四边形，⑧2CB OA ==，⑧点B 坐标为()1,2．把点()1,2代入12m y x-=得， 1221m -=， 解得12m =-． （3）点C 关于x 轴的对称点为()1,2C '--．由（2）知反比例函数的解析式2y x =， 把=1x -代入2221y x ===--， 故点()1,2C '--也在反比例2y x =图象上． 本题考查了反比例函数的综合问题，和平行四边形 性质，解题关键是熟知反比例函数的性质和平行四边形的性质，树立数形结合思想，利用点的坐标解决问题．21．（1）a=16 b=40；（2）126°，图详见解析；（3）940名（1）根据若A 组的频数比B 组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a 、b 的值；（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．（1）学生总数是24÷（20%-8%）=200（人），则a=200×8%=16，b=200×20%=40；（2）n=360×70200=126°． C 组的人数是：200×25%=50．如图所示：；（3）样本D 、E 两组的百分数的和为1-25%-20%-8%=47%，⑧2000×47%=940（名）答:估计成绩优秀的学生有940名．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．（1）2，-1，12-；（2）32m -；（3）不变，52 （1）先根据b 是立方根等于本身的负整数，求出b ，再根据()21202a b c +++=，即可求出a 、c ； （2）先根据点D 是B 、C 之间的一个动点（不包括B 、C 两点），得到m 的范围，再化简1|2||1|2m m m +--++即可； （3）先求出AB ，BC ，再代入AB -BC 计算即可．解：（1）⑧b 是立方根等于本身的负整数，⑧b =-1．⑧()21202a b c +++=， ⑧a =2，c =12-， 故答案为：2，-1，12-； （2）⑧点D 是B 、C 之间的一个动点（不包括B 、C 两点），⑧-1＜m ＜12-， ⑧1|2||1|2m m m +--++ =1212m m m --+-++ =32m -； （3）依题意得：A ：2+2t ，B ：-1-t ，C ：12-+2t ， ⑧AB =3t +3，BC =3t +12， ⑧AB -BC =3t +3-（3t +12）=52， 故AB -BC 的值不随着t 的变化而改变，且值为52． 本题考查了数轴与绝对值，整式的加减．通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．23．（1）2，12；（2）1km =-，证明见解析；（3）y x =-+y x =--（1）根据“纵横比”的定义即可得；（2）如图（见解析），先根据相似三角形的判定与性质可得1423PG P H P G P H =，从而可得31241P H PG P G P H ⋅=，再根据“纵横比”的定义可得3124,P H PG k k m m P G P H====-，由此即可得出答案； （3）先取两个特殊点求出直线l 的函数解析式的一次项系数，再根据（2）的结论可得直线m 的函数解析式的一次项系数，然后根据“直线m 与20y x=有且只有一个公共点”建立方程组，利用一元二次方程的根的判别式求解即可得．（1）直线21y x =+的“纵横比”为22=， 直线112y x =-+的“纵横比”为1122-=， 故答案为：2，12；（2）1km =-，证明如下：如图，过点2P 作y 轴的平行线，交直线l '于点3P ，在23P P 延长线上找一点H ，过点H 作x 轴的平行线，交直线l '于点4P ，则3432,P H P H P H P G ⊥⊥，3290G H P P G ∴∠=∠=∠=︒，3212190P P P GP P ∴∠+∠=︒，又l l '⊥，3213490P P P HP P ∴∠+∠=︒，2134GP P HP P ∴∠=∠，在21GP P 和34HP P 中，2134G H GP P HP P ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， 2134GP P HP P ∴~，1243PG P G P H P H ∴=，即1423PG P H P G P H =， 331424341P H P H PG P H P G P H P H P H∴⋅=⋅=， 由“纵横比”的定义得：3124,P H PG k k m m P G P H ====-， ()1k m ∴⋅-=，即1km =-；（3）由题意，点P 与原点O 重合时，动点B 的坐标为(0,8)，当点P 在点(0,8)处时，动点B 的坐标为()8,16，设直线l 的函数解析式为11y k x b =+，将点(0,8)和()8,16代入得：1118816b k b =⎧⎨+=⎩，解得1118k b =⎧⎨=⎩， m l ⊥，∴直线m 的函数解析式的一次项系数1-（依据（2）的结论），设直线m 的函数解析式为y x a =-+， 联立20y x a y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：2200x ax -+=，直线m 与20y x=有且只有一个公共点， ∴关于x 的一元二次方程2200x ax -+=有两个相等的实数根，∴此方程的根的判别式24200a ∆=-⨯=，解得a =±故直线m 的函数解析式为y x =-+y x =--本题考查了反比例函数与一次函数的综合、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握理解“纵横比”的概念是解题关键．24．（1）销售量：450kg ；月销售利润：6750元；（2）销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元（1）利用每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列出函数即可；（2）由函数值为8000，列出一元二次方程解决问题．解：（1）销售量：500(6560)10450()kg --⨯=，月销售利润：450(6550)6750⨯-=（元）；（2）因为月销售成本不超过12000元，⑧月销售数量不超过1200050240()kg ÷=；设销售定价为x 元，由题意得：(50)50010(60)[]8000x x ---=，解得1290,70x x ==；当90x =时，月销售量为50010(9060)200240-⨯-=<，满足题意；当70x =时，月销售量为50010(7060)400240-⨯-=>，不合题意，应舍去．⑧销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元．此题考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列函数解析式，用配方法求最大值以及函数与方程的关系．25．（1）()21154y x =--+；（2）⑧作图见解析；4y x =-+；⑧S 27448x x =-+-；S 的最大值为47. (1)设出顶点式，直接将B 点代入即可完成解答;(2)⑧过y ，x 轴分别做A ，B 的对称点'A 、B'，然后连'A D 、'B C ，当这四点在同一直线时，周长最小，即可画出图形；再确定'A 、B',由待定系数法即可得到直线'A 、B'的解析式，即为直线CD 的解析式;⑧由⑧得到直线CD 的解析式，即可求出CD 与直线y=x 的交点坐标，得到⑧PQR 与直线y=x 有公共点时x 的取值范围，以及公共部分的面积s 与x 之间的函数关系式，然后根据二次函数确定其最大值即可．（1）根据题意，设物线的顶点式为()215y a x =-+，将()5,1B 代入得，14a =-， ⑧抛物线解析式为：()21154y x =--+. （2）⑧作图如下：直线DC 的解析式为4y x =-+.⑧如下图：点()2,2E ，当EP EQ =时，1222x x -=-， 解得83x =， 当823x ≤≤时，21122S PR PQ EP =⋅- ))1111222222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 27448x x =-+-. ⑧当167x =时，47S =最大；当843x ≤≤时，21111222222S EQ x x ⎫⎫==--⎪⎪⎭⎭ ()2144x =-， 即83S =时，49S =最大， 综上：S 的最大值为47. 本题是一道二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出二次函数的解析式，（2）⑧利用轴对称确定最短距离；⑧确定S 与x 的函数关系及求最值是解题的关键.26．（1）证明见解析；（2）图⑧CD BD -=；图⑧CD BD +．（1）在BD 上截取BE CD =，连接AE ，可先证得ABE ACD ≌，得到,AE AD BAE CAD =∠=∠，进而可证得⑧AED 为等腰直角三角形，即可得证；（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的,CD BD 与AD 之间的数量关系．证明：（1）如图,①在BD 上截取BE CD =，连接AE ，90BAC BDC ∠︒∠==90,90.ABP APB ACD DPC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒APB DPC ∠=∠.ABP ACD ∴∠=∠又,AB AC =在⑧ABE 与⑧ACD 中，AB AC ABE ACD BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⑧⑧ABE⑧⑧ACD （SAS ），,.AE AD BAE CAD ∴=∠=∠90.EAD EAP CAD EAP BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒在Rt AED △中，22222DE AE AD AD =+=2DE ∴=2BD CD BD BE ED AD ∴-=-==（2）如图，在CD 上截取CE ＝BD ，连接AE ，由（1）可知⑧ADB⑧⑧AEC ，,.AE AD BAD CAE ∴=∠=∠90.EAD BAE BAD BAE CAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒在Rt AED △中，22222DE AE AD AD =+=2DE ∴=2CD BD CD CE DE ∴-=-==⑧图:2CD BD -=②．如图，延长DC 至点E ，使得CE ＝BD ，连接AE ，90BAC BDC ∠︒∠==180,180.ABD ACD ACD ACE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒.ABD ACE ∴∠=∠在⑧ADB 与⑧AEC 中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⑧⑧ADB⑧⑧AEC （SAS ），,.AE AD BAD CAE ∴=∠=∠90.EAD CAE CAD BAD CAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒在Rt AED △中，22222DE AE AD AD =+=DE ∴=CD BD CD CE DE ∴+=+==⑧图:CD BD +=③．本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。

202-2021学年度第一学期12月质量检测初三年级数学试题卷（本试卷共5页，25小题，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考室号、座位号填写在答题卡上2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上3.非选择题必修用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回5.考试时不可使用计算器第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 二次函数2(2)3y x =--+的图像的对称轴是（ ）A. 直线2x =-B. 直线2x =C. 直线3x =-D. 直线3x = 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解．【详解】解：由二次函数2(2)3y x =--+，可得该函数图像的对称轴为直线2x =；故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 2. 用配方法解关于x 的一元二次方程2690x x +-=时，配方结果正确的是（ ）A. 2(3)0x +=B. 2(3)0x -=C. 2(3)18x +=D. 2(3)18x -= 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式进行配方即可得到答案．【详解】解：2690x x +-=，∴26918x x ++=，∴2(3)18x +=；故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法进行化简．3. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外相同的小球，其中2个是白球，2个是红球，现从袋中任意抽出2个球，取出的球中至少有一个是红球的概率是（ ） A. 12 B. 16 C. 23 D. 56【答案】D【解析】 【分析】把2个白球和2个红球编号为1、2、3、4，根据题意易得任意摸出2个球的可能性有1、2；1、3；1、4；2、3；2、4；3、4六种可能性，则取出的球中至少有一个是红球的的可能性有5种，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：把2个白球和2个红球编号为1、2、3、4，则有：任意摸出2个球的可能性有1、2；1、3；1、4；2、3；2、4；3、4六种可能性，则取出的球中至少有一个是红球的的可能性有5种，所以取出的球中至少有一个是红球的概率是56P =； 故选D ．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．4. 如图⊙O 中，BAC 60︒∠=， BC=6， 则圆心O 到弦BC 的距离是（ ）3 B. 3 C. 33 D. 6【答案】A【解析】【分析】连接OB ，OC ，并作OD⊥B C 交BC 于点D ，根据圆周角于圆心角的关系，可求得∠BOC 的度数，根据OD⊥BC ，可求得BD ，在Rt△BDC 中，通过解直角三角形可求得圆心O 到弦BC 的距离．【详解】如图，连接OB ，OC ，并作OD⊥BC 交BC 于点D ，∵∠BAC=60︒，∴∠BOC=120︒，∵OD⊥BC ，∴∠BOD=60︒，∠OBD=30︒，BD=3， ∴OD=3·tan 30333BD ︒=⨯=， 即圆心O 到弦BC 3故选：A ．【点睛】本题考察垂径定理，明确垂直弦的直线平分这条弦，解题的关键是构建直角三角形．5. 已知点(212)P a b -+，与点P '()b a ，关于原点对称，则-a b 的值是（ ） A. 43 B. 2 C. 8 D. 2-【答案】C【解析】【分析】根据点的坐标关于原点对称的特点可直接进行列式求出a 、b 的值，然后代入求解即可．【详解】解：由点()21,2P a b -+与点P '(),b a 关于原点对称，则有：212a b b a -=-⎧⎨+=-⎩，解得：35a b =⎧⎨=-⎩， ∴8a b -=，故选：C ．【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特点是解题的关键． 6. 如图，边长为4的正方形ABCD 各边均与⊙O 相切，正方形EFGH 是⊙O 的内接正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 16π4-B. 4π4-C. 16π8-D. 4π8-【答案】D【解析】【分析】 由题意易得阴影部分的面积=⊙O 的面积减去正方形EFGH 的面积，连接EG ，HF ，进而根据正方形的性质可得AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2，然后问题可求解．【详解】解：连接EG 、HF ，如图所示：∵四边形ABCD 、EFGH 是正方形，∴HF 与EG 互相垂直且平分，∵AB=4，∴AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2，∴⊙O 的半径为2，2222EH AE AH =+=， ∴阴影部分的面积为：248EFGH r S ππ-=-正方形；故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质及正方形的性质，熟练掌握切线的性质及正方形的性质是解题的关键． 7. 如图，0MON 9︒∠=，ABC 关于OM 的对称图形是111A B C ，111A B C 关于ON 的对称图形是222A B C ，则ABC 与222A B C 的关系是（ ）A. 平移关系B. 关于O 点成中心对称C. 关于MON ∠的平分线成轴对称D. 关于直线ON 成轴对称【答案】B【解析】【分析】 可设OM 所在直线为y 轴，ON 所在直线为x 轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．【详解】不妨设OM 所在直线为y 轴，ON 所在直线为x 轴，∵△ABC 关于OM 的对称图形是△A 1B 1C 1，∴A 与A 1、B 与B 1、C 与C 1的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∵△A 1B 1C 1关于ON 的对称图形是△A 2B 2C 2，∴A 1与A 2、B 1与B 2、C 1与C 2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴A 与A 2、B 与B 2、C 与C 2的横坐标、纵坐标都互为相反数，则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：△ABC 与△A 2B 2C 2关于O 点成中心对称． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的特征和中心对称图形的识别，正确区分两种对称变换的特征是解题的关键．8. 如图，点P 是ABC 外接圆⊙O 上一点，AB=AC ，下列判断中，不正确的是（ ）A. 当弦AP 最长时，ABP ACP ∠=∠B. 当弦BP 最长时，ABP 是直角三角形C. 当弦BP 最长时，1802A PB BC C =-∠∠︒D. 当弦AP 最长时，且2=AP PC ， 则AB BC =【答案】C【解析】【分析】 由圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆的定义，等边三角形的判定和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则当弦AP 最长时，即AP 为直径，则90ABP ACP ∠=∠=︒，故A 正确；当弦BP 最长时，即BP 是直径，则90BAP ∠=︒，即ABP 是直角三角形，故B 正确；当弦BP 最长时，即BP 是直径，∵AB AC =，∴1802BAC ABC ∠=︒-∠∵BC 与CP 的长度不能确定，∴∠PBC 与∠BAC 不一定相等，∴1802A PB BC C =-∠∠︒不一定成立，故C 错误；当弦AP 最长时，即AP 为直径，∴90ABP ACP ∠=∠=︒，∵2=AP PC ，∴∠PAC=30°，∴∠APC=60°=∠ABC ，∵AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆的定义，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．9. 当14x -≤≤时，二次函数2(3)y x k =-+函数值的取值范围是（ ） A. 16k y k ≤≤+B. 116k y k +≤≤+C. 1k y k ≤≤+D. 1y k ≤+【答案】A【解析】【分析】 求出顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-1，x=4时y 的值，即可得到函数值的取值范围．【详解】由二次函数()23y x k =-+可知，抛物线开口向上，顶点坐标为(3，k)，∴函数有最小值y=k ，∵当x=-1时，16y k =+，当x=4时，1y k =+，∴函数值的取值范围为：+16k y k ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．10. 如图，AOB 为等腰三角形，AO AB =，顶点A 的坐标()2,5，底边OB 在x 轴上 ①将AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得A O B ''，点A 的对应点A '在x 轴上； ②将A O B ''绕点A '按顺时针方向旋转一定角度后得A O B ''''△，点O '的对应点O ''在x 轴上，则点B '的坐标为（ ）A. 20,53⎛ ⎝B. 20453⎛ ⎝⎭C. 22453⎛ ⎝⎭D. 22,53⎛ ⎝ 【答案】C【解析】【分析】过点A 作AC OB ⊥于点C ，过点O '作O D A B ''⊥于点D ，根据点A 的坐标求出OC CB =，AC 的长度，再利用勾股定理求出AO 的长度，根据旋转的性质可得4BO OB '==，A BO ABO ''∠=∠，由等腰三角形的面积，可以算出 O D '的长度，再利用勾股定理求出BD 的长度，进而得到点O '与A '的坐标，又根据旋转可知，点O '与B '关于直线7x =是对称的，进而求出点B '的坐标．【详解】过点A 作AC OB ⊥于点C ，过点O '作O D A B ''⊥于点D ，(5A ，AO AB =，∴2OC CB ==，5AC =∴4OB =， Rt AOC △中，由勾股定理得：()2222253AO OC AC =+=+=，由旋转可知：4,3BO OB BA AB OA ''=====，A BO ABO ''∠=∠，ABO A BO S S ''=，12ABO S OB OC =⋅，12A BO S BA O D ''''=⋅， ∴1145322O D ⨯=⨯'， ∴55433O D '=⨯=， 在Rt O DB '中，由勾股定理得：2222458433BD BO O D ⎛⎫''=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴203OD OB BD =+=， ∴点O '坐标为20453⎛ ⎝⎭，7OA A B OB ''=+=，∴点A '的坐标为()7,0， 将A O B ''绕点A '按顺时针方向得到A O B ''''△，∴A O B ''≌A B O ''''，∴A O B ''与A B O ''''关于直线7x =是对称的，∴点O '与B '关于直线7x =是对称的，∴点B '的横坐标为：20222733⨯-=，∴点B '的坐标为22,33⎛ ⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．第二部分非选择题二、选择题（本大题共6小题）11. 一元二次方程(2)(3)0x x -+=的根是_______【答案】122,3x x ==-【解析】【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解．【详解】解：由一元二次方程(2)(3)0x x -+=可得方程的解为122,3x x ==-；故答案为122,3x x ==-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．12. 若点(3,5)-、(5,5)在抛物线21y ax bx =++上，则该抛物线的对称轴是________ 【答案】直线x=1【解析】【分析】根据图象上两点的函数值相等的点关于对称轴对称，即可求得抛物线的对称轴．【详解】解：∵点(3,5)-、(5,5)在抛物线21y ax bx =++上，∴点(3,5)-、(5,5)关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴是直线x=352-+= 1， 故答案为：直线x=1．【点睛】本题考查二次函数的对称性，掌握图象上两点的函数值相等的点关于对称轴对称是解答的关键．13. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上的一点，且OC ⊥AB ，点D 为AC 的中点，则DCO ∠=______【答案】67.5°【解析】【分析】连接AC 、OD ，由题意易得∠ACO=45°，由点D 为AC 的中点可得∠AOD=45°，进而可得∠DCA=22.5°，然后问题可求解．【详解】解：连接AC 、OD ，如图所示：∵OC ⊥AB ，OC=OA ，∴∠ACO=45°，∠AOC=90°，∵点D 是AC 的中点，∴AD DC =，∴∠AOD=45°， ∴122.52ACD AOD ∠=∠=︒， ∴67.5DCO ACD ACO ∠=∠+∠=︒；故答案为67.5︒．【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆周角定理及圆心角、弧之间的关系是解题的关键．14. 有长度为3cm ，5cm ，7cm ，9cm 的四条线段，从中任取三条线段，能够组成三角形的概率是 ．【答案】34． 【解析】【分析】由四条线段中任意取3条，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果，所以P （取出三条能构成三角形）=34 【详解】从四条线段中任取三条线段的情况有：①3cm ，5cm ，7cm ；②3cm ，5cm ， 9cm ；③5cm ，7cm ，9cm ；④3cm ， 7cm ，9cm ，能够构成三角形的有①，③，④，故P （取出三条能构成三角形）=3415. 如图，点A 坐标为(2,2)-，点B 坐标为(2,0)，点C 坐标为(4,2)，点D 坐标为(2,2)-．若线段AB 和线段CD 间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____【答案】()1,1-或()2,2【解析】【分析】分点A 的对应点为C 或D 两种情况考虑：①当点A 的对应点为点C 时，连接AC 、BD ，分别作线段AC 、BD 的垂直平分线交于点E ，点E 即为旋转中心；②当点A 的对应点为点D 时，连接AD 、BC ，分别作线段AD 、BC 的垂直平分线交于点N ，则问题可求解．【详解】解：①当点A 的对应点为点C 时，连接AC 、BD ，分别作线段AC 、BD 的垂直平分线交于点E ，如图所示：∵点A 坐标为()2,2-，点B 坐标为()2,0，∴点E 的坐标为()1,1-；②当点A 的对应点为点D 时，连接AD 、BC ，分别作线段AD 、BC 的垂直平分线交于点N ，如图所示：∵点A 坐标为()2,2-，点B 坐标为()2,0，∴点N 的坐标为()2,2，综上所述：这个旋转中心的坐标为()1,1-或()2,2；故答案为()1,1-或()2,2．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线31)(5)y x x =+-的顶点为D ，且与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），P 为抛物线对称轴上的动点，则12AP DP +的最小值是_____【答案】33【解析】【分析】 先把抛物线的解析式化为顶点式，则有点D 的坐标为(2,33，假设对称轴与x 轴的交点为C ，连接BD ，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，根据题意易得BC=3，33DC =得BD=6，进而可得∠CDB=30°，则12PH DP =，所以把求12AP DP +的最小值转化为求AP PH +的最小值，最后由点A 、P 、H 三点共线时取最小，即为AM 的长，则问题可求解． 【详解】解：由抛物线()()3153y x x =-+-可得)232333y x =--+ ∴点D 的坐标为(2,33，点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()5,0，假设对称轴与x 轴的交点为C ，连接BD ，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，如图所示：∴AB=6，BC=3，33DC =， 在Rt △DCB 中，226DB DC BC =+=，∴∠BDC=30°，∠DBC=60°，∴12PH DP =， ∴12AP DP +的最小值即为AP PH +的最小值， ∴当点A 、P 、H 三点共线时有最小值，即为AM 的长，∴sin 6033AM AB =⋅︒=，∴12AP DP +的最小值为33； 故答案为33．【点睛】本题主要考查二次函数的几何综合及三角函数，关键是由“胡不归”法进行求解最值，然后利用三角函数进行求解线段的长．三、解答题（本大题共9小题，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17. 解一元二次方程：()330x x x -+-=【答案】x 1=3，x 2=﹣1【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可解答．【详解】解：原方程可化为（x ﹣3）（x+1）=0，则：x ﹣3=0或x+1=0，∴x 1=3，x 2=﹣1．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟悉一元二次方程的解法，灵活运用因式分解法求解一元二次方程是解答的关键．18. 如图，⊙O 的直径AB=4，C 为圆外的一点，连结AC 、BC ，AC=AB ，BC 与圆相，交于点D ，若30ABD ︒∠=，求BC 的长【答案】43【解析】【分析】连接AD ，得Rt △ABD ，由AB=4，∠ABD=30°，可求出BD ，再由等腰三角形三线合一可得BC=2BD 便可求解．【详解】连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，AD ⊥BC ，则在Rt △ABD 中，AB=4，∠ABD=30°，∴BD cos 4cos3042AB ABD =⋅∠=⨯︒=⨯= ∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，BC=2BD=2⨯=【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、等腰三角形三线合一的性质，熟记定理并灵活运用是解题的关键．19. 已知关于x 的一元二次方程()2130x k x k ++--= （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为4，求另一个根的值【答案】（1）见详解；（2）另一个根为43【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）把方程的一个根为4代入方程求出k 的值，然后再进行求解即可．【详解】（1）证明：∵关于x 的一元二次方程()2130x k x k ++--=， ∴()()()222144334b k k c k a ∆=+--==--++，∵()230k +≥，∴()23440k ∆=++≥>，∴该方程一定有两个不相等的实数根（2）解：把方程的一个根为4代入方程得： ()164130k k ++--=，解得：173k =-， ∴方程为2148033x x -+=， 解得：1224,3x x ==， ∴另一个根为43． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．20. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a 为10 米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米（1）求S 与x 的函数解析式（2）在所围花圃中种植蝴蝶兰，每平方米的蝴蝶兰售出后可获得500元的利润，当x 为何值时，该花圃种植的蝴蝶兰可获利22500元【答案】（1）2324S x x =-+；（2）当x 为5时，该花圃种植的蝴蝶兰可获利22500元【解析】【分析】（1）根据题意可得围成的矩形花圃的长为()243x -米，进而问题可求解；（2）由（1）可得方程为()250032422500x x -+=，然后求解，最后根据墙的最大长度a 为10米可进行排除答案．【详解】解：（1）由题意得： ()2243324S x x x x =-=-+；（2）由（1）及题意得：()250032422500x x -+=，解得：123,5x x ==，∵墙的最大长度a 为10 米，∴24310x -≤且324x <， 解得1483x ≤<， ∴5x =，答：当x 为5时，该花圃种植的蝴蝶兰可获利22500元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．21. 如图，将Rt ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，B 60︒∠=（1）若AC=23，求CD 的长（2）连结CE ，试判断点D 与ACE 的外接圆⊙O 的位置关系，并加以证明【答案】（1）2；（2）点D 在△ACE 的外接圆⊙O 上，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意易得AB 、BC 的长，然后由旋转的性质可求解；（2）由（1）及题意易得△ACE 是等边三角形，进而可证△ECD ≌△EAD ，然后根据四点共圆的性质可求证． 【详解】解：（1）∵∠B=60°，∠BAC=90°，AC=23 ∴2tan 60AC AB ==︒， ∴BC=2AB=4，∵将Rt ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上， ∴AD AB =，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=2，∴CD=2；（2）点D 在△ACE 的外接圆⊙O 上，理由如下：如图所示：由（1）可得∠DAB=60°，CD=AD，∴旋转角度为60°，∴∠EAC=60°，∵AC=AE，∴△ACE是等边三角形，∴EC=EA，∵ED=ED，∴△ECD≌△EAD，∴∠EAD=∠ECD=90°，∴∠ECD与∠EAD互补，∴∠CEA+∠CDA=180°，∴点E、A、D、C四点共圆，∴点D在△ACE的外接圆⊙O上．【点睛】本题主要考查旋转的性质、三角函数及圆内接四边形的性质，熟练掌握旋转的性质、三角函数及圆内接四边形的性质是解题的关键．22. 随着信息技术的迅速发展，人们日常消费购物的支付方式也越来越多样、高效和便捷.学校调查小组对某便利店一天内人们购物的支付方式进行了调查并统计，从调查中将支付方式分为四类：A微信、B支付宝、C现金、D其它，根据调查数据得到以下两张不完整的统计图（1）当天调查小组调查了________名购买者．（2）若该城市有70万消费人群，以当天调查的情况来看，试估计该城市使用“微信”支付方式消费的人数．（3）调查当天，甲、乙两人先后进入该便利店消费，请用列举法求出两个人选择同一种支付方式的概率．【答案】（1）120；（2）使用“微信”支付方式消费的人数为315000人；（3）两个人选择同一种支付方式的概率14【解析】【分析】（1）根据统计图可直接进行求解；（2）由（1）及题意可求出“微信”支付方式所占调查人数的百分比，然后再进行求解即可；（3）由题意易得甲、乙两人选择支付方式的可能性有AA 、AB 、AC 、AD 、BA 、BB 、BC 、BD 、CA 、CB 、CC 、CD 、DA 、DB 、DC 、DD 共16种，选择同一种支付方式的可能性有4种，进而问题可求解．【详解】解：（1）由统计图可得B 类支付方式的有48人，所占百分比为40％，∴48÷40％=120（名）；故答案为120；（2）由（1）可得调查人数为120名，而D 类支付人数为6名，∴D 类支付人数所占百分比为6÷120×100％=5％，∴A 类支付人数所占百分比为14010545---=％％％％，∴该城市有70万消费人群中使用“微信”支付方式消费的人数为70000045315000⨯=％（名）， 答：使用“微信”支付方式消费的人数为315000人．（3）由题意易得甲、乙两人选择支付方式的可能性有AA 、AB 、AC 、AD 、BA 、BB 、BC 、BD 、CA 、CB 、CC 、CD 、DA 、DB 、DC 、DD 共16种，选择同一种支付方式的可能性有4种，所以概率为41164P ==， 答：两个人选择同一种支付方式的概率14． 【点睛】本题主要考查数据分析与概率，熟练掌握统计图及概率的求法是解题的关键．23. 在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm ），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心1O 、2O 与正方形纸片1O BCD 的顶点C 在同一条直线上）（1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留π） （2）请说明方案一不可行的理由．（3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长． 【答案】（1）80π；（2）见详解；（3）正方形的边长为1024 【解析】 【分析】（1）由题意易得圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，然后利用圆锥的全面积计算公式直接代入求解即可；（2）由方案一的图可得圆的半径为16，进而可得BD 的长，设圆2O 与正方形相切于点E ，连接2O E ，进而可求出圆2O 的半径，然后求出圆2O 的周长，进而根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长可进行求证；（3）设圆2O 与正方形相切于点F ，连接2O F ，由方案二的图得出圆1O 和圆2O 的半径，然后再利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可求解．【详解】解：（1）由题意得：圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，∴圆锥的全面积为：221148168022r l R ππππ+=⨯+⨯⨯⨯=弧长； （2）设圆2O 与正方形相切于点E ，连接2O E ，如图所示：∴2O E BC ⊥，∵四边形ABCD 是正方形， ∴145O CB ∠=︒， ∴1162O C =， 设2O E r =， ∴22O C r =，∴1162162O C r r =++=，解得：48322r =-， ∴BD 的长为90168180180n r πππ⨯==，圆2O 的周长为()()224832296642r πππ=⨯-=-， ∵()896642ππ≠-，∴方案一不可行；（3）设圆2O 与正方形相切于点F ，连接2O F ，如图所示：设2O F r =，∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得：90162180r ππ⨯=，解得：4r =，∴1164422042OC =++=+， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴145O CB ∠=︒， ∴1210242BC O C ==+， ∴正方形的边长为1024+．【点睛】本题主要考查圆锥的全面积及弧长计算公式，熟练掌握圆锥全面积及弧长的计算公式是解题的关键．24. 如图，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、D 在⊙O 上，线段DG 过圆心且与边AB 交于点E ，与圆相交于点F ，边BC 与圆相交于点H ，DG AB ⊥，2GAB ADE ∠=∠ （1）求证：DCH △是等腰三角形 （2）求证：直线GA 是⊙O 的切线（3）若5ADF 1︒∠=，7AD =，设⊙O 的半径为r ，求2r 的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）98493-【解析】 【分析】（1）连接DH ，根据圆内接四边形的外角等于内对角和平行四边形的性质可证得∠DHC=∠C ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接OA ，根据圆周角定理可得∠AOE=2∠ADE ，则有∠GAB=∠AOE ，根据直角三角形两锐角互余可得∠AOE+∠OAE=90°，则有∠GAB+∠OAE=90°，即∠GAO=90°，根据切线性质即可证得结论；（3）根据圆心角定理求得∠AOE=30°，利用锐角三角函数解直角三角形可得AE=12r ，OE=2r ，则DE=(12r +，然后在Rt △AED 中，利用勾股定理列方程求解2r 即可． 【详解】（1）证明：连接DH ， ∵四边形ABHD 为圆内接四边形， ∴∠DHC=∠DAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C=∠DAB ， ∴∠DHC=∠C ， ∴DH=DC ，∴△DHC 是等腰三角形；（2）证明：连接OA ，则∠AOE=2∠ADE ， ∵∠GAB=2∠ADE ， ∴∠GAB=∠AOE ， ∵DG ⊥AB ，∴∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠GAB+∠OAE=90°， 即∠GAO=90°，∴直线GA 是⊙O 的切线； （3）∵∠ADF=15°，∴∠AOE=2∠ADF=30°，又DG ⊥AB ， ∴Rt △AOE 中，AE=AO ·sin30°=12r ，OE=AO ·cos30°=2r ，则DE=(1)2r +，在Rt △AED 中，AD=7，由勾股定理得：22221()(172r r ++=，解得：2r =98493-．【点睛】本题考查圆内接四边形的外角性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、切线的判定、直角三角形的性质、锐角三角函数解直角三角形、解一元二次方程，解答的关键是利用数形结合思想，寻找各知识点相关联信息，添加适当辅助线解决问题．25. 抛物线252y ax ax =++(0)a ≠交x 轴与点A 和点B(-4，0)，交y 轴于点C ，点P 为抛物线上一动点（P 与B 、C 不重合） （1）求抛物线的解析式．（2）连结CB ，若点P 在直线BC 下方时，求BCP 的面积的最大值．（3）若点M 为直线BC 上一点，是否存在点M ，使以点P 、C 、A 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215222y x x =++；（2）4；（3）存在，()123M ,，()221M ,-，31737M ,⎛+-+ ⎝⎭，417372M ⎛-- ⎝⎭【解析】 【分析】（1）直接将B(-4，0)代入解析式，通过待定系数法求解即可；（2）先运用待定系数法求解出BC 的解析式，再作PQ ∥y 轴，交BC 于Q 点，从而可根据抛物线和直线的解析式设出P ，Q 的坐标，并表示出PQ ，最后根据PQ 建立出关于BCPS 的二次函数表达式，从而运用函数的性质求解即可；（3）分别考虑AC ，AM ，AP 为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分的性质分类求解即可． 【详解】（1）将B(-4，0)代入解析式得：162020a a -+=， 解得：12a =，∴抛物线的解析式为：215222y x x =++； （2）如图所示，由抛物线解析式可得：()1,0A -，()0,2C ， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将B ，C 坐标分别代入得：402k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：122y x =+， ∵点P 在直线BC 下方，且在抛物线上， ∴设P 的坐标为215222m m,m ⎛⎫⎪⎝+⎭+，其中40m -<<， 此时，作PQ ∥y 轴，交BC 于Q 点，则Q 的坐标为122m m ⎛+⎫ ⎪⎝⎭,，∴2251211222222P m m m m m Q ⎛⎫+-=- ⎪+⎭=-⎝+， ∴()()()2241222110422△BCP C B S m PQ x x m m ⎛⎫=-=-⨯--=-++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝-⎭， ∴当2m =-时，BCP 的面积取得最大值，最大值为4；（3）存在这样的M 点，理由如下： ①如图所示，若以AC 为对角线，可得11APCM ，此时，直线AP ∥BC ，且过点A ， 则可设直线AP 的解析式为：12y x b =+， 将A 点代入可得：12b =，∴直线AP 的解析式为：1122y x =+， 令2152211222x x x +=++，解得13，x x =-=-， ∴P 点的横坐标为-3，则代入AP 的解析式得纵坐标为-1， ∴()3,1P --， 设M 的坐标为(),a b ，此时根据平行四边形的性质可得：310102a b -+=-+⎧⎨-+=+⎩，解得：23a b =⎧⎨=⎩，∴()12,3M ；②如图所示，若以AM 为对角线，可得12APM C ，由①可知()3,1P --， 设M 的坐标为(),a b ，此时根据平行四边形的性质可得：130012a b -+=-+⎧⎨+=-+⎩，解得：21a b =-⎧⎨=⎩，∴()221M ,-；③如图所示，若以AP 为对角线，可得33AM PC 和42AM P C ， 此时可设1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，215222P m m ,m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+，则根据平行四边形的性质可得：21115222222a m a m m =-⎧⎪⎨++=++⎪⎩，解得：32a m ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩32a m ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩当3a =-+BC可得：y =33M ⎛-+ ⎝⎭；当3a =-BC可得：y =，即43M ⎛- ⎝⎭； 综上所述，存在M 使得以点P 、C 、A 、M 为顶点的四边形为平行四边形，M 的坐标为：()12,3M ，()221M ,-，317372M ,⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，417372M ,⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查待定系数法求解函数的解析式，运用函数的思想求解三角形面积最大值以及平行四边形的判定与性质，前两个问题较为基础，熟练掌握常规方法求解是关键，最后一问中结合平行四边形对角线的性质分类讨论是关键．。

2023-2024学年新区实验学校初三年级12月份月考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是()A.x +1x=0 B.2x 2-x =0C.3x 2=1D.ax 2-4x =02.将抛物线y =x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为()A.y =(x -2)2-1B.y =(x -2)2+1C.y =(x +2)2-1D.y =(x +2)2+13.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是()A.36(1-x )2=-25B.36(1-2x )=25C.36(1-x )2=25D.36(1-x 2)=254.二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示．当y <0时，自变量x 的取值范围是()A.-1<x <3B.x <-1C.x >3D.x <-1或x >35.已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC ⊥AB ；②作∠BAC 的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP ⊥AB 于点P ，则AP :AB =()A.1:5B.1:2C.1:3D.1:26.下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B.长度相等的弧是等弧C.三角形的外心到三角形三边的距离相等D.90°的圆周角所对的弦是圆的直径7.如图，⊙O 的直径为AB ，弦AC 长为6，BC 长为8，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则弦AD 的长为()A.52B.7C.82D.98.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①y 最大值为4；②4a +2b +c >0；③一元二次方程ax 2+bx +c =-1的两根为m ,n (m <n ),则-3<m <n <1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）2第7题图(第4题图)第5题图第8题图10.甲、乙两同学最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别是S 2甲=2.17，S 2乙=3.45，则数学成绩比较稳定的同学是．11.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1:2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．第11题图12.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠AOC =110°，则∠ADC =．13.一条上山直道的坡度为1:7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为米.14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是ΔABC 的外接圆，点A ，B ，O 在网格线的交点上，则sin ∠ACB 的值是．15.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为16.如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =5，E 是矩形ABCD 内一点，∠BCE =∠CDE ，点F 是AD 边上的动点，则BF +EF 的最小值为．三、解答题（本大题共有11小题，共82分）17.计算：(-1)2021+8-4sin45°+|-2|；18.解方程：-x (4-x )-3=0．19.先化简，再求值：1-3a +2 ÷a 2-1a +2．其中，a 是方程a 2-2a -3=0．第14题图第12题图A B C DEF第16题图20.(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；(3)直接判断点D（5，-3）与⊙M有何位置关系，点D（5，-3）在⊙M（填内、外、上）.21.为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极加强体育锻炼，坚持做跳绳运动，跳绳可以让全身肌肉匀称有力，同时会让呼吸系统、心脏、心血管系统得到充分锻炼．学校为了了解学生的跳绳情况，在七年级随机抽取了10名男生和10名女生，测试了这些学生一分钟跳绳的个数，测试结果统计如下：请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)所测学生一分钟跳绳个数的众数是，中位数是；(2)求这20名学生一分钟跳绳个数的平均数；(3)若该校七年级共有学生960人，若一分钟跳绳个数在160个以上(含160)为优秀，则该校七年级学生跳绳成绩优秀的大约有多少人？22.从起点站新区实验金山路校区（记作J站）开往终点站新区实验马云路校区（记作M站）的某接送车，中途停靠A站和B站，甲、乙两名互不相识的学生同时从金山路校区上车（1）甲同学从M站下车的的概率为.(2)甲、乙两名同学在同一个车站下车的概率是多少？（要求：列表或画树状图求解）23.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．24.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度．(参考数据，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin26.6°≈0.44，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，3≈1.73)25.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为元；(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？26.关于x的方程ax2+2cx+b=0，如果a、b、c满足a2+b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题：(1)请写出一个“顾神方程”：；(2)求证：关于x的“顾神方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；(3)如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程ax2+62x+b=0是“顾神方程”，求∠BAC的度数．27.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)，B(4,0)，与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线BC经过B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点F是线段OC上一个动点，连接EF，当5EF+CF的值最小时，点F坐标为；(3)连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的RtΔPEQ，且满足tan∠EQP=tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年新区实验学校初三年级12月份月考数学试卷参考答案和解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.x+1x=0B.2x2-x=0C.3x3=1D.ax2-4x=0【答案】B【解析】解：A.是分式方程，故本选项不符合题意；B.是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是一元三次方程，故本选项不符合题意；D.是否是一元二次方程，与a的值有关，故本选项不符合题意．故选：B．2.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为()A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x+2)2+1【答案】C【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(-2,-1)．可设新抛物线的解析式为：y=(x-h)2+k，代入得：y=(x+2)2-1，故选：C．3.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是()A.36(1-x)2=-25B.36(1-2x)=25C.36(1-x)2=25D.36(1-x2)=25【答案】C【解析】解：第一次降价后的价格为36×(1-x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1-x)×(1-x)，则列出的方程是36×(1-x)2=25．故选：C．4.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y<0时，自变量x的取值范围是()A.-1<x<3B.x<-1C.x>3D.x<-1或x>3【答案】A【解析】解：当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．结合图象可见，-1<x<3时，y<0．5.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP:AB=() A.1:5 B.1:2 C.1:3 D.1:2【答案】D【解析】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB=12×90°=45°，∵EP⊥AB，∴∠APE=90°，∴∠EAP=∠AEP=45°，∴AP=PE，∴设AP=PE=x，故AE=AB=2x，∴AP:AB=x:2x=1:2．故选：D．6.下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B.长度相等的弧是等弧C.三角形的外心到三角形三边的距离相等D.90°的圆周角所对的弦是圆的直径【答案】D【解析】解：A、平分弦(不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、等弧是在同圆或等圆中，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、90°的圆周角所对的弦是圆的直径，本选项说法正确，符合题意；故选：D．7.如图，⊙O的直径为AB，弦AC长为6，BC长为8，∠ACB的平分线交⊙O于D，则弦AD的长为()A.52B.7C.82D.9【答案】A【解析】解：∵⊙O的直径为AB，∴∠ACB=90°．∵AC=6，BC=8⇒AB=AC2+BC2=62+82=10．连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=12∠ACB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴AD=BD，∵AB=10⇒AD=AB∙sin45°=52．8.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①y 最大值为4；②4a +2b +c >0；③一元二次方程ax 2+bx +c =-1的两根为m ,n (m <n ),则-3<m <n <1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为(-1,4)，∴二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4，①正确；∵x =2时，y <0，∴4a +2b +c <0，②错误；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx +c =-1的两根m ,n 是y =ax 2+bx +cy =-1的两个交点的横坐标，在-3的左边，或1的右边。