第一章集合与函数的概念
1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )
A ．一次函数
B ．二次函数
C ．指数型函数
D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2
A ．y ＝2x －1
B ．y ＝x 2－1
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.
3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②
解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．
4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x
2
时面积最大，此时x ＝________，
面积S ＝________.
解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－1
2
x 2＋x ＋12
＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212
.
答案：1 121
2
1
( )
A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．
2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩
解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3
＝17280.
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )
A ．增加7.84%
B ．减少7.84%
C ．减少9.5%
D ．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a ， 四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a . 所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ， 即比原来减少了7.84%.
4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)
B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)
C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)
D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)
解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8
＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )
解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋1
2
a 2，其图象为抛物线的一段，开口向
下，顶点在y 轴上方．故选C.
6．小蜥蜴体长15cm ，体重15g ，问：当小蜥蜴长到体长为20cm 时，它的体重大约是( ) A ．20g B ．25g C ．35g D ．40g
解析：选C.假设小蜥蜴从15cm 长到20cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝
W 15·203
15
3≈35.6(g)，合理的答案为35g ．故选C.
7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．
答案：甲 8．一根弹簧，挂重100N 的重物时，伸长20cm ，当挂重150N 的重物时，弹簧伸长________．
解析：由10020＝150
x
，得x ＝30.
答案：30cm
9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．
解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案：①④
10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，
得????? 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得?
????
k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得
S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000) ＝－x 2＋1500x －500000
＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．
所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，
经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12
)t
h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰
期．
现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min ，那么降温到35℃时，需要多长时间？
解：由题意知40－24＝(88－24)·(12
)20
h ，
即14＝(12
)20h . 解之，得h ＝10.
故T －24＝(88－24)·(12
)t
10.
当T ＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·(12
)t
10，
即(12)t 10＝1164
. 两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25min ，可降温到35℃.
12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …
经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．
(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．
作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x
的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．
因为8 即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米． 1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5} 解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数，多了若干元素；C 中t ＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的． 2．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，S ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ∈P B ．c ∈M C ．c ∈S D ．以上都不对 解析：选B.∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ， 设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z ， ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1， 又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M . 3．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ， ∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}， ∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6. 4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则用列举法表示集合C ＝____________. 解析：∵C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }， ∴满足条件的点为： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)． 答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)} 1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y ) C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D 2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ?M B ．a ∈M C ．{a }∈M D ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M . 3．方程组???? ? x ＋y ＝1x －y ＝9 的解集是( ) A ．(－5,4) B ．(5，－4) C ．{(－5,4)} D ．{(5，－4)} 解析：选D.由????? x ＋y ＝1x －y ＝9，得? ???? x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}． 4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合； (2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； (3)1，32，64，|－1 2 |,0.5这些数组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3) 3 2 ＝64，|－1 2 |＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0}B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0}D ．{x ＝0} 解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”． 6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．19 D ．20 解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项． 7．由实数x ，－x ，x 2，－3 x 3所组成的集合里面元素最多有________个． 解析：x 2＝|x |，而－3 x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：2 8．已知集合A ＝?????? x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________. 解析：要使4 x －3 ∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个， 则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7} 答案：{1,2,4,5,7} 9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <1 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }； (2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－1 2 ≤y ≤1，且xy ≥0}； (3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }． 11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A . 解：∵1是集合A 中的一个元素， ∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0， 解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－1 3 ， ∴集合A ＝? ??? ?? －13，1. 12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围． 解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝2 3 ，符合题意． ②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程． 由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥9 8 . ∴当a ≥9 8 时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合①②，知a ＝0或a ≥9 8. 1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊 C ．2010年考入清华大学的全体学生 D ．美国NBA 的篮球明星 解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准． 2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *. A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B.①②正确，③④错误． 3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个B ．3个 C ．4个D ．无数个 解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形． 4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3. 由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1. 答案：3 1．若以正实数x ，y ，z ，w 四个元素构成集合A ，以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 答案：A 2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案：C 3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师； ②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1,3,5. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合． 4．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形 解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c . 5．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．①B ．② C ．③ D ．以上都不对 解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝1 3－52 ，y ＝3＋2π， 则有( ) A ．x ∈M ，y ∈M B ．x ∈M ，y ?M C ．x ?M ，y ∈M D ．x ?M ，y ?M 解析：选B.?x ＝13－52＝－341－5 412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈ Q ，得x ∈M ，y ?M . 7．已知①5∈R ；②1 3 ∈Q ；③0＝{0}；④0?N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数 为________． 解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π?Q ，①②⑥正确． 答案：3 8．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0?A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或4 9．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b | b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________． 解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b | b ＝2； 当a ·b <0时，|a |a ＋|b | b ＝0； 当a <0且b <0时，|a |a ＋|b | b ＝－2. 所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：3 10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∵－3∈A ， ∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0， 此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1， 此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. 11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断1 2－3 是不是集合A 中 的元素？ 解：∵1 2－3 ＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即1 2－3 ∈A . 12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有 ????? a ＝2a b ＝b 2或? ???? a ＝ b 2 b ＝2a ， 解得????? a ＝0b ＝1或????? a ＝0 b ＝0 或??? a ＝14 b ＝12 . 再根据集合中元素的互异性， 得? ??? ? a ＝0 b ＝1或? ?? a ＝14 b ＝12 . 1．下列六个关系式，其中正确的有( ) ①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }?{b ，a }；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}． A ．6个 B ．5个 C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.①②⑤⑥正确． 2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ?B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0?B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B 解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定． 3．设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2 解析：选A.A ＝{x |1 解析：∵Δ＝9－4(2－a 2)＝1＋4a 2＞0，∴M 恒有2个元素，所以子集有4个． 答案：4 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0?A B ．{0}∈A C ．?∈A D ．{0}?A 解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．已知集合A ＝{x |－1 B C ．B A D ．A ?B 解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ?x ∈A ，但x ∈A ?x ∈B 不成立． 3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ?B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( ) A ．A B ．B C ．{2} D ．{1,7,9} 解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D. 4．以下共有6组集合． (1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}； (2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}； (3)M ＝?，N ＝{0}； (4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}； (5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}； (6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}． 其中表示相等的集合有( ) A ．2组B ．3组 C ．4组D ．5组 解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数． 5．定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B. 6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ?B B ．B ?A C ．A ∈B D ．B ∈A 解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?， ∴A ＝{x |x ?B }＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，∴B ∈A . 7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x ＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)?B ，故B A . 答案：B A 8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ?B ，则a 的值为________． 解析：A ?B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或2 9．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}． 答案：{a |a ＞5或a ≤－5} 10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值． 解：①若? ???? a ＋ b ＝a c a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2 －2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0. 当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1； 当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解． ②若????? a ＋ b ＝a c 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0. ∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∵c ≠1，∴c ＝－1 2 . 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ?A ，求a 的取值范围． 解：(1)若A B ，由图可知，a >2. (2)若B ?A ，由图可知，1≤a ≤2. 12．若集合A ＝{x |x 2 ＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值． 解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx ＋1＝0的解为－3时， 由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝1 3 ； 当mx ＋1＝0的解为2时， 由m ·2＋1＝0，得m ＝－1 2 ； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－1 2 或m ＝0. 1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜1} 解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ?N B ．N ?M C ．M ∩N ＝{2,3} D ．M ∪N ＝{1,4} 解析：选C.∵M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}． ∴选项A 、B 显然不对．M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴选项D 错误．又M ∩N ＝{2,3}，故选C. 3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x ＝y 2}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)}B ．{0,1} C ．{y |y ≥0}D ．{y |0≤y ≤1} 解析：选C.M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{y |y ≥0}． 4．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________． 解析：A ∪B ＝A ，即B ?A ，∴m ≥2. 答案：m ≥2 1．下列关系Q ∩R ＝R ∩Q ；Z ∪N ＝N ；Q ∪R ＝R ∪Q ；Q ∩N ＝N 中，正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选C.只有Z ∪N ＝N 是错误的，应是Z ∪N ＝Z . 2．(2010年高考四川卷)设集合A ＝{3,5,6,8}，集合B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8}B ．{3,6} C ．{4,7}D ．{5,8} 解析：选D.∵A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，∴A ∩B ＝{5,8}． 3．(2009年高考山东卷)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析：选D.根据元素特性，a ≠0，a ≠2，a ≠1. ∴a ＝4. 4．已知集合P ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于( ) A ．{2}B ．{1,2} C ．{2,3}D ．{1,2,3} 解析：选A.Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴P ∩Q ＝{2}． 5．(2010年高考福建卷)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |x ＞2} 解析：选A.∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}． 6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∪T ＝R ， ∴? ???? a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3. 答案：3 8．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：4 9．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝?； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：2 10．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值． 解：∵A ∩B ＝{3}， ∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8. 由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8. 11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图： ①当a －3≤5，即a ≤8时， A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ②当a －3＞5，即a ＞8时， A ∪ B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∪B ＝R . 12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝?，求a 的值． 解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝?，则两直线无交点，即方程组无解． 列方程组? ???? 2x ＋y ＝1 a 2x ＋2y ＝a ， 解得(4－a 2)x ＝2－a ， 则? ???? 4－a 2 ＝02－a ≠0，即a ＝－2. 1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则?U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9} 解析：选D.?U A ＝{3,9}，故选D. 2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2} 解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴?R B ＝{x |x ≥1}， ∴A∩?R B＝{x|1≤x≤2}． 3.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于() A．{－1,2}B．{－1,0} C．{0,1}D．{1,2} 解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(?U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A. 4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________. 解析：∵A∪?U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2. 答案：2 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(?U B)等于() A．{2}B．{5} C．{3,4}D．{2,3,4,5} 解析：选C.?U B＝{3,4,5}， ∴A∩(?U B)＝{3,4}． 2．已知全集U＝{0,1,2}，且?U A＝{2}，则A＝() A．{0}B．{1} C．?D．{0,1} 解析：选D.∵?U A＝{2}， ∴2?A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}． 3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个 C．5个D．6个 解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}， A∩B＝{4,7,9}，∴?U(A∩B)＝{3,5,8}． 4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则() A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝U C．(?U N)∪M＝U D．(?U M)∩N＝N 解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(?U N)∪M＝{3,4,5,7}，(?U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B. 5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素个数为() A．1B．2 C．3D．4 解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}， ∴A∪B＝{1,2,4}， ∴?U(A∪B)＝{3,5}． 6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?U A)∪(?U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n 解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(?U A)∪(?U B)＝?U(A∩B)中有n个元素， ∴A∩B中有m－n个元素，故选D. 7．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(?U C )＝________. 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，?U C ＝{1,2,5}， ∴(A ∪B )∩(?U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5} 8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若?U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 解析：∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，?U A ＝{1}， ∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或2 9．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(?U A )∩B ＝?，求实数m 的取值范围为________． 解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴?U A ＝{x |x ＜－m }， ∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(?U A )∩B ＝?， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2} 10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥5 2 }，求 A ∩ B ，(?U B )∪P ，(A ∩B )∩(?U P )． 解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图． ∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵?U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}， ∴(?U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥5 2 }， (A ∩B )∩(?U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜5 2 } ＝{x |0＜x ＜2}． 11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(?U A )＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值． 解：∵B ∩(?U A )＝{2}， ∴2∈B ，但2?A . ∵A ∩(?U B )＝{4}，∴4∈A ，但4?B . ∴? ???? 42 ＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得? ?? a ＝87 b ＝ 127 . ∴a ，b 的值为87，－12 7 .