高中数学第1章计数原理1.2.2排列的应用课件北师大版选修2-3

特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
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1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
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4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．

【解析】 (1)本题是有限制条件的数字排列问题，条件是 末位必须排1，3，5，首位不能排0.
第一步：排末位有A31种方法：第二步：排首位有A41种方 法；第三步：排中间两个位置有A42种方法，∴共有 A31·A41·A42＝144种方法．
(2)若用(1)中的方法，先排末位有A31种方法(从0，2，4中选 一个)则排首位就涉及到末位排的是0还是2，4中的一个，所以， 本小题需分类讨论：①若末位排0，则有A53个；②若末位不排 0，则末位有A21种排法．再排首位有A41种，再排中间两位有A42 种，∴末位不是0的有A21·A41·A42个．
A．294种
B．278种
C．252种
D．362种
【解析】 法1：甲先从两端选一个位置，有A21种选法，其 余有A72种排法；甲不参排，则有A73种排法．
∴共有A21A72＋A73＝294.选A. 法2：中间是一个特殊位置(甲不能站)，先排中间位置有A71 种方法．再排两端，有A72种方法，由分步计数原理可知，共有 A71·A72＝294 种不同排法．选A.
由①②知，共有A53＋A21A41A42＝156(个)．
(3)第一类：首位可排4，5，有A21种，其余各位有A53种，此 类共有A21·A53种；
第二类：首位排3，下一位可排2，4，5有A31种，其余两位 有A42种，此类共有A31A42种；
第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个 有A21种，第四位可从剩下的3个数中取一个有A31种，
B．12
C．6
D．4
【解析】 排列总数 A44＝24，其中 0 排在个位(能被 5 整除) 有 A33＝6 个；0 排在首位(不是四位数)有 A33＝6 个．
∴共有 A44－2A33＝12 个． 【答案】 B

根据分类加法计数原理,满足题意的选派方法共有 5+20+40+10+30+80=185 种.
专题一 专题二 专题三 专题四
专题二、排列数与组合数公式的计算与证明
排列数、组合数符号本身的要求要优先考虑,公式的两种形式要根据解 题需要恰当地选择,对排列数、组合数的常见性质,结合两个原理和常见的 排列、组合应用题来理解、掌握,并注意用性质解决问题.
公式A������������ = (������-���������!���)!,常用来证明或化简.
专题一 专题二 专题三 专题四
专题三、排列、组合应用题
1.合理分类,准确分步 解含有约束条件的排列、组合问题,应按元素的性质进行分类,分类时 需要满足两个条件:(1)类与类之间要互斥(保证不重复);(2)总数要完备(保 证不遗漏).也就是要确定一个合理的分类标准,应按事件发生的连贯过程 进行分步,分步时必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.
第三类:2 名老师傅只有 1 名被选派去做车工,老师傅的选派方法有C21 种,钳工的选派方法有C54种,车工的选派方法有C43种,根据分步乘法计数原 理,有C21C54C43=40 种选派方法;
第四类:2 名老师傅都被选派去做钳工,老师傅的选派方法有C22种,钳工 的选派方法有C52种,车工的选派方法有C44种,根据分步乘法计数原理,有 C22C52C44=10 种选派方法;
专题一 专题二 专题三 专题四
【例 4】某国际旅行社招聘了 10 名翻译人员,其中 4 人只会说韩语,2
人既会说韩语又会说日语,另外 4 人只会说日语,现打算从 10 人中选 4 人作
韩语翻译,4 人作日语翻译,分别带团赴韩日观光,则不同的选派翻译的方法

[分析] (1)可分两步完成：第一步，从 7 人中选出 3 人排 在前排，有 A37种排法；第二步，剩下的 4 人排在后排，有 A44种 排法，故一共有 A37·A44＝A77种排法．事实上排两排与排成一排 一样，只不过把第 4～7 个位子看成第二排而已，排法总数都是 A77，相当于 7 个人的全排列；(2)优先安排甲、乙；(3)用“捆绑 法”；(4)用“插空法”．
• (1)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公 司应聘，若每家公司至多招一名新员工，且 3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则 共有________种不同的招聘方案(用数字作 答)；
• (2)有一部电影，被安排到4个单位去放映， 每个单位放映1场，不同的放映方式有 ________种．
• [分析] 无限制条件的排列问题，只要分清 m个元素和n(m≤n)个不同的元素各是什么， 一个排列对应的是完成什么事即可．
• (2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没 有限制条件的元素，然后再将有限制条件的 元素按要求插入排好的元素之间．
• (2013·河南安阳中学高二期末)7名师生站成 一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女 生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
• (1)两名女生必须相邻而站；
• (2)4名男生互不相邻；
思路方法技巧
• 排列数公式的计算
•
计算或化简下列各式：
(1)A215；
(2)A88；
(3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm；
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！；
(5)21！＋32！＋…＋nn－！1.
• [分析] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计 算，并考虑排列数之间的关系；化简求值， 可减少运算量．
• n即(n－从1)n(n个－不2)…同(n的－m元＋素1) 中任意取出m(m≤n)个元 素的排列共有 ___________________________种．