简论中国古代数学中的“黄金分割率”
黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德
等都曾深入研究过黄金分割问题。中世纪时,这一
数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而
获得许多新的性质。在西方数学传入中国之前,中
国人不曾直接论述黄金分割问题。但是,中国古代
数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达
方式有所不同。中国古代数学中的黄金分割率不像
欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题
中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识
中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率
明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道
了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中
国是“古已有之”。例如,清代数学家梅文鼎(公元
1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是
其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于
勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股
分成中末比。他还说:“《几何原本》理分中末线,但
求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二
十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。”〔1〕
按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所
不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是
中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。应
当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中
之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教
科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,
但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文
鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧
几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价
值。欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的
矩形的面积等于另一小线段上的正方形的面积。”这
里,欧氏几何学给黄金分割的证明结果上升到定理
的高度。关于这一点,梅文鼎本人也慨叹,中国古代
数学家没有从勾股术中看出黄金分割率是非常可惜
的。
2 “河图”、“洛书”与黄金分割率
从数学上说,河图洛书是一种古老的数字组合
方式,也是中国古代数学的源头。其中也隐含着黄
金分割率。
清代著名学者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）
年) 在《河洛精蕴》中已经指出河图中的黄金分割率
(他称之为“神分线”) 。他将河图中宫十数为股,五
数为勾,然后各自自乘,再开方得弦,即:
52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)
再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)
11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦较)
10 (股) - 6. 18 (勾弦较) = 3. 819
这样,以16. 18 (勾弦和) 为长,
则,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618
其中,16. 18 (勾弦长) ×6. 18 (勾弦较) = 99. 99
10 (股) ×10 (股) = 100
若,以10 (股) 为长,
则3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179
其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19
如是,江永说:“八线表半径用全数如十,则勾弦
较六一八O 三三九,即十边三十六度之通弦。其列
率即《洛书》三率连比例之理。其所得十边通弦之
数,实生于五与十,而五十即《河图》之中宫,至平中
有至奇焉。西人秘惜其法,谓此线为神分线,岂知神
奇即在目前哉”〔2〕?
这里,我们看到,从河图演算出的黄金分割率是
与数“五”与“十”密切相关的。在河图中,“五”与
“十”两数具有特殊的意义。河图由一、二、三、四、
五、六、七、八、九、十共十个数字组成,其中一、二、三、四、五称为生数,六、七、八、九、十称为成数。十
个数相加为55 ,被古人称为“天地之数”。《周易·系
辞传》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。天数五,地数五,五位相得,而各
有合,天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有
五,此所以成变化而行鬼神也。”其实,“五十”之为
“天地之数”,并非它能行鬼神之变化,这当中反映出
上古先民所创造的十进制的计数方法,而十以内的
任何数字都可以运用四则运算法加以计算。也就是说,任何一个数的平方都可以用这种简单的加法求
出来,利用它的逆运算,任何一个数的开方也可以用
简单的减法求出来。《周易·系辞传》曰:“大衍之数
五十,其用四十有九。”《周髀算经》解释说:“禹治洪水,始广用勾股弦,故称其为大衍数。”可见,运用勾
股定理对“天地之数”或“大衍之数”“五”与“十”进行
简单的运算即可求出其中蕴含的黄金分割率。这说明,黄金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表
现在线段和图形之比例关系当中,也可以表现在非
常简单的数字关系中。
至于洛书,它与黄金分割率也有联系。由洛书
演化的“九宫图”,如果将其与斐波那契数列相联系,
亦可找到其中的内在联系。
有趣的是,生活在与贾宪年代相差不远的哲学
家程颐在其《易程传》中,对64 卦按所含阳爻数目
的多少进行分类。其结果正好是杨辉记录的贾宪三
角形的最后一层的数据。
后人将《易程传》原文对
64 卦按阳爻的数目进行组合分类的排列进行统计
的时候,又发现,这个分布图与贾宪三角形十分相
像。从64 卦的分布可以直接导出一个贾宪三角
形〔5〕! 这恐怕不是巧合。联系到八卦与河图、洛书,河图、洛书与黄金分割和斐波那契数列的内在联系,我们有理由得出64 卦也与黄金分割、斐波那契
数列有内在联系的结论,由此还可看出,黄金分割率
决不只是单纯的几何学问题,它也广泛地蕴含于以
数值化为特征的中国古代数学中。
4 “五运六气”学说与黄金分割率
我们知道,正五角星形各线段之比为黄金分割
值,而中国传统医学的“五运六气”学说中实际上已
经蕴含了正五角星形,因此也蕴涵了黄金分割率。
“五运六气”学说与五行思想有密切关系。《国
语·郑语》曰:“先王以土与金木水火杂,以成百物。” 《尚书·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四
曰金,五曰土。”后来“五行”与“五方”联系起来,即
中、东、南、西、北五方。在这种观念中“, 土”居中,起支配作用“, 五方”并不构成五个角。到了战国时期,
五行思想有了进一步的发展,形成了以邹衍为代表
