高考数学一轮复习 第四章 第4讲 数系的扩充与复数的引入 文

2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节 数系的扩充与复数的引入考点一 复数的概念 1．（2013广东，5分）若i(x ＋yi)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋xi ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋－＝5.答案：D2．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力． 复数a －103－i＝a －＋－＋＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D 3．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限． 答案：C 4．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A. 答案：A 5．（2013湖南，5分）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的乘法运算和概念，意在考查考生对复数乘法运算和复数概念的掌握．z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：B6．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限． 7.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A(x ，y)表示复数z ＝x ＋yi ，则z 的共轭复数z ＝x －yi 对应的点为B(x ，－y)，选B. 答案：B8．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋－2＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.答案：D9．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：由10i3＋i＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．答案：A 10．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 答案：A11．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋bi ＝a －bi 为纯虚数，则a ＝0，b≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B12．（2012江西，5分）若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共扼复数，则z2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z2＋z 2的虚部为0. 答案：A13．（2011山东，5分）复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝2－i2＋i＝－－5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D 14．（2010北京，5分）在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i. 答案：C15．（2012江苏，5分）设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋bi ＝11－7i1－2i ＝－＋5＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：816．（2012湖北，5分）若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i＝＋＋－＋＝3－b ＋＋2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：3 17．（2011江苏，5分）设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是____． 解析：z ＝－3＋2i i －1＝1＋3i ，所以z 的实部是1.答案：1考点二 复数的运算1.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i－＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i －＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案：B2. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i ＝－2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋－＝ 2.答案：C3．（2013山东，5分）复数z ＝－i(i 为虚数单位)，则|z|＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝－i＝－－1＝－4－3i ，|z|＝－＋－＝5.答案：C4．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i2＝5＋5i. 答案：C5．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i －1－－1＋＝－12－12i ，所以|z|＝22.答案：B6．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i 7．（2012山东，5分）若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i解析：z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 答案：A8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4ii ＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i.答案：D 9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3i D ．1－2i解析：设z ＝a ＋bi ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋ai ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1. 答案：B 10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i 答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 解析：3＋i 1－i ＝＋＋2＝1＋2i.答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i1－2i ＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i 解析：5i1－2i＝＋－＋＝－2＋i.答案：C 13．（2011广东，5分）设复数z 满足iz ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1解析：由iz ＝1得z ＝1i＝－i.答案：A 14．（2011福建，5分）i 是虚数单位，1＋i3等于( ) A ．i B ．－iC ．1＋iD ．1－i解析：由i 是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i. 答案：D15．（2011辽宁，5分）i 为虚数单位，1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i解析：利用i2＝－1，∴1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.答案：A16．（2011北京，5分）复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i解析：i －21＋2i ＝－2＋－＋－＝5i5＝i. 答案：A 17．（2011湖南，5分）若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋ai ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1. 答案：C 18．（2011江西，5分）若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i解析：由题意得，xi ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋yi ＝2＋i. 答案：B19．（2010浙江，5分）设i 为虚数单位，则5－i1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 解析：5－i 1＋i ＝－－＋－＝4－6i 2＝2－3i.答案：C20．（2010辽宁，5分）设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋bi ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i a ＋bi ＝1＋i ，得a ＋bi ＝1＋2i 1＋i＝＋－＋－＝1－i ＋2i －2i22＝3＋i 2＝32＋12i ， ∴a ＝32，b ＝12.答案：A 21．（2010江苏，5分）设复数z 满足z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：∵z(2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ，∴|z|＝2|3＋2i||2－3i|＝2.答案：2。

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板块一
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板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文） (2)i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋ －ii6＝___0_____.
解析 原式＝1－2i21008＋11＋ －ii6＝－22i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i0＋i2＝1－1＝0.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
－
【变式训练 1】 (1)[2015·山东高考]若复数 z 满足1－z i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
－ 解析 ∵1－z i＝i，∴－z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i.∴z＝1－i.
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； 2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
4．除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析 直接进行复数的乘法运算．i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
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板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
2．[2015·福建高考]若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )
A．{－1}
－ 4．已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( × ) 5．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )

(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，

第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 与b 01实部与02虚部.03b ＝0，则a ＋b i 04b ≠0，则a ＋b i 05a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 06a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 07|z |或08|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|09a2＋b2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)10(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝11(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝12(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(4)除法：z1z2＝a ＋bic ＋di ＝错误!＝错误!＋错误!i(c ＋d i ≠0)．1．(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．2．z z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z1z2|＝|z1||z2|，|z n |＝|z |n (n ∈N )．3．(1)复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数．1．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D解析 因为向量AB→对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，所以向量BA→对应的复数是－2－i ，且CA →＝CB →＋BA →，所以向量CA →对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故选D.3．(2020·浙江高考)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为a －1＋(a －2)i 为实数，所以a －2＝0，所以a ＝2.故选C. 4．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的模为2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i答案 C解析 根据题意可知，2－1＋i ＝错误!＝－1－i ，所以z 的虚部为－1，实部为－1，模为2，z 的共轭复数为－1＋i.故选C. 5．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.6．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________. 答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.考向一 复数的有关概念 例1 (1)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 B 解析 因为a ＋i 2－i＝错误!＝错误!是纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝12.(2)(2020·天津市河北区二模)若复数1＋2ai 2－i(a ∈R )的实部和虚部相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．16D ．－16答案 C解析 ∵复数1＋2ai2－i ＝错误!＝错误!＋错误!i 的实部和虚部相等，∴错误!＝错误!，解得a ＝16.故选C.(3)给出下列命题：①两个不是实数的复数不能比较大小； ②复数i －1的共轭复数是i ＋1；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 其中错误命题的序号是________. 答案 ②③④解析 ①显然为真命题．对于命题②，复数i －1的共轭复数是－i －1，所以该命题是错误的．对于命题③，若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则x 2－1＝0且x 2＋3x ＋2≠0，所以x ＝1，所以该命题是错误的．对于命题④，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，可以z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，所以该命题是错误的．求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列方程(组)求解．1.(2020·广西钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是( )A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12i D ．32＋12i答案 D解析 由复数2＋i1＋i ＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i ，所以共轭复数为错误!＋错误!i.2．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋t i(t ∈R )，且满足z －1z 2是实数，则z 2等于( ) A ．1－12iB ．1＋12iC.12＋i D ．12－i答案 B解析 ∵z －1z 2＝(2－i)(1＋t i)＝2＋t ＋(2t －1)i 是实数，∴2t －1＝0，即t ＝12，∴z 2＝1＋12i.故选B.多角度探究突破考向二 复数的几何意义例2 (1)已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3i B ．2 C ．(－1，3)D ．－1＋3i答案 D解析 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin120°＝2×32＝3，所以复数z 对应的点为(－1，3)，所以z ＝－1＋3i.(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．3.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z －＝－3－2i ，故z －对应的点的坐标为(－3，－2)，位于第三象限．故选C.4．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 答案 A解析 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1.故选A.5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝________.答案 22解析 由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ，故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝错误!＝2错误!. 多角度探究突破考向三 复数的代数运算 角度1 复数的乘法运算例3 (1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.(2)(2020·宝鸡模拟)已知i 为虚数单位，实数a ，b 满足(2－i)(a －b i)＝(－8－i)i ，则ab 的值为( )A ．6B ．－6C ．5D ．－5 答案 A解析 由题意，得(2a －b )＋(－a －2b )i ＝1－8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝1，－a －2b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，∴ab ＝6.角度2 复数的除法运算例4 (1)(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i ＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 D 解析2－i1＋2i ＝错误!＝错误!＝－i ，故选D. (2)(2021·山东聊城月考)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z1z2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z1z2＝2＋i2－i＝错误!＝错误!＋错误!i.角度3 复数的混合运算例5 (1)(2020·山东省、海南省新高考高三4月模拟)已知(2－i)z －＝i 2021，则复平面内与z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由(2－i)z －＝i 2021，得z －＝i20212－i ＝i 2－i＝错误!＝－错误!＋错误!i ，∴z ＝－1 5－25i.∴复平面内与z对应的点在第三象限．故选C.(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0 B．1C．2D．2答案 D解析z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．6.(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－i D．i答案 D解析因为z－＝1－i1＋i＝错误!＝错误!＝－i，所以z＝i.故选D.7．(2021·临沂摸底)设z＝i3＋2－i1＋2i，则z的虚部是()A．－1 B．－4 5iC．－2i D．－2 答案 D解析根据复数的乘法与除法运算，则z＝i3＋2－i1＋2i＝i2·i＋错误!＝－i－i＝－2i.根据虚部的定义，可知虚部为－2.故选D.8．(2020·长沙市长郡中学高三适应性考试)已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2－i)(m＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则复数mi1－i的虚部为()A．1 B．iC．－1 D．－i答案 A解析(2－i)(m＋i)＝2m＋1＋(2－m)i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2－m＝0，得m＝2，复数mi1－i ＝2i1－i＝错误!＝错误!＝－1＋i，即复数的虚部是1，故选A.一、单项选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)复数11－3i的虚部是()A．－310B．－110C.110D．310答案 D解析因为11－3i＝错误!＝错误!＋错误!i，所以复数错误!的虚部为错误!.故选D.2．(2020·青岛市高三上学期期末)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则z1z2＝()A．1＋i B．－1＋iC．－1－i D．1－i答案 D解析∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，∴z1＝1＋i，z2＝i.∴z1 z2＝1＋ii＝错误!＝1－i.故选D.3．(2020·厦门一模)设z＝－i＋3，则z－＋|z－|＝()A．i－3＋10B．i＋3＋10C．－i＋3＋10D．－i－3＋10答案 B解析∵z＝－i＋3，∴z－＝i＋3，∴z－＋|z－|＝i＋3＋10，故选B. 4．(2021·海口高考调研考试)在复平面内，复数1＋i1－i对应的点与复数－i对应的点的距离是()A．1 B．2C．2 D．22答案 C解析因为1＋i1－i＝错误!＝错误!＝i，所以复数错误!对应的点为(0,1)．又因为复数－i对应的点为(0，－1)，所以这两点之间的距离为2.故选C.5．(2020·葫芦岛模拟)已知－m＋3i2－i＝n＋2i(m，n∈R)，则复数z＝m＋n i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 由－m ＋3i 2－i＝n ＋2i ，得－m ＋3i ＝(n ＋2i)(2－i)＝(2n ＋2)＋(4－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝2n ＋2，3＝4－n ，解得m ＝－4，n ＝1.∴复数z ＝m ＋n i 在复平面内对应的点的坐标为(－4，1)，位于第二象限．故选B.6．(2021·湖南省长郡中学高三月考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵1＋i 1－i ＝错误!＝错误!＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝i 2021＝(i 4)505·i ＝i. 7．(2020·南宁模拟)若复数z 满足(1＋3i)z ＝(1＋i)2，则|z |＝( ) A.54B ．55C.102D ．105答案 D解析 由(1＋3i)z ＝(1＋i)2＝2i ，得z ＝2i1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152＝105.故选D. 8．(2020·成都模拟)已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z |＝( )A.5 B ．5 C ．25D ．217答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，则z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝5.故选A.9．(2020·聊城二模)在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )的一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则a1＋i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．2iD ．2＋i答案 B解析 ∵x 1＝1＋i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴x 2＝1－i 也是此方程的一个虚根，∴a ＝－(x 1＋x 2)＝－(1＋i ＋1－i)＝－2.所以a 1＋i ＝－21＋i＝错误!＝－1＋i.故选B.二、多项选择题10．(2021·新高考八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0，因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，显然满足z 1z 2＝|z 1|2，但z 1≠z 2，D 错误．故选BC.11．复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．下列点集中是“共轭点集”的有( )A ．{(x ，y )|y ＝log 2x }B ．{(x ，y )|y 2＝x } C.错误! D ．{(x ，y )|y ＝2x }答案 BC解析 复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．即z ，z －表示的点(x ，y )，(x ，－y )都满足集合，即为“共轭点集”．B ，C 中的集合都满足，A ，D 中的集合都不满足．12．(2020·济南模拟)已知复数z ＝1＋cos2θ＋isin2θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＜θ＜π2(其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θ D.1z 的实部为12 答案 BCD解析 z ＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos θ(cos θ＋isin θ)，∵－π2＜θ＜π2.∴cos θ＞0，sin θ∈(－1,1)．则复数z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限；z 可能为实数；|z |＝2cos θ；1z＝错误!＝错误!＝错误!－错误!tan θ，错误!的实部为错误!.故选BCD.三、填空题13．(2020·江苏高考)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________. 答案 3解析 ∵复数z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ， ∴复数z 的实部为3.14．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.向量CA→所表示的复数为________，向量OB →所表示的复数为________.答案 5－2i 1＋6i解析 CA→＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.OB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.15．(2020·开封期中)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a＋3i与z2＝2＋b i互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2＋b2的最大值为________.答案8＋27解析由题意，|a＋3i－2－b i|＝1，故(a－2)2＋(3－b)2＝1，∴点(a，b)在圆(x －2)2＋(y－3)2＝1上，而a2＋b2表示点(a，b)到原点的距离，故a2＋b2的最大值为(错误!＋1)2＝(1＋错误!)2＝8＋2错误!.16．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案23解析解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋b i＋c＋d i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a＋b i－(c＋d i)＝a－c＋(b－d)i，∴|z1－z2|＝错误!＝a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd＝错误!＝错误!＝23.解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝3＋i，∴错误!两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－1 2.∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i| ＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.。